Analiza matematyczna (6/7) Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. dr Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania. Wyjątkiem są zadania oznaczone literą(p) oraz symbolem(*). Zadania oznaczone literą są proste i należy je rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką są trudniejsze. Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów. Na końcu listy zadań umieszczono po 4 przykłady zestawówzadańziiiikolokwiumorazzegzaminówpodstawowegoipoprawkowego,atakżezegzaminu na ocenę celującą. Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej http://www.wmat.pwr.edu.pl/835.3.dhtml Lista. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: (a) Wrocław jest stolicą Polski ; (b) liczba 6 jest podzielna przez 8 ; (c) a +b =c ; (e) 5 3 ;. Napisać zaprzeczenia zdań: (a) jem śniadanie i słucham radia ; (b) kwadrat nie jest pięciokątem ; (d) trójkątobokach3,4,5jestprostokątny ; (f) =b 4ac. (c) stolicą Polski jest Gniezno lub Warszawa ; (d) jeślifunkcjafjestrosnąca,tofunkcja fjestmalejąca ; (e) liczbajestpodzielnaprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnaprzezorazprzez3. 3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych: (a) nieprawda,żefunkcjaf()= jestrosnącana R ; (b) ( ) 44 = lub8jestliczbąparzystą ; (c) funkcjag()=sin+cos(π/)jestokresowa,afunkcjaf()=3 3 nieparzysta ; (d) jeżeli Piotr jest ojcem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ; (e) liczba3579jestpodzielnaprzez9wtedyitylkowtedy,gdysumajejcyfrjestpodzielnaprzez9. 4.Używająctylkokwantyfikatorów,spójnikówlogicznychorazrelacji=,,<, zapisaćstwierdzenia: (a)funkcjafniejestrosnącanaprzedziale[a,b]; Zadaniazaczerpniętozksiążek:Analizamatematyczna(Definicje,twierdzenia,wzory;Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy), Wstęp do analizy i algebry oraz Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą
(b) przedział[p, q) zawiera punkt ; { (c) układ równań +y =4, nie ma rozwiązań; +y= (d)równanie 7 +3 5 +=matylkojednorozwiązanierzeczywiste; (e) liczba 7 jest pierwsza. 5. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: (a) =7; (b) +4+>; (c) +y 3 =; R (d) y R R R y=; (e) R R (y ) (y>); (f) y R R y R 6.DlaparzbiorówA,B RwyznaczyćA B,A B,A\B,B\A,A c,b c : y R sin+cosy=. (a)a=(,5), B=[,7]; (b)a=(,3), B=[, ); (c)a={,}, B={,,3,4}. WskazaćteparyA,B,dlaktórychA B. 7.(P) Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowej(jeżeli istnieje) i naszkicować ich wykresy: (a)f()= +; (b)f()= +; (c)f()= ++ 4 ; (d)f()= + 3; (e)f()= + 3 ; (f)f()= 3 9 4. Lista 8. Określić i narysować dziedziny naturalne funkcji: (a)f()= 3 ; (b)f()= 4 + ; (c)f()= 6 4 ; (d)f()= 3 +. 9. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: (a)f()=3, R; (b)f()=,(,]..podaćwzoryfunkcjizłożonychf f,f g,g f,g gorazokreślićichdziedzinynaturalne: (a)f()=, g()=3+; (b)f()=, g()= ; (c)f()=, g()= 4 ; (d)f()=, g()= +.. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: (a)f()= 3, R; (b)f()=, (, )..(P) Korzystając z własności logarytmów obliczyć: (a)log 6 3+log 6 ; (b)log 3 8 log 3 ; (c)9log 6 3 36; (d)3log 3 log 3 4; (e)3log 4 3 log 43+3log 4 log 4 6; (f) log 54 log 6 log 7 log 9. 3. Naszkicować wykresy funkcji: (a)y=(+) 4 ; (b)y= ; (c)y= ( ) (d)y= + ; (e)y= ; (f)y=4 ; 3 (g)y=5+log ; (h)y= log ; (i)y=log 3 (+3) ; 9.
4. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: (a)f()= + ; (b)f()=3 3 +; (c)f()= ; (d)f()=log(+); (e)f()= ( ); (f*)f()= sgn(). Lista 3 5.Narysunkuprzedstawionowykresfunkcjiy=f(). Narysować wykresy funkcji: (a)y=f()+3; (b)y=f(+); (c)y= f(); (e)y=f()/; (g)y= f() ; (d)y=f( ); (f)y=f(3); (h)y=f( ). y y=f() 6.(P) Korzystając z wykresu funkcji y = sin naszkicować wykresy funkcji: (a)y=sin3; (b)y=sin ( ; (c)y=sin + π ) ; 4 (d)y=+sin; (e)y= ( sin ; (f)y=sin π ). 6 7. Naszkicować wykresy funkcji: (a)y= cos ; (b)y=sin sin ; (c)y= tg ctg. 8. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: (a) +tgα +ctgα =tgα; (b)sin4 α+cos 4 α= sin α; (c)tgα+ctgα= sinα ; (d)sin= tg +tg ; (e)cos= tg +tg ; (f)cos 4 α sin 4 α=cosα. Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe? 9. Wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus o argumentach będących wielokrotności α funkcje: (a)sin α; (b)cos α; (c)sin 4 α; (d)cos 4 α..(p) Podaj wartości wyrażeń: ( (a)arcsin +arccos ) 3/ ; (b)arcctg arctg; (c)arcsin ; (d)arctg 3 arcctg 3. arcsin. Określić dziedziny funkcji: ( (a)f()=arcsin(+); (b)f()=arccos + ) ; (c)f()=arctg + ; (d)f()=arcctg. Lista 4. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: (a)a n = +cosn 3 sinn ; (b)a n= n n ; (c)a n = n; (d)a n = n+8 n+3; (e*)a n = 4 + + 4 + +...+ 4 n +n. 3
3. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: (a)a n = n+ n+ ; (b)a n= n n + ; (c)a n= n! n; (d)a n = n 6n+ ; (e)a n= 4n n +3 n; (f)a n= n + n. 4. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości: 3 n (a) lim = ; (b) lim n+4 n (c) lim n =. 5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: (a) lim (d) lim (g) lim 3n n+ ; (b) lim n+4 n + ; ( n + ) 3 +3+...+(n ) (n 3 +) ; (e) lim +4+...+n ( n + ) n!+ ; (h) lim (n+)(n+)! n 3 +n + (c) lim n 3n 3 ; 5 n+ 4 n ; (f) lim 5 n 4 n+; ( n +4n+ n +n) n n+ ; (i) lim n 3 +. 6. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: (a) lim (d) lim n+( ) n nπ ; (b) lim 3n+ n n n + 3 n + n n3; (e) lim 7. Obliczyć granice z liczbą e: ( (a) lim + 3n ; (b) lim n) (e) lim ( 5n+ 5n+ ; (c) lim 3 n + n 5 n +4n; lim ) 5n ; (c) lim ( ) 3n+ n ( ) 3n n ; (f) lim ; (g) lim 3n 3n+ n 3+sinn; ( n + + n + +...+ ) n. +n ( n+4 n+3 ( +lnn lnn ) 5 n ; (c) lim 8. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n + ( ) (a) lim n ; (b) lim n 4 3n 3 n ( (d) lim n (n+)! + n) ; (e) lim ; (f) lim n!+ Lista 5 ( ) n+ n ( ) 5n+ n ; 5n n ) lnn (n+) n (n+) n ; (h) lim (n+) n (n+3) n. ; (c) lim (+n 3 n ); arctgn arcctgn. 9. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: (a) lim( ) 5 =; (b) lim 3 =; (c) lim + =. 3. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć: (a) lim ; (b) lim + (e) lim 5+4 ; (f)lim ( 5) 6 tg + (i) lim π tg +5 ; (j)lim + ; (c) lim ; +4+3 + ( ; (g) lim 6 ++) + ; (h) lim 3 + ; sin ; (k) lim ++ ; (l)lim cos + 3. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice: (a) lim sgn; (b)lim ; (c)lim 4 ; (d)lim arctg. 4 (d)lim 3 8 4 6 ; ( 3 3 ).
3. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości: (a) lim cos + =; (b)lim arctg +sin =; (c) lim =. 33. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć: sin (a) lim ; (d) lim arctg ; ln(+ 3 ) (g) lim sin( 4) (b)lim ; 4 (e) lim π ; (h) lim cos5 cos3 ; ln ( 3 ) + (j) lim(+) ; (k)lim[+tg()] ctg ; (c)lim arcsin arctg ; (f)lim e 3 sin ; ; (i)lim π e ; (l)lim 3 + 6 ; 34. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: (a)f()= 3 + 4 ; 3 3 (b)f()= (+) ; (c)f()= 9 ; + (d)f()= ; (e)f()= 3 +sin 3 ; (f)f()= ; (g)f()= cos e ; (h)f()= arctg; (i)f()=(+). Lista 6 35.Dobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: dla<, a + dla<, a +dla<, (a)f()= a+bsindla π/, (b)f()= (c)f()= dla, b dla ; dla>π/; 3 +bdla>. Naszkicować wykres funkcji z przykładu(a). 36. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj: + (a)f()= ++ dla, arctg dla=, (b)f()= dla, dla=; dla=; (c)f()= ln( ) ln( +) dla, cos (d)f()= dla, dla=; dla=. 37. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: [ (a) 3 +6 =,[,]; (b)sin=7, π, 5π ] ; (c) =sin, [ ] (d) + =,, ; (e)3 +=3,[,]; (f) =,[,]. Wyznaczyć rozwiązania równania(a).5. 38. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: (a)f()= 4 ( R); (b)f()= 3( ); (c)f()= (>); (d)f()=cos( R). [, π ] ; 5
Lista 7 39. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: { } (a)f()=, =; (b)f()=sin sgn(), =; (c)f()=min,, =. Naszkicować wykresy tych funkcji. 4.Zbadaćzdefinicji,czypodanefunkcjemająpochodneniewłaściwewpunkcie =: (a)f()=3 5 ; (b)f()= sin. 4. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne funkcji: ( (a)y=f ); (b)y= f( ) ; (c)y=e f(e ); (d)y=f()cosg(); (e)y= f () g (); (f)y=arctg[f()g()]; ). (g)y=ln f() g() ; (h)y=tgf() g() ; (i)y=f()g ( 4. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: (a)y= + ; (b)y=3cos+tg; (c)y=e+ sin ; (d)y= ( 3 + ) e ; (e)y= ( + 4 ) tg ; (f)y=e arctg; ( (g)y=ln sin + ); (h)y= 3 arcsin( ); (i)y=e e ; (j)y= sin 3 cos ; (k)y= ( e +) 3; (l)y=(sin) (<<π). 43.* Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (a)f()=+ln, y =e+; (b)f()=cos 3, y =; (c)f()= 3 + 5 + 7, y =3; (d)f()= 3 +3, y =4. ( f ) (y ),jeżeli: 44.(P) Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: (a)f()=arcsin ) ( π (,(,f()); (b)f()=ln +e,(,f()); (c)f()=e tg, 4,f (d)f()= +,(3,f(3)); (e)f()= +, (,f ( )) ; (f)f()=e +,(,). 45.(a)Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= 4 +5,którajestrównoległado prostejy=+3. (b)wyznaczyćstycznądowykresufunkcjif()=,któratworzykąt π 4 zosiąo. (c)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=ln,którajestprostopadładoprostej +6y =. (d)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=arctg,wpunkciejegoprzecięciazprostą π=4y. (e)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=sin cos3wpunkciejegoprzecięciaz osią Oy. ( π 4 )) ; 6
46. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: π ln( +) lnsin (a) lim ; (b)lim ln +9 (d) lim 5 5+4 ; (e)lim lncos lncos3 ; (g) lim +ln; (j) lim ( ctg ) ; (k)lim (h) lim π (π )tg ; ( ln + ; (c)lim arctg ; (f) lim arcctg; ( (i) lim + cos ) ; (l) lim +( ln) ; ) ; (m) lim ( π arctg ) ; (n) lim +(+)ln ; (o) lim ( π ) (tg)cos. Lista 8 47. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: (a)f()= 3 3 +5; (d)f()= 3 3 ; (g)f()=ln ; 48. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: (b)f()= 4 4 3 3 ; (c)f()=4+ ; (e)f()= ; (f)f()=e 3 ; (h)f()= ln ; (i)f()= ln. (a)f()= 3 4 ; (b)f()=+ ; (c)f()= ; (d)f()=(+)e ; (e)f()= + + ; (f)f()= 5 6 ; (g)f()=ln; (h)f()= ( 3 3 ; (i)f()=arctg ln + ). 49. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach: (a)f()= 3 5 +36,[,5]; (b)f()= + +,[ 4,]; (c)f()=( 3) e,[,4]; (d)f()= 9,[ 5,]; (e)f()=sin+sin, [, 3 ] π ; (f)f()= + + +,[,]. 5.(P)Obliczyćf,f funkcji: (a)f()=4 7 5 3 +; (b)f()= 3 ; (c)f()=e ; (d)f()=arctg; (e)f()=sin 3 +cos 3 ; (f)f()= 3 ln. 5. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji: (a)f()=( )( 3); (b)f()=e ; (c)f()= 3 + ; (d)f()=ln (+ ) ; (e)f()= ; (f)f()= 3 3 4ln ; (g)f()=sin+ 8 sin; (h)f()=earctg ; (i)f()= ln. 7
Lista 9 5. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: (a)f()=( ) (+); (b)f()= 3 ; (c)f()= ; (d)f()=3 4 4 ; (e)f()= ; (f)f()= ln ; (g)f()=e ; (h*)f()=sin+sin3; (i)f()= ln. 53. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu km od prostoliniowego brzegu. Ropa z platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia km rurociągu na dnie morza wynosi euro, a na lądzie euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Platforma wiertnicza km 6km Rafineria 54.Prostopadłościennykontenermamiećpojemność.5m 3 ikwadratowąpodłogę.kosztm blachypotrzebnejdowykonaniapodłogiipokrywywynosizł,aścianbocznych 3zł.Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? 55. Jaki powinien być kąt α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy? α r 56. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest prostoliniowy brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki? rzeka S a b 57.Wparabolęorównaniuy=4 wpisanoprostokąt,wsposóbprzedstawionynarysunku. Znaleźć wymiary prostokąta, który ma największe pole. y y=4 8
Lista 58.NapisaćwzoryTaylorazresztąLagrange adlapodanychfunkcjif,punktów orazn: (a)f()= 3, =,n=4; (b)f()=, =,n=; (c)f()=sin, =π,n=3; (d)f()=e, =,n=5. 59. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: (a)f()=sin 3 ; (b)f()=cosh; (c)f()=cos; (d)f()= e. 6. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach: (a)tg, π ; (b)cos,.; (c) + +,.5; (d)ln( ) 8 3 3, <.. 6. Stosując wzór Maclaurina obliczyć: (a) e zdokładnością 3 ; (b) 3.997zdokładnością 3 ; (c)ln.zdokładnością 4 ; (d)sin.zdokładnością 5. Lista 6. Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć: (a) ( )d; (b) 3 Wskazówka. Zastosować odpowiednio wzory d. (a) ++...+n= n(n+) 63. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki: ( ) + (a) d; (b) (d) ( + 3) d; (e), (b) + +...+n = n(n+)(n+). 6 9 d; (c) + ( ) 3 + 4 d; (f) π/3 d + ; tg d. 64. Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić równości: 3 + 3 +...+n 3 (a) lim n 4 = [ ( ; (b) lim cos π )] 4 n n +cosπ n +...+cosnπ = n π ; [ (c) lim n +n+ +n+...+ n+n n( )] = ( ). 3 65. Obliczyć podane całki nieoznaczone: ( (a) 3 + 4 ) 3 d; (b) (d) cosd cos sin ; ( )d + ; (c) 4 d + ; (e) 3 + 3 d; (f) 5 d. 9
66.* Znaleźć funkcję f, jeżeli: (a)f ( ) = (>); (b)f (3 )=3 ( R); (c)f (sin)=sin( R). 67. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: (a)y=,+y=; (b)y=,y=,y=3; (c)y=,y=,y=4; (d)y=,y= 4 + ; (e)y=,y=,=; (f)y=+sin,y=,( π); (g)y=π,=πy ; Lista (h)y 4 =,y=,y=6; (i)y =,y= 6,y=,y=4. 68. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: arctg (a) e 3 d; (b) (+) e d d; (c) d; (d) cos ; arccosd (e) sind; (f) ; (g) ln(+)d; (h) arccosd; + (i) e sind; (j) sinsin3d; (k) sin3cosd; (m) sin d; (n) cos 4 d; (o) 69. Metodą całkowania przez części obliczyć całki oznaczone: (a) (d) π 4 e d; (b) sind; (e) π e d; (c) (+cos)d; (f) e ( ln + ) d; (p*) e ln d; arcsind. 7. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: (a) (e) (i) cos +4 d; (b) d; (c) d ch ; ln d; (j) cosd ; (d) +sin (f) (5 3) d; (g) 5 5 3 +d; (h) e d 5sind e + ; (k) 3 cos ; (l) 7. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień: (a) (c) (e) π 4 sine cos d,cos=t; (b) +d, +=t; (d) d ( ),=t ; (f) 3 e 3 d +,+=t; lnd,ln=t; 9 d,=3sint; (g) (l) coscos5d; ( ) sin +4 d; d + ; 3 e d. ln3 sine d. e d +e,e =t.
7.(P) Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju: d (a) ( 3) 7; (b) d +5 ; (c) 5d ( 7) 3; (d) 8d 9+. Lista 3 73. Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: d (6+3)d (a) +4+9 ; (b) ++4 ; (c) (4+)d +9 ; (d) 74. Obliczyć całki z funkcji wymiernych: (+)d (a) ( ) ; (b) d + ; (c) d (4+)d (e) ( +)( +4) ; (f) ++ ; (g) (5 4)d (i) 4+ ; (j) d ++5 ; (k) ( )d 9 +6+. d 4 ( ) ; (d) d 9 ; d +6+8 ; (h) d ( +4) ; (l) 75. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: (a) sin 3 d; (b) sin 4 cos 3 d; (c) cos 4 d; d ( 4) ; d 4. (d) sin 3 cos 6 d; (e) cos cosd; (f*) sin sin d. 76. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: d +tg (a) sin+tg ; (b) cos d; sin d (d) +cos ; (e) d tg ; d (g) cos ; (h) Lista 4 (c) d sin+cos ; (i) d +cos ; (f) sin 5 d cos 3 ; d 3sin+4cos+5. 77. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: (a) + y=,=,y=; (b)4y=,y= 8 +4 ; (c)y=ln,=e,y= ; (d)y=tg,y=ctg(<<π/); (e)y= 9,y=,y=; (f)y=,y=4,y=6. 78. Obliczyć długości krzywych: (a)y=ln e + e, 3; (b)y=, ; (c)y= 3, ; (e)y=e, ln ln3; (g)y=5 + 6 3, ; (h)y= lncos, π 4. 79. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi: (a)t:, y,o; (b)t: 5, y +4,Oy; (c)t: π 4, y tg,o; (d)t:, y,oy;
(e)t:, y 3,Oy; (f)t: 3, y,oy; 4 (g)t: 4, y 5,O; (h)t: π, y sin+cos,o; (i)t: π, y sin,y=; (j)t:, y,=. 8. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów funkcji f wokół wskazanych osi: (a)f()=cos, π,o; (b)f()= 4+, 4,O; (c)f()=ln, 3,Oy; (d)f()= +,,Oy; (e)f()= 4,,O; (f)f()= ( ), 3,O; 3 (g)f()=,,oy; (h)f()= 9, 3,Oy. 8.(a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużenia(współczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L. (b)zbiornikmakształtwalcaoosipoziomej.średnicawalcad=m,adługośćl=6m.obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do opróżnieniazbiornikaznajdujesięwjegogórnejczęści.masawłaściwawodyγ=kg/m 3. 8.(a)Punktmaterialnyzacząłporuszaćsięprostoliniowozprędkościąpoczątkowąv =m/s iprzyspieszeniema =m/s.poczasiet =spunkttenzacząłporuszaćsięzopóźnieniem a = m/s.znaleźćpołożeniepunktupoczasiet =sodchwilirozpoczęciaruchu. (b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiedniov (t)=t+t 3,v (t)=6t,gdziet.pojakimczasienastąpizderzenietych cząstek?
Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane. Ikolokwium Zestaw A.Wyznaczyćwszystkieasymptotywykresufunkcjif()= 5 5 5.. Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i następnie obliczyć granicę lim 3.Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= arctg wpunkcie = 3. ( sin 4 ) 4. Obliczyć granicę lim 3+. Zestaw B n 3 n+ + n+. (. Obliczyć granicę lim n 4 +n 3 + n ).. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji f() = e. Następnie obliczyć jej pochodną. 3.SformułowaćtwierdzenieBolzanoiuzasadnić,żerównanie +=5matylkojednorozwiązanie. 4. Obliczyć granicę lim [(ln(+) ln)]. Zestaw C +a dla, e.dobraćparametrya,b Rtak,abyfunkcjaf()= dla<, b dla< byłaciągłana R. ( ) 3n+ n 5. Obliczyć granicę lim. 3n+ 3.Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=e,którajestrównoległadoprostej y=e. ( ln 8 ) 4. Obliczyć granicę lim. 3 3 Zestaw D.Znaleźćdziedzinęnaturalnąfunkcjif()=arcsin ( 3 ) iobliczyćf (). n. Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i zastosować je do obliczenia granicy lim n 3 +n +3. 3.Znaleźćwszystkieasymptotyfunkcjif()= 4 3 3 +. 4.Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=e 3 wpunkcie (,e 7). 3
II kolokwium Zestaw A. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim arctg.. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f() = 3. Całkując przez części obliczyć całkę oznaczoną π cos d. + naprzedziale[,]. 4.ObliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosiOfiguryograniczonejkrzywąy=sini Zestaw B prostąy= π ( π/)..wyznaczyćprzedziałymonotonicznościfunkcjif()= +ln.. Podać wymiary prostokątnej działki wytyczonej z obszaru w kształcie półkola o promieniu R tak, aby miała ona największe pole. 3.Przezpodstawienie=t (t )obliczyćcałkę + + d.następniewyznaczyćfunkcję pierwotnąffunkcjipodcałkowejspełniającąwarunekf()= 3. 4.Obliczyćcałkęnieoznaczonąfunkcjif()=sin 4. Zestaw C.Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjig()=arctg 3 3.. Oszacować dokładność wzoru przybliżonego + +3 8 dla.. 3.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymiy=,y= iprostą=.sporządzić rysunek. 4. Obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji f() = Zestaw D 3 +4.Sprawdzićotrzymanywynik..Wyznaczyćprzedziaływypukłościorazpunktyprzegięciawykresufunkcjif()= ln.. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim e 3 +e 3. 3.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y =,+y=.sporządzićrysunek. 4. Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arcctgd. 4
Egzamin podstawowy Zestaw A.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y=ln, =e, y=.sporządzić rysunek.. Metodą podstawiania obliczyć całkę n 3. Obliczyć granicę lim +9 n n +4 n. d +. 4.Wprzedziale[ 3,4]wyznaczyćwartośćnajmniejsząinajwiększąfunkcjif()= 5. 5. Obliczyć granicę lim ( )sinπ. 6.Dobraćparametryp,qtak,abyfunkcja Zestaw B f()= { e + dla, +p+qdla< miałapochodnąwpunkcie =.Narysowaćwykresotrzymanejfunkcji..Znaleźćasymptotywykresufunkcjif()= ( ) 3.. Obliczyć całkę (4+6)d +4+3. 3. Wyznaczyć granicę lim sin( )sin(3 3 ). sin ( 5 5 ) 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji f() = sin( π)wokółosio. 5.Znaleźćprzedziałymonotonicznościfunkcjif()= 3 ln. 6. Wyznaczyć granicę lim (3n+)(n+)! n. (n!+4) Zestaw C. Obliczyć całkę sind..znaleźćekstremafunkcjif()=( 3)e. 3.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezkrzywe:y=3 6,y=6+3 3.Sporządzić rysunek. 4.Wyznaczyćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= 3 +,którajestprostopadłado prostej+y 3=. 5.Obliczyćgranicęciągu n = n +5n+ n +3n+. 6. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim +( ln). 5
Zestaw D.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezwykresfunkcjiy=sin( π)orazprostą y = /. Sporządzić rysunek..wyznaczyćprzedziaływypukłościipunktyprzegięciawykresufunkcjif()=( )e. 3. Obliczyć całkę d 6+5. 4.Pokazać,żerównanie+ln =matylkojednorozwiązanie. ( n +) ( 3 n+ + ) 5. Obliczyć granicę lim 6 n. +5 6. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f() = 3. Egzamin poprawkowy Zestaw A.Obliczyćgranicęciągua n =n ( n ) n..wyznaczyćdziedzinęnaturalną,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif()= ( ). 3. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f() = wypukła. ( ) + e jestjednocześnierosnącai 4.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoosiamiukładuwspółrzędnych,wykresemparaboliy= +3 istycznądoniejwpunkcieoodciętej =3.Sporządzićrysunek. 5. Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu? ln(arctg)d 6. Podstawiając arc tg = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę +. Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku. Zestaw B.Obliczyćcałkęzfunkcjiwymiernej ++4 3 +4.Sprawdzićotrzymanywynik..Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjif()= ++ naszkicować. oraz starannie go 3.Wyznaczyćprzedział(jeżeliistnieje),naktórymfunkcjaf()= lnjestjednocześnierosnąca iwypukła. 4.Obliczyćgranicęciągu n = 5. Obliczyć granicę lim +tgln. n ( n + n ). 6.Obliczyćpoleobszaruograniczonegowykresamifunkcji:y=,y=ln,y=ln( ). 6
Zestaw C.Wyznaczyćdziedzinęnaturalną,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif()= (+) +..Obliczyćgranicęciągua n = n(n+) n. 3. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f() = wklęsła. ( ) 6+ e jestjednocześniemalejącai 4.NarysowaćiobliczyćpoleobszaruograniczonegoosiąO,wykresemfunkcjiy= 3 istycznądo niegowpunkcieoodciętej =3. 5. Z kawałków blachy w kształcie koła o promieniu R wycinamy prostokątne podkładki. Wyznaczyć ich wymiary tak, aby odpady były najmniejsze. 6. Podstawiając sin = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę sincosarctgsind. Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku. Zestaw D. Obliczyć granicę lim +ln(tg)..wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjig()= 3 +4 5 3 naszkicować. ) 3.Obliczyćgranicęciąguy n =3n( 4n n. oraz starannie go 4.Wyznaczyćprzedział(jeżeliistnieje),naktórymfunkcjag()= 3 3 +arcctg jestjednocześnie rosnąca i wklęsła. 5.Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywymi:y=ln,y=ln. 6. Obliczyć całkę z funkcji wymiernej 6 4 9.Sprawdzićotrzymanywynik. 7
Egzamin na ocenę celującą(luty 6 r.).pokazać,żedlapewnejliczbynaturalnejnrozwinięciedziesiętne nzaczynasięukłademcyfr 6, a bezpośrednio po przecinku ma 7 siódemek. Pozostałe cyfry rozwinięcia mogą być dowolne.. Jakie wartości może przyjąć granica f ( ) lim + f(), gdyfjestfunkcjąciągłąnaprzedziale[,)idodatniąna(,)? 3. Znaleźć wielomian, który tylko w i ma ekstrema lokalne właściwe(odpowiednio minimum imaksimum),aponadtotylkowmapunktprzegięcia. 4.Niechfunkcjafbędzieciągłainieujemnanaprzedziale[a,b](a ).Wyprowadzićwzórna objętośćbryłypowstałejzobrotuobszaru{(,y):a b, y f()}wokółosioy.korzystając z niego obliczyć objętość torusa, tj. bryły powstałej z obrotu koła o promieniu r wokół osioddalonejor(r>r)odjegośrodka. R r 8