Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3

Transkrypt

1 3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy też symbolem det A Dla macierzy A [ a11 a 12 a 21 a 22 det A a 11 a 22 a 12 a 21 Wyznacznik macierzy 3 3 Wyznacznikem macierzy A a b c d e f g h i ] Mat 3 3 (R) nazywamy liczbę A a b c d e f g h i aei + bfg + cdh afh bdi ceg mamy Dla macierzy A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det A a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 1

2 3 WYZNACZNIKI 2 32 Rozwinięcie Laplace a Niech A Mat n n (R) Przez A ij oznaczmy macierz otrzymaną z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny Wyznacznik macierzy n n wyraża się za pomocą wyznaczników macierzy n 1 n 1: A ( 1) i+1 a i1 A i1 + ( 1) i+2 a i2 A i2 + + ( 1) i+n a in A in Powyższy wzór nazywamy rozwinięciem Laplace a względem i-tego wiersza Rozwinięcie Laplace a względem j-tej kolumny: A ( 1) 1+j a 1j A 1j + ( 1) 2+j a 2j A 2j + + ( 1) n+j a nj A nj Liczbę D ij ( 1) i+j A ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij Macierz dopełnień algebraicznych oznaczamy przez A D : A D D 11 D 12 D 1n D 21 D 22 D 2n D n1 D n2 D nn 33 Wzór na macierz odwrotną Twierdzenie 1 Macierz odwrotna do macierzy A istnieje dokładnie wtedy, gdy det A 0, i wówczas A 1 1 det A (AD ) T Dowód Najpierw pokażemy, że jeśli det A 0, to macierz A jest odwracalna i macierz odwrotna wyraża się podanym wzorem Rozważmy rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in det A a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn

3 3 WYZNACZNIKI 3 Jeśli zamiast i-tego wiersza wstawimy j-ty wiersz, gdzie j i, to otrzymamy: a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn 0 a j1 D i1 + a j2 D i2 + + a jn D in a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn Dla dowolnego i mamy: a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in det A, a dla dowolnych i j: Możemy to zapisać tak: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a j1 D i1 + a j2 D i2 + + a jn D in 0 D 11 D 21 D n1 D 12 D 22 D n2 D 1n D 2n D nn det A det A det A Mamy zatem Analogicznie pokazujemy, że Jeśli det A 0, to otrzymujemy równości A (A D ) T det A I (A D ) T A det A I 1 A det A (AD ) T 1 det A (AD ) T A I, które oznaczają, że macierz A jest odwracalna oraz A 1 1 det A (AD ) T Zauważmy jeszcze, że jeśli macierz A jest odwracalna, to A A 1 I, więc skąd det A 0 det A det A 1 det(a A 1 ) det I 1, W ostatnim akapicie powyższego dowodu skorzystaliśmy z tego, że wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników Twierdzenie 2 Dla dowolnych macierzy A, B Mat n n (R) zachodzi równość det(ab) (det A) (det B)

4 3 WYZNACZNIKI 4 34 Wyznaczniki macierzy szczególnej postaci Wyznacznik macierzy jednostkowej: det(i n ) Wyznacznik macierzy diagonalnej: c c c n c n 1 c 1 c 2 c n Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej: a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n 0 a 22 a 2,n 1 a 2n 0 0 a n 1,n 1 a n 1,n a nn a 11 a 22 a nn Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej: a a 21 a a n 1,1 a n 1,2 a n 1,n 1 0 a n1 a n2 a n,n 1 a nn Wyznacznik macierzy transponowanej: det A T det A a 11 a 22 a nn 35 Wyznacznik jako funkcja wierszy macierzy Rozważmy dowolną macierz kwadratową A Mat n n (R), A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn

5 3 WYZNACZNIKI 5 Wiersze macierzy A oznaczmy następująco: [ a 11 a 12 a 1n ], w 2 [ a 21 a 22 a 2n ], [ a n1 a n2 a nn ] Zapiszmy wyznacznik macierzy A w postaci det A w 2 Dla dowolnego i {1,, n} mamy: + w i + w i oraz c c Dla dowolnych i, j {1,, n}, i j, mamy: Wnioski: ,

6 3 WYZNACZNIKI 6 0, + c + c + c 36 Wyznacznik jako funkcja kolumn macierzy Kolumny macierzy A oznaczmy następująco: k 1 a 11 a 21 a n1, k 2 a 12 a 22 a n2,, k n a 1n a 2n a nn Zapiszmy wyznacznik w postaci det A k1 k 2 k n Wówczas dla dowolnego i {1,, n} mamy: k 1 k i + k i k n k1 k i k n + k1 k i k n oraz k1 c k i k n c k1 k i k n, dla dowolnych i, j {1,, n}, i j, mamy: k 1 k i k j k n k1 k j k i k n Wnioski: k1 0 k n 0, k 1 k i k i k n 0, k 1 k i + c k j k j k n k1 k i k j k n

7 3 WYZNACZNIKI 7 37 Rząd macierzy Minorem macierzy A Mat m n (R) nazywamy wyznacznik jej podmacierzy kwadratowej: a i1 j 1 a i1 j 2 a i1 j k a i2 j 1 a i2 j 2 a i2 j k, a ik j 1 a ik j 2 a ik j k gdzie 1 i 1 < i 2 < < i k m, 1 j 1 < j 2 < < j k n Rzędem macierzy A Mat m n (R) nazywamy największy stopień jej niezerowego minora Rząd macierzy A oznaczamy przez rank A Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy 38 Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie 3 (Kronecker Capelli, wersja krótka) Układ równań Ax b, gdzie A Mat m n (R), b R m, x R n posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank(a) rank[a b] Uwaga: posiada rozwiązanie oznacza posiada co najmniej jedno rozwiązanie Twierdzenie 4 (Kronecker Capelli, wersja długa) Rozważmy układ równań Ax b, gdzie A Mat m n (R), b R m, x R n (a) Jeśli rank(a) rank[a b] n, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (b) Jeśli rank(a) rank[a b] r < n, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań Rozwiązanie zależy od n r parametrów (c) Jeśli rank(a) rank[a b], to układ równań nie ma rozwiązań Co to znaczy, że rozwiązanie zależy od n r parametrów? Wszystkie rozwiązania układu Ax b są postaci x x 0 + c 1 v c n r v n r dla dowolnych wartości parametrów c 1,, c n r R, gdzie x 0, v 1,, v n r R n Dla różnych wartości parametrów c 1,, c n r otrzymujemy różne rozwiązania x Rozwiązania układu jednorodnego Ax 0 są wówczas postaci dla c 1,, c n r R x c 1 v c n r v n r

8 3 WYZNACZNIKI 8 Twierdzenie 5 Niech x 0 będzie pewnym rozwiązaniem układu równań Ax b Wówczas wszystkie rozwiązania tego układu są postaci x x 0 + v, gdzie v jest dowolnym rozwiązaniem układu Ax 0 Dowód Jeśli Ax 0 b i Av 0, to A(x 0 + v) Ax 0 + Av b + 0 b Jeśli Ax 0 b i Ax b, to dla v x x 0 mamy Av Ax Ax 0 b b 0 39 Wzory Cramera Twierdzenie 6 Dla macierzy kwadratowej A Mat n n (R) następujące warunki są równoważne: macierz A jest odwracalna, det(a) 0, rank(a) n Twierdzenie 7 (Wzory Cramera) Niech A Mat n n (R) będzie macierzą kwadratową, taką że det A 0 oraz b R n Wówczas układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie które wyraża się wzorami: x Ax b x 1 x 2 x n Rn, x 1 W 1 W,, x n W n W, gdzie W det A, zaś W i jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy A przez zamianę i-tej kolumny na kolumnę b: a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n W i a n1 b n a nn