Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Transkrypt

1 Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn MacierzAmamwierszyinkolumn.Paręliczbm,nnazywamywymiaremmacierzy.Jeżelimnto mamy macierz kwadratową Specjalne macierze kwadratowe macierz symetryczna To macierz kwadratowa, którj wyrazy są umieszczone symetrycznie względem głównej przekątnej, tzn. linii,naktórejznajdująsięwyrazya 11,a 22,a 33...a nn isąsobierówne.np: macierz diagonalna X Wszystkie elementy poza elemetami leżącymi na przekątej głównej są równe zero, np: macierz jednostkowa stopnia n B Tp macierz diagonalna, na której przekątnej głównej znajdują się same jedynki: dla n4: I macierz wierszowa Składa się z jedego wiersza: D

2 macierz kolumnowa Składa się z jedej kolumny: E Działania na macierzach 2.1. Równość macierzy DwiemacierzeAa ik ibb ik sąrównetylkowtedy,gdymajątesamewymiaryidlakażdejpary wskaźnikówiorazkzachodzirównośća ik b ik.innymisłowy:tylkomacierze identyczneuważasię zarównepisząc:ab Suma i różnica macierzy JeślimacierzeAa ik ibb ik majątesamewymiary,tosumąmacierzyaibnazywamy macierz C,którejelementyc ik sąsumąelementówotychsamychwskaźnikach: c ik a ik +b ik Na przykład: RóżnicąmacierzyAiBnazywamymacierz D,którejelementyd ik sąróżnicąelementówotychsamych wskaźnikach: d ik a ik b ik Na przykład: Mnożenie macierzy Mnożenie macierzy przez stałą KażdywyrazmacierzyAmnożymyprzezstałąαtj:αAαa ik.dlaα5iponiższejmacierzybędziemy mieli: α Mnożenie dwóch macierzy IloczynmacierzyAowymiarzeminorazmacierzy Bowymiarzem1in1jestwykonalnytylko wtedy, gdy ilość elementów w wierszach macierzy A jest równa ilości elementów w macierzy B. Czyli wynik mnożenia, macierz C jest rozmiaru emphm i n1. Elementy macierzy C oblicza się z zależności: c ik a i1 b 1k +a i2 b 2k +a i3 b 3k +...+a in b nk Zatemwyrazc ik powstajeprzezpomnożenieprzezsiebiekolejnychelementówa is wierszaimacierzya przezkolejnewyrazyb sk kolumnykmacierzyb Najprostrzy przypadek otrzymujemy mnożąc macierz wierszową A przez macierz kolumnową B: 2

3 a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n Wynikiem mnożenia jest macierz o jednym wyrazie(mn1 1) Bardziej złożony przykład: a11 a 12 b11 b 12 b 13 a11 b 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 11 b 13 +a 12 b 23 a 21 a 22 b 21 b 22 b 23 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22 a 21 b 13 +a 22 b Własności działań na macierzach Z definicji dodawania macierzy wynika, że działanie to jest łączne i przemienne, tzn: A+BB+A (A+B)+CA+(B+C) Pomijając banalny przypadek, kiedy macierze są jednoelementowe, mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn: A B B A Dla przykładu weźmy: Mamy Czyli A A B B B A A B B A 3. Wyznaczniki Z pojęciem macierzy kwadratowej związane jest pojęcie wyznacznika macierzy. Wyznacznikiem macierzy A(determinantem macierzy A) nazywamy liczbę zapisaną w następujący sposób: a 11 a 12 a 1n a WdetA 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 3.1. Wyznaczanie wartości wyznacznika 2x2 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a Wyznaczanie wartości wyznacznika 3x3(Schemat Sarrusa) Aby wyznaczyć wartość wyznacznika W o rozmiarze 3x3 W a 31 a 32 a 33 można posłużyć się nastąpującym algorytmem: 3

4 1. Dopisujemy do wyznacznika pierwszy i drugi wiersz(na dole) 2. Wykonujemy obliczenia wg wzoru: a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 +a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a Wyznaczanie wartości wyznacznika metodą rozwinięcia Laplace a 4. Zastosowanie macierzy i wyznaczników do rozwiązywania układów równań liniowych 4.1. Metoda Cramera Rozważmy układ równań liniowych o dwóch niewiadomych x i y: a 11 x+a 12 yb 1 a 21 x+a 22 yb 2 w zapisie macierzowym układ można przedstawić jako: a11 a 12 x a 21 a 22 y b1 b 2 bądź w skrócie: AXB Stosując tzw. metodę Cramera, wyznaczamy wartości wyznaczników: a W 11 a 12 b W a 21 a 22 x 1 a 12 a W b 2 a 22 y 11 b 1 a 21 b 2 gdziewyznacznikwtowyznacznikmacierzywspółczynników,w x towyznacznikmacierzy,wktórejkolumnęwspółczynnikówprzyzmiennejxzastąpionokolumnąwyrazówwolnych,w y towyznacznikmacierzy, w której kolumnę wyrazów przy zmiennej y zastąpiono kolumną wyrazów wolnych. Niewiadome można wyznaczyć z następujących zależności: 4.2. Metoda macierzy odwrotnej x W x W yw y W Przyzałożeniu,żemacierzAjestnieosobliwa,tzn.detA 0możnawyznaczyćmacierzodwrotnąA 1 do danej macierzy A. Macierz odwrotna, to taka macierz, dla której spełniona jest zależność: A A 1 I czyli w wyniku otrzymujemy macierz jednostkową. MacierzodwrotnąA 1 wyznaczasięzwzoru: W równaniu powyższym, macierz A 1 1 deta A 11 A 12 A n1 A 21 A 22 A n2 A n1 A n2 A nn 4

5 A 11 A 12 A n1 A 21 A 22 A n2 A n1 A n2 A nn to macierz tzw. dopełnień algebraicznych. JeżelimacierzAjestnieosobliwa,toistniejemacierzodwrotnaA 1.Mnożąclewostronnieobiestrony macierzowegoukładurównańprzeza 1 otrzymujemyrównanie: A 1 (AX)A 1 B korzystajączłącznościmnożeniamacierzyorazztego,żea 1 AIiztego,żeIXXmożnawynik zapisać w postaci: XA 1 B 5