Układy z regulatorami P, PI oraz PID

Transkrypt

1 Układy z regulatorami P, PI oraz PID Sterowanie Procesami Ciągłymi 2016

2 Układ automatycznej regulacji y0( t) + _ ε () t ut () K R (s) yt () KO () s yt () y 0 (t) = 1(t)

3 Postulaty, kryteria oceny jakości regulacji stabilność wartość uchybu w stanie ustalonym ε ust = lim t ε(t) czas regulacji czas po którym zagwarantowane jest zredukowanie uchybu do 5% wartości początkowej t r : ε(t) ε ust δ, t t r, δ = 5% ε(0) ε ust, całka kwadratu uchybu Q = 0 ε 2 (t)dt

4 Postulaty, kryteria oceny jakości regulacji przeregulowanie κ = ε 2 ε %

5 Postulaty, kryteria oceny jakości regulacji szybkość regulacji rząd (numer) pierwszej niezerowej pochodnej λ UAR (t) na starcie, tzn. dla t = 0 zapas amplitudy i zapas fazy

6 Regulacja typu P Uchyb w stanie ustalonym K R (s) = k p K otw (s) = k p K O (s) = k p L O (s) M O (s) E (s) = 1 s K E (s) ε ust = lim t ε(t) = lim s 0 se (s) = np. K O (s) = 1 s + 1 K E (s) = K otw (s) k p K 0 (0) = 0 ε ust = k p

7 Regulacja typu P Oscylacje, kwestia stabilnośći, linie pierwiastkowe Przykład K O (s) = 1 (s + 1) 3, K otw (s) = k p (s + 1) 3, K UAR (s) = k p (s + 1) 3 + k p

8 Regulacja typu P Szybkość regulacji K 0 (s) = b ls l b 0 a m s m a 0 p = m l 0 b K otw (s) = l s l b 0 k p a m s m a 0 k p (b K UAR (s) = l s l b 0 ) a m s m a 0 + k p (b l s l b 0 ) lim t 0 λ(i) UAR (t) = lim s s si 1 s K UAR (s) Przykłady K O (s) = K O (s) = = 0, dla i = 0, 1,..., p 1 = 0, dla i = p 1 λ UAR (0) = 0, λ UAR (0) = 0 s (s + 1) 2 λ UAR (0) = 0, λ UAR (0) = 0, λ UAR (0) =

9 Regulacja typu I Uchyb w stanie ustalonym K R (s) = k i s K otw (s) = k i s K O (s) = k i s E (s) = 1 s K E (s) L O (s) M O (s) ε ust = lim t ε(t) = lim s 0 se (s) = K E (s) = k i s K 0(0) = K otw (s)

10 Regulacja typu I Szybkość regulacji K 0 (s) = b ls l b 0 a m s m p = m l a 0 K otw (s) = k i b l s l b 0 s a m s m a 0 k i (b K UAR (s) = l s l b 0 ) s (a m s m a 0 ) + k i (b l s l b 0 ) lim t 0 λ(i) UAR (t) = lim s s si 1 s K UAR (s) = 0, dla i = 0, 1,..., p = 0, dla i = p + 1 Przykład K O (s) = 1 s + 1 λ UAR (0) = 0, λ UAR (0) = 0, λ UAR (0) = 0

11 Regulacja typu I Przykład. Analityczna analiza wpływu wartości nastawy na kryterium całkowe a K O (s) = s + b, a, b > 0 K R (s) = k i s K otw (s) = k i a 1 (s + b) s K E (s) = = s s + b 1 + K otw (s) s 2 + bs + k i a s + b E (s) = s 2 + bs + k i a Q(k i ) = ε 2 (t)dt = k i a + b 2 0 2k i ab Q(k i ) = 2k i a 2 ( b 2ab ki a + b 2) k i (2k i ab) 2 = 2ab3 (2k i ab) 2 k i

12 Regulacja typu PI Uchyb w stanie ustalonym K R (s) = k p + k i s = k ps + k i s K otw (s) = k ps + k i s K E (s) = K otw (s) E (s) = 1 s K E (s) K O (s) = k ps + k i s ε ust = lim t ε(t) = lim s 0 se (s) = L O (s) M O (s) s s + (k p s + k i ) K 0 (0) = 0

13 Regulacja typu PI Szybkość regulacji K 0 (s) = b ls l b 0 a m s m p = m l a 0 K otw (s) = k ps + k i b l s l b 0 s a m s m a 0 (k p s + k i ) (b K UAR (s) = l s l b 0 ) s (a m s m a 0 ) + (k p s + k i ) (b l s l b 0 ) lim t 0 λ(i) UAR (t) = lim s s si 1 s K UAR (s) = 0, dla i = 0, 1,..., p 1 = 0, dla i = p

14 Regulacja typu PID Szybkość regulacji K R (s) = k p + k i s + k d s = k d s 2 + k p s + k i s K otw (s) = k d s 2 + k p s + k i b l s l b 0 s a m s m a ( 0 kd s 2 ) + k p s + k i (bl s l b 0 ) K UAR (s) = s (a m s m a 0 ) + (k d s 2 + k p s + k i ) (b l s l b 0 ) lim t 0 λ(i) UAR (t) = lim s s si 1 s K UAR (s) = 0, dla i = 0, 1,..., p 2 = 0, dla i = p 1

15 Podsumowanie ε ust... λ (p 1) (0) λ (p) (0) λ (p+1) (0) P = 0 0 = 0 I = 0 PI 0 0 = 0 PID 0 = 0

16 Pierwsza metoda Zieglera-Nicolsa Aproksymacja obiektu stabilnego Uwaga! Nie znamy K O (s), dokonujemy aproksymacji K (1) approx (s) = ke sτ T Z s + 1

17 Pierwsza metoda Zieglera-Nicolsa Aproksymacja obiektu całkującego K (2) approx (s) = ke sτ s

18 Pierwsza metoda Zieglera-Nicolsa Rekomendowane ustawienia Typ regulatora k p 1 k i k d P 1/a PI 0, 9/a 3τ PID 1, 2/a 2τ τ/2 Żuchowski A., Metoda doboru nastaw regulatora PID uwzgledniaj aca postulowany zapas stabilno sci modułu i fazy, Pomiary Automatyka Kontrola, str , Nr 1/2004.

19 Druga metoda Zieglera-Nicolsa Możliwa do zastosowania dla obiektów stabilnych wyższych rzędów Nie trzeba aproksymować Doprowadzamy UAR z regulatorem typu P do granicy stabilność (zwiększając k p ) Typ regulatora k p T i T d P 0, 5k P,kryt 0 PI 0, 45k P,kryt T osc /1, 2 0 PID 0, 6k P,kryt T osc /2 T osc /8

20 Metoda funkcji opisującej Przyblizona analiza układów z elementami nieliniowymi y(t) = a 0 + u(t) = A sin ωt k=0 (b k sin kωt + c k cos kωt), pierwsze harmoniczne y 1 (t) = b 1 sin ωt + c 1 cos ωt y(t) funkcja opisująca (transmitancja przybliżająca) J(s) = Y 1(s) U(s) = b 1 + jc 1. A

21 Przykładowe elementy nieliniowe Charakterystyka f (x) max {kx, B} { B, dla x 0 B, dla x < 0 0, dla x < a B, dla x a B, dla x < a Funkcja opisująca dla x(t) = A sin ωt ( ( J(A) = 2k π arcsin B Ak + B Ak 1 ( ) B 2 ) 1 ) 2 Ak J(A) = 4B πa ( J(A) = 4B πa 1 ( ) ) 1 a 2 2 A

22 Nadążność UAR y 0 (t) = A 0 + A 1 t + A 2 t A r t r K otw (s) = L otw(s) M otw (s) = L otw(s) s h N otw (s), lim t ε(t) = 0, gdy h > r lim t ε(t) = ε ust = 0, gdy h = r lim t ε(t) =, gdy h < r h rząd astatyzmu

23 Regulacja dyskretna

24 Realizacja regulatora PID w MATLAB

25 Realizacja regulatora PID w MATLAB Uwaga! K par PID (s) = k p + k i s + k d Ns s + N = k p + k i s + k d ( KPID ideal (s) = k p 1 + k i s + k Ns d s + N ) 1 1 N s + 1s

26 Sterowanie dyskretne układem z czasem ciągłym Ingerujemy w sterowanie jedynie w dyskretnych chwilach czasu t = 0, T, 2T, 3T,..., nt,... t = nt, n = 0, 1, 2... Okres dyskretyzacji (próbkowania) T jest z góry określony (znany) Nie mylić dyskretyzacji z kwantyzacją!!! Dwie koncepcje: x(nt ) R sterowanie impulsowe: w chwilach 0, T, 2T,... generujemy odpowiednio zmodulowane impulsy Diraca, a pomiędzy tymi chwilami sterowanie jest zerowe sterowanie odcinkami stałe: wartość sterowania u(nt ) obowiązuje aż do chwili t = (n + 1)T

27 Impulsator jeżeli wejściem impulsatora jest u(t) to jego wyjściem jest u (t) = u(nt )δ(t nt ) n=0 u (t) jest ciągiem modulowanych impulsów Diraca: u(0)δ(t), u(t )δ(t T ), u(2t )δ(t 2T ),...

28 Ekstrapolator jego wejściem jest ciąg impulsów Diraca u (t), a wyjściem funkcja u(t) odcinkami stała u(t) = u(nt ), dla t [nt, (n + 1)T ) U(s) = 1 s u(t) = u(nt ) [1(t nt ) 1(t (n + 1)T )] n=0 u(nt ) [e ] nst e (n+1)st = 1 e st n=0 s a ponieważ n=0 u(nt )e nst = U (s), to U(s) = 1 e st s U (s) u(nt )e nst n=0

29 Obiekt ciągły z dwoma impulsatorami synchronicznymi U() s U * () s Ks () Y() s Y * () s Oznaczmy y (t) = y(nt )δ(t nt ) n=0 u n = u(nt ) y n = y(nt ) Wyznaczamy transmitancję systemu (dyskretnego), który przekształca ciąg {u n } w ciąg {y n } y(t) = Y (s) = K (s)u (s), y(t) = t 0 k(t τ)u (τ)dτ n nt n u(it ) k(nt τ)δ(τ it )dτ = k ((n i)t ) u(it ) i=0 0 i=0

30 Obiekt ciągły z dwoma impulsatorami synchronicznymi System dyskretny ma zatem odpowiedź impulsową k n = k(nt ) i odpowiednio transmitancję dyskretną K (z) = Z {k(nt )} Schemat postępowania K (s) k(t) k(nt ) Z {k(nt )} = K (z)

31 Obiekt ciągły sterowany przez impulsator z ekstrapolatorem U() s U * () s E U() s Ks () Y() s Y * () s Y (s) = K (s)u(s) = H(s)U (s), gdzie H(s) = 1 e st K (s) s { } { } 1 1 L 1 {H(s)} = L 1 s K (s) L 1 s K (s)e st = λ(t) λ(t T ) po zastosowaniu reguły o splocie można pokazać, że y n = n (λ n i λ n 1 i ) u i i=0

32 Obiekt ciągły sterowany przez impulsator z ekstrapolatorem Odpowiadający system dyskretny ma zatem transmitancję K (z) = Z(λ n λ n 1 ) = Z(λ n ) z 1 Z(λ n ) = z 1 Z {λ(nt )} z Schemat postępowania 1 s z 1 K (s) λ(t) λ(nt ) Z {λ(nt )} = K (z) z

33 Przykład Wzmacniacz K (s) = c k(t) = cδ(t) k(nt ) = cδ(nt ) K (z) = cz {δ(nt )} = c λ(t) = c1(t) λ(nt ) = c K (z) = z 1 z cz {1 n } = c z 1 z z z 1 = c

34 Przykład Element całkujący K (s) = 1 s k(t) = 1(t) k(nt ) = 1 n K (z) = Z {1 n } = z z 1 λ(t) = t λ(nt ) = nt K (z) = z 1 z T Z {n} = z 1 T z z (z 1) 2 = T z 1

35 Przykład Obiekt inercyjny I-rzędu K (s) = 1 s+1 k(t) = e t k(nt ) = e nt K (z) = Z { e nt } = z z e T λ(t) = 1 e t λ(nt ) = 1 n ( e T ) n K (z) = z 1 z np. dla T = 1 mamy K (z) z ( ) z z 1 z z e T = 1 e T z e T

36 Wstęp de regulacji predykcyjnej i adaptacyjnej PROGRAMOWANIE NASTAW w(t) (tzw. zmienna wiodąca) y ( ) 0 t REGULATOR OBIEKT y(t) Adaptacja na podstawie zmiennej wiodącej

37 Wstęp de regulacji predykcyjnej i adaptacyjnej cel sterowania WYZNACZANIE OPTYMALNYCH NASTAW REGULATORA IDENTYFIKACJA OBIEKTU w(t) y ( ) 0 t REGULATOR OBIEKT y(t) Pośrednia regulacja adaptacyjna

38 Wstęp de regulacji predykcyjnej i adaptacyjnej cel sterowania IDENTYFIKACJA OPTYMALNYCH PARAMETRÓW REGULATORA w(t) y ( ) 0 t REGULATOR OBIEKT y(t) Bezpośrednia regulacja adaptacyjna

39 Identyfikacja Liniowy obiekt statyczny (1) (1) x (2) x * a z y a = a 1 a 2. a s ( s) x Figure: Liniowy obiekt statyczny typu MISO X N = x T 1 x T 2. x T N = Założenia: Ez = 0, varz < x (i), z niezależne x (1) 1 x (2) 1.. x (s) 1 x (1) 2 x (2) 2.. x (s) x (1) N x (2) N.. x (s) N

40 Identyfikacja Liniowy obiekt statyczny (2) y 1 y 2 Y N =., Z N = y N Równanie pomiarów Model Y N = X N a + Z N Y N (a) = X N a z 1 z 2. z N Istota metody najmniejszych kwadratów Y N Y N (a) 2 2 min a Równania normalne X T N X N a = X T N Y N Warunek jednoznaczności rozwiązania Estymator NK rankx N = s ( ) 1 â N = X T N X N X T N Y N = X + N Y N â N p.1 a, gdy N

41 Identyfikacja iniowy obiekt dynamiczny typu MA(s) (1) L ε k uk B( q 1 ) vk y k Figure: Model MA v k = b0u k bs u k s y k = v k + ε k y k = b0u k bs u k s + z k z k = ε k

42 Identyfikacja iniowy obiekt dynamiczny typu MA(s) (2) L u k uk 1 * b z k y k b = b 0 b 1. b s uk s Φ N = Figure: Model MA φ T 1 φ T 2. φ T N u 1 u 0.. u 1 s u 2 u 1.. u 2 s Założenia: Ez = 0, varz < {u k }, {z k } niezależne =.... u N u N 1.. u N s ( ) 1

43 Identyfikacja Liniowy obiekt dynamiczny typu ARMA(s,p) (1) 1 u B k ( q ) 1 Aq ( ) v k ε k y k Figure: Model ARMA v k = b0u k bs u k s + a1v k apv k p y k = v k + ε k y k = b0u k bs u k s + a1y k apy k p + z k z k = ε k a1ε k 1... apε k p

44 Identyfikacja Liniowy obiekt dynamiczny typu ARMA(s,p) (2) u k uk 1 uk s yk 1 yk p * θ z k y k θ = b 0 b 1. b s a 1 a 2. a p Figure: Model ARMA Ez = 0, varz < u k i, z k niezależne y k i, z k zależne, gdy {z k } jest procesem skorelowanym

45 Identyfikacja Liniowy obiekt dynamiczny typu ARMA(s,p) (3) φ T 1 φ T 2 Φ N =. = φ T N u 1 u 0 u 1 s y 0 y 1 y 1 p u 2 u 1 u 2 s y 1 y 0 y 2 p u N u N 1 u N s y N 1 y N 2 y N p ( ) 1 Y N = Φ N θ + Z N θ N = Φ T N Φ N Φ T N Y N

46 Wersja rekurencyjna θ k = θ k 1 + P k φ k (y k φ T k θ k 1 ) P k = P k 1 P k 1φ k φ T k P k φ T k P k 1φ k wszystkie pomiary {φ k, y k } mają takie same znaczenie (taką samą wagę) a co jeśli prawdziwe szukane θ zmienia się w czasie? "stare" pomiary są mniej godne zaufania

47 Śledzenie parametrów θ = arg min θ y k = θ + z k, N k=1 α k (y k θ) 2, (1) α k wagi reprezentujące stopień ważności pomiaru y k θ N k=1 α k (y k θ) 2 = 2 θ N k=1 α k = N k=1 N y k α k k=1 (θα k y k α k ), gdy α = const θ = N k=1 y k α k N k=1 α k, (2) to θ = α N k=1 y k Nα = 1 N N y k. k=1

48 Wagi, przykłady α k = λ N k, with 0 < λ < 1 (3) α k+1 = 1 λ α k. α k = k=1 α k = k=1 λ N k < { 1, as N n < k N 0, as k N n.

49 Strojenie θ (N ) n = 1 n N y k k=n n+1 w chwili N: skok parametru z wartości θ na θ + błąd średniokwadratowy horyzoncie H Q(n) = Hσ2 z n Hσ2 z n Q(n) = + 2 n n, N +H ( var θ (i) n i=n +1 n 1 j 2 = Hσ2 z j=1 n ) + bias 2 θ (i) n, + 2 n 2 n opt. = arg min Q(n) n ( ) n(n + 1)(2n + 1) n 2 6

50 Składniki kryterium jakości Q(n) 1,2 1 0,8 var ˆ ( k ) n 10 0,6 0,4 bias ˆ ( k ) n 10 bias ˆ ( k ) n 50 0, var ˆ ( k ) n k Figure:

51 Sumaryczny błąd w funkcji n (długości zapamiętywanej historii) Q n Figure:

52 Ilustracja działania 1,6 1,4 1, ,8 0,6 0, ,2 0-0, ,4-0,6 Figure: