1. Zbiory, liczby, ciagi

Podobne dokumenty
Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Analiza Matematyczna /16

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Analiza Matematyczna /18

1 Definicja całki oznaczonej

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Analiza Matematyczna /15

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklarski

Analiza Matematyczna (część II)

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Pierwiastek z liczby zespolonej

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

3. F jest lewostronnie ciągła

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Analiza matematyczna i algebra liniowa

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

Pierwiastek z liczby zespolonej

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Analiza Matematyczna MAEW101

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

Plan wykładów z Matematyki, I 2014/2015 semestr zimowy. (a) Podstawowe funkcje: pierwiastki, funkcja potęgowa, logarytm.

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

mechanika analityczna 2 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.

Analiza Matematyczna II

Analiza matematyczna ISIM II

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

Transkrypt:

0. o to jest nliz mtemtyczn? Anliz Mtemtyczn dr hb. Jn Iwniszewski Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołj Kopernik semestr zimowy 04/5 0. Wstęp nuki fizyczne, techniczne włsności obiektów, zjwisk, substncji... opis ilościowy liczby opis jkościowy relcje między liczbmi, zmiennymi ogólne prw, przewidywni nowych efektów,... lgorytmy dziłń, optymlizcj nliz mtemtyczn relcje między liczbmi, zwłszcz w sytucjch grnicznych, zbieżność, funkcje, rchunek różniczkowy i cłkowy, cigi i szeregi,... el wykłdu wprowdzenie elementrnych pojęć i nrzędzi nlizy mtemtycznej dl opisu problemów fizycznych i technicznych 0. Progrm liczby, zbiory liczb, relcje, funkcje - bdne obiekty cigi, szeregi, grnice, zbieżność rchunek różniczkowy - pochodn, różniczk, szereg Tylor rchunek cłkowy - cłk nieoznczon i oznczon, wielokrotn, krzywoliniow, powierzchniow, równni różniczkowe pol sklrne i wektorowe, nliz wektorow, metody przybliżone prktyczne wykorzystnie nrzędzi nlizy mtemtycznej 0.3 Litertur W.Krysicki, L.Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich, T. I-II (PWN, Wrszw, 0) G.M.Fichtenholz, Rchunek różniczkowy i cłkowy, T. I-III (PWN, Wrszw, 007) W.Korczk, M.Trjdos, Wektory, pochodne, cłki (PWN, Wrszw, 009) http://www.fizyk.umk.pl/ jiwnisz...... 0.4 Zsdy zliczeni Ćwiczeni obecność obowizkow (usprwiedliwieni) Zliczenie ćwiczeń: krtkówki, zdni domowe ok. 00 zdń, 3 kolokwi Wykłd obecność nieobowizkow, le... Zliczenie wykłdu egzmin pitek 6 lutego godz. 0-3 ocen końcow z ćwiczeń krt. (0%) + zd. dom. (0%) + kol. (70%) sum (00%) ocen końcow z egzminu kol. (30%) + zd. egzmin. (70%) sum (00%) punkty ocen końcow [0 50) nt [50 59) dost [68 77) dob [59 68) dost+ [77 86) dob+ [86 00] bdb. Zbiory, liczby, cigi. Zbiory opercje n zbiorch Dl zbiorów A i B np. A : {, b, c,...}, B : {b : wrunek} A B : {c : c A lub c B} sum A B : {c : c A i c B} iloczyn, przekrój A \ B : {c : c A i c B} różnic A B : {c : c A c B} zwiernie się, inkluzj, A jest podzbiorem B A B {(, b) : A, b B} iloczyn krtezjński R R R, R R R R 3 kwntyfiktory kwntyfiktor ogólny lub "dl kżdego" kżdy element zbioru spełni wrunek, np., A x<x0 kwntyfiktor szczegółowy lub "istnieje" przynjmniej jeden element zbioru spełni wrunek, np., A x>x0. Zbiory liczbowe liczby nturlne N {,, 3,...} liczby cłkowite Z {m : m N lub m 0 lub m N} { m } liczby wymierne Q n : m Z i n N liczby rzeczywiste R Q Q (Q liczby niewymierne) liczby zespolone { c + i b : R i b R i i } N Z Q R

.3 Ogrniczeni zbiorów liczbowych.4 Prezentcj liczb.5 Zokrglnie zbiór liczbowy A R ogrniczeni od góry jeżeli M R x A M - krniec górny zbioru, x M, to zbiór A jest ogrniczony z góry, jeżeli zbiór jest nieogrniczony z góry, to M, njmniejszy krniec górny to kres górny M inf M (infimum) ogrniczeni od dołu m R x A x m A ogrniczony z dołu, m - krniec dolny zbioru, jeżeli zbiór jest nieogrniczony z dołu, to m, njwiększy krniec dolny to kres dolny m sup m (supremum) zbiór ogrniczony z góry i z dołu zbiór ogrniczony zpis liczby ułmkowy, np. 3 dziesiętny, np..56 potęgowy, np. 5.3 0 5 symboliczny, np. π, wrtość liczby dokłdn, np., /3, przybliżon (zokrglon), np. π 3.459..., /3 0.667,.4... zokrglnie liczby przybliżnie wrtości liczby przez inn liczbę mjc mniej cyfr znczcych w zpisie dziesiętnym zokrglenie postć odrzucnej części liczby metod 4 - zokrglenie w dół, 5 lub 5 - zokrglenie w górę, metod 4 - zokrglenie w dół, 5 - zokrglenie w górę, 5 - zokrglenie do cyfry przystej,.6 zcownie rzędu wielkości liczb zokrglenie do jednej cyfry znczcej.36784 0 0, 36784 0 5, 0.0036784 0 3 wyrżenie liczbowe przybliżnie do jednej cyfry znczcej kżdej liczby lub dziłni skłdowego 3.6784 + 0.36784 0 + 0 0 36784 0.0036874 0 8 0 5 0 5 0? 36784 0.0036874 0 8 36784 36874 93 9 0 0.7 zcownie nieznnej wielkości nieznn wielkość wyrżenie poszukiwnej wielkości możliwie prostym wzorem, oszcownie wrtości wielkości występujcych we wzorze, 3 oszcownie wyrżeni liczbowego Przykłd : Oszcowć objętość sli 6. objętość długość szerokość wysokość Przykłd : Oszcowć średnicę tomu. objętość tomu liczb tomów gęstość msy ms dl mol (grmorównowżnik): 3M r 3 4πN A ϱ 4 3 πr3 N A ϱ M ( 3M 4πN A ϱ ) 3.8 Liczby, zmienne, wielkości minowne wielkość stł określon liczb wielkość zmienn dowolny element zbioru, możliwe różne wrtości mtemtyk liczb, zmienn fizyk, nuki techniczne,... liczb lub zmienn z jednostk, wielkość minown zpis potęgowy liczby np. 5300 5.3 0 4, zpis potęgowy wielkości minownych przyrostki dodne do nzw jednostek, np. 5300 m 5.3 0 4 m 5.3 km wielokrotności podwielokrotności 0 3 kilo k 0 3 mili m 0 6 meg M 0 6 mikro µ 0 9 gig G 0 9 nno n 0 ter T 0 piko p 0 5 pet P 0 5 femto f 0 8 eks E 0 8 tto 0 dek d 0 decy d 0 hekto h 0 centy c.9 igi liczbowe cig liczb nturlnych,, 3, 4,..., n,,... cig liczbowy x, x, x 3, x 4,..., x n,... {x n } n {x n } N R cig monotonicznie cig ogrniczony rosncy x n < x n+ z dołu x n m n N m R n N mlejcy x n > x n+ z góry x n M n N M R n N ig ogrniczony z dołu i z góry to cig ogrniczony..0 Zbieżność cigu cig zbieżny Jeżeli ε>0 N n>n x n, x n < ε, to jest grnic cigu. x n, {x n } cig zbieżny szczególny przypdek: x n 0, x n 0 Jeżeli x n i <, to (x n ) 0. cig rozbieżny ig, który nie jest zbieżny jest rozbieżny, le: jeżeli podobnie: E>0 N n>n x n, E < x n, to cig m grnicę nieskończon. x n, {x n } cig rozbieżny do ± x n + x n. Grnic cigu kryterium zbieżności Bolzno ig {x n } m grnicę skończon x n x m < ε. ε>0 N n,m>n twierdzeni o grnicch cigów Jeżeli x n, y n b i c const, to: grnic iloczynu przez liczbę [c x n] c grnic sumy [x n + y n ] + b grnic iloczynu [x n y n ] b [ ] xn grnic ilorzu (dl b 0) b Jeżeli x n 0 i {y n } jest cigiem ogrniczonym, to [x n y n ] 0. Jeżeli n x n y n z n, orz x n z n, to y n. y n

. igi monotoniczne. Liczby zmienne w fizyce i technice twierdzenie: Jeżeli cig monotonicznnie rosncy {x n } jest ogrniczony z góry x n M to m on grnicę skończon. Jeśli nie jest ogrniczony to M n grnic jest +. Anlogicznie dl cigu monotonicznie mlejcego. liczb Euler e ( x n + n) n e.788 przedziły zstępujce {x n } cig monotonicznie rosncy {y n } cig monotonicznie mlejcy n x n < y n, (x n+, y n+ ) (x n, y n ) jeżeli (y n x n ) 0, to x n z n. Funkcje liczb ozncz konkretn wrtość dnej wielkości (fizycznej) zmienn informuje, że jest jkś wielkość (fizyczn) bez precyzowni jej konkretnej wrtości zmienn x zdn jest przez zbiór swoich wrtości X, czyli x X, inczej: X to obszr zmienności zmiennej x, np. zmienn dyskretn, zmienn cigł funkcj opisuje relcję zchodzc między różnymi wielkościmi (fizycznymi) kd się bior funkcje w nukch fizycznych? Prw fizyczne przetwij zwizki między wielkościmi fizycznymi (mierzlnymi). Zpisne w postci mtemtycznej (wzorów) dj zleżności funkcyjne.. Funkcj.3 Rodzje funkcji.4 Klsy funkcji odwzorownie X x y Y odwzorownie wzjemne przyporzdkownie sobie elementów (liczb) dwóch zbiorów funkcj Jeżeli odwzorownie jest jednoznczne (jednej wrtości x odpowid tylko jedn wrtość y), to odwzorownie nzyw się funkcj. X dziedzin zbiór rgumentów X x y f(x) Y Jeżeli jednej wrtości y odpowid tylko jedn wrtość x, to funkcj jest wzjemnie jednoznczn Y przeciwdziedzin zbiór wrtości funkcje funkcje złożone funkcje odwrotne funkcje elementrne proste funkcje złożone wielominy W n(x) funkcje wymierne Wn(x) V m(x) funkcje... funkcje specjlne y f(x), y g(x), h(b) y f(g(x)) y f (x), czyli x f(y) przyste, nieprzyste, inne okresowe i nieokresowe ogrniczone i nieogrniczone monotoniczne i niemonotoniczne.5 Przetwinie funkcji posoby: nlityczny, numeryczny, grficzny Przykłd: spdek w polu grwitcyjnym Ziemi teori Newton swobodny spdek w polu grwitcyjnym (ruch jednostjnie przyspieszony) pomir t [s] h [m] 0.0 0.0 0.5..0 4.6.5 0.0.0 7..5 6. 3.0 36.5 h(t) gt teori Newton tłumiony spdek w polu grwitcyjnym h(t) g b [ e bt + bt ].6 Funkcje elementrne funkcje potęgowe y x p wykłdnicze y x, e x exp x trygonometryczne y sin x, cos x, tg x, ctg x funkcje odwrotne potęgowe y x /p logrytmiczne y log x, log e x ln x, log x lg x cyklometryczne y rc sin x, rc cos x, rc tg x, rccot x.7 Funkcje potęgowe y x 0 y x n, gdzie n N 3 y x, gdzie R + 4 y x n, gdzie n N 5 y x, gdzie R 6 y x, gdzie R Uwg: wżne, by dobrze określić dziedzinę funkcji Kiedy x R, kiedy x R +?

.8 Funkcje potęgowe.9 Funkcje wykłdnicze i logrytmiczne.0 Funkcje trygonometryczne f(x) x, f(x) log x, dl > 0. Funkcje trygonometryczne. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne.3 Grnic funkcji x x 0 (dowolnie) f(x) funkcj f(x) m w punkcie x 0 grnicę równ f(x) grnic lewostronn (x < x 0 ) f(x) f(x) x x0 x x 0 grnic prwostronn (x > x 0 ) f(x) f(x) x x0 x x + 0 Jeżeli istnieje grnic lewostronn f(x) i prwostronn x x0 f(x). x x0 f(x) b, orz b, to istnieje grnic.4 Włsności grnic I.5 Włsności grnic II.6 Wżne grnice Jeżeli f(x) i g(x) b, to: grnic iloczynu przez sklr grnic sumy grnic iloczynu grnic ilorzu grnic funkcji złożonej [c f(x)] c [f(x) + g(x)] + b [f(x) g(x)] b [ ] f(x) g(x) b (dl b 0) jeżeli f(x) i g(x) b, x to g(f(x)) b Twierdzenie o trzech grnicch Jeżeli: f(x) g(x), orz dl wszystkich x nleżcych do pewnego otoczeni x 0 to f(x) h(x) g(x), h(x) f(x) h(x) g(x) o, gdy ϕ 0? P OAB < P OAB < P OA P OAB OA h R R sin ϕ P OA OA H R R tg ϕ P OAB s πr πr R R ϕ R R sin ϕ < R R ϕ < R R tg ϕ sin ϕ < ϕ < tg ϕ / : sin ϕ < ϕ sin ϕ < cos ϕ > sin ϕ ϕ > cos ϕ

.7 Wżne grnice.8 igłość funkcji sin x x 0 x ( + x e x x) ( + x) x ln( + x) e, x 0 + x 0 x igłość w punkcie Jeżeli w punkcie x x 0 istnieje grnic funkcji f(x) i f(x 0 ) to funkcj f(x) jest cigł w tym punkcie. igłość n zbiorze Jeżeli funkcj f(x) jest cigł w kżdym punkcie zbioru X, to jest cigł n tym zbiorze. Włsności cigłości Jeżeli f(x) i g(x) s cigłe w x x 0, to iloczyn przez liczbę, sum, iloczyn, ilorz, złożenie tych funkcji s cigłe. 3. Pochodne 3. Ilorz różnicowy grnic ilorzu różnicowego xn x0 y n y 0 tg θ 0 k 0 x n x 0 ilorz różnicowy y y y 0 x x x 0 tg θ y y y 0 x x x 0 tg θ y n y 0 xn x0 x n x 0 tg θ 0 k 0 współczynnik nchyleni stycznej do krzywej y f(x) w punkcie x 0. 3. Pochodn funkcji Definicj pochodnej y f f(x + x) f(x) f(x ) f(x) (x) x 0 x x x x x Pochodn funkcji w dnym punkcie określ wrtość współczynnik nchyleni stycznej do krzywej dnej przez wykres funkcji w tym punkcie Pochodn cigłość Pochodn (grnic) istnieje gdy f(x + x) f(x) lub f(x ) f(x). x 0 x x igłość funkcji w punkcie x to wrunek konieczny istnieni pochodnej w tym punkcie (le nie jest to wrunek dostteczny). Drug pochodn y f f (x + x) f (x) (x) x 0 x 3.3 Potwowe wzory Pochodn sumy Pochodn iloczynu h(x) f(x) + g(x) h (x) f (x) + g (x) h(x) f(x) g(x) h (x) f (x) g(x) + f(x) g (x) Pochodn ilorzu h(x) f(x) g(x) Pochodn funkcji złożonej h (x) f (x) g(x) f(x) g (x) [g(x)] h(x) f (g(x)) h (x) f (y) yg(x) g (x) Pochodn funkcji odwrotnej h(x) f (x) h (x) f (y) yf (x) 3.4 Pochodne funkcji elementrnych 3.5 Różniczk 3.6 Zpis różniczkowy pochodnej (const) 0 (x ) x ( 0) (e x ) e x (ln(x)) /x ( x ) x ln() (log (x)) /(x ln()) (sin(x)) cos(x) (rc sin(x)) ( x ) (cos(x)) sin(x) (rc cos(x)) ( x ) (tg(x)) / cos (x) (rc tg(x)) ( + x ) (ctg(x)) / sin (x) (rc ctg(x)) ( + x ) uwg n dziedziny funkcji y f(x), y f(x + x) f(x) x 0 x x 0 y x f (x) + ε (ε x 0 0) y f (x) x + ε x f (x) x y x f (x) W grnicy x 0 przyrost x jest nieskończenie (infinitezymlnie) mły - nzywmy go różniczk zmiennej x i oznczmy Podobnie przyrost (zmin) zmiennej y jest infinitezymlnie mł y dy (różniczk zmiennej y) dy f (x) df(x) Różniczk dy opisuje dominujcy wkłd do zminy wrtości zmiennej y przy infinitezymlnie młej zminie wrtości zmiennej x. y f (x) x + ε x f (x) x y x 0 d czytmy: de igrek po de iks y x dy df(x) opertor ró»niczkowni d f(x) oblicznie pochodnej różniczkownie Funkcj f(x), dl której możn w punkcie x (w obszrze X) policzyć pochodn, jest różniczkowln w tym punkcie (obszrze).

4. zereg Tylor 4. Rozwinięcie wielominu n(n )... (n k + )x n k, n > k; (x n ) (k) n!, n k; 0, n < k. { (x n ) (k) n!, n k; x0 0, n k. wielomin: W n (x) 0 + x + x +... + n x n j x j { (W n (x)) (k) k k!, n k; x0 0, n < k. rozwinięcie wielominu W n (x) j x j j! W n (j) (0)x j j0 j0 j0 j0 W n (x) j x j j! W n (j) (x 0 )(x x 0 ) j j0 4. Rozwinięcie funkcji różniczkowlnej zereg Tylor f(x) zereg Mclurin j! f (j) (x 0 )(x x 0 ) j + R n (x, x 0 ) j0 szczególny przypdek szeregu Tylor dl x 0 0: Po co? f(x) j! f (j) (0)x j + R n (x) j0 sumownie szeregów, ułtwinie obliczeń, przybliżnie funkcji i ich wrtości, procedury interpolcyjne (numeryczne),... 4.3 Przykłdy e x x k k! + x + x + 6 x3 +... k0 sin x ( ) k x k+ (k + )! x 6 x3 +... k0 3 cos x ( ) k xk (k)! x +... 4 5 k0 x ( x) + x + x... x k (szereg k0 geometryczny) + x ( + x) / + x 8 x... 6 ( + x) + x + ( ) x... 4.4 Przykłdy sin x ( ) k x k+ (k + )! x 6 x3 + 4 x5... k0 4.5 Reguły de l Hospitl grnic ilorzu [ ] f(x) g(x) b (dl b 0) A co jeśli b 0, le tkże 0? [ ] [ n f(x) j0 j! f ] (j) (x 0 )(x x 0 ) j + R n (x, x 0 ) g(x) m k0 k! g(k) (x 0 )(x x 0 ) k + m (x, x 0 ) x x x 0 [ f(x0 ) + f () (x 0 ) x + /f () (x 0 )( x) ] +... x 0 g(x 0 ) + g () (x 0 ) x + /g () (x 0 )( x) +... x 0 [ f () (x 0 ) x + /f () (x 0 )( x) ] +... f () (x 0 ) g () (x 0 ) x + /g () (x 0 )( x) +... g () (x 0 ) x 0 Reguły de l Hospitl dl wyrżeń typu,, 0 0 i,, f(x) zchodzi g(x) f () (x) g () (x) [ f () ] (x) g () (x) 5. Włsności funkcji jej pochodne 5. Przebieg funkcji bdnie włsności funkcji 5. Bdnie przebiegu funkcji Włsności funkcji funkcj rosn c f (x) > 0 funkcj mlej c f (x) < 0 ekstremum funkcji f (x) 0 funkcj wypukª f (x) > 0 funkcj wkl sª f (x) < 0 punkt przegi ci f (x) 0 miejsc zerowe x i: f(x i) 0 mksimum x mx: f (x mx) 0, f (x mx) < 0 minimum x min: f (x min) 0, f (x min) > 0 punkt przegięci x przeg: f (x przeg) 0 np.: f(x) x 3 8x + 5x + 4 (x + )(x )(x 7) f (x) 3x 6x + 5 3(x )(x 5) 3 f (x) 6x 6 6(x 8 ) 3 dziedzin i przeciwdziedzin definicj f(x), zchowni symptotyczne, punkty niecigłości f(x), x... obszry wzrostu i spdku wrtości funkcji, ekstrem f (x), wklęsłość i wypukłość funkcji, punkty przegięci f (x). symptoty zbieżność do prostej równoległej do osi ukłdu f(x), f(x) ± x ± zbieżność do dowolnej prostej f(x) x + b, f (x) x ± x ± g(x) f(x) x b, g(x) 0 x ± zbieżność do innej (prostszej) funkcji x ± f(x) ϕ(x), g(x) f(x) ϕ(x), x ± g(x) 0

6. o to jest cłkownie? 6. Włsności cłki nieoznczonej 6. łki Pochodn jkiej funkcji jest f(x)? funkcj pierwotn f(x) F (x) F (x) - funkcj pierwotn funkcji f(x) df (x) znjdownie funkcji pierwotnej cłkownie funkcji cłk nieoznczon f(x) f(x) F (x) + f(x) funkcj podcłkow f(x) wyrżenie podcłkowe stł cłkowni pochodn cłki d f(x) d F (x) f(x) pochodn cłki równ jest funkcji podcłkowej cłk z pochodnej f(x) F (x) df (x) F (x) + cłk z pochodnej funkcji równ jest tej funkcji + stł liniowość cłki [f(x) + bg(x)] f(x) + b g(x) 7. Metody cłkowni 7. łki funkcji elementrnych I 7. Metody cłkowni cłkownie przez potwienie (zminę zmiennej) f(x) f(g(y))g (y)dy cłkownie przez części x g(y), y g (x) g (y)dy [f(x)g(x)] f (x)g(x) + f(x)g (x) f(x)g(x) [f(x)g(x)] f (x)g(x) + f(x)g (x) f (x)g(x) f(x)g(x) f(x)g (x) { x ( + ) x + + ( ) ln x + ( ) e x e x + x ln x + ln(x) x ln(x) x + log (x) x log (x) x ln + 7.3 łki funkcji elementrnych II sin(x) cos(x) + cos(x) sin(x) + tg(x) ln cos(x) + ctg(x) ln sin(x) + rc sin(x) x rc sin(x) + x + rc cos(x) x rc cos(x) x + rc tg(x) x rc tg(x) ln ( + x ) + rc ctg(x) x rccot(x) + ln ( + x ) + 8. łki oznczone I 8. łk Riemnn Problem: Jkie jest pole powierzchni zwrtej pomiędzy krzyw y f(x), osi OX, orz prostymi równoległymi do osi OY przechodzcymi przez punkty x i x b? pole trpezu krzywoliniowego cłk oznczon P n k P x k f( x k ), x k x k x k, x k [x k, x k ] k x k f( x k ) mx { x k} 0 b f(x) grnic nie zleży od sposobu podziłu odcink (, b) sum i cłk Riemnn 3 grnic nie zleży od punktów, w których liczone s wrtości f(x)

8. Zmin grnic cłkowni 8.3 Potwowe włsności cłki oznczonej I 8.4 Potwowe włsności cłki oznczonej II k k x k f( x k ) k (x k x k )f( x k ) zmin indeksu sumowni l n k l (x l x l )f( x l ) f(x) b b f(x) b (x k x k )f( x k ) b f(x) f(x) b f(x) c b f(x) + f(x) c c b b c c b b b f(x) 0 f(x) f(x) b f(x) 0 dl x (, b) f(x) 0 b f(x) { < 0 > 0 0 b f(x) 0 dl x (, b) f(x) 0 f(x) g(x) dl x (, b) b b f(x) g(x) 9. łki oznczone II 9. Twierdzenie o wrtości średniej Jeśli f(x) jest cigł i ogrniczon n [, b], to: b f(x) f( x)(b ), dl pewnego x [, b] m f(x) M, dl x [, b] 9. Potwowy wzór rchunku cłkowego I f(x) cigł w otoczeniu punktu b f(x) ogrniczon w otoczeniu b def.: Φ(b) Φ(b + h) b b+h Φ(b + h) Φ(b) h f(x) f(x) d d b b+h f(x) + f(x) Φ(b) + h f( x) b Φ(b + h) Φ(b) f( x) f( x) f(b) h 0 h h 0 b d db b f(x) d d f(x) f(b) b f(x) f() 9.3 Potwowy wzór rchunku cłkowego II d f(x) x dzf(z) f(x) / d x dzf(z) x dzf(z) potwowy wzór rchunku cłkowego x dzf(z) f(x) + F (x) + F (x) F () le 0 dzf(z) F () + F () b dzf(z) F (b) F () 0. Równni różniczkowe 0. o to jest równnie różniczkowe? np. x x3 3 + y(x) + y (x), y (x) x dy(x) }{{} pochodn nieznnej funkcji y(x) }{{} równnie Równnie różniczkowe zwyczjne rzędu n x }{{} wyr»enie od zmiennej niezle»nej x x - zmienn niezleżn, y - nieznn różniczkowln funkcj x, zmienn zleżn y y(x) ( ) F y (n), y (n ),..., y (), y, x 0 rozwizć (scłkowć) równnie różniczkowe znleźć wszystkie funkcje y(x) spełnijce dne równnie

0. tłe cłkowni rozwiznie równni y(x) zwier tyle stłych cłkowni, ile wynosi jego rzd np.: m m v mẍ mg v ẋ gt + x gt + t + v 0 x 0 x gt + v 0 t + x 0 tłym cłkowni może być ndn konkretn wrtość poprzez zdnie odpowiednich wrunków, które m spełnić rozwiznie równni np. wrunki pocztkowe (dl t 0) lub wrunki brzegowe (dl x 0, L). rozwiznie ogólne (o) y o y o (x;,..., n ) - rodzin funkcji zmiennej x sprmetryzown przez n stłych cłkowni { j } n j rozwiznie szczególne (s) y s y s (x) - jedn z funkcji z rodziny funkcji y o o konkretnej wrtości przynjmniej jednego z prmetrów j 0.3 Równnie różniczkowe zwyczjne. rzędu F (y, y, x) 0 Równnie o rozdzielonych zmiennych lub F (y, y, x) f(y)y g(x) 0 g(x) f(y)y g(x) f(y)y f(y(x))y (x) dyf(y) g(x) f(y)y f(y) dy g(x) f(y)dy g(x) dyf(y) 0.4 Równnie różniczkowe liniowe. rzędu I F (y, y, x) y + f(x)y g(x) 0 y + f(x)y g(x) równnie liniowe jednorodne (j) y + f(x)y 0 równnie liniowe niejednorodne (n) y + f(x)y g(x) y on (x; ) y oj (x; ) + y sn (x) y + f(x)y 0 metod rozdzieleni zmiennych y oj (x; ) exp ( f(x) ) y + f(x)y g(x) metod uzmiennini stªej y sn (x) D(x) exp ( f(x) ) D (x) g(x) exp ( f(x) ) 0.5 Równnie różniczkowe liniowe. rzędu II 0.6 Równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu I 0.7 Równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu II cos x dy + y sin x sin x y(x) + cos (x) Ogóln postć równni (współczynniki kombincji liniowej pochodnych funkcji zleżnej y zleż od zmiennej niezleżnej x): y + f (x)y + f 0 (x)y g(x) np. oscyltor hrmoniczny mẍ kx γẋ + F (t) równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stłych współczynnikch y + by + cy g(x) równnie drugiego rzędu dwie stłe cłkowni y on (x;, ) y oj (x;, ) + y sn (x) L d I dt + R di dt + I E(t) 0.8 Równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu III 0.9 Równnie różniczkowe liniowe drugiego rzędu IV cłk ogóln równni jednorodnego postulown postć rozwizni: y + by + cy 0 y oj (x;, ) e λx + e λx gdzie λ λ, to zespolone rozwizni równni λ + bλ + c 0. b 4c λ, λ y oj (x;, ) > 0 λ, λ R e λx + e λx 0 λ λ R ( + x)e λx λ, λ < 0 λ, µ + iν e λx + e λx e [ µx e iνx + e iνx] µ, ν R e µx [D sin (νx) + D cos (νx)] cłk szczególn równni niejednorodnego y + by + cy g(x) g(x) postulowne rozw. wyznczne y sn (x) współczynniki A B B W n (x) V n (x) wsp. wielominu Ae Bx e Bx A sin(x) G sin(x) G, H +B cos(x) +H cos(x) G, H. Funkcje wielu zmiennych

. Funkcj wielu zmiennych odwzorownie i funkcj Ale X może być zbiorem np. R X x w f(x) W R dwywymirowym R R R (x, y) (x, x ) x n-wymirowym R n R R... R (x }{{}, x,..., x n ) x n rzy funkcj wielu zmiennych Jeśli odwzorownie jest jednoznczne jednemu elementowi/punktowi/wektorowi dziedziny odpowid tylko jeden punkt/wrtość w przeciwdziedzinie to odwzorownie jest funkcj (wielu zmiennych) R n X x w f( x) f(x,..., x n ) W R. Grnice funkcji grnic funkcji f( x) x x0 Grnic istnieje, jeśli nie zleży od sposobu (drogi) dochodzeni do punktu x 0. grnic iterown y y0 ( y y0 ) f(x, y) ) ( f(x, y) g(x) h(y) b y y0 wrunek konieczny n istnienie grnicy podwójnej w punkcie (x 0, y 0): b Jeśli f( x) f( x 0 ), to funkcj f( x) jest cigł w punkcie x 0. x x0.3 Pochodne czstkowe pochodne czstkowe f(x + x, y) f(x, y) x 0 x y 0 f(x, y + y) f(x, y) y pochodne wyższych rzędów f,x(x, y) f(x, y) f(x, y) f,y(x, y) f(x, y) f(x, y) f,x(x, y) f(x, y) f(x, y) f,x(x, y) f(x, y) f(x, y) f(x, y) f,x(x, y) f(x, y) f,y(x, y) f(x, y) f,xx(x, y) f(x, y) f,xy(x, y) f(x, y) f,yx(x, y) f(x, y) f,yy(x, y).4 Przyrost funkcji przyrost czstkowy f(x + x, y) f(x, y) x 0 x f(x + x, y) f(x, y) x +... zmin tylko jednego rgumentu przyrost czstkowy funkcji przyrost zupełny z f(x, y) z f(x + x, y + y) f(x, y) f(x + x, y + y) f(x, y + y) + f(x, y + y) f(x, y) f(x, y + y) x + y... x +... + y... zmin wszystkich rgumentów przyrost zupełny funkcji.5 Różniczk zupełn dz + dy f,x (x, y) + f,y (x, y)dy różniczk zupełn dominujcy wkłd do zminy wrtości funkcji przy infinitezymlnie młej zminie rgumentów dz i f( x) i i interpretcj geometryczn f,xi ( x) i f,i ( x) i i x x x 0, y y y 0, z z z 0, z f,x x + f,y y równnie płszczyzny stycznej do powierzchni z f(x, y) w punkcie (x 0, y 0 ). i.6 zereg Tylor różniczki wyższych rzędów ( df(x, y) + ) dy f(x, y) ( d (df(x, y)) d f(x, y) + ) dy df(x, y) ( + ) dy f(x, y) ( ) () + dy + (dy) f(x, y) ( d j f(x, y) + ) j dy f(x, y) zereg Tylor f(x, y) j! j0 ( x + ) j y f(x, y), x x x 0, y y y 0 Uwg: opertory różniczkowni dziłj tylko n funkcję f(x, y).7 Różniczk zupełn opertor nbl dz + dy, le d r (, dy) ê x + dy ê y ( ) Jeśli F (x, y), ê x + f(x, y ê y, to dz F (x, y) d r d r F (x, y) Ale: F (x, y) ê x + f(x, y ( ê y ê x + ê y grdient ê x + ê y opertor nbl dziłnie opertor n funkcję f(x, y) to grdient tej funkcji F (x, y) f(x, y) grdf(x, y) dz d r F (x, y) d r grdf(x, y) ) f(x, y). łki wielokrotne. Definicj cłki podwójnej objętość wlc krzywoliniowego Problem: Jk objętość zwrt jest pomiędzy płszczyzn XY, powierzchni prostopdł do niej oprt n brzegch obszru leżcego n tej powierzchni, orz powierzchni z f(x, y)? sum i cłk Riemnn V k f( x k, x k ) d f(x, y) k mx { k} 0 grnic nie zleży od sposobu podziłu obszru grnic nie zleży od punktów, w których liczone s wrtości f(x, y)

. łki podwójne cłki iterowne b y (x) d x (y) d f(x, y) dy f(x, y) dy f(x, y) y (x) c x (y) element powierzchni: wsp. krtezjńskie d dy, inne zmienne d? zmin zmiennych dy f(x, y) du dv J(u, v) f (x(u, v), y(u, v)) D(x, y) (u, v) J(u, v) D(u, v) u (u, v) u (u, v) v (u, v) jkobin v np. przy zminie współrzędnych krtezjńskich n biegunowe x r cos ϕ, y r sin ϕ, J r, d rdϕ dr..3 Ukłdy współrzędnych krtezjńskie: x, y, z, J, d dy, dv dydz biegunowe x r cos(ϕ) y r sin(ϕ) J r d J drdϕ cylindryczne x r cos(ϕ) y r sin(ϕ) z z J r dv J drdϕdz sferyczne x r sin(θ) cos(ϕ) y r sin(θ) sin(ϕ) z r cos(θ) J r sin(θ) dv J drdϕdθ.4 łki potrójne b y (x) z (x, y) dv f(x, y, z) dy dz f(x, y, z) V y (x) z (x, y) dy dz f(x, y, z) du dv dw J(u, v, w) f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) V V (u, v, w) D(x, y, z) J(u, v, w) D(u, v, w) u (u, v, w) u z(u, v, w) u jkobin dl zminy współrzędnych (u, v, w) v (u, v, w) v z(u, v, w) v (u, v, w) w (u, v, w) w z(u, v, w) w krtezjńskie cylindryczne J r x r cos ϕ, y sin ϕ, z z krtezjńskie sferyczne J r sin θ x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ 3. łki krzywoliniowe i powierzchniowe 3. łk krzywoliniow nieskierown (I rodzju) f( x i, ỹ i ) l i i i f( x i, ỹ i ) l i dl f(x, y) łk po krzywej łcz cej punkty A i B, nie zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest nieskierown. Ten sm rezultt otrzymuje się dl cłki po krzywej AB i po krzywej BA : dl f(x, y) dl f(x, y) dl f(x, y), dl element dªugo±ci krzywej AB BA 3. łk krzywoliniow nieskierown (I rodzju) x dy s, y [ s ( l x + y ) + Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w tki sposób, że poruszjc się od A do B prmetr rośnie od s A do s B, to: s B ((s) ) ( ) dy(s) dl f(x, y) + f (x(s), y(s)) s A Dl przestrzeni 3-wymirowej: s B ((s) ) ( dy(s) dl f(x, y, z) + s A ) + ( dz(s) ( ) ] dy s ) f (x(s), y(s), z(s)) 3.3 łk krzywoliniow skierown (II rodzju) - łk po krzywej łcz cej punkty A i B, zleży od kierunku wędrówki po tej krzywej, jest skierown. Dl cłki po krzywej otrzymuje się przeciwny znk niż dl cłki po krzywej AB : f(x, y) + g(x, y)dy f(x, y) + g(x, y)dy AB BA f(x, y) + g(x, y)dy dl F (x, y), F (x, y) (f(x, y), g(x, y)) pole wektorowe dl (, dy) BA Jeśli krzyw jest sprmetryzown przez s w kierunku wędrówki po krzywej AB tk, że s A s s B, to: AB s B [ ] f(x, y)+g(x, y)dy s A f(x(s), y(s)) (s) + g(x(s), y(s)) dy(s) 3.4 łk krzywoliniow skierown (II rodzju) - łk skierown nie zleży od drogi cłkowni, jeżeli wyrżenie podcłkowe jest różniczk zupełn pewnej funkcji Φ(x, y): AB dφ(x, y) f(x, y) + g(x, y)dy f(x, y) + g(x, y)dy dφ(x, y) Φ(x B, y B ) Φ(x A, y A ) AB f(x, y) + g(x, y)dy dφ(x, y) 0 łk po krzywej zmkniętej z różniczki zupełnej jest równ zeru. Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego to: g(x, y) 3.5 łk krzywoliniow skierown (II rodzju) - 3 s B Dl przestrzeni 3-wymirowej: f(x, y, z) + g(x, y, z)dy + h(x, y, z)dz dl F (x, y, z) AB [ f(x(s), y(s), z(s)) (s) ] +g(x(s), y(s), z(s))dy(s) +h(x(s), y(s), z(s))dz(s) s A dl F (x, y, z) (f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)) i dl (, dy, dz). Wrunek zupełności wyrżeni podcłkowego: g(x, y), g(x, y) z h(x, y), h(x, y) z

3.6 łk powierzchniow niezorientown (I rodzju) łk funkcji z f(x, y) po płcie powierzchni opisnej funkcj z ϕ(x, y) określon n dziedzinie D, czyli {(x, y, z); (x, y) D; z ϕ(x, y)} f( x i, ỹ i, z i ) i f( x i, ỹ i, z i ) i d f(x, y, z) i i ϕ(x, y) z x x ϕ, x x, z y ϕ, y y AB ( x, 0, z x ), AD (0, y, z y ) AB AD ( zx y, z y x, x y) + (ϕ, x ) + (ϕ, y ) x y ( ) ( ) ϕ(x, y) ϕ(x, y) d f(x, y, z) dy + + f(x, y, ϕ(x, y)) D 4. Anliz wektorow 4.3 Wzory różniczkowo-cłkowe wzór Green ( ) g(x, y) f(x, y) + g(x, y)dy dy jest krzyw zmknięt n płszczyźnie XY ogrniczjc powierzchnię twierdzenie tokes dl A (x, y, z)) d rot A(x, y, z) jest krzyw zmknięt w przestrzeni trójwymirowej, dowoln powierzchni rozpięt n tej krzywej twierdzenie Guss-Ostrogrkiego d A(x, y, z)) dv div A(x, y, z) V jest powierzchni zmknięt w przestrzeni trójwymirowej, V zwrt wewntrz niej objętości 3.7 łk powierzchniow zorientown (II rodzju) - pole wektorowe F (x, y, z) (f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)) płt powierzchni zorientownej opisnej funkcj z ϕ(x, y) określon n dziedzinie D, czyli {(x, y, z); (x, y) D; z ϕ(x, y)} dopełnienie elementu powierzchni ( x, y, z ) ( y z, z x, x y) d (d x, d y, d z ) (dydz, dz, dy) (f( x i, ỹ i, z i ) i x + g( x i, ỹ i, z i ) y i + h( x i, ỹ i, z i ) i z ) i f(x, y, z)dy dz + g(x, y, z)dz + h(x, y, z) dy d F (x, y, z) np. jeśli F (x, y, z) styczny do płtu, to cłk znik 4. Różniczk zupełn, grdient Różniczk zupełn funkcji 3 zmiennych Φ(x, y, z) (pol sklrnego) Φ(x, y, z) Φ(x, y, z) dφ dφ(x, y, z) + dy + ( Φ(x, y, z) Φ(x, y, z) Φ(x, y, z),, z (,, z ) (, dy, dz) Φ(x, y, z) dz z ) Φ(x, y, z) (, dy, dz) Φ(x, y, z) dr - opertor różniczkowy nbl, m włsności wektor Φ(x, y, z) grdφ(x, y, z) grdient pol sklrnego Φ(x, y, z) powierzchni ekwisklrn Φ(x, y, z) const dφ 0 Φ(x, y, z) dr 0 Φ(x, y, z) dr mksymln wrtość iloczynu sklrnego: Φ(x, y, z) dr grdient jest prostopdły do powierzchni ekwisklrnej i wyzncz kierunek njwiększej zminy pol (njszybszego spdku) 3.8 łk powierzchniow zorientown (II rodzju) - Jeśli z ϕ(x, y), to np. f(x, y, z)dy dz f(x, y, ϕ(x, y))j(x, y) dy, J d F (x, y, z) D [ ϕ(x, y) f(x, y, ϕ(x, y)) D(y, z) D(x, y) ϕ ] ϕ(x, y) g(x, y, ϕ(x, y)) + h(x, y, ϕ(x, y)) dy zmin cłki powierzchniowej zorientownej n zwykł cłkę podwójn łk d F (x, y, z) to strumień pol wektorowego F (x, y, z) przez powierzchnię zorientown. 4. Dywergencj i rotcj pole wektorowe A (x, y, z) dywergencj A (x, y, z) A x(x, y, z) div A(x, y, z) 0 pole bezźródłowe rotcj + A y(x, y, z) + A z(x, y, z) div A(x, y, z) z ê x ê y ê z A(x, y, z) rot A(x, y, z) z A x A y A z rot A (x, y, z) pole bezwirowe + + z lplsjn