Sieci Mobile i Bezprzewodowe laboratorium 3
Pla laboratorium Modele masowej obsługi (SMO), Charakterystyki modeli masowej obsługi, Systemy kolejkowe: z pojedyczym kaałem obsługi: M/M/1, M/G/1, M/D/1, z wielokrotym kaałem obsługi: M/M/s, Model matematyczy fukcjoowaia SMO. a podstawie : D. P. Agrawal, Q.-A. Zeg, Itroductio to Wireless ad Mobile Systems, 2e, Thomso, 2006 Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badaia operacyje w przykładach i zadaiach, PWN, Warszawa, 2007
Modele masowej obsługi Potrzeba masowej obsługi zrodziła się w okresie II wojy światowej. Jako pierwszy rozważay był problem, gdy stosukowo duża liczba samolotów bombowych, po wykoaiu zadaia bojowego, musiała wylądować w możliwie krótkim czasie a ograiczoej, zwykle małej liczbie lądowisk. Teoria masowej obsługi, zwaa także teorią kolejek, zajmuje się budową modeli matematyczych, które moża wykorzystać w racjoalym zarządzaiu dowolymi systemami działaia, zwaymi systemami masowej obsługi (SMO). Przykładami takich systemów są: sklepy, porty loticze, podsystem użytkowaia samochodów przedsiębiorstwa trasportowe, podsystem obsługiwaia obrabiarek itp. Rozróżiamy jedokaałowe systemy obsługi wielokaałowe systemy obsługi
Modele masowej obsługi c.d. W systemie masowej obsługi mamy do czyieia z: apływającymi w miarę upływu czasu zgłoszeiami (p. uszkodzoy pojazd, kliet, statek, proces, kliet/aboet w sieci), kolejką obiektów oczekujących a obsługę, staowiskami obsługi (p. staowiska diagozowaia pojazdu, sprzedawca, staowisko wyładuku, procesor, serwer/stacja bazowa/mobila sieci). Rozróżia się systemy masowej obsługi: z oczekiwaiem bez oczekiwaia W SMO z oczekiwaiem zgłoszeie (obiekt zgłoszeia) oczekuje w kolejce a obsługę, zaś w systemie bez oczekiwaia, wszystkie staowiska obsługi są zajęte i obiekt zgłoszeia wychodzi z systemu ie obsłużoy.
... Kolejka Sta. Obsł. Przybycie zadaia / zadań do systemu Kolejka Kolejka Kolejka Kolejka............ Sta. Obsł. Sta. Obsł. Sta. Obsł. Sta. Obsł. Sta. Obsł. Sta. Obsł.
Charakterystyki procet czasu zajętości wszystkich staowisk obsługi prawdopodobieństwo, że system ie jest pusty średia liczba klietów czekających średia liczba klietów czekających i obsługiwaych średi czas czekaia średi czas czekaia i obsługi prawdopodobieństwo, że przybywający kliet czeka prawdopodobieństwo, że klietów jest w systemie
Proces wejściowy Pojęcia związae z procesem wejściowym: itesywość strumieia wejściowego (itesywość przybywaia), liczba klietów-tred, czas czekaia a klieta. Rozkład przybycia zadań w jedostce czasu T (w przedziale [0, t)), p. Poissoa: P(0 T t) gdzie: m - itesywość obsługi 1/m - średi czas obsługi ( mt)! e -mt, 0,1,2,...
Pojęcia związae z procesem obsługi: Proces obsługi czas obsługi (bez czasu czekaia w kolejce), Rozkład czasu obsługi w jedostce czasu T (w przedziale [t 1, t 2 ]), p. wykładiczy: gdzie: x t1 t2 P( t T t ) m -m -m -m e dx e - e 1 m - itesywość obsługi 1/m - średi czas obsługi 2 t t 2 1, t 1 t 2
Przykład 1: Rozważmy orgaizację obsługi kasowej w sklepie samoobsługowym. W momecie podejścia klieta do kasy może zaistieć sytuacja: Przed kasą ie ma kolejki, kliet jest obsłużoy atychmiast Przed kasą stoi kolejka, kliet ustawia się a jej końcu i oczekuje a obsługę. Istote jest ustaleie czy kolejka pozostaje ie zmieioa, kurczy się, czy wydłuża. W iteresie właściciela sklepu jest ieprzerwaa praca kasjera, a w przypadku licziejszej obsady kasowej, możliwie pełe jej wykorzystaie. Należy skalkulować opłacalość uruchomieia owego staowiska, które usprawi obsługę klietów.
Notacja Kedalla System kolejkowy opisay jest 3 lub 4 parametrami: 1/ 2 / 3 / 4 czas przybycia / czas obsługi / liczba staowisk / liczba miejsc w systemie Parametr 1 rozkład apływu M = Markowa (rozkład Poissoa) czas przybycia D = Determiistyczy czas przybycia Parametr 2 rozkład czasu obsługi M = Markowa (wykładiczy) czas obsługi G = Dowoly rozkład czasu obsługi D = Determiistyczy czas obsługi (jedopuktowy) Parametr 3 Liczba staowisk obsługi Parametr 4 liczba miejsc w systemie (łączie staowiska obsługi+ kolejka) Jeśli jest ieskończoa jest pomijaa w zapisie
System M/M/s s staowisk obsługi, strumień wejściowy, rozkład Poissoa z parametrem l, obsługa wykładicza z parametrem m, dyscyplia obsługi FIFO, pojedycza kolejka, l < sm.
System M/G/1 Model : Strumień wejściowy Poisso z parametrem l. Czas obsługi o dowolym rozkładzie, średiej m i odchyleiu stadardowym s. Jedo staowisko obsługi. Czas obsługi ie musi mieć rozkładu wykładiczego. p.: Naprawa telewizora Badaie wzroku Usługa fryzjerska Usługa sieciowa (p. połączeie telefoicze)
System M/D/1 Czas obsługi może być ustaloy, p.. Taśma produkcyja. Myjia automatycza. Czas obsługi determiistyczy Aby uzyskać system M/D/1 w systemie M/G/1 trzeba przyjąć odchyleie stadardowe rówe 0 (s= 0).
Schemat systemu masowej obsługi (SMO) wej wyj 1 zgłoszeia (obiekty zgłoszeia), 2 kolejka obiektów, 3 staowiska obsługi, 4 przemieszczeia obiektów w systemie bez oczekiwaia, 5 przemieszczeia obiektów w systemie z priorytetem obsługi, 6 przemieszczeia obiektu w systemie z oczekiwaiem, wej strumień wejściowy zgłoszeń, wyj strumień wyjściowy obsłużoych obiektów.
Rodzaje dyscypli obsługi W zależości od dyscypliy obsługi SMO moża podzielić astępująco: FIFO (first i first out), czyli kolejość obsługi według przybycia; SIRO (selectio i radom order) czyli kolejość obsługi losowa; LIFO (last i first out), czyli ostatie zgłoszeie jest ajpierw obsłużoe; priorytet dla iektórych wariatów obsługi (5 a poprzedim slajdzie), p. bezwzględy priorytet obsługi ozacza, że zostaje przerwae aktualie wykoywaa obsługa obiektu, a a jego miejsce wchodzi obiekt z priorytetem.
Model matematyczy fukcjoowaia SMO Model matematyczy fukcjoowaia SMO opiera się a teorii procesów stochastyczych. W modelu tym występują zmiee losowe: czas upływający między wejściem do systemu dwóch kolejych zgłoszeń; czas obsługi jedego zgłoszeia przez staowisko obsługi; liczba staowisk; liczebość miejsc w kolejce zgłoszeń oczekujących a obsługę.
Założeia modelu określają typ rozkładu prawdopodobieństwa zmieych losowych (rozkład determiistyczy rówe odstępy czasu), rozkład wykładiczy, rozkład Erlaga, dowoly rozkład; zależość lub iezależość zmieych losowych czasu czekaia a zgłoszeie i czasu obsługi; skończoa lub ieskończoa wartość liczby staowisk obsługi, długości poczekali; obowiązującą w systemie dyscyplię obsługi.
Kaał obsługi: stopa przybycia - przecięta liczba klietów przypadająca a jedostkę czasu, ma rozkład Poissoa, stopa obsługi m - przecięta liczba klietów obsłużoych w jedostce czasu, ma rozkład wykładiczy, liczba rówoległych kaałów obsługi r, parametr itesywości ruchu - stosuek liczby klietów przybywających do liczby klietów obsłużoych w jedostce czasu.
Założeia w teoretyczym modelu: rozpatrywae są tylko sytuacje w których klieci obsługiwai są według kolejości przybywaia do puktu świadczącego usługę, zatem wszyscy klieci są traktowai a rówi.
Rozpatruje się dwa przypadki: Gdy < rm układ zmierza do stau rówowagi (jeżeli obie wartości stałe) to prawdopodobieństwo tego, iż kolejka ma określoą długość, jest stałe w każdej jedostce czasu. Gdy rm układ jest iestabily, a prawdopodobieństwo długiej kolejki rośie (układ ie może adrobić czasu w którym był chwilowo iewykorzystay).
Rozwiązaie problemu kolejki Rozwiązaie astępuje po ustaleiu podstawowych parametrów (, m,, r). Rozwiązaie sprowadza się do wskazaia ajlepszego w daych warukach układu czyików kotrolowaych przez kierowictwo kotrolowaej jedostki. Chodzi tu przede wszystkim o zaleceie usprawieia pracy samego staowiska obsługi a drodze zwiększeia wydajości lub postulat zwiększeia liczby staowisk.
System z pojedyczym kaałem obsługi
Własości: przecięta stopa przybycia : Przecięta stopa obsługi m: m parametr itesywości ruchu : liczba _ kiletow czas _ przyjscia liczba_ kiletow czas_ obslugi Gdy < m ( < 1) układ zmierza do stau rówowagi (jeżeli obie wartości stałe) to prawdopodobieństwo tego, iż kolejka ma określoą długość, jest stałe w każdej jedostce czasu. Gdy m ( 1)układ jest iestabily, a prawdopodobieństwo długiej kolejki rośie (układ ie może adrobić czasu w którym był chwilowo iewykorzystay). m
Przykład 2: Na poczcie obok iych staowisk jedo jest przezaczoe do obsługi wpłat i wypłat gotówkowych osób fizyczych. Ruch w godziach 14-18 jest tak duży, że rozważa się możliwość uruchomieia dodatkowego staowiska obsługi. Sprawdzić, czy jest to słusza decyzja. Poiżej podao obserwacje poczyioe w czasie jedej z godzi szczytowych.
Przykład 2 c.d.: Numer klieta Czas przyjścia liczoy od przybycia poprzedie go klieta (w mi) Czas obsługi klieta (w mi) Numer klieta Czas przyjścia liczoy od przybycia poprzedie go klieta (w mi) Czas obsługi klieta (w mi) 1 0 1,5 11 1 5,5 2 0,5 2,5 12 1,5 4,5 3 1 1 13 2 4 4 1,5 2 14 1,5 3 5 1 3 15 1 2 6 2,5 5 16 2,5 1,5 7 0,5 0,5 17 3 3 8 6 1,5 18 3,5 4 9 2 2,5 19 4 4 10 1,5 6 20 3,5 3 Razem 40 60
Rozwiązaie: stopa przybycia 20 40 0,5 stopa obsługi m 20 1 60 3 parametr itesywości ruchu m 1 2 1 3 3 2 1,5 Zatem zachodzi ierówość m, czyli stopa przybyć przewyższa stopę obsługi. Wartość parametru 1 sugeruje, że mamy do czyieia z układem iestabilym, a prawdopodobieństwo długiej kolejki się zwiększa. Osiągięcie stau rówowagi jest tylko możliwe dzięki podjęciu radykalych działań: skróceiu czasu obsługi klieta zaistalowaiu dodatkowego staowiska obsługi.
System z wielokrotym kaałem obsługi uogólieie przypadku z pojedyczym kaałem obsługi
Własości: przecięta stopa przybycia : Przecięta stopa obsługi m: m parametr itesywości ruchu : liczba _ kiletow czas _ przyjscia liczba_ kiletow czas_ obslugi Gdy < mr ( < 1) układ zmierza do stau rówowagi (jeżeli obie wartości stałe) to prawdopodobieństwo tego, iż kolejka ma określoą długość, jest stałe w każdej jedostce czasu. Gdy mr ( 1)układ jest iestabily, a prawdopodobieństwo długiej kolejki rośie (układ ie może adrobić czasu w którym był chwilowo iewykorzystay). mr
Prawdopodobieństwo, że w systemie jest brak klietów, czyli =0 obliczamy ze wzoru: P ( 0) r - 1 i0 i i! 1 r r- r- 1!
Przecięta (średia) liczba klietów oczekujących w kolejce to: Q r1 P 0 2 r - r -1!
Przecięty (średi) czas oczekiwaia klietów a wykoaie usługi: W r 0 1 2 Q P rm( r!) -
Prawdopodobieństwo, że w kolejce oczekuje klietów określa wzór: - r dla r P r r dla P P r! 0! 0
Prawdopodobieństwo, że w kolejce oczekuje więcej iż 0 klietów (pod warukiem gdy ) określa wzór! 0 1 0 0 0 r r P r P r - - 0-1 r
Prawdopodobieństwo, tego że czas oczekiwaia w kolejce jest dłuższy iż t 0 określa wzór: t t P r - e -mt r- P 1 0 0
Przykład 3: W pewej komórce sieci telefoii komórkowej dostępe są dwie częstotliwości a których moża zrealizować połączeie. Przecięty czas zgłoszeia aboeta wyosi 3,8 a godz., a stopa obsługi (realizacja rozmów) wyosi 2 rozmowy a godz. Czy system obsługi zmierza do stau rówowagi?
Rozwiązaie: układ zmierza do stau rówowagi, gdy: < rm m 3,8 2 r 2 mr 3,8 2 2 0,95 sta rówowagi systemu jest zachoway, bo 3,8 4
Ile wyosi prawdopodobieństwo, że ie będzie kolejki? P ( 0) r - 1 i 0 i i! 1 r r - r -1! P( 0) 1 0,95 Prawdopodobieństwo, że ie będzie kolejki do realizacji połączeia wyosi 0,36 (36% szas). 1 0,95 1,051 2 0,36
Ile wyosi prawdopodobieństwo, że kliet będzie musiał oczekiwać? Prawdopodobieństwo, że kliet będzie musiał oczekiwać a realizację rozmowy wyosi 0,64 (64% szas). 0,64 2! 0,95 2 0,36 0,95 2 0 1 0 0 2 - - P! 0 1 0 0 0 r r P r P r - -
Ile wyosi prawdopodobieństwo, że w kolejce zajdują się więcej iż dwie osoby? Prawdopodobieństwo, że w kolejce zajdują się więcej iż dwie osoby wyosi 0,15 (15% szas). 0,15 2! 0,95 2 0,36 0,95 2 2 1 2 2 2 - - P! 0 1 0 0 0 r r P r P r - -
Ile wyosi prawdopodobieństwo, że kliet będzie musiał oczekiwać w kolejce dłużej iż 0,5 godz.? -m t r- t t P r -1 e P 0 0 P 1 2 2-1 11 0,95 0,36 2-0,95 2! 0,3-20,52-0,95 0,5 0,3e P t 0,3 0,35 0,11 Prawdopodobieństwo, że kliet będzie musiał oczekiwać w kolejce dłużej iż 0,5 godz. wyosi 0,11 (11% szas).
Ile przeciętie klietów oczekuje w kolejce a realizację połączeia? Q r1 P 0 2 r - r -1! Q 0,95 21 0,36 2 2-0,95 2-1! 0,28 Przeciętie w kolejce oczekuje 0,28 klieta.
Jaki jest przecięty czas oczekiwaia klietów a wykoaie usługi? W Q 0,28 W 0,074godz. 3,8 0,074*60 mi. 4,44mi. Przeciętie w kolejce oczekuje się 4,44 miuty.
Jak wygląda sytuacja z puktu widzeia zarządcy sieci? Sytuacja z puktu widzeia zarządcy sieci jest komfortowa. Wprawdzie prawdopodobieństwo bezkolejkowej realizacji połączeia ie jest duże, bo wyoszące 0,36. Ale małe jest prawdopodobieństwo oczekiwaia w kolejce więcej iż dwóch aboetów, bo wyoszące 0,15. Bardzo małe jest prawdopodobieństwo, że aboet będzie czekał dłużej iż pół godziy, bo wyosi 0,11. Z aalizy wyika, że przeciętie w kolejce przez 4,44 miuty oczekuje 0,28 klieta.
Zadaia rachukowe Wykoać zadaia rachukowe zawarte w pliku: zadaia_teoria_kolejek.pdf.
Zadaie implemetacyje: Samoobsługowa pralia, dyspoująca 3 pralkami i 2 suszarkami. Klieci po przybyciu czekają, aż któraś z pralek będzie wola, wkładają ubraia do pralki i włączają program praia. Po zakończoym praiu, mokre rzeczy ależy przewieźć do jedej z maszy suszących, zajdujących się w pomieszczeiu obok. Jeśli maszyy są zajęte to klieci z ubraiem ustawiają się w kolejkę. Obliczyć: średi czas oczekiwaia a pralkę i suszarkę, średią liczbę oczekujących a pralkę i a suszarkę.
Zadaie implemetacyje c.d.: Dae wejściowe: prawdopodobieństwo pojawieia się klieta w jedostce czasu, mi. i max. czas praia (czas losoway dla każdego praia), mi. i max. czas suszeia (czas losoway dla każdego suszeia). Kotrolki: długość kolejki do praia, realizacja praia w każdej z pralek, długość kolejki do suszeia, realizacja suszeia w każdej z suszarek, liczba obsłużoych klietów. Wyiki: wykres lub liczbowa średia liczba oczekujących a pralkę, wykres lub liczbowa średia liczba oczekujących a suszarkę, wykres lub liczbowy średi czas oczekiwaia a pralkę, wykres lub liczbowy średi czas oczekiwaia a suszarkę. Realizacja zadaia z krokiem lub ciągła.
Przygotować a koleje zajęcia: Zgromadzić iformacje a temat problemu braku wolych kaałów i rozwiązaia go poprzez: zapożyczeie typu borrowig from the richest, zapożyczeie typu borrowig first available, zapożyczeie typu zapożyczeie ze zwrotem, dyamiczą alokację kaałów.