Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 6. 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 6.1. Wprowadzenie Dotąd poznaiśmy dwie metody rozwiązywania układów statycznie niewyznaczanych: metodę sił i metodę przemieszczeń. Jednak przy bardzo skompikowanych układach wieoprętowych, zastosowanie którejkowiek z tych metod byłoby uciążiwe, ze wzgędu na konieczność rozwiązywania układu równań z dużą iczbą niewiadomych. Ponieważ metoda sił zazwyczaj dopuszcza wiee możiwych układów podstawowych, najłatwiejsza do skomputeryzowania wydaje się być metoda przemieszczeń (tutaj układ podstawowy jest najczęściej ściśe okreśony). Datego też, coraz częściej, przy rozwiązywaniu układów niewyznaczanych zastosowanie mają programy komputerowe, które opierają się właśnie na tej metodzie. Przyjrzyjmy się zatem wersji komputerowej metody przemieszczeń. Do tej pory rozwiązując układy prętowe metodą przemieszczeń zakładaiśmy nieskracaność prętów oraz pomijaiśmy wpływ sił normanych. omputerowa wersja pozwaa nam uwzgędnić te siły, datego rezygnujemy z zasady nieskracaności prętów. Ponadto zakładamy, że każdy węzeł układu ma własne, niezaeżne przemieszczenia: dwa przesuwy (pionowy, poziomy) i kąt obrotu. Zwroty przemieszczeń zakładamy zgodnie z przyjętym na potrzeby zadania gobanym układem współrzędnych xy. Równie istotna jest tutaj numeracja przemieszczeń. Ze wzgędu na trudności, które mogą powstać przy agregacji macierzy sztywności powinna być ona ciągła w obrębie każdego węzła. Poszczegóne przemieszczenia numerowane będą w następującej koejności: przesuw poziomy, pionowy i kąt obrotu. x q 9 y q 6 q 7 q 4 q 5 q 8 q Rys. 6.1. ierunki przemieszczeń węzłów w gobanym układzie współrzędnych (x, y) Podobnie jak w kasycznej metodzie przemieszczeń rozwiązanie uzyskujemy z układu równań kanonicznych, którego wymiar zaeży od iczby przemieszczeń q i: r 11 Z 1 r 1 Z r 13 Z 3 r 19 Z 9 r 1 P = r 1 Z 1 r Z r 3 Z 3 r 9 Z 9 r P = r 31 Z 1 r 3 Z r 33 Z 3 r 39 Z 9 r 3 P = r 91 Z 1 r 9 Z r 93 Z 3 r 99 Z 9 r 9 P = Współczynniki r ij zaeżą od geometrii układu i parametrów fizycznych prętów, a nie od obciążenia zewnętrznego. Razem tworzą one macierz charakterystyczną zwaną macierzą sztywności [ij. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ r1 r13 r14 r19 r 1 r r 3 r 4 r 9 [ ij =[r11 r 31 r 3 r 33 r 34 r 39 =[rij r 91 r 9 r 93 r 94 r 99 Niewiadome, oznaczane dotąd Zi to nic innego jak szukane przemieszczenia węzłów qi, które tworzą macierz niewiadomych przemieszczeń węzłowych [q: [q=[ q q 9=[q i Współczynniki r ip również będą tworzyły macierz tak zwany wektor obciążeń [P ij: [ P ij = [r 1 P r P r 9 P= [r ip Można zatem cały układ równań kanonicznych zapisać w postaci równania macierzowego: [ ij 9 9 [q i 9 1 =[ P ij 9 1 ub ogóniej da dowonego układu (n to iczba niezaeżnych przemieszczeń węzłowych): [ ij n n [q i n 1 =[ P ij n 1 (6.1) Rozwiązanie równania (6.1) pozwoi nam uzyskać wynik, tak jak w zadaniu kasycznym. Aby jednak móc przystąpić do obiczeń, naeży utworzyć wszystkie potrzebne macierze. ażda z nich powstaje w wyniku agregacji odpowiednich macierzy eementowych (zapisanych da pojedynczych prętów). Przyjrzyjmy się zatem pojedynczemu eementowi ramy (e). Przyjmujemy okany układ współrzędnych, taki, że oś pokrywa się z osią pręta, a oś jest do niej prostopadła i tworzą układ prawoskrętny (oś obraca się w kierunku osi zgodnie z ruchem wskazówek zegara). W takim układzie okanym numerujemy przemieszczenia oraz reakcje. Da pręta obustronnie utwierdzonego trzeba okreśić sześć reakcji w węzłach (każdemu przemieszczeniu musi odpowiadać reakcja po tym samym kierunku). y x q e q 5 q 6 q 4 R 1 i R 3 R k R 5 R 6 R 4 Rys. 6.. Lokane kierunki przemieszczeń i reakcji Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 3 Warto zauważyć, że numery przemieszczeń nie są powiązane z numerami węzłów. Symboe z ~ oznaczają wiekości w układzie okanym. Tak ponumerowane przemieszczenia i reakcje łatwo można zapisać w postaci wektorów: R1 R [ q =[ q1 3 R q 4 q 3 R 4 5 R 5 q 6 R 6 =[ [ R Reakcje, które powstaną w utwierdzeniach, to szukane wiekości (siły przekrojowe), opisywane w metodzie przemieszczeń wzorami transformacyjnymi. Ponieważ w metodzie komputerowej dodatnie siły przywęzłowe muszą mieć zwroty zgodne z przyjętym układem współrzędnych, a w metodzie kasycznej był inny system znakowania, to zachodzą związki: R 1 = N ik R 4 =N ki R = T ik R 5 =T ki R 3 =M ik R 6 =M ki (6.) Stosując zasadę superpozycji można zapisać wzór na każdą z tych reakcji w układzie okanym. Jeśi użyjemy zapisu macierzowego uwzgędniającego wszystkie siły otrzymamy równanie równowagi eementu (pojedynczego pręta): [ R 6 1 =[ 6 6 [ q 6 1 [ R 6 1 (6.3) gdzie: [ R - wektor sił przywęzłowych (reakcje) w okanym układzie współrzędnych, [ - macierz charakterystyczna (sztywności) w okanym układzie współrzędnych, [ q - wektor przemieszczeń węzłów w okanym układzie współrzędnych, [ R - wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego w okanym układzie współrzędnych. Przekształcając równanie (6.3) możemy napisać [ P =[ R [ R =[ [ q Anaogicznie da całego układu prętowego (układ gobany) można stwierdzić, że wektor obciążeń [Pij składa się z wartości sił węzłowych i przęsłowych. Możemy zatem zapisać: gdzie: [ P ij =[ P w [ R (6.4) [ P w - wektor zewnętrznych sił obciążających węzły konstrukcji, [ R - wektor sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych w układzie gobanym. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 4 6.. Macierz sztywności eementu Macierz sztywności eementu to macierz składająca się z 36 współczynników rij wyznaczonych da pojedynczego pręta z uwzgędnieniem w obiczeniach sił normanych. W zaeżności od sposobu zamocowania pręta w konstrukcji (połączenie sztywne ub przegubowe) otrzymamy różne wartości współczynników. Da pręta obustronnie sztywno zamocowanego w konstrukcji mamy: [ = 1 3[ 1 EJ 6 EJ 1 EJ 6 EJ 6 EJ 4 EJ 6 EJ EJ 1 EJ 6 EJ 1 EJ 6 EJ 6 EJ EJ 6 EJ 4 EJ (6.5) Dysponując macierzą sztywności możemy sprawdzić czy po rozpisaniu któregoś z wierszy równania (6.3) otrzymamy wzór transformacyjny. Spróbujmy zatem rozpisać trzeci wiersz tego równania zakładając, że na pręcie nie ma obciążenia przęsłowego, czyi [ R =[. Wykorzystując macierz (6.5) w równaniu (6.3) mamy: q 1 6 EJ q 4 EJ q 3 q 4 6 EJ q 5 EJ q 6 = R 3 (6.6) Na podstawie zaeżności (6.) wiemy, że z równania (6.6) powinniśmy otrzymać wartość M ik. R 3 =M ik = 4 EJ q 3 EJ M ik = EJ [ q 3 q 6 3 q 6 6 EJ q q 5 q 5 q Niewiadome q i to przemieszczenia węzłów pręta. Zgodnie z oznaczeniami z rys. 6. w metodzie kasycznej odpowiednie przemieszczenia mają symboe: q 3 = i q 6 = k q =v i q 5 =v k (6.7) v k v i = ik czyi ostatecznie otrzymaiśmy wzór transformacyjny, który jest zgodny z metodą kasyczną: M ik = EJ [ i k 3 ik Rozpiszmy teraz drugi wiersz równania (6.3). Według zaeżności (6.) powinniśmy otrzymać wartość Tik. q 1 EJ 1 q 3 6 EJ q 3 q 1 EJ 4 q 3 5 6 EJ q 6 = R T ik = 6 EJ [ q q 3 q 6 5 q (6.8) Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 5 T ik = 6 EJ [ q 3 q 6 q 5 q Podstawiając związki (6.7) otrzymamy poprawny wzór transformacyjny: T ik = 6 EJ [ i k ik Na koniec rozpiszmy jeszcze pierwszy wiersz równania (6.3), pamiętając, że R 1 = N ik : q 1 q q 3 q 4 q 5 q 6 = R 1 (6.9) N ik = q 1 q 4 N ik = q 4 Ponieważ przemieszczenia i q 4 to przemieszczenia końców pręta wzdłuż jego osi, ich różnicę możemy nazwać wydłużeniem ub skróceniem pręta: q 4 q 1 = Ostatecznie otrzymujemy wartość siły normanej N ik, która spełnia związki fizyczne: N ik = W ten sam sposób można rozpisać każdy z wierszy równania (6.3), otrzymując tym samym odpowiedni wzór transformacyjny metody przemieszczeń. Nie zawsze jednak mamy do czynienia wyłącznie z prętami obustronnie utwierdzonymi. Jeżei w skład ramy wchodzą także pręty zakończone przegubem, mamy dwie możiwości postępowania. Jedna z nich poega na rozwiązywaniu układu z założeniem, że wszystkie pręty są obustronnie utwierdzone, a przegub uwzgędniany jest dopiero przy modyfikacji układu ze wzgędu na warunki podparcia. Druga metoda pozwaa na uwzgędnienie przegubu już na początku obiczeń przez wykonanie tak zwanej redukcji statycznej. 6.3. Redukcja statyczna W przypadku prętów z przegubem znamy wartość jednej z reakcji R i. W miejscu przegubu wartość momentu M ik ub M ki (w zaeżności czy przegub jest na ewym czy prawym końcu pręta) wynosi zero (rys. 6.3). i φ i M ik = e k i e φ k M ki = k Rys. 6.3. Pręty z przegubem: na ewym i prawym końcu Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 6 czyi odpowiednio: R 3 = ub R 6 = Naeży jednak pamiętać, że zerowa reakcja nie oznacza zerowego przemieszczenia po danym kierunku: da R 3 = q 3 da R 6 = q 6 Możemy dokonać redukcji macierzy sztywności eementu. Da pręta z przegubem z ewej strony R 3 = przyrównujemy do zera trzeci wiersz z układu (6.3) 6 EJ q 4 EJ 6 EJ q 5 EJ q 6 = Z tego warunku wynika wartość kąta obrotu w przegubie = 1 3 q 3 q 5 q 6 Po podstawieniu powyższego wyrażenia do równań równowagi (6.1) porządkujemy zapis i otrzymujemy nowe związki. Przykładowo drugie równanie będzie miało postać: R = 1 3 [ 1 EJ q 6 EJ 1 3 q 3 q 5 q 6 1 EJ q 5 6 EJ q 6 R = 1 3 [3 EJ q 3 EJ q 5 3 EJ q 6 Zapisując wszystkie związki w formie macierzowej w trzeciej koumnie otrzymamy same zera (żadna z wiekości nie zaeży od ). Macierz sztywności musi być symetryczna wobec tego w trzecim wierszu także zapisujemy zera. Inaczej mówiąc trzeci warunek nie wnosi nam nic do zadania i można go pominąć. [ = 1 3[ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ Postępując podobnie w przypadku pręta z przegubem z prawej strony uzyskamy macierz: (6.1) [ = 1 3[ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ (6.11) Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 7 6.4. Wektor sił przywęzłowych Na wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego składają się reakcje powstałe w podporach (utwierdzeniach ub przegubach) pojedynczego pręta od sił zewnętrznych działających na jego długości. Są one zgodne z założonymi kierunkami przemieszczeń w okanym układzie współrzędnych (rys. 6.) i odpowiednio ponumerowane. Mogą być wywołane obciążeniem zewnętrznym, temperaturą ub osiadaniem podpór. y x R 1 R 3 R e R 5 R 6 R 4 Rys. 6.4. Lokane kierunki reakcji od obciążeń przęsłowych Tak ponumerowane reakcje możemy zapisać w postaci wektora sił przywęzłowych: [ R =[ R1 R R 3 R 4 R 5 R 6 Jeżei na pręt nie działa obciążenie przęsłowe, temperatura, ani osiadania, to wektor obciążeń jest wektorem zerowym. [ R =[ 6.4.1. Działanie sił zewnętrznych Jeżei obciążeniem pręta są wyłącznie siły skupione ub ciągłe, to wektor sił przywęzłowych będzie składał się z reakcji pochodzących od tych obciążeń. Jeżei na pręt działa więcej niż jedno obciążenie, wtedy możemy zastosować zasadę superpozycji a wektor sił będzie się składał z sum odpowiednich reakcji od poszczegónych obciążeń. W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego ub z przegubem z jednej strony wyznaczenie tych reakcji wymagałoby rozwiązania układu statycznie niewyznaczanego, datego też wartości tych reakcji najczęściej odczytujemy z tabic (tabea 1.). Przypomnijmy niektóre z nich zwracając uwagę na zwroty reakcji. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 8 q q Tabea 6.1. Wartości reakcji R od obciążeń przęsłowych =[ Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych P Pa Pb a b Pab 3 b Pab Pa b a [ R Pb 3 a 3 Pa b 3 =[ Pa b q q q 1 1 q [ R q 1 q q q 1 Pb P Pa b a [ R =[ Pb Pa q [ R =[q q q Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 9 q q =[ Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych q 3 q 8 8 5q [ R 3q 8 5 q 8 8 q 8 q [ R =[q q q 6.4.. Działanie obciążenia termicznego Wpływ temperatury rozpatrzmy w dwóch osobnych etapach: najpierw przeanaizujemy działanie temperatury t rozłożonej równomiernie na wysokości przekroju, a następnie wpływ nierównomiernego ogrzania Δt. Jeżei na pręt działają oba rodzaje obciążenia termicznego, na wektor sił przywęzłowych składają się sumy odpowiednich składników wektorów pochodzących od obu typów obciążenia. W przypadku działania temperatury równomiernie rozłożonej t nastąpi wydłużenie ub skrócenie pręta (w pręcie wystąpią jedynie siły normane). Trzeba pamiętać, że ogrzanie pręta spowoduje powstanie siły normanej ściskającej, natomiast ochłodzenie wywoła siłę rozciągającą. Dzieje się tak ponieważ ogrzany pręt chce się wydłużyć a jest zabokowany podporami i nie może się odkształcić. Siła osiowa będzie miała wartość: N =± (6.1) W wyniku działania temperatury t, wydłużenie ub skrócenie pręta opisujemy wzorem: = t t (6.13) Po podstawieniu zaeżności (6.13) do wzoru (6.1) otrzymujemy wartość siły normanej, wywołanej działaniem równomiernego ogrzania pręta: Otrzymane wyniki zestawiono w tabei 6.. N =± t t Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 Tabea 6.. Wartości reakcji R od równomiernego ogrzania t > Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił =[ przywęzłowych N < α t t t t αt t [ R t t t < N > α t t αt t [ R t t =[ t t W wyniku działania nierównomiernie rozłożonej temperatury Δt nastąpi zginanie pręta (nie wystąpią natomiast siły normane). Naeży pamiętać, że w tym przypadku, powstały moment rozciąga włókna chłodniejsze. Jego wartość zaeżeć będzie od sposobu zamocowania pręta (tabea 6.3). Interpretacja jest podobna jak poprzednio, włókna zimniejsze chcą się skrócić, a przytrzymane przez podpory nie mogą. Są więc rozciągane. Tabea 6.3. Wartości reakcji R od nierównomiernego ogrzania t g > t d t g > t d =[ Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych t EJ α Δ t tg t EJ α Δ h t EJ, h h t d [ R EJ t t h =[ t EJ t h EJ α t 3 Δt h 3 tg EJ t t h EJ, h t d 3 Δt [ EJ α R t h 3 Δt 3 EJ α t h EJ t t h 3 EJ t t h W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego działające od temperatury momenty równoważą się nie wywołując reakcji. Natomiast w pręcie z przegubem wystąpią też siły poprzeczne. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 11 6.4.3. Wpływ osiadania podpór Jeżei obciążeniem są osiadania podpór, to możemy zapisać wektor sił przywęzłowych tyko da tych prętów ramy, których węzły doznają osiadań. Gdy pręt nie łączy się z osiadającymi podporami, to okany wektor sił przywęzłowych jest wektorem zerowym: [ R =[ W układzie okanym pręta można zapisać składowe wektora siły jedynie równoegłe bądź prostopadłe do osi pręta. Jeżei na pręt działa osiadanie iniowe pod kątem do jego osi trzeba je rozłożyć na składowe: równoegłą i prostopadłą do osi pręta. Osiadania znakujemy i numerujemy tak samo jak przemieszczenia i reakcje węzłowe (rys. 6.). Do zbudowania wektora sił przywęzłowych da pręta obciążonego osiadaniami wystarczy znajomość macierzy sztywności danego pręta. Do tej pory rozpisywaiśmy równanie równowagi eementu (6.3) w ceu uzyskania wzorów transformacyjnych. Jeżei osiadania potraktujemy jako znane przemieszczenia i przemnożymy je przez macierz sztywności to otrzymamy siły przywęzłowe, które są skutkiem działania tych osiadań. Przyjrzyjmy się zatem obustronnie utwierdzonemu prętowi, którego węzeł doznaje przemieszczenia (osiadania podpory) równoegłego do jego osi (rys. 6.5). Δx Rys. 6.5. Pręt obustronnie utwierdzony obciążony osiadaniem Osiadanie Δx działa po kierunku pierwszego przemieszczenia, ae z przeciwnym zwrotem. W tym przypadku, na wektor sił przywęzłowych składać się będzie pierwsza koumna macierzy sztywności da pręta obustronnie utwierdzonego (6.5), pomnożona przez wartość zadanego osiadania z ujemnym znakiem. Wobec tego wektor znanych przemieszczeń węzłowych ma postać x [ =[ Mnożenie macierzowe [ R =[ [ sprowadza się do skaarnego przemnożenia pierwszej koumny macierzy (6.5) przez wartość osiadania: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 =[ x [ R x =[ x W tabei 6.4 podano kika przykładów wyznaczania wektora sił przywęzłowych od przemieszczeń (osiadań) węzłów. Tabea 6.4. Wartości reakcji R od osiadań podpór Δx Schemat beki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych x Δx Δx [ R =[ x =[ 6 EJ 1 EJ Δy y 3 6 EJ EJ Δy 6 EJ y 1 EJ [ R Δy 1 EJ 3 Δy 1 EJ 3 Δy y 3 6 EJ y Δφ EJ 3 EJ Δφ 3 EJ Δφ 3 EJ [ R Δφ =[ 3 EJ 3 EJ 3 EJ Do tej pory zapisywaiśmy macierze sztywności i wektory sił przywęzłowych da pojedynczych prętów, w ich okanych układach współrzędnych. Jednak w ceu rozwiązania zadania (ramy wieoprętowej) korzystamy z równania równowagi zapisanego da całego układu (6.1). Zawiera ono macierz sztywności, wektor przemieszczeń oraz wektor obciążeń stworzony da wszystkich prętów. Do utworzenia potrzebnych Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 13 macierzy dokonuje się agregacji poszczegónych macierzy jednostkowych (wyznaczonych da pojedynczych prętów). Aby jednak można było zagregować macierze sztywności zapisane da pojedynczych prętów, muszą one dotyczyć jednego, gobanego układu współrzędnych. W tym ceu przeprowadza się transformację macierzy zapisanych w układach okanych do układu gobanego. 6.5. Transformacja układu współrzędnych Aby składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych, zapisane w okanym układzie współrzędnych, odnosiły się do przyjętego da całej konstrukcji, gobanego układu współrzędnych, naeży je odpowiednio przetransformować. =[ W tym ceu posłużymy się macierzą transformacji [T: cos sin 1 sin cos 1 [T (6.14) cos sin sin cos gdzie kąt α jest kątem mierzonym od osi x układu gobanego do osi układu okanego (rys. 6.6). Za dodatni uznajemy kąt α skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara. α x y Rys. 6.6. Gobany i okany układ współrzędnych Prawo transformacji wektora niewiadomych opisujemy wzorem: [q =[T T [ q [ q =[T [q (6.15) Podobnie wygąda transformacja wektora sił przywęzłowych: [ R =[T T [ R (6.16) W przypadku dwuwymiarowej macierzy sztywności posłużymy się wzorem: [ =[T T [ [T (6.17) Jeżei okany układ współrzędnych będzie się pokrywał z układem gobanym, zarówno macierz sztywności, jak i wektor sił przywęzłowych po transformacji nie powinny się zmienić: [ R da α = =[ R [ =[ Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 14 Transformacja pozwaa nam uzyskać składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych, odniesione do gobanego układu współrzędnych. Składowe wektora sił będą wyrażały teraz reakcje zorientowane zgodnie z osiami gobanego układu współrzędnych (rys. 6.7). x y R 3 (e) e R 6 (e) R 5 (e) R 4 (e) R (e) R 1 (e) Rys. 6.7. ierunki reakcji od obciążeń przęsłowych w gobanym układzie współrzędnych (po transformacji) Jak widać na rys. 6.7, reakcje R 3 i R 6 nie zmieniły kierunku. Ponieważ momenty przywęzłowe nie zaeżą od przyjętego układu współrzędnych, nie zmieniła się także ich wartość: R 3 = R 3 R 6 = R 6 Dysponując macierzami zapisanymi w jednoitym układzie współrzędnych możemy dokonać ich agregacji (złożenia). 6.6. Agregacja macierzy Agregacja macierzy poega na odpowiednim ułożeniu poszczegónych składników macierzy zapisanych da koejnych eementów w odpowiadające im poa w macierzy całkowitej (da całej konstrukcji). Agregować można składowe wieu macierzy eementowych, pod warunkiem, że wszystkie dotyczą jednego, gobanego układu współrzędnych. Aby ułatwić sobie odnajdywanie miejsc właściwego położenia poszczegónych eementów, skorzystamy z tak zwanej tabei aokacji (powiązań). Nie ma uniwersanej tabei aokacji. Trzeba sporządzić ją da każdego zadania oddzienie, ae korzystamy z niej zarówno do agregacji macierzy sztywności, jak i wektora obciążeń. Tworzeniu takiej tabei przyjrzymy się agregując wektor obciążeń. 6.6.1. Agregacja wektora obciążeń Anaizie poddamy ramę obciążoną siłami węzłowymi, w której obciążenie przęsłowe może być dowone (zakładamy zerowe). Istotne jest, aby siły przyłożone w węźe pokrywały się z gobanym układem współrzędnych. Gdyby jednak działały w dowonym kierunku, trzeba by je rzutować i w każdym węźe wyrazić jako składowe równoegłe do osi gobanego układu współrzędnych. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 15 y M P y x P x 1 Rys. 6.8. Przykładowa rama obciążona w węźe Ponieważ umiemy znaeźć i przetransformować wartości reakcji przywęzłowych od obciążeń przęsłowych występujące na pojedynczych prętach ramy, narysujmy je da każdego pręta (rys. 6.9) w odniesieniu do gobanego układu współrzędnych (po transformacji). y R 6 () x R 6 (1) R 4 (1) R 3 () R 1 () R 5 () R 4 () R 3 (1) 1 R 5 (1) R () R 1 (1) R (1) Rys. 6.9. Reakcje przywęzłowe w gobanym układzie współrzędnych Pamiętając, że gobane kierunki reakcji pokrywają się z gobanymi kierunkami przemieszczeń (rys. 6.1), możemy stwierdzić, że na przykład kierunek reakcji R 1 (1) pokrywa się z kierunkiem pierwszego przemieszczenia, a kierunek reakcji R 5 (1) pokrywa się z kierunkiem piątego przemieszczenia q 5. Podobne zaeżności można zapisać da pręta drugiego, np.: kierunek reakcji R 1 () pokrywa się z kierunkiem czwartego przemieszczenia q 4. Możemy zatem zestawić te wiadomości w tabei aokacji (tabea 6.5). w pierwszym wierszu cyfry od 1 do 6 oznaczają sześć koejnych kierunków w dowonym eemencie, zgodnych z układem gobanym (wskaźnik i w symbou Ri () ). W koejnych wierszach podano jakim kierunkom gobanych przemieszczeń (rys. 6.1) odpowiadają one w poszczegónych eementach. Tabea 6.5. Tabea powiązań da eementów wektora obciążeń numer reakcji R nr pręta 1 3 4 5 6 1 1 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 16 Dzięki tej tabei wiemy, w którym wierszu macierzy gobanej umieścić wiekość wyznaczoną da eementu. Wyrazy wektora obciążeń przywęzłowych są eementami jednoindeksowymi (R k (e) ), datego do okreśenia ich miejsca w wektorze obciążeń wystarczy zamiana k - tego indeksu na nowy, zgodnie z tabeą aokacji. I tak na przykład, reakcja R6 () z drugiego pręta zajmie miejsce w dziewiątym wierszu w wektorze obciążeń, a reakcja R () zajmie miejsce w wierszu piątym. Teraz, gdy wiemy już, które wiersze odpowiadają którym reakcjom na pojedynczych prętach, możemy przystąpić do agregacji wektora obciążeń. Zgodnie ze wzorem (6.4) na wektor obciążeń [Pij składa się wektor sił węzłowych i wektor sił przywęzłowych. Numery wierszy, w których znajdą się składowe wektora sił przywęzłowych odczytujemy, jak to wyjaśniono powyżej, z tabei aokacji (powiązań). Jak widać, w niektórych wierszach znajdą się po dwa składniki, np. na czwarty wiersz składać się będą reakcje R4 (1) z pierwszego pręta i R1 () z drugiego pręta. Składowe wektora sił węzłowych to wartości sił działających w węzłach konstrukcji umieszczone w odpowiednich wierszach związanych z kierunkiem ich działania. W naszym przykładzie występują trzy siły węzłowe: Px, Py, i M. Siła Px działa po kierunku czwartego przemieszczenia (reakcji), siła Py działa po kierunku przemieszczenia piątego, a moment M po kierunku przemieszczenia szóstego. I takie właśnie będą ich miejsca w wektorze sił węzłowych. Znaki, z jakimi wpiszemy wartości sił węzłowych, przyjmujemy zgodnie z gobanym układem współrzędnych. P [ P ij =[ x P y M [ R 1 R R 3 R 4 R 1 R 5 R R 6 R 3 R 4 R 5 R 6 =[ R 1 R R 3 P x R 4 R 1 P y R 5 R M R 6 R 3 R 4 R 5 R 6 =[R1 R R 3 R 4 9 R 5 R 6 R 7 R 8 R 6.6.. Agregacja macierzy sztywności Agregacja macierzy sztywności przebiega bardzo podobnie do agregacji wektora obciążeń. Posłużymy się tym samym przykładem ramy. Przyjmijmy, że eementy macierzy sztywności prętów 1 i opisują symboe: 1 31 41 51 61 [ =[11 1 3 4 5 6 13 3 33 43 53 63 14 4 34 44 54 64 15 5 35 45 55 65 16 6 36 46 56 66 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 17 1 31 41 51 61 [ =[ 11 1 3 4 5 6 13 3 33 43 53 63 14 4 34 44 54 64 15 5 35 45 55 65 16 6 36 46 56 66 ażdy z eementów macierzy sztywności pojedynczych prętów [ (1) i [ () ma swoje miejsce w macierzy gobanej [ij o wymiarze 9 x 9 w przypadku układy z trzema węzłami. Aby ułatwić sobie znaezienie tego miejsca posłużymy się tą samą tabeą aokacji, którą wykorzystaiśmy przy agregacji wektora obciążeń. Nieco inna będzie jedynie interpretacja zaeżności zawartych w tabei powiązań, gdyż dotyczyć będą one każdego indeksu donego poszczegónych eementów macierzy. Indeks pierwszy oznaczać będzie wiersz, w który naeży wpisać eement, a indeks drugi koumnę. Tabea 6.6. Tabea powiązań da eementów macierzy sztywności numer indeksu eementu macierzy nr pręta 1 3 4 5 6 1 1 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 ażdy eement macierzy sztywności pojedynczego pręta ma oznaczenie dwuindeksowe (mn (e) ), zatem aby znaeźć miejsce danego eementu naeży zamienić oba indeksy. I tak na przykład eement 11 (1) da pierwszego pręta, po zamianie indeksów będzie eementem 11 całkowitej macierzy sztywności, a eement 35 () da drugiego pręta, po zamianie indeksów będzie eementem 68 całkowitej macierzy sztywności. Podobnie jak w przypadku wektora obciążeń, w niektórych poach znajdzie się więcej niż jeden eement macierzy wyznaczony da pojedynczego pręta. Tak będzie np. z eementem 56 całkowitej macierzy sztywności. Składać się na niego będą eement 56 (1) z pierwszego pręta i 3 () z pręta drugiego. Puste poa, w które nie wpisały się żadne wartości z macierzy sztywności da pojedynczych prętów najepiej będzie wypełnić zerami. Zapiszmy zatem całą macierz sztywności po agregacji: 1 31 41 51 61 [ ij =[ 11 1 3 4 5 6 13 3 33 43 53 63 14 4 34 44 11 54 1 64 31 41 51 61 15 5 35 45 1 55 65 3 4 5 6 16 6 36 46 13 56 3 66 33 43 53 63 14 4 34 44 54 64 15 5 35 45 55 65 16 6 36 46 56 = 66 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 18 1 13 14 15 16 17 18 19 1 3 4 5 6 7 8 9 31 3 33 34 35 36 37 38 39 41 4 43 44 45 46 47 48 49 =[11 51 5 53 54 55 56 57 58 59 61 6 63 64 65 66 67 68 69 71 7 73 74 75 76 77 78 79 81 8 83 84 85 86 87 88 89 91 9 93 94 95 96 97 98 99 Teraz, gdy wykonaiśmy agregację wszystkich macierzy potrzebnych do rozwiązania równania (6.1), możemy przystąpić do ich modyfikacji, czyi do uwzgędnienia warunków podparcia rzeczywistej konstrukcji. 6.7. Warunki podparcia Jak pamiętamy, pierwszym etapem rozwiązania ramy komputerową metodą przemieszczeń było wyznaczenie i ponumerowanie kierunków przemieszczeń węzłowych. Zakładaiśmy wówczas, że każdy węzeł może mieć trzy przemieszczenia, niezaeżnie czy rama była w danym węźe podparta czy też nie. Obecność podpór w niektórych węzłach ogranicza swobodę ich przemieszczeń. Jeżei wiemy, że dane przemieszczenie w podporze jest równe zero (znamy jego wartość), ub możemy je pominąć ze wzgędu na redukcję statyczną, to musimy wyeiminować równanie równowagi układu (6.1). W tym ceu zerujemy odpowiedni wiersz z wektora obciążeń oraz wiersz i koumnę z macierzy sztywności układu. Jeżei przemieszczenie q r jest równe zero, to przy mnożeniu macierzowym cała koumna r będzie mnożona przez zero. Wobec tego można ją pominąć, a wiersz r będzie niepotrzebnym równaniem (zmniejsza się iczba niewiadomych). Praktycznie modyfikacja poega na wykreśeniu wiersza i koumny o numerze kierunku, wzdłuż którego jest podpora. Ustamy zatem, które przemieszczenia możemy uznać za zerowe, które możemy pominąć ze wzgędu na redukcję statyczną, a których pominąć nie naeży. Ułatwi to nam tabea 6.7, w której podano kika przykładowych zamocowań prętów. Tabea 6.7. ierunki i wartości przemieszczeń w węzłach Schemat podparcia węzła Wartości przemieszczeń Schemat podparcia węzła Wartości przemieszczeń q q = q q = 1 = q q q 4 q 4 q red. stat. R 3 = red. stat. R 4 = q = 3 q = q red. stat. R 3 = q q 4 3 q q 1 q q 4 red. stat. R 4 = q = q = Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 19 Obecność podpory sprężystej w węźe ramy uwzgędniamy nieco inaczej niż obecność sztywnych podpór. Ma ona bowiem wpływ na macierz sztywności, a nie jak było do tej pory, na wektor niewiadomych przemieszczeń. Modyfikacji dokonujemy przez dodanie parametru sztywności k podpory sprężystej do odpowiadającego numerowi jej kierunku wyrazu z przekątnej macierzy sztywności układu. k R k = k q q Rys. 6.1. Podpora sprężysta w węźe ramy W przypadku podpory sprężystej z rys. 6.1, sztywność k dodamy do wyrazu 11 w macierzy sztywności układu, ponieważ kierunek reakcji R k w sprężynie pokrywa się z kierunkiem pierwszego przemieszczenia. Zastanówmy się zatem, które przemieszczenia będą zerowe w przykładzie z rys. 6.1. Rama ma utwierdzenia w dwóch węzłach, możemy zatem napisać, że przemieszczenia w tych węzłach są równe zero: =q = =q 7 =q 8 =q 9 = Wynika z tego, że niezerowe są tyko trzy pozostałe przemieszczenia: q 4 q 5 q 6 Wyzerujmy teraz w wektorze obciążeń wiersze, a w macierzy sztywności wiersze i koumny, odpowiadające zerowym przemieszczeniom. Na przykład przemieszczenie po kierunku pierwszym jest zerowe, możemy więc wyzerować pierwszy wiersz w wektorze obciążeń, oraz pierwszy wiersz i pierwszą koumnę w macierzy sztywności układu. Jeżei nie zmieniamy wymiaru macierzy ( zerowe wiersze pozostają) to na głównej przekątnej naeży wpisać jedynki. W ten sposób mnożenie pierwszego wiersza macierzy sztywności przez wektor przemieszczeń daje warunek =. Jeśi tego nie uczynimy macierz sztywności będzie osobiwa (nie ma rozwiązań). [1 [q1 1 q 1 44 45 46 q 4 R 4 54 55 56 q 5 R 5 64 65 66 q 6 R 6 1 q 7 1 1 Jeżei do rozwiązania układu równań użyjemy programu komputerowego, nie będzie miało znaczenia, jakiego jest on wymiaru. Do obiczeń ręcznych wskazane byłoby wykreśenie wyzerowanych wierszy i koumn. Wtedy pozostaną tyko trzy równania: q 8 q 9=[ Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ [44 45 46 54 55 56 64 65 66 [q4 q 5 R 5 q 6=[R4 6 R Rozwiązaniem powyższego układu jest wektor niewiadomych przemieszczeń [q. Dysponując rzeczywistymi przemieszczeniami węzłów można okreśić wartości sił wewnętrznych. 6.8. Interpretacja wyników W metodzie przemieszczeń, uzyskane po rozwiązaniu układu równań kanonicznych, wartości przemieszczeń podstawiaiśmy do wzorów transformacyjnych. Otrzymywaiśmy w ten sposób wartości sił przekrojowych. W wersji komputerowej, siły przekrojowe na każdym z prętów ramy, uzyskamy bezpośrednio z zaeżności: N ik = R 1 T ik = R M ik = R 3 N ki = R 4 T ki = R 5 M ki = R 6 (6.18) Jak widać, wystarczy znaeźć wartości reakcji, jakie powstaną w utwierdzeniach prętów w układach okanych. Posłuży nam do tego omówione już wcześniej, równanie równowagi pojedynczego pręta w okanym układzie współrzędnych (6.3). Tym razem jednak, znamy już zarówno macierz sztywności [, jak i wektor sił przywęzłowych [ R. Znamy też przemieszczenia węzłów, ae w układzie gobanym. Pozostaje nam wyznaczyć wektor przemieszczeń węzłów [ q w układzie okanym każdego pręta. Wcześniej zajmowaiśmy się agregacją macierzy całego układu prętowego z macierzy eementowych. Teraz, z gobanego wektora przemieszczeń [q musimy wydzieić wektory dotyczące poszczegónych eementów prętowych. Aby tego dokonać, ponownie posłużymy się tabeą powiązań. Przyjmijmy zatem, że da naszej przykładowej ramy (rys. 6.1) uzyskaiśmy, po rozwiązaniu równania równowagi, wektor przemieszczeń [q: q 4 [q=[ =[Q1 Q Q 3 Q 4 9 q 5 Q 5 q 6 Q 6 Q 7 Q 8 Q Zgodnie z tabeą powiązań (tabea 6.5), eementy od pierwszego do szóstego z wektora [q, stanowią wektor przemieszczeń da pierwszego pręta [q (1), natomiast eementy od czwartego do dziewiątego, stanowią wektor przemieszczeń da drugiego pręta [q (). Wiemy to z anaizy ostatniego wiersza tabei 6.5 aokacji, który dotyczy drugiego pręta. Pokazuje on, które przemieszczenia gobane Qi odpowiadają koejnym przemieszczeniom pręta drugiego q i w gobanym układzie współrzędnych. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 Q [q =[Q1 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 [q Q 5 =[Q4 Q 6 Q 7 Q 8 Q 9 Aby uzyskać wektory przemieszczeń [ q w okanym układzie współrzędnych musimy skorzystać z prawa transformacji (6.15) wektora [q (e) z gobanego do okanego układu współrzędnych. Tak przygotowany wektor przemieszczeń podstawiamy do równania (6.3) i na podstawie związków (6.) wyznaczamy, a potem rysujemy siły wewnętrzne. 6.9. Sprawdzenie wyników ontroa wyników w komputerowej wersji metody przemieszczeń wygąda bardzo podobnie jak w kasycznej metodzie przemieszczeń. Nie ma jednak potrzeby sprawdzania symetrii macierzy sztywności pojedynczych prętów (eementowe macierze sztywności są z założenia symetryczne). Warto natomiast zwrócić uwagę czy macierz sztywności całego układu również jest symetryczna. 6.9.1. Sprawdzenie kinematyczne Sprawdzenie kinematyczne pozwaa ocenić poprawność wykresu momentów zginających. ontroę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się na równaniu pracy wirtuanej: i P i i i R k k = { j s M M P EI t t h n R n R n P ds s f m B m b m N N P t t ds s T T P GA ds } gdzie: M P, N P, T P - rzeczywiste siły wewnętrzne, Δ i P i R k k R n R n P - niewiadome przemieszczenie, - wirtuana siła jednostkowa, - reakcja wywołana siłą jednostkową, wirtuaną w podporze doznającej przemieszczenia, - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór), - reakcja wirtuana w n-tej podporze podatnej, - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej, b m - wartość błędu montażu (iniowa ub kątowa) po kierunku m, B m - siła w pręcie po kierunku wiekości obarczonej błędem. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ Przy wykonywaniu kontroi kinematycznej w metodzie przemieszczeń zwyke pomijaiśmy wpływ sił normanych i poprzecznych. Ponieważ jednak, wersja komputerowa zakłada uwzgędnienie sił normanych i rezygnację z zasady nieskracaności prętów, trzeba pamiętać o uwzgędniemiu wpływu sił normanych w kontroi kinematycznej. 6.9.. Sprawdzenie statyczne Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśi w sprawdzeniu statycznym da całego układu, obciążonego siłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (da układu zawieszonego na reakcjach podporowych), okaże się, że prawdziwe są równości: X = Y = M = Suma momentów może być zapisana wzgędem dowonego punktu układu. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., omosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater