MACIERZE I WYZNACZNIKI
|
|
|
- Janina Pietrzak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07
2 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1 j n dokładnie jednej liczby a ij. Macierz zapisujemy zwykle lub [ a ij ]m n, lub [a ij]. a a 1n..... a m1... a mn Gdy m n, to macierz jest kwadratowa, a liczba n to stopień macierzy.
3 Dodawanie macierzy. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m n oraz B [b ij ] m n, to suma macierzy A i B to macierz A + B [c ij ] m n, gdzie c ij a ij + b ij. PRZYKŁADY. [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ]
4 Odejmowanie macierzy. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m n oraz B [b ij ] m n, to różnica macierzy A i B to macierz A B [c ij ] m n, gdzie c ij a ij b ij. PRZYKŁADY. [ ] [ [ 1 3 ] [ 5 7 ] ] [ [ ] [ 4 4 ] ] [ ]
5 Mnożenie przez liczbę. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m n, to iloczyn macierzy A przez liczbȩ k to macierz ka [c ij ] m n, gdzie c ij ka ij. PRZYKŁADY. [ ] [ ] [ ] [ ]
6 Mnożenie macierzy. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m r oraz B [b ij ] r n, to iloczyn macierzy A i B to macierz AB [c ij ] m n, gdzie c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ir b rj. Mnożymy i-ty wiersz pierwszej macierzy przez j-tą kolumnę drugiej macierzy. UWAGA. Mnożenie macierzy nie jest przemienne. PRZYKŁAD 1. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
7 Mnożenie macierzy. DEFINICJA. Jeśli A [a ij ] m r oraz B [b ij ] r n, to iloczyn macierzy A i B to macierz AB [c ij ] m n, gdzie c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ir b rj. Mnożymy i-ty wiersz pierwszej macierzy przez j-tą kolumnę drugiej macierzy. UWAGA. Mnożenie macierzy nie jest przemienne. PRZYKŁAD 2. [ ] [ ] 3 [ ] [ ] [ 3 4 ] [ 1 2 ] [ ] [ ]
8 Macierz transponowana. DEFINICJA. Macierz transponowana do macierzy A [a ij ] m n, to macierz A T [b ij ] n m, gdzie b ij a ji. PRZYKŁADY. [ ] 1 2 A, A 3 4 T B 1 2 3, B T [ [ ] ]
9 jedynka DEFINICJA. Macierz jednostkowa n-tego stopnia to macierz kwadratowa n-tego { stopnia I (czasami oznaczana I n lub E) o 1, gdy i j elementach a ij, 0, gdy i j to znaczy WŁASNOŚĆ. Jeśli A jest macierza kwadratowa n-tego stopnia, a I jest macierza jednostkowa n-tego stopnia, to A I I A A.
10 Wyznacznik macierzy kwadratowej. DEFINICJA. Wyznacznik macierzy kwadratowej A [a ij ], to liczba det A zdefiniowana nastȩpuja co: 1 gdy A macierza pierwszego stopnia, to det[a 11 ] a 11 ; 2 gdy A jest macierza n-tego stopnia i n 2 (zakładamy, że umiemy liczyć wyznaczniki macierzy stopnia n 1), to det A a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n, gdzie A ij jest macierza powstała z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
11 Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego stopnia? Przypomnienie definicji: det A a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n, A ij to A bez i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. det [ a11 a 12 a 21 a 22 ] a 11 a 12 a 21 a 22
12 Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego stopnia? Przypomnienie definicji: det A a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n, A ij to A bez i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. det [ a11 a 12 a 21 a 22 ] a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 det A 11 a 12 det A 12 a 11 a 22 a 12 a 21
13 Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego stopnia? Przypomnienie definicji: det A a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n, A ij to A bez i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. det [ a11 a 12 a 21 a 22 ] a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 det A 11 a 12 det A 12 a 11 a 22 a 12 a 21
14 Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
15 Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32
16 Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? Schemat Sarrusa. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.
17 Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? Schemat Sarrusa. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.
18 Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? Schemat Sarrusa. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.
19 Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? Schemat Sarrusa. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.
20 Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? Schemat Sarrusa. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.
21 Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia? Schemat Sarrusa. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.
22 Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego oraz trzeciego stopnia? PRZYKŁAD
23 Macierz odwrotna. DEFINICJA. Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A o niezerowym wyznaczniku to taka macierz A 1, że A A 1 A 1 A I. PRZYKŁAD. [ Gdy A [2], to A 1 1 2], [ [ ] ponieważ [2] 1 2] [1] I 1.
24 Jak znaleźć macierz odrotną? DEFINICJA. Dopełnienie algebraiczne elementu a ij macierzy kwadratowej A [a ij ] to liczba d ij ( 1) i+j det A ij. TWIERDZENIE. Jeżeli A jest macierza kwadratową stopnia wiȩkszego od 1 oraz det A 0, to PRZYKŁAD. A A 1 1 det A [d ij] T. [ ], det A 2, d 11 ( 1) , d 12 ( 1) , d 21 ( 1) , d 22 ( 1) [ ] T [ ] [ A ,5 0, 5 ]
25 A 1 1 det A [d ij] T, PRZYKŁAD A A det A , det A, d 11 ( 1) d 11 d 12 d 13 d 21 d 22 d 23 d 31 d 32 d 33 T ,... T
26 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
27 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
28 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
29 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
30 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
31 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
32 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
33 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
34 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
35 PRZYKŁAD Sprawdzenie : A A
36 Metoda Gaussa-Jordana szukania macierzy odwrotnej do macierzy kwadratowej stopnia n. Dopisujemy do danej macierzy n kolumn tworzacych I n (czyli macierz jednostkową stopnia n). Następnie działając tylko na wierszach: zamieniając wiersze miejscami, dzieląc lub mnożąc wszystkie wyrazy dowolnego wiersza przez dowolną stałą różną od zera, dodając do elementów dowolnego wiersza odpowiedne elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną stała, doprowadzamy do macierzy, której pierwsze n kolumn tworzy I n. Wtedy pozostałe kolumny tworzą A 1.
37 PRZYKŁAD. Znajdź A 1, gdy A Dopisujemy do kolumn macierzy A dwie dodatkowe (tworzące macierz jednostkową drugiego stopnia): [ ] Do wyrazów wiersza drugiego dodajemy wyrazy pierwszego wiersza pomnożone przez 3. [ ] Do wyrazów wiersza pierwszego dodajemy wyrazy wiersza drugiego. [ ]
38 PRZYKŁAD. Znajdź A 1, gdy A [ ] Wyrazy drugiego wiersza dzielimy przez 2. [ /2 1/2 Szukana macierz odwrotna to: A 1 ] [ 2 1 3/2 1/2 ].
39 Własności wyznaczników Zakładamy, że A jest macierza kwadratowa stopnia n. 1 deta det A T ; 2 det A a i1 d i1 + + a in d in (rozwiniȩcie wzglȩdem i-tego wiersza); 3 det A a 1j d 1j + + a nj d nj (rozwiniȩcie wzglȩdem j tej kolumny); 4 gdy A zawiera wiersz (lub kolumnȩ) złożona z samych zer, to det A 0; 5 jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianȩ dwóch wierszy (lub kolumn) miejscami, to det B det A; 6 jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolna stała, to det A det B (podobnie dla kolumn); 7 jeżeli macierz B powstała z A przez pomnożenie wszystkich wyrazów dowolnego wiersza (lub kolumny) przez c, to det B c det A.
40 Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3 rozwijamy względem dowolnie wybranego wiersza lub dowolnie wybranej kolumny - własność 2 lub 3. PRZYKŁAD. Wyznacznik możemy rozwinąć względem pierwszego wiersza (to jedna z ośmiu możliwości).
41 Rozwinięcie względem pierwszego wiersza: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
42 Możemy też rozwiąć (na przykład) względem trzeciej kolumny: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
43 Wyznacznik macierzy stopnia wyższego od 3 rozwijamy względem wiersza lub kolumny. Najdogodniej jest, zazwyczaj, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy - poza jednym - w dowolnie przez nas wybranym wierszu (lub kolumnie) to zera (albo same zera - ten przypadek jest możliwy tylko wtedy, gdy wyznacznik jest zerem - własność 4). PRZYKŁAD
44 Wyznacznik macierzy stopnia wyższego od 3 rozwijamy względem wiersza lub kolumny. Możemy (to jedna z wielu opcji) wyzerować trzecią kolumnę, wybierając do tego celu pierwszy wiersz (stosujemy własność 6). Pierwszy wiersz: mnożymy przez 2 i dodajemy do drugiego; mnożymy przez 4 i dodajemy do trzeciego; mnożymy przez 1 i dodajemy do czwartego Teraz możemy rozwinąć względem trzeciej kolumny (własność 3).
45 Wyznacznik macierzy wyższego stopnia rozwijamy względem wiersza lub kolumny. Rozwijamy względem trzeciej kolumny (własność 3): ( 1)
46 INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Wyrazy pierwszej kolumny mnożymy przez, kolejno, 2, 3, 4 i dodajemy do odpowiednich wyrazów kolumny drugiej, trzeciej i czwartej
47 INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Wyrazy pierwszej kolumny mnożymy przez, kolejno, 2, 3, 4 i dodajemy do odpowiednich wyrazów kolumny drugiej, trzeciej i czwartej
48 INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Teraz wyrazy drugiej kolumny mnożymy przez 1 i dodajemy do wyrazów kolumny trzeciej
49 INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Teraz wyrazy drugiej kolumny mnożymy przez 1 i dodajemy do wyrazów kolumny trzeciej
50 INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Wyrazy trzeciej kolumny mnożymy przez 2 i dodajemy do czwartej
51 INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD. Wyrazy trzeciej kolumny mnożymy przez 2 i dodajemy do czwartej
52 INNA METODA Można także, stosując własności wyznaczników, doprowadzić do sytuacji, gdy wszystkie elementy ponad główną przekątną (lub pod główną przekątną) to zera. Wtedy wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. PRZYKŁAD
53 Minor, rząd macierzy. DEFINICJA. Minor stopnia k macierzy A [a ij ] m n (dla k m i jednocześnie k n) to wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k powstałej z macierzy A przez skreślenie odpowiedniej liczby wierszy i kolumn. DEFINICJA. Rza d R(A) macierzy A to najwyższy ze stopni niezerowych minorów tej macierzy.
54 Rząd macierzy. PRZYKŁAD. Rza d macierzy A nie jest równy 3, bo jedyny minor 3-go stopnia tej macierzy to det A 0 (nie ma niezerowego minora 3-go stopnia). Oczywiście R(A) 2, gdyż, na przykład, niezerowym jest minor drugiego stopnia powstały z A przez skreślenie trzeciego wiersza i 1 2 trzeciej kolumny:
55 Własności rzędu macierzy. Rza d macierzy A nie zmieni siȩ, gdy 1 do wszystkich elementów dowolnego wiersza dodamy odpowiednie elementy innego wiersza pomnożone przez dowolna stała (podobnie dla kolumn); 2 wszystkie elementy dowolnego wiersza (lub kolumny) pomnożymy lub podzielimy przez dowolna stała różna od zera; 3 skreślimy wiersz (lub kolumnȩ) złożona z samych zer; 4 zamienimy wiersze miejscami (podobnie: zamienimy kolumny miejscami); 5 ponadto R(A) R(A T ).
56 Rząd macierzy. PRZYKŁAD. Oblicz rza d macierzy A Oczywiście R(A) 3 (macierz ma tylko trzy wiersze).
57 Rząd macierzy. Najpierw wszystkie wyrazy ostatniego wiersza podzielimy przez (własność 2). R(A) R R Następnie do wyrazów pierwszego wiersza dodamy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 1 i do wyrazów drugiego wiersza dodamy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 5 (własność 1).
58 Rząd macierzy. Najpierw wszystkie wyrazy ostatniego wiersza podzielimy przez (własność 2). R(A) R R Następnie do wyrazów pierwszego wiersza dodamy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 1 i do wyrazów drugiego wiersza dodamy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 5 (własność 1).
59 Rząd macierzy. Do wyrazów pierwszego wiersza dodajemy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 1 i do wyrazów drugiego wiersza dodajemy wyrazy trzeciego wiersza pomnożone przez 5 (własność 1). R R
60 Rząd macierzy. Do wyrazów pierwszego wiersza dodajemy wyrazy drugiego wiersza, a nastepnie skreślamy wiersz złożony z samych zer: R R [ ] R Rząd tej macierzy wynosi 2, gdyż, na przykład, niebieski minor drugiego stopnia jest niezerowy. Mogliśmy też dalej przykształcać macierz aż do uzyskania macierzy jednostkowej - wtedy rząd to stopień otrzymanej macierzy jednostkowej.
61 Wartość własna macierzy. DEFINICJA. Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik macierzy A λi. PRZYKŁAD. Wielomianem charakterystycznym macierzy A ([ ] [ ]) det(a λi ) det λ ([ ] [ ]) 1 2 λ 0 1 λ 2 det λ 2 4 λ (1 λ)(4 λ) 4 λ 2 5λ. [ ] jest
62 Wartość własna macierzy. DEFINICJA. Wartość własna macierzy kwadratowej A to pierwiastek jej wielomianu charakterystycznego. PRZYKŁAD. Znajdź wartości własne macierzy A [ Szukamy pierwiastków wielomianu charakterystycznego, czyli rozwiązujemy równanie: λ 2 5λ 0 λ(λ 5) 0; wartości własne to λ 1 0 oraz λ 2 5. ].
63 PRZYKŁAD. Znajdź wartości własne macierzy Szukamy pierwiastków wielomianu charakterystycznego, czyli 1 λ 0 2 rozwiązujemy równanie: 1 2 λ 1 0, λ (1 λ)( 2 λ)(4 λ) + 2( 2 λ) 0 ( 2 λ)[(1 λ)(4 λ) + 2] 0 ( 2 λ)[λ 2 5λ + 6] 0; wartości własne to λ 1 2, λ 2 2, λ 3 3.
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
![det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...](/thumbs/93/111637753.jpg "det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...")
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
![, A T = A + B = [a ij + b ij ].](/thumbs/98/137554993.jpg ", A T = A + B = [a ij + b ij ].")
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Wyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Macierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Algebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
A A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
1 Działania na macierzach
1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Postać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...
Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Metoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Układy równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Wyznaczniki. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Wyznaczniki Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wyznaczniki
Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski:
Przykład 2 odwrotność macierzy 4x4 Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski: Będziemy dążyli do tego, aby po lewej stronie kreski pojawiła się macierz jednostkowa. Na początek
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Metody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY
OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych operacji jest macierz o takich samych
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni