LABORATORIUM SYMSE Układy liniowe

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "LABORATORIUM SYMSE Układy liniowe"

Zbigniew Kubicki
6 lat temu
Przeglądów:

1 Tomasz Czarck, Warszawa, 2017 LABORATORIUM SYMSE Układy low Dyskrt systmy low, zm względm przsuęca Wśród systmów prztwarzaa sygałów ważą rolę odgrywają systmy low, zm względm przsuęca. Dcyduj o tym ch względa prostota oraz fakt, ż okazują sę często dogodym modlm, opsującym użytcz praktycz prztworza sygałów. Ćwcz jst pośwęco przdstawu właścwośc oraz mtod opsu dyskrtych systmów lowych (fltrów) zmych względm przsuęca. Dyskrty systm prztwarzaa, który będzmy azywać krótko systmm prztwarzaa, jst przkształcm T[.], jakmu poddaj sę dyskrty sygał wjścowy {x }, zway sygałm prztwarzaym, prowadząc do wytworza sygału wyjścowgo {y }, azyway sygałm prztworzoym. Rys.1. Przkształc odwzorowując cąg wjścowy {x } w cąg wyjścowy {y } {y } = T[{x }] 1 Załóżmy, ż systm prztwarzaa T{.}, pobudzay a wjścu sygałm {x 1 } lub {x 2 }, wytwarza a swym wyjścu odpowdo sygały {y 1 } lub {y 2 }. {y 1 } = T[{x 1 }] {y 2 } = T[{x 2 }] 2 Dfcja 1 Systm prztwarzaa jst azyway systmm lowym jśl pobudzoy sygałm a{x 1 }+ b{x 2 } wytwarza a wyjścu sygał a{y 1 }+ b{y 2 } (Rys.2). Dyskrty systm lowy moż być opsay lowym rówam różcowym o stałych współczykach, wążącym z sobą cąg sygału wjścowgo {x } wyjścowgo{y }.

2 M y = a x + N b y k k k k = 0 k=1 3 Wśród klasy systmów lowych wyróża sę systmy zm względm przsuęca. W przypadku, gdy wskaźk dtyfkuj sę z czasm, systmy t charaktryzują sę zmoścą właścwośc w czas Rys. 2. Odpowdź systmu lowgo a pobudz - suprpozycja. 2

3 Dfcja 2 Systm ragujący sygałm {y } a pobudz {x } jst zmy względm przsuęca jśl, pobudzoy sygałm {x -0 }, wytwarza a wyjścu sygał {y -0 } (Rys.3). W systmach lowych zmych względm przsuęca zwązk mędzy sygałm wjścowym {x } wyjścowym {y } przyjmuj astępującą postać y {y } = {x }*{h } = xkhk = hk xk 4 k= k= Rys. 3. Odpowdź systmu a pobudz - zmość względm przsuęca. gdz cąg {h }, zway odpowdzą mpulsową, jst rakcją systmu a pobudz sygałm jdostkowym {d } 3

4 d 0; = 1; = Rys. 4. Sygał jdostkowy Systm prztwarzaa jst systmm przyczyowym jśl jgo odpowdź mpulsowa jst cągm przyczyowym, a węc jśl h = 0 dla < 0. Systm prztwarzaa jst stably jśl sygał wjścowy {x } o ograczoym co wartośc bzwzględj lmtach wywołuj powsta a jgo wyjścu sygału wyjścowgo {y }, którgo lmty mają rówż ograczo wartośc bzwzględ x < M y N 6 < Aby systm lowy był stably w tym ss jgo odpowdź mpulsowa powa być bzwzględ sumowala h < S 7 = Przkształc Fourra pozwala przyporządkować fukcjom czasu, spłającym okrślo waruk, odpowd fukcj zmj, zwa trasformatam Fourra. W przypadku cągu {f } przkształc Fourra przyporządkowuj mu fukcję F( j ) w postac: F( j ) = = f j 8 Borąc to pod uwagę, moża przyjąć zalżośc (4) rówoważy zwązk Y( j ) = X( j ) H( j ) 9 gdz 4

5 X ( Y ( j j ) = ) = = = x y j j 10 H ( j ) = = h j Zakłada sę oczywśc, ż wszystk trasformaty (8) stją, ż wszystk sumy w (8) są skończo. Nasuwa sę zatm oczywsty wosk, ż właścwośc systmów lowych zmych względm przsuęca mogą być opsywa za pomocą ch odpowdz mpulsowych {h } lub jdozacz przyporządkowywaych m trasformat H( j ), azywaych trasmtacjam systmu. Trasmtacja systmu jst fukcją przyjmującą wartośc zspolo jst z rguły przdstawaa za pomocą dwóch rówoważych jj fukcj A( j ) F( j ) o wartoścach rzczywstych H ( j j j jφ( ) ) = A( ) 11 Fukcj A( j ) F( j ) są azywa odpowdo charaktrystyką ampltudową fazową systmu. 5

6 Rys. 5. Przykładow charaktrystyk częstotlwoścow (okrsow) systmu doloprzpustowgo, pasmowgo góroprzpustowgo. Trasmtacja, jako fukcja okrsowj fukcj j, jst okrsową fukcją pulsacj kołowj z okrsm 2π. W koskwcj, rówż charaktrystyk częstotlwoścow A( j ) F( j ) są okrsow. Pojęc doloprzpustowośc, góroprzpustowośc pasmowośc systmów wąż sę z pokazaym a rysuku 5 charaktrystykam częstotlwoścowym. 6

7 7 W przypadku systmów lowych zmych względm przsuęca trasmtacja (9) przyjmuj postać fukcj wymrj ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) b N z M b N b b z M z z j H = = Π Π = = ) ( 12 Rozmszcz puktów osoblwych (zr z bguów b ) trasmtacj (10) a płaszczyź z pozwala z dokładoścą do samgo współczyka okrślć jj postać. Jśl odpowdź mpulsowa systmu {h } jst cągm przyczyowym, a systm jst stably, to wszystk pukty osoblw zajdują sę wwątrz okręgu jdostkowgo z =1. Rys. 6.

8 Odpowdź mpulsowa systmu jst rzczywsta jdy w przypadku, gdy bguy jgo trasmtacj H( j ) zajduj sę a os rzczywstj lub są param sprzężo. Wtym przypadku zachodzą zawsz astępując zwązk H ( A( Φ ( ) = H ( j * j ) = A( j j ) = Φ( j j ) ) ) 13 Projktowa systmów lowych (w szczgólośc fltrów lowych) polga w ogólym przypadku a pożądaym ukształtowau jgo charaktrystyk częstotlwoścowych. Rys. 7. Płaszczyza z, koło jdostkow, bguy sprzężo rzczywst (x), zra (o) Są o okrśla za pomocą: - pasm przpustowych zaporowych - dopuszczalych zma wartośc charaktrystyk w tych pasmach - strf przjścowych mędzy sąsadującym z sobą pasmm przpustowym zaporowym Procs projktowaa moża grafcz ztrprtować wymagam, aby charaktrystyka ampltudowa mścła sę wwątrz pwj strfy, pokazaj przykładowa a rysuku 8. 8

9 Rys. 8. Procs projktowaa fltru Kształtowa to moż być ralzowa przz okrśl lczby puktów osoblwych trasmtacj oraz ch rozmszcza a płaszczyź z. Bardzo często projktowa systmów prztwarzaa moża sprowadzć do projktowaa dwóch lub węcj prostych systmów, któr współdzląc z sobą, jaką wypłać ma systm projktoway. Rys.9. Układ o takch samych odpowdzach Idę przdstawoą a rysuku 9 moża wykorzystać przkształcając trasmtację H( j ) do postac sumacyjj lub loczyowj, wyrażoj przz sumy lub loczyy prostych składków lub czyków. H ( ) = H ( ) j j j j H ( ) = ( H ( ) 14 Fukcj wymr, których postać przyjmują trasmtację systmów lowych zmych względm przsuęca; mogą być, po zaczych modyfkacjach, 9

10 traktowa jak trasmtacj loczyow a po rozłożu a ułamk prost jak trasmtacj sumacyj. Podjśc to jst wykorzystywa przy poszukwau tak zwaych kaoczych postac trasmtacj. 10

11 Clm ćwcza jst bada zwązków zachodzących mędzy postacam odpowdz mpulsowj trasmsj systmu lowgo zmgo względm przsuęca bada ch wpływu a właścwośc systmu. Wykorzystując środowsko Matlab: 1. Dla ustalogo sygału wjścowgo, w zalżośc od położa bguów a płaszczyź Z, jak zma sę odpowdź mpulsowa. Rozpatrzyć przypadk: a. bguy położo a os rzczywstj, b. bguy sprzężo, c. bguy położo a kol jdostkowym, d. bguy położo blżj lub dalj od środka układu współrzędych,. bguy położo poza kołm jdostkowym, f. w jakch przypadkach odpowdź jst wykładczo rosąca lub maljąca, a kdy oscylacyjo rosąca, maljąca lub stała. 2. Zbadać jak zma sę charaktrystyka trasmtacj (ampltudy fazy) w zalżośc od rozkładu bguów zr a płaszczyź Z. Badaa przprowadzć dla przypadków: a. sygał wykładczy h() = -a, przy różych paramtrach a, b. sygał oscylacyjo-gasący h() = -a cos(), przy różych paramtrach a. 11

12 Ltratura 1. Ophm A., Schafr R.: Cyfrow prztwarza sygałów WKŁ, Warszawa S. Hayk: Systmy Tlkomukacyj Tom 1 2, WKŁ, Warszawa

Podobne dokumenty

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α ora Sygałów rok Gozyk rok ormatyk Stosowaj Wykład 4 Własośc przkształca ourra własość. Przkształc ourra jst low [ β g ] βg dowód: rywaly całkowa jst opracją lową. własość. wrdz o podobństw [ ] dowód :