Analiza Matematyczna /18

Transkrypt

1 Anliz Mtemtyczn 7/8 dr hb. Jn Iwniszewski AM-7/8 Wykłd dl studentów I roku kierunków: Fizyk, Fizyk Techniczn, Astronomi, Automtyk i Robotyk, Informtyk Stosown) wprowdz podstwowe pojęci, opercje i metody nlizy mtemtycznej stosowne w fizyce i technice. Główny ncisk położony jest n intuicyjne zrozumienie istoty poszczególnych opercji, przede wszystkim n zdobycie biegłości rchunkowej. Do wykłdu prowdzone są ćwiczeni rchunkowe. Zliczenie przedmiotu nstępuje po zliczeniu ćwiczeń i zdniu egzminu końcowego. Treść wykłdu. liczby, zbiory liczb, relcje, funkcje - bdne obiekty. ciągi, szeregi, grnice, zbieżność 3. rchunek różniczkowy - pochodn, różniczk, szereg Tylor 4. rchunek cłkowy - cłk nieoznczon i oznczon 5. równni różniczkowe 6. metody przybliżone 7. prktyczne wykorzystnie nrzędzi nlizy mtemtycznej Zlecn litertur. G. M. Fichtenholz, Rchunek różniczkowy i cłkowy, T. -3I PWN, Wrszw, 7). W. Krysicki, L. Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich, T. I-II PWN, Wrszw, ) 3. W. Korczk, M. Trjdos, Wektory, pochodne, cłki PWN, Wrszw, 9) 4. W. Leksiński, I. Nbiłek, W. Żkowski, Mtemtyk dl studiów eksperymentlnych WNT, Wrszw, 977) 5. K. Szłjko, Mtemtyk T. PWN, Wrszw, 984) 6. S. Romnowski, W. Wron, Mtemtyk wyźsz dl studiów technicznych PWN, Wrszw, 96) Pordniki, tblice, G. A. Korn, T. M. Korn, Mtemtyk dl prcowników nukowych i technicznych, cz. i PWN, Wrszw, 983) 8. red. I Dziubiński, T. Świątkowski, Pordnik Mtemtyczny, cz. i PWN, Wrszw, 985) 9. I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendijew, Mtemtyk, pordnik encyklopedyczny PWN, Wrszw, 968). B. Piłt, M. J. Wsilewski, Tblice cłek WNT, Wrszw, 983) Zsdy zliczeni Ćwiczeni krtkówki, zdni domowe ok. zdń, 3 kolokwi ocen końcow: krt. %) + zd. dom. %) + kol. 7%) = sum %) Wykłd egzmin ocen końcow: kolokwi 3%) + zd. egzmin. 7%) = sum %) uzyskne punkty w %), ocen końcow: [ 5) ndst [5 59) dost [68 77) dob [59 68) dost+ [77 86) dob+ [86 ] bdb

2 Zbiory i liczby AM-7/8 Zbiory liczbowe zbiory A, B,..., elementy zbioru liczby), b, c,...,,, k np. A := {, b, c,...}, B := {b : wrunek}, X := { k : k = k } k= = {k } k= liczby nturlne N = {,, 3,...} liczby cłkowite Z = {m : m N lub m = lub m N} liczby wymierne Q = {q : q = m } n, m Z i n N liczby rzeczywiste R = Q Q Q liczby niewymierne) Dl zbiorów A i B definiujemy opercje n zbiorch: A B := {c : c A lub c B} sum A B := {c : c A i c B} iloczyn, przekrój A \ B := {c : c A i c B} różnic A B := {c : c A c B} zwiernie się, inkluzj, A jest podzbiorem B A B = {, b) : A, b B} iloczyn krtezjński R R R, R R R R 3 N Z Q R C liczby zespolone C = { c = + i b : R i b R i i = } Kwntyfiktory: kwntyfiktor ogólny: lub dl kżdego, kżdy element zbioru spełni wrunek, np., A < kwntyfiktor szczegółowy: lub istnieje, przynjmniej jeden element zbioru spełni wrunek, np. Zbiór ogrniczony A R ogrniczenie od góry: jeżeli M R A M - krniec górny zbioru, M, to zbiór A jest ogrniczony z góry, jeżeli zbiór jest nieogrniczony z góry, to M =, njmniejszy krniec górny to kres górny M = min {M} = sup A supremum) ogrniczenie od dołu: m R A m A ogrniczony z dołu, m - krniec dolny zbioru, jeżeli zbiór jest nieogrniczony z dołu, to m =, njwiększy krniec dolny to kres dolny m = m {m} = inf A infimum) zbiór ogrniczony z góry i z dołu zbiór ogrniczony Reguły zokrągleń: metod liczby, których część odrzucn w wyniku zokrąglni m postć: 4 - zokrąglenie w dół, np , 5 i 5 - zokrąglenie w górę, np , metod liczby, których część odrzucn w wyniku zokrąglni m postć: 4 - zokrąglenie w dół, np , 5 - zokrąglenie w górę, np , 5 - zokrąglenie do przystej, np..75.8,.85.8, po wybrniu metody nleży w dnym oprcowniu systemtycznie stosowć tylko tę metodę) Szcownie nieznnej wielkości:. wyrżenie poszukiwnej wielkości możliwie prostym wzorem,. oszcownie wrtości wielkości występujących we wzorze, 3. oszcownie wyrżeni liczbowego, A >

3 Przedrostki liczbowe wielokrotności podwielokrotności AM-7/8 3 3 kilo k 3 mili m 6 meg M 6 mikro µ 9 gig G 9 nno n ter T piko p 5 pet P 5 femto f 8 eks E 8 tto dek d decy d hekto h centy c Szcownie rzędu wielkości. Oszcowć wrtość liczbową π ).4 3 ) 8. Ile wentyltorów o wydjności m 3 /godz nleży zmontowć w sli 6, by powietrze było cłkowicie wymienine rzy n godzinę? 3. Promień Wszechświt szcuje się n 6 m, liczbę nukleonów we Wszechświecie n 8. Oszcowć msę Wszechświt, średnią gęstość mterii i średnią ilość nukleonów w m Feynmn T I cz. s. 365) Dwno temu, w erze pleozoicznej kropl popołudniowej ulewy updł n błotnistą równinę, pozostwijąc trwły śld. Śld ten w postci skmieliny odkopł pewnego uplnego dni w wiele lt później student geologii. Wysączywszy do dn wodę ze swojej mnierki student ten bezskutecznie się zstnwił, ile cząsteczek wody z tej strożytnej kropli mogło znjdowć się w mnierce, którą przed chwilą opróżnił. Spróbuj Ty ocenić tę liczbę. 5. Oszcowć jki rezultt osiągnąłby skoczek wzwyż n Księżycu, jeżeli przyspieszenie grwitcyjne jest tm 6-krotnie mniejsze niż n Ziemi. 6. Ciekły hel m gęstość ρ =.3 g/cm 3. Oszcowć wrtość promieni tomu He zkłdjąc, że tomy są upkowne w njgęstszej możliwej konfigurcji, któr wypełni 74% przestrzeni. 7. Jki wpływ n wyniki konkurencji biegowych miło ustwienie strzeljącego z pistoletu strter n murwie stdionu? Dlczego obecnie zwodnicy mją głośniki wmontowne w bloki strtowe? Jk to pogodzić z fktem, że n mecie fotokomórk ustwion jest w dlszym ciągu z boku bieżni? 8. Cegł wży kilogrm i pół cegły. Ile elektronów zwier jedn cegł? Głównym skłdnikiem glinek cermicznych jest kolinit Al Si O 9 H 4.)

4 Ciągi liczbowe AM-7/8 4 Definicje: ciąg liczb nturlnych,, 3, 4,..., n,,... ciąg liczbowy,, 3, 4,..., n,... = { n } n=, { n} N R Klsy ciągów: ciągi monotoniczne: rosnący n < n+ mlejący n > n+ n N n N ciągi ogrniczone: z dołu n m z góry n M m R n N M R n N Ciąg ogrniczony z dołu i z góry to ciąg ogrniczony. Zbieżność i grnice ciągów Jeżeli n < ε, to jest grnicą ciągu. Zpisujemy: lim n =, ε> N n>n szczególny przypdek = : lim n =, n Jeżeli n i <, to n ). Ciąg, który m grnicę, to ciąg zbieżny. Ciąg, który nie jest zbieżny, jest rozbieżny. n. Jeżeli E < n, to ciąg m grnicę nieskończoną. Zpisujemy: lim n =, E> N n>n Podobnie: lim n =, n. W tych przypdkch ciąg { n } jest rozbieżny do ± n +. Twierdzeni o grnicch ciągów kryterium zbieżności Bolzno: Ciąg { n } m grnicę skończoną n m < ε. ε> N n,m>n dziłni n ciągch: Jeżeli lim n =, lim y n = b i c = const, to: grnic iloczynu przez liczbę lim [c n] = c grnic sumy lim [ n + y n ] = + b grnic iloczynu lim [ n y n ] = b [ ] n grnic ilorzu lim = dl b ) b Jeżeli lim n = i {y n } jest ciągiem ogrniczonym, to Jeżeli n n y n z n, orz lim n = lim z n =, to y n lim [ n y n ] =. lim y n =. Twierdzenie: Jeżeli ciąg monotonicznnie rosnący { n } jest ogrniczony z góry M n n M to m on grnicę skończoną. Jeśli nie jest ogrniczony to grnicą jest +. Anlogicznie dl ciągu monotonicznie mlejącego. liczb Euler e n = + n) n e.788

5 3 Funkcje AM-7/8 5 Liczb zmienn liczb ozncz konkretny element zbioru liczbowego), konkretną wrtość dnej wielkości fizycznej), zmienn ozncz dowolny element zbioru liczbowego), pewną wielkość fizyczną) bez precyzowni jej konkretnej wrtości zmienn zdn jest przez zbiór swoich wrtości X, czyli X, zbiór X to obszr zmienności zmiennej gdy X Z to jest zmienną dyskretną, gdy X R to jest zmienną ciągłą funkcj opisuje relcję zchodząc między różnymi zmiennymi, różnymi wielkościmi fizycznymi) Odwzorownie i funkcj odwzorownie: wzjemne przyporządkownie sobie elementów liczb) dwóch zbiorów: X y Y Jeżeli odwzorownie jest jednoznczne jednej wrtości odpowid tylko jedn wrtość y), to odwzorownie nzyw się funkcją: X y = f) Y, X - dziedzin, zbiór rgumentów, Y - przeciwdziedzin, zbiór wrtości Jeżeli jednej wrtości y odpowid tylko jedn wrtość, to funkcj jest wzjemnie jednoznczn. oznczeni funkcji np.: y = f), y = g), = hb),..., le też np. y = y) Rodzje funkcji funkcje złożone funkcje odwrotne y = fg)) y = f ), czyli = fy) Klsy funkcji przyst f ) = f), ogrniczon z dołu nieprzyst f ) = f), ogrniczon z góry okresow f + ) = f), ogrniczon monotoniczne rosnąc < f ) < f ), monotoniczne mlejąc < f ) > f ), Funkcje elementrne i do nich odwrotne potęgowe y = p m R M R m,m R f) m, f) M, m f) M, wykłdnicze y = > ), e ep, logrytmiczne y = log > ), log e ln, log lg

6 trygonometryczne y = sin, cos, y = tn = tg), cot = ctg) AM-7/8 6 cyklometryczne y = rcsin, rccos, y = rctn = rctg), rccot = rcctg). Określić dziedzinę i przeciwdziedzinę wszystkich funkcji elementrnych w przypdku funkcji wykłdniczej i logrytmicznej uwzględnić wszystkie możliwe wrtości prmetru ).. Korzystjąc z wzorów n sin + b), cos + b) i jedynki trygonometrycznej: ) znleźć wzór n tg + b) i ctg + b), b) przedstwić sin) ± sinb) orz cos) ± cosb) w postci iloczynu funkcji sin i cos, c) przedstwić kżdą funkcję trygonometryczną przez kżdą inną funkcję wziąć pod uwgę wrtości w różnych ćwirtkch ukłdu współrzędnych) d) przedstwić wszystkie funkcje trygonometryczne od rgumentu połówkowego / np. sin/)) przy pomocy funkcji od rgumentu i odwrotnie. 3. Uprościć wyrżeni: ) b) c) d) e) sin ± sin y cos ± cos y sin + sin y sin sin y cos cos y cos + cos y tn + tn b cot + cot b + tn tn b cot cot b tn + tn b cot + cot b + tn tn b cot cot b f) cos4 rccos)) g) sin rctn)) ) tn) h) rcsin + tn) [ i) rccos cos) + cos π ) ] ) ) j) rctn tn + cot y cot + tn y [ ] sin) k) rccot sin) [ )) ] l) rcsin cos + rcsin cos m) ln [ cos rctn )) cos π 3 ) ]

7 Grnic funkcji Jeżeli ε> δ <δ grnic lewostronn < ): grnic prwostronn > ): f) < ε, to jest grnicą funkcji. Zpisujemy: lim f) = lub f). lim f) = lim f) =, lim f) = lim f) =, + Jeżeli istnieje grnic lewostronn lim f) = i pr- wostronn lim f) =. Dziłni n grnicch: Jeżeli lim f) = i lim g) = b, to: grnic iloczynu przez sklr lim [c f)] = c c-dowoln stł) grnic sumy grnic iloczynu grnic ilorzu grnic funkcji złożonej lim [f) + g)] = + b lim [f) g)] = b [ ] f) lim = dl b ) g) b Jeżeli lim f) = i lim g) = b, to lim gf)) = b AM-7/8 7 lim f) = b, orz = b, to istnieje grnic Jeżeli dl kżdego w pewnym otoczeniu punktu zchodzi f) g) h) orz lim f) = lim h) =, to lim g) =. pewne grnice: lim + sin) ln + ) = e lim = lim = ) Ciągłość funkcji Jeżeli w punkcie = istnieje grnic funkcji lim f) = orz = f ), to funkcj f) jest ciągł w tym punkcie. Jeżeli funkcj f) jest ciągł w kżdym punkcie zbioru X, to jest ciągł n tym zbiorze. Włsności ciągłości: Jeżeli f) i g) są ciągłe w =, to iloczyn przez liczbę, sum, iloczyn, ilorz, złożenie tych funkcji są ciągłe por. włsności grnicy). Wyznczyć nstępujące grnice znk ± ozncz, że nleży policzyć dwie różne grnice dl tej smej funkcji): +. lim ± 3 +. lim ± 3. lim ± lim, ±, ±, ± lim, dl > 6. lim tn tn 7. lim rctn cos 8. lim sin 4 tn + 9. lim π/ ) π/ Pokzć, że: + 3. lim + 5. lim = ) = e. lim + ) = e ln + ) 3. lim = log + ) 4. lim = ln) e 5. lim = 6. lim = ln) sin) 7. lim = 8. lim cos) =

8 4 Różniczkownie Pochodne) AM-7/8 8 Definicj pochodnej grnic ilorzu różnicowego y = f)) = f f + ) f) ) = lim f ) f) = lim Interpretcj: pochodn funkcji w dnym punkcie równ jest wrtości współczynnik nchyleni współczynnik kierunkowego) stycznej do krzywej dnej przez wykres funkcji w tym punkcie. Włsności: Pochodn sumy Pochodn iloczynu Pochodn ilorzu Pochodn funkcji złożonej [f) + g)] = f ) + g ) [f)g)] = f )g) + f)g ) [ ] f) = f )g) f)g ) g) g) f [g)]) = f y) y=g) g ) d df) [f) + g)] = d d d d d d + dg) d df) [f)g)] = g) + f)dg) d d [ ] [ f) df) = g) f)dg) g) d d d dfy) f [g)] = y=g) dg) d dy d ] g) Pochodn funkcji odwrotnej Różniczk: f ) ) = [ f y) [ ] ] d dfy) y=f ) d f ) = dy y=f ) d - różniczk zmiennej - nieskończenie mły infinitezymlny) przyrost wrtości zmiennej dy = df = df) = f )d - różniczk funkcji y = f) - liniow część przyrostu y wrtości funkcji przy infinitezymlnej zminie d wrtości rgumentu Pochodne wyższego rzędu: drug pochodn pochodn n-tego rzedu y y = lim = d d y = d d y n) = f) n) = dn f) d n { } ) d d d y = y = d d d y = d y d = y) = d f) d = f ) ). Wyprowdzić wzór n pochodną ilorzu dwóch funkcji: ) bdjąc grnicę ilorzu różnicowego, b) korzystjąc ze wzorów n pochodną iloczynu, funkcji złożonej i funkcji potęgowej,. Wyznczyć różniczkę sumy, iloczynu i ilorzu dwóch funkcji, orz funkcji złożonej i odwrotnej. 3. Korzystjąc z definicji grnic ilorzu różnicowego) znleźć pochodne nstępujących funkcji:, +, 3,, 3, e cos,. 4. Obliczyć pochodne wszystkich funkcji elementrnych korzystjąc tylko z definicji grnic ilorzu różnicowego), z wzorów n pochodną sumy, iloczynu, funkcji złożonej i funkcji odwrotnej, z obliczonych już pochodnych innych funkcji elementrnych, orz ze znnych relcji między funkcjmi. 5. Korzystjąc ze znjomości pochodnych funkcji elementrnych orz ze wzorów n pochodną sumy, iloczynu, itd., obliczyć pochodne nstępujących funkcji rezultt podć w możliwie njprostszej postci):. y = ,. y = + 3 ) 5, 4 3. y = 3 3, 3 ) y =, 3 + ) sin 5. y = log, + sin 6. cot3) cot) + y = cot) cot3), 7. y = ln sin3)), ) 8. y = rctn +, 9. y = ) +.5) ) 3. y =,. y = ln e e ),. y = log b ), 3 ) + ) 5 3 3), 3. y = log, 3 4. y = e w [A sin) + B cosb)], 5. y = sin tn)), 6. y = rctn) ln + ), [ )] 7. y = cos rcsin. +

9 5 Bdnie przebiegu funkcji AM-7/8 9 Włsności funkcji jej pochodne funkcj rosnąc f ) > funkcj mlejąc f ) < ekstremum funkcji f ) = funkcj wypukł f ) > funkcj wklęsł f ) < punkt przegięci f ) = miejsc zerowe i : f i ) = mksimum m : f m ) =, f m ) < minimum min : f min ) =, f min ) > punkt przegięci przeg : f przeg ) = Wyrżeni nieoznczone lim f) =, lim g) = b lim [ ] f) = g) b. Co jeśli b =, le tkże =? Wyrżenie nieoznczone zpis symboliczny). Podobnie symbolicznie:,,. Reguły de l Hospitl : lim f) g) = lim f ) g ) : f) g) = f) g) = g) f) lub : f) g) = g) f) : f) g) = f) lim f) g) = lim f ) g ) g) = g) f) g) f) Asymptoty zbieżność do prostej równoległej do osi ukłdu lim f) =, lim f) = ± ± zbieżność do dowolnej prostej lim f) = + b, ± lim f ) = ± g) = f) b, lim ± zbieżność do innej prostszej) funkcji f) = ϕ), lim ± g) = f) ϕ), lim g) = ± Bdnie przebiegu funkcji dziedzin i przeciwdziedzin definicj f), punkty nieciągłości, zchowni symptotyczne lim... f), obszry wzrostu i spdku wrtości funkcji, ekstrem f ), wklęsłość i wypukłość funkcji, punkty przegięci f ). Wyznczyć nstępujące grnice: lim ± e 3. lim sin) 3. lim ±π 4. lim sin) sin) lim lim 7. lim sin + ππ )) cos3) + = 5 3 ln) ln + + 3) 8. lim ± p e wszystkie przypdki i p) 9. lim [ ln)] [. lim ln) + ] [. lim ] Zbdć przebieg funkcji:. y = + 3. y = + 4. y = + 5. y = y = y = 8. y = 9. y =. y = 3. y = + +. y = y = e 4. y = e 5. y = ep ) 6. y = ep ) 7. y = ep ) 8. y = ± rctn) 9. y = rctn) 3. y = rctn) 3. y = ) 3. y = 4) 33. y = 3 + ) 3 ) 34. y = e cos 3)

10 6 Cłk nieoznczon AM-7/8 Funkcj pierwotn Związek z pochodną Liniowość d d f) = df ) d, df) = f), df) = F ) + const d [f) + bg)] = d df) d df) + b = f) + const dg) Cłkownie przez części df )g) = f)g) df)g ) Cłkownie przez podstwienie zminę zmiennych) df) = dyf gy)) g y), gdzie = gy) Typowe podstwieni d f ) = dy fy), gdzie y = d e fe ) = dy fy), gdzie y = e d cos) fsin)) = dy fy), gdzie y = sin) d h ) fh)) = dy fy), gdzie y = h) Cłkownie funkcji wymiernych f) = V m) dl n =, W n ) wyrżeni typu W n ), V m ),... oznczją wielominy stopni n, m,...) I. jeśli m n, to dzielimy licznik przez minownik f) = P m n ) + U n ) W n ), II. jeśli n =, to cłkujemy ułmek U ) W ) przez podstwienie y = W ), III. jeśli n =, to bdmy rozwiązni równni W ) =,. jeśli istnieją rozwiązni,, to:. fktoryzujemy minownik W ) = ) ) b. rozkłdmy U ) n ułmki proste, W ) c. postępujemy jk w p. II. jeśli nie istnieją rozwiązni to:. przedstwimy licznik jko W ) + b, gdzie, b odpowiednie stłe b. cłkujemy W ) W ) przez podstwienie y = W ), b c. w ułmku W ) przedstwimy minownik w postci knonicznej W ) = p) + q, [ ) d. przeksztłcmy minownik do postci W ) = q p) + ], q e. cłkujemy ułmek przez podstwieni y = q p)

11 AM-7/8. Obliczyć cłki nieoznczone wszystkich funkcji elementrnych.. Obliczyć poniższe cłki. Jeżeli w którejś pojwi sie prmetr, b, itd, to cłkując rozwżyć wszystkie możliwe wrtości prmetrutrów) d 3 d 3 d 3 3 d 3 d + d d d d d d d d d d d d d d d d 5 6 d cos d cos 3 d cos 4 d sin d + d + 3 d + d d d sin 3) d 3) sin cos d + 4 sin cos d + 4 sin d sin) 4 cos d + cos d + cos sin d + cos e d + 3e d e + e + e d e d e d e d ln d ln 3) d ln d ln ) d sin ) d cos ) d [ cos )] 3 d 3 + d 3 + d 3 + d 4 + d d 3 d 3 d 3 3 d 3 d 5 3 cot d cot + d rctn) d cos rccossin ) d cos rccossin ) d sin rccossin 3) d d d d d d d 7 + 5) 6 + d 7 + 5) 6 + d 54 b [5 + 6 cos)] sin d 4 cos d 3) e 6 d 6) e 3 d tn) lncos ) ) d rccot 3 ) d sin) cosb)

12 d sin cos d sin cos d sin d sin cos d rccos d rccos d rctn) + 4 cot) d cos) d sin cos e 3 ) d rcsin d e [b sinw) + c cosw)] d e + e ) rctne ) AM-7/8 Pochodne i cłki funkcji elementrnych UWAGA: zwrócić uwgę n dziedziny wszystkich funkcji!!! d f) d f) f)d bez stłej cłkowni) + ) + ) ln = ) e e e ln ) ln ) ln ln log ln ) log ln ) sin cos cos cos sin sin tn cos ) ln cos cot sin ) ln sin rcsin ) rcsin + ) rccos ) rccos ) rctn + ) rctn ln + ) rccot + ) rccot + ln + )

13 7 Cłk oznczon AM-7/8 3 Problem - pole trpezu krzywoliniowego: Jkie jest pole powierzchni zwrtej pomiędzy krzywą y = f), osią OX, orz prostymi równoległymi do osi OY przechodzącymi przez punkty = i = b? P n k= k f k ), k = k k, k [ k, k ] Sum i cłk Riemnn n P = lim k f k ) = k=. lim m { k} = b df). grnic nie zleży od sposobu podziłu odcink, b) 3. grnic nie zleży od punktów, w których liczone są wrtości f) cłk oznczon, i b - doln i górn grnic cłkowni) Podstwowe włsności df) =, b df) = b df), b df) = c df) + b c df) f) dl, b) f) g) dl, b) Twierdzenie o wrtości średniej Jeśli f) jest cigł i ogrniczon n, b), to: b Podstwowy wzór rchunku cłkowego b b b df) df) b dg) d f) = f )b ), dl pewnego [, b] d d dy fy) = f) d f) = F b) F ), gdzie Cłkownie przez podstwienie zminę zmiennych) Jeśli = gy) jest funkcją wzjemnie jednoznczną, to: b d f) = v u d f) = F ) + C dyf gy)) g y), gdzie u = g ), v = g b) Cłki niewłściwe Jeśli obszr cłkowni jest nieogrniczony [, ], [, b],[, ], to: df) = lim b b df); b df) = b lim df); df) = lim lim b b df). Jeśli w przedzile cłkowni [, b] funkcj jest nieogrniczon, tzn. b c [,b] c b df) = lim df) + lim c c c c df) c lim f) ±, to: c Jeśli c =, to b b d f) = lim d f); ɛ + +ɛ jeśli c = b, to b d f) = lim ɛ + b ɛ d f).

14 Obliczyć nstępujące cłki oznczone : AM-7/ ln d d d 3 d + d d 3 + ) + d + 8 d + d + ) d + ) d + ) + + ln e e d d e d e e + e d e, > d e, > d e, > d e, > d ln e3 + 4 d d + ln e e e e π π π π π π π π 4 5π 6 π 6 π 4 π 6 π π d lnπ) d ln ) + d ln ) d cos 3 ) d sin 3 ) d cos 3 ) d sin 5 ) d cos) sin3) d cos) sin d cos ) sin4) d cos + sin π 6 ) d sin 4) /3 3 3 / π 3 π d cos3π) ) d e cos d rccos d ) + )rccot d rtn) d 4 3)rcos) d rctn ) + 4 [ d sin + sin π )] ) ln π

15 8 Równni różniczkowe Równnie różniczkowe zwyczjne rzędu n F ) y n), y n ),..., y ), y, = AM-7/8 5 - zmienn niezleżn, y - nieznn różniczkowln funkcj, zmienn zleżn y = y) Rozwiąznie scłkownie) równni różniczkowego ozncz znlezienie wszystkich funkcji y) spełnijących to równnie. rozwiąznie ogólne o) y o = y o ; C,..., C n ) - rodzin funkcji zmiennej sprmetryzown przez n stłych cłkowni {C j } n j= rozwiąznie szczególne s) y s = y s ) - jedn z funkcji z rodziny funkcji y o o konkretnej wrtości przynjmniej jednego z prmetrów C j Równnie różniczkowe zwyczjne pierwszego rzędu F y, y, ) = rozwiąznie ogólne o) y o = y o ; C) - rodzin funkcji zmiennej sprmetryzown przez C stłą cłkowni) rozwiąznie szczególne s) y s = y s ) - jedn z funkcji z rodziny y o ; C) o konkretnej wrtości prmetru C Równnie o rozdzielonych zmiennych F y, y, ) fy)y g) = fy)y = g) dfy)y = dyfy) = dg) Równnie liniowe F y, y, ) y + f)y g) = równnie liniowe jednorodne j) y + f)y = równnie liniowe niejednorodne n) y + f)y = g) y on ; C) = y oj ; C) + y sn ). y + f)y = metod rozdzieleni zmiennych y oj ; C) = C ep df) ). y + f)y = g) metod uzmiennini stłej y sn ) = D) ep df) ) D ) = g) ep df) ) Równnie różniczkowe zwyczjne liniowe drugiego rzędu o stłych współczynnikch F y, y, y, ) y + y + by g) = y on ; C, C ) = y oj ; C, C ) + y sn ). y + y + by = postulown postć rozwiązni y oj ; C, C ) = C e λ + C e λ, gdzie λ = λ, to rozwiązni równni λ + λ + by =. y + y + by = g) Uwg: rozwiąznie szczególne równni niejednorodnego będzie omwine n pierwszym wykłdzie w styczniu) g) = A = const postulowne rozwiąznie: y sn ) = B = const, wyznczny jest współczynnik B. g) = W n ) postulowne rozwiąznie: y sn ) = V n ), wyznczne są współczynniki wielominu V n ) g) = Ae B postulowne rozwiąznie: y sn ) = De B, wyznczny jest współczynnik D g) = A sind) + B cosd) postulowne rozwiąznie: y sn ) = P sind) + R cosd), wyznczne są współczynniki P i R Ukłd równnie różniczkowych zwyczjnych liniowych pierwszego rzędu o stłych współczynnikch { ) y szukmy y = y) i z = z) spełnijących równni: = y + b z + f ) ) z f = y + b z + f ) ) i f ) są zdne) Rozwiąznie poleg n sprowdzeniu ukłdu dwóch równń różniczkowych. rzędu dl dwóch niewidomych y = y) i z = z) do jednego równni różniczkowego. rzędu dl jednej niewidomej np. dl y = y) np. b z równni ) z = y y f ) z = y y f b b b b b b ) z równni ) y + b )y + b b )y = b f ) b f ) + f )

16 AM-7/8 6 Rozwiązć równni różniczkowe. Tm gdzie zdne są dodtkowe wrunki podć cłkę ogólną i szczególną. y = y 3. y = 3yy 3. y = y y 3, > 4. yy + y) = ) 5. ln y = y 4 ) 6. ln y = y 4 7. ep y tn) ) = y y 8. y + 3 cos) = 3 cos)y. 9. y e +y =,. y = tgy),. + ) y = e y,. sin) y = cos) y, 3. yy e y 4 =, 4. y e 3 y = 3 5. y = e y y ) 6. y siny) = 7. y = + y y ) e )y + y ) =, 9. y + by = c, wszystkie przypdki, b, c). cos + y ) sin y) =. sin) y = cos) y, jeżeli yπ/) = /π.. y + y y =, jeżeli y) = i y ) = y = 3y y), jeżeli y) =, y ) = y + 5y 3y + 3 = 5. y + 4y + 3 = 5e 3, jeżeli y) =, y ) =. 6. y y + 5 =, jeżeli y) =, y ) = y y = 4, jeżeli y) =, y ) = y = y, jeżeli y) =, yln)) = y + 3y y + 6 sin /) = 3. y + 6y + 5y = 3. y + 4y + 3y = 4 sin/) 8 cos/), jeżeli y) =, y ) =, 3. y + 4y 3y = 8 sin) 4 cos), jeżeli yπ) =, y ) = 4, 33. 4y + 4y + 9y = 8 sin) 4 cos), jeżeli yπ) =, y ) = 4, 34. 4y + 4y + y = 5/4 cos/4), jeżeli yπ) =, y) = 3, 35. Rozwiązć równnie ruchu oscyltor hrmonicznego tłumionego o msie m, stłej sprężystości k i stłej tłumieni γ. Podć wzory ogólne dl stłych cłkowni wyrżonych poprzez ) = i v) = v, orz dl dwu specjlnych wrunków początkowych: ) = i v) =, orz ) = i v) =. Przenlizowć wszystkie przypdki wynikjące z relcji pomiędzy prmetrmi ukłdu.

17 9 Szereg Tylor AM-7/8 7 f) = k= Dl = szereg Tylor nzyw się szeregiem Mclurin: n f) = n k! f k) ) ) k + R n ; ) j= j! f j) ) j + R n ). Rozwinąć w szereg Tylor uwzględnijąc wyrzy rzędu ) 5 : ) w punkcie = wszystkie funkcje elementrne, które są w tym punkcie określone, b) w punkcie = funkcje p dl p < ), ln, log, cot, c) w punkcie = π/4 wszystkie funkcje trygonometryczne, w = π/ te z nich, które są tm określone. Których funkcji elementrnych nie możn rozwinąć w szereg Tylor ni w =, ni w =?. Wyznczyć trzy początkowe różne od zer wyrzy szeregu Tylor nstępujących funkcji: ) f) = + +, w punkcie =, 3 ) b) f) = rccos π, w punkcie = 3, c) f) = rctn 3 ) w punkcie = 3, 3. Wyznczyć trzy początkowe różne od zer wyrzy szeregu Mclurin nstępujących funkcji: ) f) = 4 +, b) f) = 3 g) f) = e, 3, h) f) = ln + c) f) =,, + d) f) = ), e) f) = + + ) /, f) f) = e ), i) f) = ln [ + ]. j) f) = ln++ ) +, k) f) = lncos)), l) f) = [ sin π ) π ], 4. Ile wyrzów rozwinięci w szereg Mclurin funkcji e nleży wykorzystć by otrzymć dokłdność rzędu. dl =,.5,.,.5,.? Dl uzyskni wrtości dokłdnych możn posłużyć się tblicmi lub obliczenimi n klkultorze. 5. Wykorzystując rozwinięcie w szereg Tylor funkcji rctn) w jkim punkcie?) wyznczyć liczbę π z dokłdnością do dwóch cyfr po przecinku. 6. Korzystjąc z rozwinięci w szereg Tylor i znnych wrtości funkcji podć przybliżoną wrtość liczbową z dokłdnością do.) nstępujących wyrżeń: 3.95, cos36 ), cos ), tn 9 4 π),.)., ln.8) wrtości liczb e i π obliczyć tkże korzystjąc z szeregu Tylor). Funkcje wielu zmiennych Odwzorownie i funkcj zbiór n-wymirowy X: R n X =,,..., n ), element/punk/wektor ze zbioru X odwzorownie: R n X w = f ) W R jeśli odwzorownie jest jednoznczne to to odwzorownie jest funkcją wielu zmiennych R n X w = f ) = f,..., n ) W R grnic funkcji: lim f ) =, gdzie =,,..., n ),,,,...,,n ) ozncz, że dl kżdego i i,i Grnic istnieje, jeśli nie zleży od sposobu drogi) dochodzeni do punktu. grnic iterown: grnic obliczn kolejno po wszystkich współrzędnych, ) np. dl funkcji dwóch zmiennych: lim lim f, y) = lim g) = y y ) wrunek konieczny n istnienie grnicy podwójnej w, y ): = b Jeśli lim f ) = f ), to funkcj f ) jest ciągł w punkcie. lim y y lim f, y) = lim y y hy) = b

18 Pochodne i różniczki AM-7/8 8 przyrost cząstkowy: zmin wrtości funkcji przy zminie tylko jednego rgumentu, np. f) = f +, y) f, y) pochodn cząstkow: pochodne cząstkowe drugiego wyższego) rzędu: f) lim = lim f +, y) f, y) f, y) = = f,, y) f) lim = lim f, y + y) f, y) f, y) = = f,y, y) y y y f,, y) = f, y) = f, y) f,y, y) = y f, y) = f, y) y = f,, y) = f, y) = f,y, y) = f, y) y y f,, y) = y f, y) = f, y) = f,y, y) = f, y) y y y f,, y) = y y f, y) = f, y) y y = f,yy, y) = f, y) y przyrost zupełny funkcji: zmin wrtości funkcji przy zminie wszystkich rgumentów różniczk cząstkow dominujący wkłd do zminy wrtości funkcji przy infinitezymlnie młej zminie nie wszystkich jednego) rgumentów f, y) f, y) z = f +, y + y) f, y) = + y... y [ = f) + f) y y ] y y f, y) +... z) = z) y = f, y) d = f,, y)d f, y) dy = f,y, y)dy y różniczk zupełn dominujący wkłd do zminy wrtości funkcji przy infinitezymlnie młej zminie wszystkich rgumentów [ f, y) f, y) dz = z) + z) y = d + dy = y d + ] y dy f, y) n f ) n n dz = d i = f,i )d i = f,i )d i i i= interpretcj geometryczn różniczki zupełnej/przyrostu zupełnego funkcji dwu zmiennych z = f, y): dl różniczek d, dy, dz różniczk zupełn to dz = f, d + f,y dy dl przyrostów skończonych, y, z przyrost skończony to z = f, + f,y y i= jeśli =, y = y y, z = z z, to z z = f,, y ) ) + f,y, y ) y y ) jest równniem płszczyzny stycznej do powierzchni z = f, y) w punkcie, y ). i=. Pokzć, że poniższe grnice nie istnieją: ) lim, b) lim,y),) + y,y),) 5, c) lim y,y),π) sin), d) lim + cosy),y),) ln + y).. Obliczyć wszystkie różniczki cząstkowe. i. rzędu, orz podć różniczkę zupełną nstępujących funkcji: + y + z ) f, y, z) = + y + z e) f, y, z) = + y b) f, y, z) = yz + z z f) f, y, z) = c) f, y, z) = + y e αz + y z g) f, y, z) = d) f, y, z) = 3 + y y 3 z h) f, y, z) = zy 3 7 y 4 z 5 We wszystkich zdnich obliczyć wyrżenie df/f doprowdzjąc je do njprostszej możliwej postci. Zstnowić się nd szczególną formą tego wyrżeni w przykłdch b), d) i h).