Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Teoria sygnałów (zakres materiału)

Transkrypt

1 eoria Sgałów II rok Geofizki III rok Iformaki Sosowaej eoria sgałów (zakres maeriał). Wsęp posawowe efiicje przkła sgałów elemearch. Aaliza korelacja sgałów ciągłch i skrech 3. Ciągła rasformacja Foriera. 4. rasformacja Hilbera. 5. eoria próbkowaia reprezeacje skree. 6. rasformacja Z sgałów skrech. 7. Aaliza sgałów w zieziie wimowej oraz w zieziie Z. 8. Kosrkcja filrów cfrowch.

2 Posawowa lierara:. omasz P. Zieliński Cfrowe przewarzaie sgałów. O eorii o zasosowań WKŁ 9. Richar G. Los Wprowazeie o cfrowego przewarzaia sgałów WKŁ (w. rozszerzoe) 3. Zzisław PapirAaliza częsoliwościowa sgałów W. AGH Jerz Szabai Posaw eorii sgałów WKŁ 98 i późiejsze 5. Ro Bracewell Przekszałceie Foriera i jego zasosowaia W Arzej Wojar eoria sgałów W B.P.Lahi eoria sgałów i kłaów elekomikacjch PW R.K.Oes L. Eochso Aaliza mercza szeregów czasowch W Sgał proces zmia pewej wielkości fizczej lb sa obiek fizczego w czasie lb w przesrzei. Sgał geeralie przekazje jakąś iformację (j. jes ośikiem iformacji). Sgał może bć rówież sezowa o celów komikacji. Kilka przkłaów sgałów D

3 Raiografia cfrowa Przkła sgałów D Mapa aomalii grawiacjch Asralii Zjęcie z saeli ALOS - oko Ci Srefa skokowa Sa Gregorio sejsmicza sekcja czasowa Klasfikacje sgałów:. ze wzglę a przewiwalość zmia sgał eermiiscze i losowe (sochascze) ze wzglę a ziezię sgał ciągłe (określoe wszskich [a b] ) i skree. określoe wbrach pków. Poza mi pkami sgał są ieokreśloe. Sgał ciągłe bęziem ozaczać jako () lb (). Sgał skree ozaczam jako [] lb jako []. 6

4 3. Ze wzglę a przeciwziezię (zbiór warości fkcji). Zbiór e może bć ciągł (sgał ciągł w amplizie) lb skre (albo skończo g liczba warości przjmowach przez fkcję jes rówa ). W rgim wpak sgał azwam skończom w amplizie. Obok przkła sgał ciągłego i skreego. Sgał akie azwam biarmi. Sgał skree w czasie powsał w wik próbkowaia sgałów ciągłch z określom krokiem próbkowaia Ze wzglę a czas rwaia sgał: sgał o ieskończom czasie rwaia i o skończom czasie rwaia (pooczie sgał implsowe). Obok przesawioo sgał ciągłe i skree o ieskończom i skończom czasie rwaia. Sgał implsow o iekoieczie impls!! 8

5 Paramer sgałów ciągłch Są o globale charakerski liczbowe sgałów żecze w ich klasfikacji. Defiicje poszczególch paramerów różią się w zależości o ego cz sgał są ciągłe cz skree. ajisoiejsze z ch paramerów o: Warość śreia : sgał implsowego określoego w przeziale [ab]: b a sgał o ieskończom czasie rwaia b a Wielkość graicza!! sgał okresowego 9 Eergia : Moc śreia: P Moc śreia sgał okresowego : Warość skecza: E P sk P Poieważ zakłaam że sgał są wielkościami bezwmiarowmi eergia ma wmiar o eergia ma wmiar ożsam z wmiarem -ów (czas lb łgość). Moc jes wielkością bezwmiarową. Jeśli o sgał azwam sgałem o ograiczoej eergii. Poobie efiijem sgał o skończoej moc. Wioski: moc sgałów o ograiczoej eergii jes rówa zer eergia sgałów o ograiczoej moc jes ieskończoa sgał implsow o ograiczoej amplizie ma ograiczoą eergię sgał o ieograiczom czasie rwaia mogą mieć ograiczoą eergię bąź moc sgał o ograiczoej amplizie i moc mają ieskończo czas rwaia (p. sgał okresowe)

6 Kilka przkłaów sgałów aalogowch Sgał (impls) prosoką > < Π E 3 > < Λ E Sgał (impls) rójką si Sa π E 3 si Sa π E Sgał (impls) Sa (o ag. samplig) lb Sic Sgał (impls) Sa lb Sic

7 Sgał harmoicz X si( ϕ ) P X < < Sgał harmoicz o molowaej amplizie (AM) A )si( ϕ ) ( < < 3 Fala prosokąa bipolara X P X Fala prosokąa ipolara X P X X 4

8 Sgał jeoskow () fkcja Heavisiea P > < Sgał Sg() fkcja zak sg P > < 5 Moele maemacze sgałów : Fkcje rzeczwise jeo lb wielowmiarowe Fkcje zespoloe Dsrbcje Operowaie moelami maemaczmi sgałów możliwia ich formalą aalizę meoami maemaczmi w oerwai o fizczej ar sgałów. Uławioa jes poao ich jeozacza klasfikacja. Reprezeacje sgałów Częso zamias korzsać z bezpośreiej reprezeacji fkcjej korzsa się z pewej reprezeacji sgał. Przkłaem ajczęściej spokam jes reprezeacja Foriera (kolejo rzeczwisa i zespoloa): a ( ak cos k bk si k) k ik X ke k π lb reprezeacja zespoloa sgał: Waże! Współcziki w ob szeregach worzą reprezeację z iarg z( ) i z e Re z Im z z z arcg( ) arg Wimo ampliowe Wimo fazowe Wika są reprezeacja zespoloa sgał harmoiczego: z i e cos i si 6

9 . Przkła ich reprezeacji o : rasformacja Laplace a szereg Koielikowa-Shaoa sgał aalicz. e osai efiijem jako: z ˆ iˆ τ π τ Osai wzór określa zw. rasformaę Hilbera prz czm warość osaiej całki jes rozmiaa w sesie warości główej Cach ego. Sgał aalicz saowi ogólieie kocepcji sgał zespoloego a sgał ieharmoicze. Warość główa Cach ego może bć określoa fkcji rzeczwisej f() jako c b c vp f f f (frac. valer pricipale) a a b jeżeli całki po prawej sroie isieją każego oraz isieje graica 7 Moele eermiiscze sgałów skrech fkcja Diraca jes efiiowaa jako obiek maemacz o asępjącch własościach: ( ) ( ) ( ) Okresow ciąg implsów Diraca (zw. srbcja grzebieiowa) - zw. srbcja Sza: Implsow sgał spróbkowa: ( ) ( ) 8

10 Opis własości - fkcji może bć prowazo w oparci o zw. fkcje aproksmjące. Są o fkcje wóch zmiech o posaci ( ) określoe i kóre spełiają warki: ( ) ( ) π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m samm przjmjem że - fkcja jes graicą fkcji aproksmjącej ( ) 9 W oparci o fkcje aproksmjące moża wjaśić szereg własości -fkcji p. posawową własość orzekającą że eergia - fkcji jes skończoa. Miaowicie: f ( ) ( ) Wkowaie ziałań a - fkcji rozmiem w e sposób że wkojem e ziałaia a fkcji aproksmjącej () a asępie obliczam graicę prz ążącm o zera. Własości - fkcji: k k k Możeie przez sałą ( ) f ( ) ( ) [ f f ( )] ( ) f ( ) ( ) Możeie przez fkcję f() ( τ ) τ ( ) Całkowaie srbcji Diraca f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f * f ( τ ) ( τ ) τ f Splo srbcji Diraca (rochę a wros efiicje i sksja w rakcie kolejego wkła)

11 Impls Kroeckera - jes o opowieikiem aalogowej (!!!) - fkcji E Warości śreie sgałów implsowch Paramer eergecze sk P P P E o skończom czasie rwaia o ieskończom czasie rwaia okresow eergia moc śreia moc śreia sgał okresowego warość skecza

12 Impls Kroeckera E > E E 3 > Impls prosoką Impls rójką Sgał wkłaicz a E a a < < Sgał Sa() θ π θ θ θ E si Sa Sgał skok jeoskowego < E 3 Dziękję τ τ τ τ B zasaić związki całkowe fkcji skok jeoskowego () i srbcji Diraca przjmijm efiicję fkcji () aproksmjącej fkcję skok jeoskowego w sposób asępjąc: Fkcja a aproksmje () gż Z kolei pochoa fkcji aproksmjącej () jes rówa: więc orzmjem związek π ar cg Opowieie fkcje aproksmjące fkcję () mają posać: 4 Doaek maemacz ieobowiązkow

13 Ab obliczć pochoą z -fkcji ależ obliczć graicę z ciąg pochoch fkcji aproksmjącch j. ' ' ( ) ( ) Jako zasaieiem moża posłżć się asępjącm rozmowaiem: ( ) ( ) ' ( ) π ( ) ' ( ) π ± ( ) 3 a przkła ciągłej i różiczkowalej fkcji paramer orzmjem: Eksrema ej fkcji zajją się w pkach Dla warości fkcji aproksmjącej ążą o zera zaś owolego ' ( ) Aalogiczie moża skosrować wzor aproksmjące wższe pochoe. 5