Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8

Transkrypt

1 Teoria Synałów rok nformatyki Stosowanej Wykład 8 Analiza częstotliwościowa dyskretnych synałów cyfrowych okna widmowe (cd poprzednieo wykładu) N = 52; T =.24; %czas trwania synału w sekundach dt = T/N; %próbkowanie w dziedzinie czasu [s] f = ; % częstotliwość pierwszeo synału [Hz] f2 = 25; % częstotliwość druieo synału [Hz]

2 Poniższe okna mają listki boczne znacznie mniejsze iż listki okna prostokątneo ale listek łówny mają również szerszy. Jednoczesna minimalizacja amplitudy listków bocznych i zwężania listka łówneo nie jest niestety możliwa.

3 Analiza częstotliwościowa dyskretnych synałów cyfrowych okna widmowe (cd poprzednieo wykładu) Podstawowe funkcje okien nieparametrycznych, ich widma amplitudowe i parametry. Przeciek widma bocznych (-3dB) 9.2% A sl = -3.2dB ml = Parametry A sl i ml decydują o rozdzielczości analizy częstotliwościowej. Okno trójkątne Przeciek widma =.28% bocznych = -26.6dB (-3dB) =.3963 Okno Bartletta Przeciek widma =.28% bocznych = -26.5dB (-3dB) =.3963

4 Okno Hannina Przeciek widma =.3% bocznych = -35.9dB (-3dB) = Okno Hanna Przeciek widma =.5% bocznych = -3.5dB (-3dB) = Okno Hammina Przeciek widma =.3% bocznych = -42.5dB (-3dB) =.3963 Okno Blackmana Przeciek widma =.% bocznych = -58.dB (-3dB) =.578

5 Okna parametryczne: -Czebyszewa (Dolpha-Czebyszewa) jest wynikiem optymalizacji, w której minimalizowano szerokość listka łówneo przy oraniczeniu wysokości maksymalnej listka boczneo, przy stałej dłuości synału. M wc + N γ k= γ =. A= 2lo = 4dB ( m ( M + ) ) = C + 2 T β cos cos M m M M = ( N ) ( γ ) β = cosh arccosh N- γ (( N-) arccos( ) ) (( N-) arccosh( ) ) πk 2πkm N N γ =. A= 6dB cos TN ( ) = cosh > C stała dobierana tak by środkowa próbka okna była =. / 2 Listek łówny widma najwęższy spośród okien o jednakowej dłuości. Eneria w paśmie przepustowym mała a w zaporowym duża. Listek łówny ma małą enerię i jest cienki. Okno Czebyszewa Przeciek widma =.% bocznych = -db (-3dB) = Okno Czebyszewa Przeciek widma =.2% bocznych = -5dB (-3dB) =.3963 Okno Czebyszewa Przeciek widma =.% bocznych = -db (-3dB) =.5664 Okno Czebyszewa Przeciek widma =.% bocznych = -2dB (-3dB) =.7825

6 -Okno Kaisera jest wynikiem optymalizacji, w której minimalizowano przy stałym procentowo udziale enerii listków bocznych w całkowitej enerii widma, przy stałej dłuości synału. w K ( m) ( ) n β = = + k= ( 2) k! ( N ) ( N ) ( β) 2 Okno Kaisera β=6 Przeciek widma =.% bocznych = -22dB (-3dB) =.6646 k m N ( β) Funkcja Bessela rzędu zeroweo Okno Kaisera β=8 Przeciek widma =.% bocznych = -58.3dB (-3dB) = Powiązanie parametrów β i N z parametrami analizy częstotliwościowej A sl i ml β =.7669 N = [ K], K =.4 ( Asl 3.26 ) ( Asl 3.26 ).2438( Asl + 6.3) 24π ( A + 2) sl 55 ml + dla dla 3.26dB < A < 6dB dla A < 3.26dB sl 6dB< A < 2dB sl sl Sekwencja częstotliwościoweo przetwarzania synałów Celem procesu jest obliczenie widma synału ciąłeo na podstawie skończonej ilości próbek synału. (t) LP (t) Filtracja LP (P&P) A/C [n] w [n] DFT X w [k] w[n]. Filtracja dolnoprzepustowa użycie filtru antyaliasinoweo ( LP ) ( LP ( t) ( ) ( ) ) = τ h t τ dτ, X ( ω) = X( ω) H( ω) Ponieważ filtr h(τ) nie jest filtrem idealnym synały (t) i LP (t) w paśmie przepustowym różnią się od siebie. 2. Dyskretyzacja w czasie, kwantyzacja i kodowanie przez układ próbkowania z podtrzymywaniem (P&P) i przetwornik A/C. 3. Wymnożenie synału przez funkcję okna w π iω iθ i( Ω Θ) [ n] = [ n] w[ n] < n < X w( e ) = X ( e ) W ( e ) 2π π e iθm dθ 3. Obliczenie dyskretnej transformacji Fouriera (czyli spróbkowanie widma ciąłeo w punktach Ω k =k2πk/n: X w jω ( k) X ( e ) X ( k) = DFT [ n] N = Ω w w k = i kn N ( ) = [ n] e k =,,2, K, N n w 2π

7 Przykład analizy częstotliwościowej w celu detekcji słabeo synału harmoniczneo. Rozważmy dwie sinusoidy o następujących parametrach: A = f =Hz A 2 =. f 2 =2Hz W skali decybelowej różnica pomiędzy synałami wynosi 6dB. Okno prostokątne Okno Bartletta (trójkątne)

8 Okno Hannina Okno Hammina Okno Blackmana Okno Kaisera modelujemy je tak by A sl =8dB zaś ml =.4.

9 Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji: Funkcja autokorelacji ( t) = ϕ ( t) = ( τ ) ( τ t) dτ ϕ Podstawowe własności ϕ ( t) = ϕ ( t) Dla funkcji rzeczywistych ϕ ( t) = ϕ ( t) ( τ ) ϕ () = dτ ϕ ( τ ) ϕ () 2 Jeśli dla pewneo t ϕ ( t ) = to synały (t) i (t-t ) są ortoonalne. Definicja widma enerii synału kwadrat widma amplitudoweo: Φ 2 ( ω) = ( ω) X( ω) 2 A = Widmo enerii synału i funkcja autokorelacji synału tworzą parę transformat Fouriera: ϕ Φ Dowód: 2π iωτ iωτ ( ω) = ϕ( τ ) e dτ ϕ( τ ) = Φ( ω) e dω ωτ ( τ ) = i ( t) ( t τ ) dt = X( ω) X ( ω) e dω = X( ω) 2π 2π iωτ [ ( τ t) ] = X( ω) e dyż Tw. Rayleiha 2 e iωτ dω Enerię synału można obliczyć: w dziedzinie czasu, jako całkę z kwadratu modułu synału, w dziedzinie korelacyjnej, jako ϕ (), w dziedzinie częstotliwości, jako całkę z widma enerii podzieloną przez 2π. E = ϕ 2π π ( ) = Φ( ω) dω = Φ( ω) dω

10 Π Związki między synałem i jeo charakterystykami w dziedzinie częstotliwości i dziedzinie korelacyjnej ilustruje prosty diaram. Strzałki podwójne oznaczają na nim związki wzajemnie jednoznaczne, tj. jednoznaczne przejścia od jednej do druiej wielkości, natomiast strzałki pojedyncze oznaczają przejście tylko w jedną stronę. ( τ ) ( τ t) dτ (t) ϕ (t) X(ω) Φ (ω) X ( ω) 2 Funkcja autokorelacji synału stanowi jedynie częściowy opis synału. Znając te funkcję możemy odtworzyć widmo amplitudowe synału, tracimy jednak informację o widmie fazowym. Efektywny czas korelacji. tef ϕ = ϕ ( t) dt ( ) Zasada nieoznaczoności tef ω ef = const Efektywna szerokość widma Podana definicja efektywneo czasu korelacji ma sens dla przypadku synałów, których funkcja autokorelacji maleje monotonicznie. Dla synałów o funkcji autokorelacji dążącej do zera oscylacyjnie można wprowadzić inne miary czasu korelacji. Zasada nieoznaczoności pozostaje w mocy bez wzlędu na sposób definiowania efektywneo czasu korelacji i efektywnej szerokości widma. ω ef = Φ Φ ( ω) ma dω

11 Dla synałów o oraniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości raniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą psi). Właściwości funkcji autokorelacji synałów o oraniczonej mocy są podobne jak w przypadku synałów o oraniczonej enerii. ψ ( t) = lim T ( τ ) 2T T T ( τ t) dτ Dla synału okresoweo definicja jest następująca: ψ t + T ( t) = ( τ ) ( τ t) dτ T t Wartość funkcji autokorelacji ψ (t) synału o oraniczonej mocy w punkcie t= jest rzeczywista i równa jeo mocy. Funkcja autokorelacji ψ (t) przybiera maksymalną co do modułu wartość dla t=. Brak korelacji czasowej synałów oznacza ich ortoonalność. Funkcja autokorelacji synału o oraniczonej mocy posiada transformatę Fouriera w sensie ranicznym. Funkcja autokorelacji ψ (t) jest niezmiennicza wzlędem przesunięcia, tj. ψ (t)=ψ (t+t ) dla dowolneo t. Funkcja autokorelacji synału okresoweo jest również okresowa o tym samym okresie. Funkcja autokorelacji synału harmoniczneo jest funkcją kosinusoidalną o tym samym okresie co okres synału harmoniczneo i nie zależy od jeo fazy początkowej. Przykład ten świadczy dobitnie o tym, że funkcja autokorelacji nie zawiera informacji o fazie synału.

12 Π