1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1 powsta l a z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A [ ] [ ] Przyk lad 31 Niech A = Wówczas A 12 = oraz A 21 = 1 2 3 3 4 7 4 2 3 7 2 3 4 7 Wyznacznikiem nazywamy taka funkcje przyporzadkowuj ac a każdej macierzy kwadratowej A pewna liczbe (oznaczana przez det(a)), która spe lnia nastepuj ace warunki: (i) jeśli A = [a] jest 1 1-macierza, to det(a) = a, (ii) jeśli a A = 21 a 22 a 2n, (1) a n1 a n2 a nn gdzie n > 1, to det(a) = n ( 1) i+n a in det(a in ) (2) i=1 Wyznacznikiem macierzy A nazywa sie wartość det(a) tej funkcji dla macierzy A Funkcja-wyznacznik jest jednoznacznie wyznaczona przez warunki (i) i (ii) Wyznacznik macierzy A postaci (1) oznaczamy też nastepuj aco: a det(a) = 21 a 22 a 2n (3) a n1 a n2 a nn Powyższa definicja daje również efektywna metode obliczania wyznacznika dowolnej macierzy kwadratowej A Przyk lad 32 Z w lasności (ii) i (i) otrzymujemy wzór: a b = ad bc (4) c d a b Rzeczywiście, c d = ( 1)1+2 b det[c] + ( 1) 2+2 d det[a] = ad bc 1
5 2 Przyk lad 33 Ze wzoru (4) mamy, że = 5 3 2 7 = 15 14 = 1 7 3 a 1 a 2 a 3 Przyk lad 34 Z w lasności (ii) i przyk ladu 32: b 1 b 2 b 3 = ( 1) 1+3 b 1 b 2 a 3 c c 1 c 2 c 3 1 c 2 + +( 1) 2+3 a 1 a 2 a 1 a 2 b 3 c 1 c 2 +( 1)3+3 c 3 b 1 b 2 = a 3(b 1 c 2 b 2 c 1 ) b 3 (a 1 c 2 a 2 c 1 )+c 3 (a 1 b 2 a 2 b 1 ) = a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 1 b 2 c 3 a 3 b 2 c 1 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 Zatem aby obliczyć wyznacznik stopnia 3 wystarczy dopisać do niego z prawej strony dwie pierwsze kolumny i nastepnie wymnożyć prawoskośnie wyrazy ze znakiem + oraz lewoskośnie ze znakiem - i dodać otrzymane wyniki Taka metoda obliczania wyznacznika stopnia 3 nazywa si e regu l a Sarrusa Istotnie: a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 3 b 2 c 1 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 Przyk lad 35 Stosujac regu l e Sarrusa obliczymy wyznaczniki: 3 4 2 3 = 27 8 8 ( 3 24 24) = 43 + 51 = 8, 1 4 3 1 4 2 4 4 3 = 18 + 24 + 16 (9 + 16 + 48) = 58 73 = 15, 3 4 3 3 4 4 2 = 12 18 4 ( 6 4 36) = 34 + 46 = 12, 3 1 4 4 2 = 16 27 16 ( 24 6 48) = 59 + 78 = 19 3 1 4 3 1 2 W lasności wyznaczników Twierdzenie 36 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez zamiane miejscami dwóch wierszy (kolumn), to det(b) = det(a) Twierdzenie 37 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez pomnożenie pewnego wiersza (kolumny) przez dowolna liczbe a, to det(b) = a det(a) Twierdzenie 38 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez dodanie do pewnego wiersza (kolumny) innego wiersza (innej kolumny) pomnożonego (pomnożonej) przez dowolna liczbe, to det(b) = det(a) Stosujac operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy kwadratowej A możemy ja 2
sprowadzić do postaci trójkatnej górnej: c 11 c 12 c 13 c 1n 0 c 22 c 23 c 2n C = 0 0 c 33 c 3n, (5) 0 0 0 c nn gdzie c ij dla wszystkich i j sa dowolnymi liczbami Twierdzenie 39 Wyznacznik macierzy C postaci (5) jest równy iloczynowi wszystkich jej elementów na g lównej przekatnej, czyli det(c) = c 11 c 22 c nn Twierdzenia 36-39 umożliwiaja nam efektywne obliczenie dowolnego wyznacznika przy pomocy operacji elementarnych Pokażemy to na nastepuj acym przyk ladzie Przyk lad 310 Obliczymy wyznacznik 1 1 1 4 3 3 0 8 13 Po wykonaniu kolejno operacji w 2 w 1, w 3 + w 1, w 4 + 3 w 1 uzyskujemy, że 0 4 2 5 0 2 5 1 0 3 5 19 Nastepnie, stosujac operacje w 2 + w 4, uzyskamy, że 0 2 5 1 0 3 5 19 Po zastosowaniu kolejno operacji w 3 + 2 w 2, w 4 + 3 w 2 otrzymamy, że 0 0 9 27 0 0 26 61 Stosujac twierdzenie 37 do trzeciego wiersza uzyskujemy, że ( 9) 0 0 1 3 0 0 26 61 3
Po wykonaniu operacji w 4 + 26 w 3 otrzymamy, że ( 9) 0 0 1 3 0 0 0 17 Zatem z twierdzenia 39: ( 9) 1 1 1 17 = 153 Z twierdzenia 37 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek 311 Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy kwadratowej A sk lada si e z samych zer, to det(a) = 0 Z twierdzenia 38 i z wniosku 311 otrzymujemy od razu nastepuj acy Wniosek 312 det(a) = 0 Jeżeli macierz kwadratowa A ma identyczne dwa wiersze (kolumny), to Twierdzenie 313 Wyznacznik macierzy transponowanej macierzy kwadratowej A jest równy wyznacznikowi macierzy A, czyli det(a T ) = det(a) Twierdzenie 314 (Cauchy ego) Jeżeli A i B sa macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to det(a B) = det(a) det(b) Twierdzenie 315 (Rozwiniecie Laplace a wzgledem i-tego wiersza) a i1 a i2 a in = 1) i+1 a i1 det(a i1 ) + + ( 1) i+n a in det(a in ) a n1 a n2 a nn Twierdzenie 316 (Rozwiniecie Laplace a wzgledem j-tej kolumny) a 11 a 1j a 1n a 21 a 2j a 2n = ( 1) 1+j a 1j det(a 1j ) + + ( 1) n+j a nj det(a nj ) a n1 a nj a nn W praktyce najszybszym sposobem obliczania wyznacznika jest stosowanie operacji elementarnych i rozwini ecia Laplace a wzgl edem takiego wiersza (kolumny), w którym wyst epuje co najwyżej jeden niezerowy wyraz Pokażemy to w nast epnym przyk ladzie Przyk lad 317 1 1 3 4 2 0 0 8 3 0 0 2 4 4 7 5 w 4 4 w = 1 1 1 3 4 2 0 0 8 3 0 0 2 0 0 5 11 2 = ( 1) 1+2 1 0 8 3 0 2 0 5 11 = ( 1) ( 1) 3+2 4
2 8 ( 5) 3 2 = ( 5) (2 2 3 8) = 100 Strza lkami oznaczyliśmy kolumne, wzgl edem której zastosowano rozwiniecie Laplace a Przyk lad 318 Stosujac rozwiniecie Laplace a wzgledem trzeciego wiersza obliczymy wyznacznik: 2 4 a b c d 3 1 4 3 Mamy, że 2 4 = ( 1) 3+1 a +( 1) 3+2 b +( 1) 3+3 c a b c d 3 1 4 3 1 4 3 3 4 3 4 ( 1) 3+4 d 3 1 4 Cztery wyznaczniki stopnia trzy obliczymy stosujac regu l e Sarrusa: 3 4 2 3 = 27 8 8 ( 3 24 24) = 43 + 51 = 8, 1 4 3 1 4 2 4 4 3 = 18 + 24 + 16 (9 + 16 + 48) = 58 73 = 15, 3 4 3 3 4 4 2 = 12 18 4 ( 6 4 36) = 34 + 46 = 12, 3 1 4 4 2 = 16 27 16 ( 24 6 48) = 59 + 78 = 19 3 1 4 3 1 Stad 8a + 15b + 12c 19d + 5