Analiza Matematyczna 1 MAP 1091

Transkrypt

1 Analiza Matematczna MAP 9 Lista zdań obejmuje cał materiał kursu i jest podzielona na 5 jednostek odpowiadającch zakresem kolejnm wkładom. Na ćwiczeniach należ rozwiązać prznajmniej jeden podpunkt z każdego zadania. Wjątkiem są zadania oznaczone literąp) oraz smbolem*). Zadania oznaczone literąp) są proste. Z reguł są to jednoetapowe zadania tpu wstaw do wzoru. Te zadania należ rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką*) są trudniejsze. Te nieobowiązkowe zadania kierujem do ambitnch studentów. Zachęcam studentów do werfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowch. W Internecie można znaleźć wiele programów do obliczeń numercznch i smbolicznch. Program te można wkorzstać m.in. do rsowania wkresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, znajdowania pochodnch, wznaczania całek nieoznaczonch i oznaczonch, rozwiązwania układów równań algebraicznch i różniczkowch, badań statstcznch itp. Szczególnie polecam stronę internetową Wolfram Alpha. Można także korzstać z darmowch programów: Maima, Microsoft Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab, a także programów płatnch: Derive, Mathematica, Matlab, Maple, Scientific WorkPlace. Wiele popularnch kalkulatorów naukowch jest zaprogramowanch do wkonwania obliczeń numercznch i smbolicznch oraz do prezentowania wkresów funkcji. Uzdolnionch studentów zachęcam do przgotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebr i analiz. Zadania z tch egzaminów z ubiegłch lat można znaleźć na stronie internetowej Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem tpowch błędów popełnianch przez studentów na sprawdzianach z matematki. skoczlas/tpowe bled studentow.pdf Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczlas Wrocław, wrzesień Lista. Określić i narsować dziedzin funkcji: f)= b)f)= + c)f)= 6 f)=. *. Wznaczć zbior wartości funkcji: f)= + b)f)= + c)f)= + f)=+ + e)f)= + f)f)= 9.

2 . Na podanch przedziałach uzasadnić monotoniczność funkcji: f)=,,] b)f)=, [, ) c)f)= +, [, ) d*)f)=+, R. P).Wznaczćwspółcznnikkierunkowaorazwrazwolnbfunkcjiliniowch=a+b: = b) = c)= + += e)+ = f) 5=. 5P). W podanch przedziałach uprościć wrażenia: + +,gdzie,) c) +,gdzie, ) b) + +,gdzie, ),gdzie,). 6P). Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci ilocznowejjeżeli istnieje) i naszkicować ich wkres: f)= + b)f)= + c)f)= ++ f)= + e)f)= + f)f)= 9. 7P). Wznaczć współcznniki oraz określić stopień funkcji wielomianowch: W)=+) ) b)w)= + +) c)w)=+) ) W)=+) +). 8. Naszkicować przkład wkresu funkcji wielomianowej, dla której podano jej pierwiastki, ich krotności oraz znak współcznnika prz najwższej potędze zmiennej : = krotn), =, =,a > b) =, = krotn), =,a 5 < c) = krotn), = krotn), = krotn),a 8 > = krotn), = krotn), = krotn),a 8 >. 9. Rozwiązać równania wmierne: 6 + = b) 6 + = 5 c) 9 = = e) = + f) + + = Rozwiązać nierówności wmierne: < b)+)+) c)+ + +)+) + > +5 > Lista e) + ++ >.Określićfunkcjezłożonef f,f g,g f,g g,jeżeli f)=, g)=+ b)f)=, g)= f) ++. c)f)=, g)= Wznaczć ich dziedzin. f)=, g)= +.

3 . Korzstając z wkresu funkcji f przedstawionego na rsunku A) =f) B) =f) naszkicować wkres funkcji: f)+ b)f ) c)f+) f)+ e) f ) f)f )..Przekształcającwkresfunkcji=,=,= naszkicowaćfunkcje: =, =, =+), = +7 =, = +, = c)=, =, =, = +..Podanjestwkresfunkcji=f) =f) Naszkicować wkres funkcji: =f+) b)=f) c)=f )+ = f) e)=f) f)= f) g)=f ) h)= f) i)=f ). 5P). Kąt wrażone w stopniach zapisać w radianach, kąt wrażone w radianach zapisać w stopniach:,, 5, 5, 5, 8 b), π, 7π, π, 5 6 π, π. 6P). Na płaszczźnie narsować w położeniu standardowm kąt: π 8 b) c) π 5 7 e) 7π f) 7π. 7. Korzstając ze wzorów redukcjnch zapisać podane wrażenia w postaci funkcji trgonometrcznchkątaα, π ) : ) ) ) π 5π π sin α b)cos +α c)tgπ α) ctg +α.

4 8. Zapisać w postaci funkcji trgonometrcznch kąta z pierwszej ćwiartki wrażenia: sin π ) b)cos 9 π c)tg 95 ) π ctg 9 π. Lista 9P). Obliczć wartości wrażeń: cos 9 ) 6 π +cos 5π 6 b)cos c)tg 7 ) π ctg ) sin π 5 π ) ctg 6 π+ctg 7 6 π π ).. Uzasadnić tożsamości trgonometrczne: +tgα +ctgα =tgα b)sin α+cos α= sin α c)tgα+ctgα= sinα tg α = cosα sinα e)sin α cos α=sin α cos α f) Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe? *. Wprowadzić wzor: ) cosα cosα=sinαtgα. sinα= tg α b)cosα= tg α c)tgα= tg α ctgα= tg α. +tg α +tg α tg α tg α P). Korzstając z wkresu funkcji = sin naszkicować w przedziale[ π, π] wkres funkcji: =sin b)=sin c)=sin + π ) [ =sin π )] e)=+sin f)= 6 sin.. Naszkicować wkres funkcji: =cos cos + b)=+ctg π ) c)=tg+ tg = tg ctg.. Rozwiązać równania trgonometrczne: sin= sin b)cos=sin ) π c) cos =cos + π ) ) π sin 6 =cos + π ) e)tg π ) ) π =tg 6 f)ctg=tg g) ctg + π ) =ctg h)tg + π ) =ctg + π ) Rozwiązać równania trgonometrczne: sin +cossin= b)sin =cos c)tg tg+= tg+tg=tg e)sin = f)cos =. 6. Rozwiązać nierówności trgonometrczne: ) π sin b)cos 6) π < c)tg ) +π > ctg + π ).

5 7. Rozwiązać nierówności trgonometrczne: cos sin [, π,π ] b)cos+sin c)ctg ctg < tgtg, π,π Lista 8. Rozwiązać równania wkładnicze: ) ) =8 b) = c) 5 5= = 8 e)5 9. Rozwiązać nierówności wkładnicze: <9 b).5 = ). f) + =. <.65 c) > + i) e < e + j) + <.. Rozwiązać równania logartmiczne: log =log 8 b)log +) log )= ) c)log )+log= log 6 =+log ).. Rozwiązać nierówności logartmiczne: log 5 5 )> b)log ) log )>log c) log log ln+ ln >.. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanch zbiorach: f)=, R b)f)=, R\{} c)f)=, [, ).. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: f)= + b)f)= + c)f)= e)f)=log+) f)f)=log g)f)=log +). f)= P). Podaj wartości wrażeń: arcsin arcsin +arccos b)arcctg arctg c) arcsin arctg arcctg. 5. Określić dziedzin funkcji: f)=arcsin+) b)f)=arccos + ) c)f)=arctg + f)=arcctg. 6*. Obliczć wartości wrażeń: arccos ) b)ctg tg arcsin ) c)sin arcsin ) 5 +arcsin8 sinarctg+arctg). 7 5

6 7*. Funkcje odwrotne do podanch zapisać prz pomoc funkcji cklometrcznch: [ ] π f)=sin,,π b)f)=cos, [π,π] c)f)=tg, π ), π f)=ctg, π,π). Lista 5 8. Korzstając z definicji granic właściwej lub niewłaściwej uzasadnić równości: n lim = b) lim n+ n = c) lim n =. 9. Korzstając z twierdzeń o artmetce granic ciągów obliczć granice: lim lim g) lim n n+ b) lim n+ n + n + ) n ) n +) e) lim n n + ) n!+ h) lim n+)n+)! n +n + c) lim n n 5 n n f) lim n +n+ n +n) i) lim. Korzstając z twierdzenia o trzech ciągach obliczć granice: lim lim n+ ) n nπ b) lim n+ n n n + n + n n f) lim c) lim n + n 5 n +n e) lim n +sinn 5 n n n+6 n+ n n + + n ) n. +n. Korzstając z definicji liczb e oraz z twierdzenia o granic podciągu obliczć granice: lim + n ) 5n+ 5n ) n n ) n+ 5 n b) lim c) lim lim. n) 5n+ n+ n+. Korzstając z twierdzenia o granicach niewłaściwch ciągów obliczć granice: n + ) lim n b) lim n n n c) lim +n n ) ) n+ n n+)! arctgn lim e) lim f) lim n n!+ arcctgn. Lista 6. Korzstając z definicji Heinego granic właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: lim ) 5 = b) lim = c) lim + =.. Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnić, że podane granice nie istnieją: lim b)lim c) lim sin lim cos e)lim sgn sgn+) f)lim 5 ). ). 6

7 5. Korzstając z twierdzeń o artmetce granic funkcji obliczć granice: lim + b)lim c)lim + lim 5+ e) lim f)lim g) lim 5) ) + h) lim + tg + i) lim π tg +5 j)lim sin cos. 6. Zbadać, obliczając granice jednostronne, cz istnieją granice: lim sgn b)lim c)lim lim arctg. 7. Korzstając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości: lim cos + = b)lim arctg +sin +sin = c) lim = lim +cos =. 8. Korzstając z granic podstawowch wrażeń nieoznaczonch obliczć granice: lim sin b) lim tg tg c)lim arcsin arctg lim arctg e) lim π cos5 cos f)lim e sin ln+ ) ln+ ) g) lim h*) lim i) lim + j) lim+) k)lim[+tg)] ctg Lista 7 9. Znaleźć asmptot pionowe i ukośne funkcji: f)= + b)f)= +) + f)= l)lim + 6. c)f)= 9 e)f)= 9 f)f)=sin g)f)= cos e + h)f)= arctg i*)f)= + 5.Dobraćparametra,b Rtak,abpodanefunkcjebłciągłena R: a + dla<, sin dla π f)= b)f)=, a +dla<, b dla a+bdla < π c)f)= dla, +bdla>. 5. Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie ajeżeli istnieją) dla funkcji o podanch wkresach: ). b) c) =f) =f) =f) a a a 7

8 e) f) =f) =f) =f) a a a 5. Wznaczć punkt nieciągłości podanch funkcji i określić ich rodzaj: + f)= ++ dla, arctg dla=, b)f)= dla, dla= dla= dla,), ), + c)f)= f)= dla, dla= dla= e)f)=sgn [ ] ) f)f)= cos dla, dla=. 5. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanch przedziałach: [ +6 =,[,] b)sin=7, π, 5π ] c)= sin [ +,, π ] [ ] + =,, e) +=,[,] f) =,[,]. Wznaczć rozwiązania równania.5. Lista 8 5*. Korzstając z twierdzenia Weierstrassa o przjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania: wśród stożków wpisanch w kulę o promieniu r istnieje ten, któr ma największą objętość b) wśród trójkątów prostokątnch wpisanch w koło o promieniu r istnieje ten, któr ma największ obwód c) wśród prostokątów wpisanch w trójkąt równoboczn o boku a istnieje ten, któr ma największe polezałożć, że dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta). 55. Korzstając z definicji obliczć pochodne funkcji: f)=,gdzie R b)f)= +,gdzie c)f)=,gdzie> f)=tg,gdzie π +kπdlak Z. 56. Badając pochodne jednostronne rozstrzgnąć, cz istnieją pochodne podanch funkcji we wskazanch punktach: f)=, = b)f)=sin sgn), =. Naszkicować wkres tch funkcji. 57.Zbadaćzdefinicji,czpodanefunkcjemająpochodneniewłaściwewpunkcie =: f)= 5 c)f)= sin. 8

9 58. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnm przedziale, obliczć pochodne funkcji: g) =f)cosg) b)=e c)=arctgf)g) =ln f) g) + ) e)=tg f) g) f)=f)arctgg). f) 59. Korzstając z reguł różniczkowania obliczć pochodne funkcji: = + b)=cos+tg c)=e+ sin = + ) e e)= + ) tg ) f)=e arctg g)=ln sin + ) h)= arcsin ) i)=e e j)= sin cos k*)=tg l*)=. Lista 9 6P).Obliczćf,f,f funkcji: f)= b)f)= c)f)=e f)=arctg e)f)=sin +cos f)f)= ln. 6P). Napisać równania stcznch do wkresów podanch funkcji we wskazanch punktach: f)=arcsin ) π,,f)) b)f)=ln +e,,f)) c)f)=e tg,,f f)= +,,f)) e)f)= +,,f )) f*)f)=,e,fe)). 6.Napisaćrównaniestcznejdowkresufunkcjif)= +5,którajestrównoległado prostej=+. b)znaleźćstcznądowkresufunkcjif)=,któratworzkąt π zdodatniączęściąosio. c)znaleźćrównaniestcznejdowkresufunkcjif)=ln,którajestprostopadładoprostej +6 =. Wznaczćrównaniestcznejdowkresufunkcjif)=arctg,wpunkciejegoprzecięciaz prostąπ=. 6. Korzstając z różniczki funkcji obliczć przbliżone wartości wrażeń: b).98 c)ln ln.999 e)e. f)arccos.99 g) h) +sinπ +e.5 i*)ln.+ ) Fragmentterenumakształttrójkątarównoramiennegoobokub=m.Kątprzwierzchołkutegotrójkata,zmierzonzdokładnością.radwnosi π.zjakąwprzbliżeniudokładnością można obliczć pole tego terenu? 9 π ))

10 b)objętośćkulkimetalowej,wznaczonazdokładnościącm,wnosi6πcm.zjakąwprzbliżeniu dokładnością można obliczć średnicę tej kuli? c) Do szbu puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością. s. Z jaką w przbliżeniu dokładnością można wznaczć głębokość sztolni, jeżeli czas spadania kamienia wniósł.s?przjąćg=9.8m/s. Średnica kuli zmierzona z dokładnością. mm wnosi.7 mm. Z jaką w przbliżeniu dokładnością można obliczć objętość tej kuli? e) Przekątna sześcianu zmierzona z dokładnością mm wnosi. cm. Z jaką w przbliżeniu dokładnością można obliczć pole powierzchni całkowitej tego sześcianu? f)wbiegunamczasmierzsięzdokładnością.s.zjakąwprzbliżeniudokładnościąmożna obliczć średnią prędkość zawodniczki, jeśli uzskała ona czas.5 s? 65*. Korzstając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić podane nierówności: arctg arctg dla, R b)ln < dla < c) arcsin dla < e >e dla >. Lista 66. Znaleźć przedział monotoniczności funkcji: f)= +5 b)f)= c)f)=+ f)= e)f)= f)f)=e g)f)=ln 67. Znaleźć wszstkie ekstrema lokalne funkcji: h)f)= ln i)f)= ln. f)= b)f)=+ c)f)= f)= e)f)= f)f)= 5 6 g)f)=ln h)f)= i)f)=arctg ln + ). 68. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanch funkcji na wskazanch przedziałach: u)= 5 +6,[,5] b)v)=arctg +,[,] c)w)= ) e,[,] z)= 9,[ 5,] e)g)=,[,5] f)h)=sin+sin, [, ] π. 69. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu km od brzegu. Ropa z tej platform będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia km rurociągu na dnie morza wnosi euro, a na lądzie euro. Do którego miejsca na brzegu należ doprowadzić rurociąg, ab koszt jego budow bł najmniejsz? Platforma wiertnicza km 6km Rafineria

11 b) Jaka powinna bć miara kąta α prz wierzchołku trójkąata równoramiennego o danm polu, ab promień koła r wpisanego w ten trójkąt bł największ? α r c)prostopadłościennkontenermamiećpojemność.5m ikwadratowąpodłogę.kosztm blachpotrzebnejdowkonaniajegopodłogiipokrwwnosizł,aścianbocznch zł.jakie powinn bć wmiar kontenera, ab koszt jego budow bł najmniejsz? Jakie powinn bć wmiar a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednm naturalnm bokiem jest brzeg rzeki, ab na jego ogrodzenie zużć jak najmniej siatki? rzeka S a b e) Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak, ab suma pól kwadratów zbudowanch na tch częściach bła najmniejsza. 7. Korzstając z reguł de L Hospitala obliczć granice: π ln +) lnsin lim b)lim ln +9 lim 5 5+ e)lim lncos lncos g) lim +ln j) limcos) Lista h) lim π π )tg k) lim c)lim arctg f) lim arcctg i) lim ctg ) π arctg ) l) lim ++)ln. 7. Określić przedział wpukłości oraz punkt przegięcia funkcji: f)= ) ) b)f)=e c)f)= + f)=ln + ) e)f)= f)f)= ln g)f)=sin+ 8 sin h)f)=earctg i)f)= ln. 7. Zbadać przebieg zmienności podanch funkcji i następnie sporządzić ich wkres: f)= ) +) b)f)= c)f)= f)= e)f)= f)f)= ln g)f)=e h*)f)=sin+sin i)f)= ln.

12 7.NapisaćwzorTalorazresztąLagrange adlapodanchfunkcjif,punktów orazn: f)=, =,n= b)f)=, =,n= c)f)=sin, =π,n= f)=e, =,n=5 e)f)=arctg, =,n= f)f)=ln, =e,n=. 7. Napisać wzor Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: f)=sin b)f)=ch c)f)=cos f)= e. 75. Oszacować dokładności podanch wzorów przbliżonch na wskazanch przedziałach: tg, π b)cos,. c) + +,.5 ln ) 8, < Stosując wzór Maclaurina obliczć: e zdokładnością b).997zdokładnością c)ln.zdokładnością sin.zdokładnością 5. Lista 77. Obliczć całki nieoznaczone: + ) d cosd cos sin b) )d e) + d c) d + f) 5 d. 78. Korzstając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczć całki nieoznaczone: e d b) d e) sind f) arccosd g) + arctg c) d ln+)d d cos h) arccosd i) e sind j) sinsind k) sincosd l) coscos5d. 79. Stosując odpowiednie podstawienia obliczć całki nieoznaczone: e) i) cos + ) d b) d c) +) sin ++ d d ch ln d j) f) 5 ) d g) 5 5 +d e d 5sind e + k) cos 8P). Obliczć całki z ułamków prostch pierwszego rodzaju: d ) 7 b) d +5 c) 5d 7) 8d 9+. h) l) cosd +sin d + e d.

13 8. Obliczć całki z ułamków prostch drugiego rodzaju: d 6+)d ++9 b) ++ c) +)d +9 )d e*) d 5d +5) f*) +). 8. Obliczć całki z funkcji wmiernch: +)d ) b) d + c) d ) +)d )d e) ++ f) + g) 5 )d i) + j) Lista d +) +) d ++8 h) d +)d ++5 k) ++ l) 8. Obliczć całki z funkcji trgonometrcznch: sin d b) sin cos d c) cos d d +6+8 d +). sin cos 6 d e) cos cosd f*) sin sin d. 8. Obliczć całki z funkcji trgonometrcznch: d +tg sin+tg b) cos d sin d +cos e) d tg d g) cos h) c) d sin+cos i) d +cos f) sin 5 d cos 85. Korzstając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczć całki: + ) d b) + ) d c) d sin+cos+5. ) + d 9 d d e) + +9 f) d g) π π sin+cos )d h) π sin cosd i) e lnd. 86. Obliczć całki oznaczone dokonując wskazanch podstawień: π 6 sine cos d,cos=t b) d e +, =t e) d,+=t c) + lnd,ln=t f) +d, +=t d ),=t

14 g) 9 d,=sint g) ln e d +e,e =t i) 87. Metodą całkowania przez części obliczć całki oznaczone: π e d b) sind e) π 88. Obliczć całki oznaczone: c) e) e e d )sgnln)d b) d sgn Lista c) +cos)d f) ) d f) e e ln d arcsind. f)d,gdzief)= d + d. 89. Obliczć pola obszarów ograniczonch krzwmi: e e d,= t. dla, dla<, ) dla< =,+= b)=,=,= c)=,=,= =,= 8 + e)=,=,= f)=+sin,=, π) g)=π,=π 9P). Obliczć pola trapezów krzwoliniowch: h) =,=,=6 i) =,= 6,=,=. = ++6 = b) = c) = 6+ = 8 = ++7 = = e) f) =8 = = =

15 9. Obliczć długości krzwch: =, gdzie b)=ch, gdzie c)=ln e + e, gdzie = lncos, gdzie π. 9. Obliczć objętości brł powstałch z obrotu figur T wokół wskazanch osi: T:,,O b)t: 5, +,O c)t:,,o e)t:, T:,,O 5,O f)t: π, sin+cos,o. 9. Obliczć pola powierzchni powstałch z obrotu wkresów podanch funkcji wokół wskazanch osi: f)=,,o b)f)= +,,O 9 c)f)=,,o f)= +,,O e)f)=,,o f)f)=cos, π,o. Lista 5 9. Korzstając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: d d +) b) sind c) +5 d + e) π e d f) d Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: d + b) d 5 c) sin d ++ e) 5 d sin f*) e + ) d e. 96. Korzstając z krterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: d b) d 7 + e) )d ++ ) +cos c) d f*) π +sin)d d. 5