Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona z parami liczb rzeczwistch: R = {( 1, ), 1, R}. Przestrzeń n-wmiarowa (oznaczenie: R n ), może bć określona jako zbiór n-wmiarowch wektorów: R n = {( 1,..., n ) : 1,..., n R}. Funkcje wielu zmiennch Funkcja przporządkowująca elementom przestrzeni R n liczb rzeczwiste funkcja n zmiennch. Dziedziną funkcji n zmiennch może bć R n lub podzbiór R n. Funkcje wielu zmiennch przkład Rozważm następujące funkcje dwóch zmiennch: { 1 f 1 (, ) =, gd + 1,, gd + > 1; f (, ) = ; f 3 (, ) = +. Funkcje dwóch zmiennch można przedstawiać graficznie prz użciu wkresów konturowch, wpełnionch wkresów konturowch oraz wkresów perspektwicznch. Podstawowe pojęcia analiz funkcji wielu zmiennch Jesteśm zainteresowani odpowiednikami pojęć analiz jednej zmiennej ciągłości; pochodnej; całki dla przpadku funkcji n zmiennch. 1
1..5..5 1. 1..5..5 1. Rsunek 1: Wkres konturow dla funkcji f 1 1. 1..5.8.6..5 1....5..5 1.. Rsunek : Wpełnion wkres konturow dla funkcji f 1 Pochodna czastkowa Nasz cel znalezienie wielowmiarowego odpowiednika pojęcia pochodnej. Pojęcie pomocnicze : pochodna cząstkowa. Definicja 1. Pochodna czastkow a funkcji dwóch zmiennch f(, ) względem zmiennej, oznaczana smbolem f, nazwam pochodna funkcji f względem argumentu prz ustalonej wartości ; analogicznie pochodna czastkow a funkcji f(, ) względem zmiennej, oznaczana smbolem f, nazwam pochodna funkcji f względem argumentu prz ustalonej wartości. W podobn sposób można określić pochodna funkcji wielu zmiennch. Pochodna czastkowa funkcja n zmiennch. Pochodna czastkowa przkład Dla funkcji f 3 (, ) = + : f 3 =, f 3 =. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennch
z Rsunek 3: Wkres perspektwiczn funkcji f 1 1..5..5 1. 1..5..5 1. Rsunek : Wkres konturow funkcji f Funkcja f jednej zmiennej jest różniczkowalna w punkcie, jeżeli różnicę f() f( ) dla z otoczenia można dobrze przbliżć przez funkcję liniową. Analogicznie: funkcja g dwóch zmiennch jest różniczkowalna w punkcie (, ) jeśli różnicę g(, ) g(, ) dla (, ) z otoczenia, można dobrze przbliżć funkcją liniową l l(, ) = a( ) + b( ), gdzie a i b są ustalonmi liczbami (dokładniejsze określenie pojęcia różniczkowalności funkcji wielu zmiennch: [Bed, rozdz. 6]). Funkcja l: różniczka zupełna dla funkcji g w punkcie (, ). Odwzorowanie l rozumiane jako funkcja przrostów = i = : pochodna funkcji g w punkcie (, ). Funkcja jest różniczkowalna na zbiorze R, jeżeli jest różniczkowalna w każdm punkcie tego zbioru. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennch przkład 3
z 1...5. 1..5 1..5..5..5 1. Rsunek 5: Wpełnion wkres konturow funkcji f Rsunek 6: Wkres perspektwiczn funkcji f Funkcja f 1 jest różniczkowalna w punktach (, ), dla którch + 1. Funkcja f 3 jest różniczkowalna na całej płaszczźnie R. Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennch Fakt Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (, ), to istnieją w tm punkcie pochodne cząstkowe f i f. Uwaga Istnienie pochodnch cząstkowch funkcji dwóch zmiennch f w (, ) jest warunkiem koniecznm, ale nie wstarczającm na to, ab funkcja ta bła różniczkowalna w tm punkcie. Definicja. Różniczkę zupełna funkcji dwóch zmiennch f, różniczkowalnej w punkcie (, ), określam wzorem f f +, gdzie i oznaczaja przrost, odpowiednio, pierwszego i drugiego argumentu. Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennch zastosowania Pole działki o bokach i będziem oznaczać smbolem S(, ) (S jest funkcją dwóch zmiennch).
1..5..5 1. 1..5..5 1. Rsunek 7: Wkres konturow funkcji f 3 1..5 3..5 1. 1.5..5 1. Rsunek 8: Wpełnion wkres konturow funkcji f 3 Pan A miał działkę o wmiarach = 5 i = 1. Na skutek deczji władz gmin wmiar jego działki został zmodfikowane: nowe wmiar tej działki są równe: = 9 i = 13. Oznaczm = oraz =. Przrost pola działki może bć wrażon w postaci: S =S(, ) S(, ) = =S( +, + ) S(, ) = S S + =( 1) 1 + 3 5 = 5. Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennch zastosowania do szacowania błędów pomiarowch Problem Działka pana B ma = 6 m długości i = 8 m szerokości. Błąd pomiaru (zarówno szerokości jak i długości) wnosi.1 m. Chcem znaleźć oszacowanie błędu pomiaru pola działki. Pole działki o bokach a i b oznaczam przez S(a, b). 5
z Rsunek 9: Wkres perspektwiczn funkcji f 3 1..5 3..5 1. 1 1..5..5 1. Rsunek 1: Wkres perspektwiczn funkcji f 3 skala barw terrain Rzeczwista długość działki jest równa + δ a rzeczwista szerokość działki jest równa + δ Z warunków zadania: δ, δ. Mam: S( + δ, + δ) S(, ) δ S S + δ δ S + δ S S + S = =,1 8 +,1 6 = 1. A więc przjmujem, że błąd pomiaru powierzchni działki jest mniejsz niż 1m. Zastosowania do wznaczania ekstremalnch wartości funkcji Jeżeli różniczkowalna funkcja f(, ) ma w punkcie (, ) maksimum lub minimum, to: f (, ) = i f (, ) =. Punkt, w którch pochodne cząstkowe są równe zeru, nazwam punktem stacjonarnm. 6
Punkt stacjonarn danej funkcji jest podejrzan o to, że funkcja ta przbiera w nim wartość minimalną lub maksmalną. Przkład. Funkcja f 5 (, ) = + 6 ma pochodne cząstkowe f 5 (, ) = i f 5 (, ) = 6. Można uzasadnić, że funkcja f 5 jest różniczkowalna na R. Funkcja f 5 ma jeden punkt stacjonarn: (, ) = (1, 3). W punkcie tm funkcja f 5 przjmuje wartość minimalną, co wnika stąd, że f 5 (, ) = ( 1) + ( 3) 1. Funkcja f 6 (, ) = ma punkt jeden stacjonarn: (, ) = (, ); w punkcie tm nie przbiera wartości minimalnej ani maksmalnej. ^-6*+^-* 6 5 z 3 1-1 -15-1 -5 5 1-5 -1 15-15 5 1 15 Rsunek 11: Wkres funkcji f 5 Wpukłość funkcji wielu zmiennch Definicję funkcji wpukłej jednej zmiennej można łatwo rozszerzć na przpadek wielowmiarow. Dla funkcji n zmiennch f, która jest różniczkowalna i wpukła w R n prawdziwa jest implikacja: Jeśli R n jest punktem stacjonarnm funkcji f to f osiąga w wartość minimalną. Uwaga Można uzasadnić, że funkcja f 5 jest wpukła. Uwagi o całce dwukrotnej Pole trapezu krzwoliniowego można wrazić za pomocą całki oznaczonej. 7
^-^ 3 z 1-1 - -3 - - - - Rsunek 1: Wkres funkcji f 6 Objętość figur ograniczonch wkresem funkcji dwóch zmiennch oraz jedną (lub kilkoma) płaszczznami można obliczć korzstając z pojęcia całki wielokrotnej. Objętość figur ograniczonej przez wkres funkcji f 1 i płaszczznę z = jest równe π 3 (połowie objętości kuli o promieniu 1). Objętość tę można wrazić jako całkę dwukrotną f 1 (, ) d d, P gdzie P oznacza prostokąt, którego wierzchołkami są punkt P 1 = ( 1, 1), P = ( 1, 1), P = (1, 1), P = (1, 1). Więcej informacji a całkach podwójnch i wielokrotnch można znaleźć w książkach [KW11] i [Fich8]. Zastosowania w teorii prawdopodobieństwa W teorii prawdopodobieństwa jesteśm w sposób szczególn zainteresowani funkcjami łącznej gęstości rozkładu par zmiennch losowch. Mówim, że g jest funkcją łącznej gęstości rozkładu pewnej par zmiennch losowch jeżeli jest ona nieujemna i spełnia warunek: R g(, ) d d = g(, ) d d = 1. Przkład Funkcja 3 π f 3(, ) jest funkcją łącznej gęstości pewnej par zmiennch losowch. Polecana literatura [Bed] T. Bednarski, Element matematki w naukach ekonomicznch. Oficna Ekonomiczna, Kraków. [Fich8] G. Fichtenholz, Rachunek Różniczkow i całkow, t.3, rozdz. XVI, PWN 198. 8
[KW11] W. Krsicki, L. Włodarski, Analiza matematczna w zadaniach, część II, rozdz. 1, PWN 11. 9