Układy równań liniowych
|
|
|
- Zdzisław Leśniak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
2 Podstawowy podręcznik T. Koźniewski Wykłady z algebry liniowej Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
3 Równanie liniowe z n niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
4 Równanie liniowe z n niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b a 1, a 2,..., a n współczynniki, b wyraz wolny Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
5 Równanie liniowe z n niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b a 1, a 2,..., a n współczynniki, b wyraz wolny Układ m równań z n niewiadomymi (zmiennymi) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2 U : a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
6 Układ jest jednorodny jeśli wszystkie wyrazy wolne sa 0 tzn. jest postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
7 n-elementowy ciag liczb s 1, s 2,..., s n nazwiemy rozwiazaniem układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu nimi kolejno zmiennych x 1, x 2,..., x n otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
8 n-elementowy ciag liczb s 1, s 2,..., s n nazwiemy rozwiazaniem układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu nimi kolejno zmiennych x 1, x 2,..., x n otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, jest nim ciag złożony z zer, tzn. s 1 = s 2 = = s n = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
9 n-elementowy ciag liczb s 1, s 2,..., s n nazwiemy rozwiazaniem układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu nimi kolejno zmiennych x 1, x 2,..., x n otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, jest nim ciag złożony z zer, tzn. s 1 = s 2 = = s n = 0. Układ nazwiemy sprzecznym jeśli nie ma rozwiazań (tzn. zbiór rozwiazań jest pusty) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
10 n-elementowy ciag liczb s 1, s 2,..., s n nazwiemy rozwiazaniem układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu nimi kolejno zmiennych x 1, x 2,..., x n otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, jest nim ciag złożony z zer, tzn. s 1 = s 2 = = s n = 0. Układ nazwiemy sprzecznym jeśli nie ma rozwiazań (tzn. zbiór rozwiazań jest pusty) Dwa układy nazwiemy równoważnymi jeśli maja te same zbiory rozwiazań Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
11 Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbę tzn. iloczynem równania a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b przez liczbę d jest równanie a 1 x 1 + a 2 x a nx n = b, w którym a i = da i, dla i = 1, 2,..., n oraz b = db Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
12 Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbę tzn. iloczynem równania a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b przez liczbę d jest równanie a 1 x 1 + a 2 x a nx n = b, w którym a i = da i, dla i = 1, 2,..., n oraz b = db oraz dodawać do siebie Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
13 Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbę tzn. iloczynem równania a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b przez liczbę d jest równanie a 1 x 1 + a 2 x a nx n = b, w którym a i = da i, dla i = 1, 2,..., n oraz b = db oraz dodawać do siebie Suma równań a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b oraz a 1 x 1 + a 2 x a nx n = b to równanie a 1 x 1 + a 2 x a nx n = b, w którym a i = a i + a i,dla i = 1, 2,..., n oraz b = b + b Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
14 Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
15 Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbę Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
16 Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbę 2 Zamiana dwóch równań miejscami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
17 Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbę 2 Zamiana dwóch równań miejscami 3 pomnożenie jednego z równań przez niezerowa liczbę Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
18 Twierdzenie Następujace operacje prowadza do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbę 2 Zamiana dwóch równań miejscami 3 pomnożenie jednego z równań przez niezerowa liczbę Rozwiazaniem ogólnym układu równań liniowych U nazywamy równoważny jemu układ U postaci: x j1 = c 11 x c 1n x n + d 1 U : x jk = c k1 x 1 + c kn x n + d k przy czym c ij = 0, dla j = j 1,..., j k (tzn. zmienne x j1,..., x jk nie występuja po prawej stronie nazywamy je zmiennymi zależnymi, pozostałe niezależnymi, badź parametrami). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
19 Macierze Macierza m n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablicę d 11 d 12 d 1n d 21 d 22 d 2n D = d m1 d m2 d mn Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
20 Macierze Macierza m n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablicę d 11 d 12 d 1n d 21 d 22 d 2n D = d m1 d m2 d mn Piszemy także D = [d ij ], gdzie d ij (dla 1 i m, 1 j n) należa do zbioru X Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
21 Macierze Macierza m n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablicę d 11 d 12 d 1n d 21 d 22 d 2n D = d m1 d m2 d mn Piszemy także D = [d ij ], gdzie d ij (dla 1 i m, 1 j n) należa do zbioru X Rzędy poziome nazywamy wierszami, zaś pionowe kolumnami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
22 Macierz układu równań liniowych Układowi U : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
23 Macierz układu równań liniowych Układowi U : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m Przypisujemy macierz liczbowa m (n + 1) a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m nazywana macierza układu U. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
24 Macierz m n a 11 a 12 a 1n a 21 d 22 a 2n a m1 a m2 a mn nazywamy macierza współczynników U. Ostatnia kolumna macierzy układu U to kolumna wyrazów b 1 b 2 wolnych. b m Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
25 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
26 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
27 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
28 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
29 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza w i przez niezerowa liczbę d Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
30 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza w i przez niezerowa liczbę d tzn. zastępujemy w i przez w i = [dw i1, dw i2,..., dw in ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
31 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza w i przez niezerowa liczbę d tzn. zastępujemy w i przez w i = [dw i1, dw i2,..., dw in ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
32 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy następujace elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza w i = [w i1, w i2,..., w in ] innego wiersza w j = [w j1, w j2,..., w jn ] pomnożonego przez liczbę c tzn. wiersz w i zastępujemy wierszem w i = [w i1 + cw j1, w i2 + cw j2,..., w in + cw jn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza w i przez niezerowa liczbę d tzn. zastępujemy w i przez w i = [dw i1, dw i2,..., dw in ] Przykład Rozważmy macierz: Po zastosowaniu do niej kolejno operacji w 1 w 2, w 4 2w 1, 1 3 w 3 otrzymamy macierz Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
33 Elementem wiodacym wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
34 Elementem wiodacym wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
35 Elementem wiodacym wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Wszystkie wiersze zerowe sa poniżej niezerowych (o ile istnieja) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
36 Elementem wiodacym wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Wszystkie wiersze zerowe sa poniżej niezerowych (o ile istnieja) Elementy wiodace kolejnych wierszy niezerowych znajduja się w kolumnach o coraz wyższych numerach Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
37 Przykład Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
38 Przykład Macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej jeśli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiodace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoja sa poza nimi same zera. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
39 Przykład Macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej jeśli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiodace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoja sa poza nimi same zera. Przykład Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
40 Twierdzenie Każda macierz liczbowa można za pomoca elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
41 Twierdzenie Każda macierz liczbowa można za pomoca elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Metoda rozwiazywania układów równań liniowych Sprowadzić macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej. Jeśli element wiodacy ostatniego niezerowego wiersza pojawi się w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybrać jako zmienne zależne te, w których kolumnach stoja elementy wiodace, zaś pozostałe jako parametry i odczytać rozwiazanie ogólne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
42 Twierdzenie Każda macierz liczbowa można za pomoca elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Metoda rozwiazywania układów równań liniowych Sprowadzić macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej. Jeśli element wiodacy ostatniego niezerowego wiersza pojawi się w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybrać jako zmienne zależne te, w których kolumnach stoja elementy wiodace, zaś pozostałe jako parametry i odczytać rozwiazanie ogólne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
43 Przykład Rozważmy układ U : { x1 + x 2 + 2x 3 2x 4 = 1 2x 1 + 2x 2 + 5x 3 + x 4 = 4 [ ] Macierza tego układu jest. Operacja w w 1 [ ] sprowadzamy ja do postaci schodkowej M = Widzimy, że układ jest niesprzeczny i, że jako zmienne zależne można przyjać x 1 i x 3 natomiast x 2 i x 4 jako parametry. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
44 Przykład (cd) Macierz M przeprowadzamy [ operacja w 1 ] 2w 2 do postaci schodkowej zredukowanej M =, z której spisujemy układ U równoważny U { U x1 + x : 2 12x 4 = 3 x 3 + 5x 4 = 2 przekształcamy go do rozwiazania ogólnego { x1 = 3 x x 4 x 3 = 2 5x 4 Każde rozwiazanie układu U można zapisać w postaci ( 3 x x 4, x 2, 2 5x 4, x 4 ), gdzie x 2, x 4 R Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 1
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Układy liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
![, A T = A + B = [a ij + b ij ].](/thumbs/98/137554993.jpg ", A T = A + B = [a ij + b ij ].")
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Programowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Programowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,
Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
![det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...](/thumbs/93/111637753.jpg "det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...")
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Programowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100
ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa zbiory A = ( 6 7, 6) i B = N liczb naturalnych dodatnich. Wówczas iloczyn zbiorów A B jest równy A) {1, 2,, 4, 5} B) (, 5 C) {1, 2,, 4, 5, 6} D) (, 6) ZADANIE 2 (1 PKT) Jeśli
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Układy równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej
RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Metody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Obliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami
Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
9 Układy równań liniowych
122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Teoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (