oria Sgałów II rok Iormatki Stosowaj Studia istacjoar oria sgałów (zakrs matriału Wstęp wiadomości z aaliz ukcjoalj, przstrzi Hilbrta, oprator. Rprztacj sgałów w dzidzii czasu, rprztacj aalogow (ciągł. oria próbkowaia, rprztacj dskrt. Aaliza sgałów w dzidzii czasu. Dzidzia widmowa. Dzidzia Z. Aaliza sgałów w dzidzii widmowj oraz w dzidzii Z. Aaliza układów damiczch, iltracja. Podstawowa litratura:. omasz P. Ziliński Od torii do crowgo prztwarzaia sgałów, Wd. EAIE AGH, (potm wda w W. Jrz Szabati Podstaw torii sgałów, WKŁ, 98 i późijsz 3. Ro Bracwll Przkształci ourira i jgo zastosowaia, W 968 4. Adrzj Wojar oria sgałów, W, 988 5. B.P.Lathi oria sgałów i układów tlkomuikacjch, PW, 97 6. R.K.Ots, L. Eochso, Aaliza umrcza szrgów czasowch, W, 978 Zbiór zadań. Zdzisław PapirAaliza częstotliwościowa sgałów, Wd. AGH, 995. II rok IS
Sgał procs zmia pwj wilkości izczj lub stau obiktu izczgo w czasi lub w przstrzi. Sgał grali przkazuj jakąś iormację (tj. jst ośikim iormacji. Sgał moż bć rówiż sttzowa do clów komuikacji. Modl matmatcz sgałów : ukcj rzczwist jdo lub wilowmiarow ukcj zspolo Dstrbucj Oprowai modlami matmatczmi sgałów umożliwia ich ormalą aalizę mtodami matmatczmi w odrwaiu od izczj atur sgałów. Ułatwioa jst poadto ich jdozacza klasikacja. II rok IS 3 Prztwarzai sgałów - zastosowaia: auka (astroomia, izka, goizka, przmsł rozrwkow (audio, wido, tlkomuikacja (kodowai, mdca (rozpozawai, klasikacja obrazów mdczch, wojsko (radar, przmsł (w tm przmsł wdobwcz i prztwórcz. Aplikacj: spcjalizowa (drogi - wojsko, mdca, przmsł, szroko dostęp (tai - przmsł rozrwkow. Szbki rozwój crowgo prztwarzaia sgałów astąpił dzięki rówolgłmu rozwojowi: torii, aplikacji, sprzętu (tchologii. pow zagadiia prztwarzaia sgałów dotczą: prztwarzai jdgo sgału w clu otrzmaia drugigo (p. dmodulacja, itrprtacji sgału (p. rozpozawai mow. II rok IS 4
Klasikacj sgałów:. z względu a przwidwalość zmia sgał dtrmiistcz i losow (stochastcz. z względu a dzidzię sgał ciągł (okrślo wszstkich [ a, b] i dskrt, okrślo wbrach puktów. Poza tmi puktami sgał są iokrślo. Sgał ciągł będzim ozaczać jako ( lub (t. Sgał dskrt ozaczam jako [ ] lub jako []. II rok IS 5 3. Z względu a przciwdzidzię (zbiór wartości ukcji. Zbiór t moż bć ciągł (sgał ciągł w amplitudzi lub dskrt (albo skończo gd liczba wartości przjmowach przz ukcję jst rówa. W drugim wpadku sgał azwam skończom w amplitudzi. Obok przkład sgału ciągłgo i dskrtgo. Sgał taki azwam biarmi. Sgał dskrt w czasi powstał w wiku próbkowaia sgałów ciągłch z okrślom krokim próbkowaia. II rok IS 6
3. Z względu a czas trwaia sgału: sgał o iskończom czasi trwaia i o skończom czasi trwaia (potoczi sgał impulsow. Obok przdstawioo sgał ciągł i dskrt o iskończom i skończom czasi trwaia. Sgał impulsow to ikoiczi impuls!! II rok IS 7 Paramtr sgałów ciągłch Są to global charaktrstki liczbow sgałów użtcz w ich klasikacji. Diicj poszczgólch paramtrów różią się w zalżości od tgo cz sgał są ciągł cz dskrt. ajistotijsz z tch paramtrów to: Wartość śrdia : sgału impulsowgo okrślogo w przdzial [a,b]: b a sgału o iskończom czasi trwaia b a lim ( d ( d Wilkość graicza!! sgału okrsowgo ( d II rok IS 8
Ergia : Moc śrdia: E P lim ( d ( Moc śrdia sgału okrsowgo : P Wartość skutcza: ( sk P d d Poiważ zakładam, ż sgał są wilkościami bzwmiarowmi rgia ma wmiar to rgia ma wmiar tożsam z wmiarm -ów (czas lub długość. Moc jst wilkością bzwmiarową. Jśli to sgał azwam sgałm o ograiczoj rgii. Podobi diiujm sgał o skończoj moc. Wioski: moc sgałów o ograiczoj rgii jst rówa zru rgia sgałów o ograiczoj moc jst iskończoa sgał impulsow o ograiczoj amplitudzi ma ograiczoą rgię sgał o iograiczom czasi trwaia mogą mić ograiczoą rgię bądź moc sgał o ograiczoj amplitudzi i moc mają iskończo czas trwaia (p. sgał okrsow II rok IS 9 Kilka przkładów sgałów aalogowch Sgał (impuls prostokąt ( Π( E < > Sgał (impuls trójkąt ( Λ( 3 E < > II rok IS
Sgał (impuls Sa (od ag. samplig lub Sic siω ( Sa ω ω ω E Sgał (impuls Sa lub Sic si ω ( Sa ω ( ω E 3ω II rok IS Sgał harmoicz ( X si( ω ϕ P X < < Sgał harmoicz modulowa (radiow ( A si( ω ϕ ( < < II rok IS
ala prostokąta bipolara X P X ala prostokąta uipolara X P X X II rok IS 3 Sgał jdostkow ( ( u( P > < Sgał Sg( ( sg( P > < II rok IS 4
Rprztacj sgałów Często zamiast korzstać z bzpośrdij rprztacji ukcjj korzsta się z pwj rprztacji sgału. Przkładm ajczęścij spotkam jst rprztacja ourira (koljo rzczwista i zspoloa: ω ( a ( a cos kω b kω k k k si k ( t R z ( t k ikωω ( Y lub rprztacja zspoloa sgału: Waż! Współcziki w obu szrgach tworzą rprztację z iarg z( t ( t ( t i( t z( t ( t R z( t ( t Im z( t z ( t ( t ( t z( t arctg( ( t ( t arg Widmo amplitudow Widmo azow Wika stąd rprztacja zspoloa sgału harmoiczgo: z iωt ( t cosω t i siω t II rok IS 5. Przkład ich rprztacji to : trasormacja Laplac a, szrg Kotilikowa-Shaoa, sgał aalitcz. ostati diiujm jako: z ˆ ( t ( t iˆ ( t ( ( t t d τ t τ Ostati wzór okrśla tzw. trasormatę Hilbrta, prz czm wartość ostatij całki jst rozumiaa w ssi wartości główj Cauch go. Sgał aalitcz staowi uogólii kocpcji sgału zspologo a sgał iharmoicz. Wartość główa Cauch go moż bć okrśloa ukcji rzczwistj ( jako c b ε c vp ( d lim ( d ( d ε (rac. valur pricipal a a b ε jżli całki po prawj stroi istiją każdgo ε oraz istij graica ε II rok IS 6
Modl dtrmiistcz sgałów dskrtch (9.3 δ ukcja Diraca jst diiowaa jako obikt matmatcz o astępującch własościach: t δ ( t δ ( t t t t dt δ ( t t δ ( t δ t t ( t δ ( t t dt Okrsow ciąg impulsów Diraca (tzw. dstrbucja grzbiiowa - tzw. dstrbucja Sza: Impulsow sgał spróbkowa: ( t ( t δ ( t ( δ ( t II rok IS 7 Opis własości δ - ukcji moż bć prowadzo w oparciu o tzw. ukcj aproksmując. Są to ukcj dwóch zmich o postaci δ ( t,ε okrślo t, i ε któr spłiają waruki: ( lim δ ( t, ε t ε t ( t ε δ, dt ε δ ( t, ε δ ( t, ε ε t u ( t ε u( t ε ε δ ( t, ε ε ε ( t ε ( t ε ε t t ε t ε m samm przjmujm, ż δ - ukcja jst graicą ukcji aproksmującj δ ( t lim δ ( ε,t ε II rok IS 8
W oparciu o ukcj aproksmując moża wjaśić szrg własości δ -ukcji, p. podstawową własość orzkającą, ż rgia δ - ukcji jst skończoa. Miaowici: δ ( t dt lim δ ( t, ε dt lim δ ( t, ε ε ε dt Wkowai działań a δ - ukcji rozumim w t sposób, ż wkoujm t działaia a ukcji aproksmującj δ(t,ε a astępi obliczam graicę prz ε dążącm do zra. Własości δ - ukcji: k δ ( t dt k δ ( t dt k Możi przz stałą ( t δ ( t t ( t δ ( t t [ ( t ( t ] δ ( t t ( t δ ( t t Możi przz ukcję (t t t δ ( τ dτ ( u( t δ ( t t d dt Całkowai dstrbucji Diraca t ( t δ ( t t dt ( t δ ( t t dt ( t ( t *δ ( t ( τ δ ( t τ dτ ( t t Splot dstrbucji Diraca t t II rok IS 9 Impuls Krockra - jst o odpowidikim aalogowj (!!! δ - ukcji [ ] δ [ ] E II rok IS
Wartości śrdi sgałów impulsowch ( ( ( lim o skończom czasi trwaia o iskończom czasi trwaia okrsow Paramtr rgtcz ( ( ( sk P P P E lim rgia moc śrdia moc śrdia sgału okrsowgo wartość skutcza II rok IS Impuls Krockra [ ] [ ] E δ [ ] > Impuls prostokąt Sgał wkładicz [ ] a E a a < < Sgał Sa( [ ] [ ] θ θ θ si Sa E [ ] E 3 > Impuls trójkąt θ E Sgał skoku jdostkowgo [ ] [ ] < E II rok IS
Aaliza harmoicza sgałów Aaliza sgałów odbwa się w tzw. przstrzi Hilbrta, którj ajważijszm przkładm (do którgo ograiczm dalsz asz rozważaia jst przstrzią L ukcji całkowalch z kwadratm, tj L b a ( a, b : : ( d < Zbiór takich ukcji jak powidziao tworz przstrzń wktorową. Ilocz skalar dwóch ukcji i w tj przstrzi okrślam jako całkę z iloczu tch ukcji: b o a zaś ormę jako: ( ( d b a d ( Waża uwaga! Cz z aktu, ż o d wika ż? b a wirdzi to jst iprawdziw w przpadku, gd całka jst całką Rimaa. Jżli zaś będzim bazować a całc Lbsqu ato powższ twirdzi będzi prawdziw, jśli ukcja będzi rówa zru prawi wszędzi, to zacz poza zbiorm miar zro (miar Lbsqua. Układ ukcji { (} w przstrzią L azwam ortogoalm jśli, o ( ( d m m b a m powch przkład układu ukcji ortogoalch w przdzial jst zbiór { cos,,,... }. Jżli obliczm ilocz skalar dwóch dowolch ukcji cosmi cos m, to otrzmam ( m d [ ( m ( m ] m cos cos cos cos si m ( m si( m orma z ukcji wosi d cos d cos cos,,,... m m d Jżli każda z ukcji zbioru ortogoalgo zostai podziloa przz odpowiadającą jj ormę, to zbiór będzi zwa ortoormalm (orma każdj ukcji będzi jdostkowa. Dla powższgo przkładu zbiór ukcji ortoormalch będzi miał postać:
Szczgólmi przpadkami zbiorów ukcji ortogoalch w przstrzi L (a,b są zbior:,si,cos,si,cos,... l l l l {,si,cos,si,cos,... } ( a cos [ a, a ] a b si l l [ l,l] Załóżm, ż posługując się pirwszm zbiorm utworzliśm szrg zbiż do ukcji (, (moża zrobić aalogiczi posługując się dowolm zbiorm ukcji ortogoalch tj. Posługując się wzorm a uogólio współcziki ourira możm zalźć wzor a współcziki. Poiważ a l l ( d a ( l l l l cos d l a ( a cos b si b l l l ( si d l Użwając drugigo zbioru ukcji ortogoalch wzor przdstawiają się astępująco: Ja B. Josph ourir (768-83 a ( d a ( cos d b ( si d Przkład ( a ( d ( d ( ( cos d ( cos d K a b ( si d ( si d K Jak widać współcziki a powi bć liczo osobo Załóżm, ż mam ukcję ciągłą klas C (ciągła jst rówiż pirwsza pochoda tj ukcji. wirdzi Szrg ourira ukcji ciągłj klas C w przdzial [-l,l] którj zachodzi (-l(l jst jdostaji zbiż do ukcji ( w tm przdzial.
asuwa się ptai jak zachowuj się szrg ourira w puktach iciągłości? Zachodzi twirdzi: Jżli ukcja (jst przdziałami klas C (ciągła lub iciągła w przdzial [-l,l] to szrg ourira jst zbiż do wszstkich wartości prz czm suma szrgu S( jst rówa : S ( ( ( ( [ ( ( ] puktu ciągłości puktu iciągłości, ozaczają odpowidio graicę lwo i prawostroą. p. Dla ukcji omawiaj w ostatim przkładzi w przdzial [-, ]szrg jst zbiż w każdm pukci do wartości ukcji (zaś szrg jst zbiż do puktu /. Szrg ourira jst ukcją priodczą. Poiważ ukcja ( bła okrślaa w przdzial [-l,l] więc szrg ourira rprztuj w istoci rzcz ukcję okrsową ( rówą (w każdm z przdziałów [( l, ( l],,±, ±,... Szrg ourira w postaci zspoloj. cos p i p i l l l si p i p i l i l l a ib a ib a cos b si p i p i l l l l a c a ib c,,k a ib c ( l c i c p, ±, ±, l i d l l l p ( K Ciąg {c } współczików zspoloch azwa się widmm ukcji, ciąg { c } widmm amplitudowm a ciąg {argc } -widmm azowm.
rasormacja ourira Dzidzia częstotliwościowa staowi altratwę opisu i aaliz sgałów względm dzidzi czasowj. Zakładam ż (* L, ( ( ( u ( i u d ( ( u i u du Ia, często spotkaa postać par trasormat ourira (udowodić rówoważość obu postaci ( ω ( iω d i ω dω ( ( ω Dla sgałów o ograiczoj rgii spłiającch podstawow założi (* trasormacja ourira jst wzajmi jdozacza jśli powższ całki są całkami Labsqu a. rasormację ourira będzim ozaczać w róż sposób: ( u I[ ( ] I ( ( u jφ ( u ( u ( u [ ] ( u R ( u I ( u I ( ( u u arctg R( u ( u ( u φ Postać biguowa trasormacji ourira Widmo amplitudow Widmo azow P Widmo rgii sgału Przkład: Obliczć trasormację ourira ukcji α iω ( α iω ( α iω ( ω A d A d α ω A i α ω α ω A α iω Widmo amplitudow Widmo azow α ( A u( gdzi u( ukcja jdostkowa φ ( u A α iω A α iω α ω ( ω ( ω ( ω I arctg R u ( u ω arctg ( α A α ω
W przpadku sgałów o ograiczoj moc trasormacja ourira w ssi zwkłm i istij, gdż całka ( ω ( iω d jst rozbiża. Cit: rgia sgałów o ograiczoj moc jst iskończoa Całka zbiża tlko ukcji z przstrzi L (, : : d Przkład : w ssi zwkłm i istij trasormacja ourira ukcji (cos( X(-h,h. Dla takich sgałów diiuj się trasormację ourira w ssi graiczm. ich ( będzi sgałm, któr i ma trasormat w ssi zwkłm. worzm ciąg sgałów któr posiadają trasormatę ourira w ssi zwkłm, tj: { α ( : α R } lim ( ( α α oraz I[ ( ] ( ω Jśli są spłio powższ waruki to przjmujm, ż I ( ( i parę ukcji ω azwam parą trasormat ourira w ssi graiczm. ω α α ω α α ( ω ( ω lim Ciąg aproksmując sgał o ograiczoj moc kostruuj się możąc go przz ukcj dostatczi szbko dążąc do zra ± α α α u ( [, (, Przkład: ukcja (cos(i jst ukcją klas L(-h,h więc jj trasormata w ssi zwkłm i istij. worzm ciąg ukcji aproksmującch, tj.: α α ( α cosω oczwiści lim cosω cosω α iω α α ( ω lim α ( ω [ δ ( ω ω δ ( ω ω ] ( α iω ω α
Widmo amplitudow sgałów rzczwistch jst ukcją parzstą zaś widmo azow ukcją iparzstą: ( u ( u φ( u φ ( u Poadto dowolch sgałów zachodzi: ( ( ω * * ( ( ω * * ( ( ω Parzstość i iparzstość trasormat ourira Dowolą ukcję daą w przdzial (-h,h moża rozłożć a część parzstą E( i iparzstą O(. E O ( E( O( ( [ ( ( ] ( [ ( ( ] gdzi ( ω ( iω d ( E( O( ( ω [ E( O( ]( cosω isiω E ( cosω d i O( siω d d ukcja ( moż bć ukcją zspoloą. Moża wówczas przdstawić związki pomiędz parzstością i iparzstością ukcji w obu dzidziach astępującm diagramm: ( ( o( R ( iim( R o( iimo( ( ω E( O( R E( iime( R O( iimo( Z praktczgo puktu widzia ajważijsz są ukcj rzczwist parzst ich trasormata jst rówiż rzczwista i parzsta. Ią ważą klasą ukcji są ukcj hrmitowskitjukcj (zspolo spłiając waruk (*(-. ukcj t posiadają parzstą część rzczwistą i iparzstą zspoloą. Jak wika z diagramu ich trasormata ourira jst ukcją rzczwistą.
Własości przkształcia ourira własość. Przkształci ourira jst liiow [ ] α ( β ( α ( ω β ( ω dowód: rwial (całkowai jst opracją liiową. własość. wirdzi o podobiństwi ω [ ( α ] α α dowód: rwial (całkowai przz podstawiai. własość 3. smtrii ω dowód: tż trwial ( ( ( ( ω własość 4. Przsuięci w dzidzii czasu (przsuięci przstrz [ α ] i ( ω α ( ω dowód: tż trwial al I t α iω iω( t α iωt iωα iωα [ ( α ] ( α d ( t dt ( t dt ( ω własość 5. Przsuięci w dzidzii częstotliwości dowód: d acto dowód idtcz jak poprzdij własości. własość 6. wirdzi o modulacji ( cos α ( ω α ( ω α dowód: iα [ ( ] ( ω α [ ] [ ] iα iα ( cosα I iα iω [ ( cosα] ( d ( iα iω i( ω α i( ω α ( d ( d [ ( ω α ( ω α ] d A il wosi [ ( siα ]?
wirdzi o modulacji własość 7. O pochodj w dzidzii czasu Jżli : -sgał s(t i jgo kolj pochod aż do rzędu - są ciągł, - pochoda rzędu istij prawi wszędzi, -sgał i wszstki jgo pochod aż do rzędu posiadają trasormat ourira, czli dostatczi szbko dążą do zra t ±to zachodzi: ( [ ( ] ( iω ( ω dowód: d d ( stąd: d d d d ( ω ( ω { ( ω( iω } ( d d d d iω iω ( iω ( ω i ( ω ω dω dω dω iω dω
własość 8. O całkowaiu w dzidzii czasu Jśli ukcja ( spłia astępując waruk: warukowi ograiczoości wrażia ( ω ω ω lim ( t dt to zachodzi: co jst rówoważ ( t dt ( ω iω Dowód: ϕ dϕ ( ( ( t dt ( jsli ( Φ( ω to ( iωφ( ω ( ( ω wic ( ω iωφ( ω ϕ al czli Φ iω d iω ( ω ( ω lub ( t dt ( ω własość 9. widmo splotu dwóch sgałów [ ] ( g( ( ω G( ω dowód: I [ ( g( ] ( t G ( t g( t dt iω iωt iωt ( ω dt G( ω ( t dt G( ω ( ω d ( t g( t iω d dt a podstawi twirdzia o wzajmości moża wioskować, ż zachodzi astępując twirdzi: [ ( g( ] [ ( ω G( ω ] własość. widmo ukcji korlacji dwóch sgałów ( ( t g *( t dt ( ω G ( ω ϕ * g Dowód: wstarcz podstawić do dowodu twirdzia o sploci za g ukcję g *( t
własość. wirdzi o wzajmości Raligha ( g *( d ( ω G *( ω dω dowód: ( g *( d iω ( ω dω g *( d iω ( ω ω ( ω ( ω ω g *( d d G d * a podstawi twirdzia o wzajmości moża wioskować, ż zachodzi astępując twirdzi: własość. wirdzi Parsvala ( d ( ω dω dowód: wika wprost z poprzdigo twirdzia. Zstawii wzorów i twirdzń r Własość Wzór Przkształci ourira jst liiow wirdzi o podobiństwi 3 wirdzi o przsuięciu I 4 wirdzi o przsuięciu II 5 wirdzi o przsuięciu trasormat (o modulacji 6 wirdzi o różiczkowaiu 7 wirdzi o różiczkowaiu trasormat 8 wirdzi o całkowaiu 9 wirdzi Parsvala wirdzi o wzajmości Raligha wirdzi o sploci [ ] α ( β ( α ( ω β ( ω ω [ ( α ] α α [ α ] i ( ω α ( ω iα [ ( ] ( ω α [ ( cos α ] [ ( ω α ( ω α ] [ ( ] ( iω ( ω [ ] ( ( i ( ( ω ( t dt ( ω iω ( d ( ω dω ( g( d ( ω G( ω dω [ ] ( g( ( ω G( ω
Przdstawim obci związk trasormacji ourira z szrgami ourira. Rozpoczam od rozwiięcia dstrbucji sza w szrg ourira (jst to ukcja okrsowa. δ Obliczm jszcz trasormację ourira ukcji sza. iω ( δ ( c Współcziki rozwiięcia są rów: c iω ( d δ ( gdzi iω ω l ω i ω iω i δ ( d więc δ ( c ich ( będzi sgałm impulsowm okrślom w przdzial (-/,/, zaś(ω jgo widmm. Ozaczm jako (przdłużi okrsow sgału (. Sgał (możm zapisać w postaci: δ iω iω d ( ( δ ( ( δ iω d ( ω ω ω δ ( ω ω iω d a podstawi twirdzia o sploci możm więc otrzmać: ( ( δ ( ( ω ( ω ω δ ( ω czli ω ( ω ( ω ( ω δ ( ω ω δ ozaczając ( ω ( ω ω oraz z uwagi a to, ż widmo sgału okrsowgo ma postać: iω ( ω δ ( ω ω ( otrzmujm ( ( ω i ω pamiętaj δ ( i ω ω ω Wiosk: współcziki rozwiięcia sgału okrsowgo w zspolo szrg ourira są okrślo przz wartości widma środkowgo lmtu tgo sgału w puktach ω.
Kilka podstawowch trasormat ourira Cd. podstawowch trasormat ourira