Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
|
|
- Bogna Mazur
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz s n s n 1 + s n dla n ; (b) s 0 1, s 1 3, oraz s n 6s n 1 9s n dla n ; (c) s 0 c, s 1 d, oraz s n 5s n 1 6s n dla n ; (d) s 0 1, s 1, oraz s n 3s n dla n ; Rozwiązanie. c) Rozważmy równanie charakterystyczne tego ciągu: x 5x 6 (1) Jego pierwiastkami są α i β 3. Na podstawie twierdzenia o jawnej postaci ciągu zadanego requrecyjnie istnieją stałe A i B, takie że Stałe A i B wyliczamy na podstawie układu równań { s 0 Aα 0 + Bβ 0 tzn. { s n Aα n + Bβ n A n + B 3 n () s 1 Aα 1 + Bβ 1 A + B c A + 3 B d Rozwiązanie tego układu daje A 3c d, B d c. Zatem, na podstawie () ogólna postać n-tego wyrazu ciągu jest następująca: s n (3c d) n + (d c) 3 n (3) Przechodzimy do indukcyjnego dowodu tego wzoru. W pierwszym kroku należałoby sprawdzić jego prawdziwość dla n 0 i n 1, ale wartości stałych A i B zostały wyznaczone tak, aby dla tych wartości n wzór był prawdziwy, zatem uznajemy, że to zostało już uczynione. Załómy zatem, że wzór 3 jest prawdziwy dla wszystkich k < n. W szczególności zakładamy więc, że s n 1 (3c d) n 1 + (d c) 3 n 1, s n (3c d) n + (d c) 3 n. (4) Dowodzimy prawdziwości wzoru (3) dla n. Na podstawie rekurencyjnej definicji ciągu mamy s n 5s n 1 + 6s n z (4) 5((3c d) n 1 + (d c) 3 n 1 ) 6((3c d) n + (d c) 3 n ) 10(3c d) n +15(d c) 3 n 6(3c d) n 6(d c) 3 n 4(3c d) n +(d c) 3 n (3c d) n + (d c) 3 n. Skoro zatem wzór jest prawdziwy dla małych wartości n oraz z prawdziwości wzoru dla wartości mniejszych od n wynika jego prawdziwość dla n, więc na mocy Zasady Indukcji Zupełnej wzór jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych.. W każdym z następujących przypadków podaj jawny wzór na s n i udowodnij indukcyjnie jego poprawność: (a) s 1 1, s n s n + 3; (b) s 1 0, s n s n + 5n; (c) s 1 1, s n s n 7; (d) s 1 0, s n s n + 5 7n.
2 C. Bagiński Materiały dydaktyczne Rozwiązanie. Rozważymy przypadek ogólny. Wszystkie podpunkty tego zadania są jego szczególnymi przypadkami. Niech mianowicie s 1 a, s n As n + Bn + C, (5) gdzie a, A, B, C są ustalonymi liczbami rzeczywistymi (zespolonymi). Mamy zatem: s 1 a, s As 1 + B + C Aa + B + C s 4 As + B + C A(Aa + B + C) + B + C A a + AB + B + AC + C A a + B(A + ) + C(A + 1), s 8 As 4 + 4B + C A(A a + AB + B + AC + C) + 4B + C A 3 a + B(A + A + 4) + C(A + A + 1), s 16 As 8 + 8B + C A(A 3 a + B(A + A + 4) + C(A + A + 1)) + 8B + C A 4 a + B(A 3 + A + 4A + 8) + C(A 3 + A + A + 1). Z postaci kolejnych wyrazów można wywnioskować, że n -ty wyraz ciągu ma postać s n A n a + B(A n 1 + A n + A n n A + n 1 ) + C(A n 1 + A n + + A + 1). (6) Zauważmy jeszcze, że ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dla A mamy ( A A n 1 + A n + A n n A + n 1 n 1 n 1 An + n 1 n + + A ) + 1 n 1 A n 1 n A 1 An n A i oczywiście dla A 1, A n 1 + A n + + A + 1 An 1 A 1. Zatem, jeśli A 1 i A, to Dla A 1 wzór (6) przyjmuje postać natomiast dla A : s n A n a + B An n A + C An 1 A 1. s n A n a + B( n + n 1 ) + Cn A n a + B( n 1) + Cn, s n A n a + Bn n 1 + C( n 1 + n ) n a + Bn n 1 + C( n 1). Uwzględniając powyższe rozważania, w poszczególnych podpunktach zadania podstawiamy konkretne wartości parametrów a, A, B, C i otrzymujemy wzory na n -te wyrazy ciągu {s m } m 1 : (a) a 1, A, B 0, C 3 s n n + 3( n 1) n+ 3; (b) a 0, A, B 5, C 0, s n 5n( n 1); (c) a 1, A, B 0, C 7, s n n 7 ( n 1) 3 n+1 + 7; (d) a 0, A, B 7, C 5, s n 7n n ( n 1) ( 7n + 10) n 1 5. Indukcyjny dowód poprawności wyprowadzonych wzorów zostawiam czytelnikowi. 3. Dla każdego z ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie wyznaczyć trzeci, piąty i dziesiąty wyraz oraz udowodnić podaną nierówność: (a) a 0 1, a 1, a 3 oraz a n a n + a n 3 dla n 3; a n > ( 3 )n dla wszystkich n 1; (b) a 0 a 1 a 1 oraz a n a n 1 + a n + a n 3 dla n 3; a n n 1 dla wszystkich n 1; (c) a 0 1, a 1 3, a 5 oraz a n 3a n + a n 3 dla n 3; n < a n n+1 dla wszystkich n 1.
3 C. Bagiński Materiały dydaktyczne 3 Rozwiązanie. a) Mamy oczywiście a 0 1, a 1, a 3, a 3 a 1 + a , a 4 a + a , a 5 a 3 + a , a 6 a 4 + a , a 7 a 5 + a , a 8 a 6 + a , a 9 a 7 + a , a 10 a 8 + a Pierwszy krok dowodu nierówności wymaga sprawdzenia jej dla trzech pierwszych wyrazów, ponieważ ciąg zadany jest wzorem rekurencyjnym odwołującym się do wyrazów wcześniejszych maksymalnie o trzy numery: a 1 > 3, a 3 > 9 4 ( 3 ), a 3 4 > 7 8 ( ) 3 3. Załóżmy teraz, że dla wszystkich k mniejszych od n nierówność jest prawdziwa. W szczególności zakładamy więc, że ( ) 3 n 3 ( ) 3 n a n 3 > i a n >. (7) Dowodzimy nierówności dla n: Mamy a n a n + a n 3 z (7) > ( ) 3 n + a n > ( ) 3 n 3 ( ) 3 n. ( ) 3 n 3 ( ) 3 + > ( ) 3 n ( ) 3 n. Zatem, skoro nierówność jest prawdziwa dla małych wartości n oraz z prawdziwości nierówności dla wartości mniejszych od n wynika jego prawdziwość dla n, więc na mocy Zasady Indukcji Zupełnej nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych Niech F 0 0, F 1 1 i dla n F n F n 1 + F n. (a) Udowodnić że F n+1 F n 1 Fn ( 1) n, dla dowolnej liczby naturalnej n. (b) Czy Fn + Fn+1 jest zawsze liczbą Fibonacciego? (c) Wyrazić n k0 F k za pomocą liczb Fibonacciego. Rozwiązanie. W dowodzie każdej z tych równości można wykorzystać znaną charakteryzację liczb Fibonacciego za pomocą pewnej macierzy. Otóż, niech A ( ) (8) Bezpośrednio, łatwą indukcją można udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n, n 1, zachodzi równość ( ) A n Fn+1 F n F n F n 1 (9) a) Dla dowodu pierwszej równości wystarczy teraz skorzystać z tw. Cauchy ego, mówiącego, że wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych jest iloczynem wyznaczników tych macierzy. Jeśli teraz zauważymy, że det(a) 1, to otrzymujemy ( 1) n (det(a)) n det(a n ) det ( Fn+1 F n F n F n 1 ) F n+1 F n 1 F n
4 C. Bagiński Materiały dydaktyczne 4 b) Na początek sprobujmy odgadnąć czym może być rozważana suma. W tym celu wyliczmy jej kilka początkowych wartości: n F n F n+1 Fn + Fn F F F F F F F F F 17 Można zatem wysnuć podejrzenie, że F n + F n+1 F n+1 (10) Przeprowadzimy dowód ponownie wykorzystując (9). Ze wzoru tego mamy ( ) ( ) ( ) ( ) Fn+ F n+1 F n+1 F n A n+1 A n A n+1 Fn+1 F n Fn+ F n+1 Fn+1 F F n F n 1 F n+1 F n n+ +F nf n+1 Fn+1 +F n F nf n+ +F n 1 F n+1 F nf n+1 +F n 1 F n Teraz z porównania prawego górnego wyrazu w pierwszej macierzy, z prawym górnym wyrazem ostatniej macierzy powyższego ciągu równości otrzymujemy Niech a 0 1, a 8, a 3 7, a 4 64 i dla d 0 niech a n+4 4a n+3 6a n+ + 4a n+1 a n. Odgadnąć jawną postać n-tego wyrazu ciągu a n i udowodnić jego poprawność. Rozwiązanie Postać początkowych wyrazów ciągu sugeruje, że ogólny wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać a n n 3 (11) Pokażemy indukcyjnie, że tak jest rzeczywiście. Wzór rekurencyjny na ustalony wyraz ciągu odwołuje się do czterech kolejnych wyrazów bezpośrednio poprzedzających wyraz obliczany. Dlatego pierwszy krok indukcyjny polega na sprawdzeniu prawdziwości wzoru dla czterech pierwszych wyrazów ciągu. Ale to już zrobiliśmy, wszak ze sprawdzenia własności początkowych wyrazów wynikła sugestia co do wzoru ogólnego (11). Załóżmy więc, że udowodniliśmy już, że dla k n mamy a k k 3, gdzie n 4. Na tej podstawie dowodzimy wzoru dla n + 1, tzn. dowodzimy, że a n+1 (n + 1) 3. Ze wzoru rekurencyjnego wiemy, że a n+1 4a n 6a n 1 + 4a n a n 3. Na podstawie założenia indukcyjnego, rozpiszmy poszczególne składniki. Mamy 4a n 4n 3 6a n 1 6(n 1) 3 6(n 3 3n + 3n 1) 4a n 4(n ) 3 4(n 3 6n + 1n 8) a n 3 (n 3) 3 n 3 + 9n 7n Po dodaniu stronami tych równości otrzymujemy a n+1 4a n 6a n 1 + 4a n a n 3 4n 3 6(n 3 3n + 3n 1) + 4(n 3 6n + 1n 8) (n 3 9n + 7n 7) (4n 3 6n 3 + 4n 3 n 3 ) + (18n 4n + 9n ) + ( 18n + 48n 7n) + ( ) n 3 + 3n + 3n + 1 (n + 1) 3.
5 C. Bagiński Materiały dydaktyczne 5 Na mocy zasady indukcji zupełnej wnosimy, że wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej n. 6. Niech {a, b, c} i niech s n oznacza liczbę słów długości n w alfabecie, w których nie występuje ciąg aa. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu s n i znaleźć dla niego wzór rekurencyjny. 7. Niech {a, b}. (a) Niech s n oznacza liczbę słów długości n w alfabecie niezawierających ciągu ab. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu s n, znaleüć jawny wzór na s n i go udowodnić. (b) Niech t n oznacza liczbę słów długości n w alfabecie, w których jest parzysta liczba liter a. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu t n, znaleźć jawny wzór na t n i go udowodnić. Rozwiązanie. a) Wypisanie kilku początkowych słów w podanym alfabecie daje łatwą sugestię o jawnej posaci n-tego wyrazu ciągu. n słowa a aa, ba aaa, baa, bba, aaaa, baaa, bbaa, bbba aaaaa, baaaa, bbaaa, bbbaa, bbbba długości n b bb bbb bbbb bbbbb S n Niech a n będzie liczbą dopuszczalnych słów długości n kończących się literą a, natomiast b n liczbą słów długości n kończących się literą b. Przy tworzeniu słów długości n + 1, literę a można dopisać do dowolnego słowa długości n, zatem a n+1 a n + b n s n. Literę b można dopisać tylko do tych słów, które kończą się literą b i z łatwej indukcji wynika, że b n 1. Zatem s n+1 a n+1 + b n+1 s n + 1. Stąd s n n + 1. Dowód poprawności wzoru zostawiam czytelnikowi dla rozrywki. 8. Obliczyć a 4, a 5 i a 6 jeżeli a 0 α, a 1 β oraz a n 1+a n 1 a n dla n. Podać jawny wzór na a n. Jakie warunki muszą spełniać α i β, jeżeli ten ciąg jest nieskończony? 9. (a) Definiujemy rekurencyjnie s 0 1 i s n+1 s n dla n 0. Obliczyć piąty, dziesiąty i piętnasty wyraz tego ciągu. Jaki jest zbiór wartości ciągu {s n }? (b) Definiujemy rekurencyjnie a 0 0, a 1 1, a oraz a n a n 1 a n + a n 3 dla n 3. Jaki jest zbiór wartości ciągu {a n }? 10. Obliczyć wyznacznik macierzy n n: M n Rozwiązanie. Niech W n det(m n ). Policzmy kilka początkowych wyrazów ciągu W n. Od razu widać, że W 1 1 i W Dalej, rozwijając zgodnie ze wzorem Laplace a względem pierwszego wiersza otrzymujemy W , W W 3 + W Przypadek n 4 daję się łatwo przenieść na przypadek ogólny, mamy mianowicie W n W n 1 +W n. Zatem W n F n+1 jest równy n + 1-szemu wyrazowi ciągu Fibonacciego zdefiniowanego w zadniu Podać definicję rekurencyjną każdego z poniższych ciągów: a) (1, 3, 9, 7, 81,...); b) (,, ( ), (( ) ),...); c) (,, (), (()) )..
6 C. Bagiński Materiały dydaktyczne 6 1. a) Definiujemy rekurencyjnie ciąg za pomocą wzorów: a 0 a 1 1 oraz a n a n 1 + a n dla n. Obliczyć a 6 i pokazać, że wszystkie wyrazy ciągu są nieparzyste. b) Definiujemy rekurencyjnie ciąg za pomocą wzorów: b 0 b 1 1 oraz b n b n 1 + b n dla n. Obliczyć b 6 i pokazać, że wszystkie wyrazy ciągu są nieparzyste.
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoRozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/10 rekurencja Wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1. Oto wartości silni
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 5/14 Rekurencja Weźmy dla przykładu wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1.
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Ciągi liczbowe Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny Materiały merytoryczne do kursu Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne stanowią istotne klasy ciągów zarówno
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/15 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoCzęść wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Bardziej szczegółowoWarmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie
Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Bardziej szczegółowoRekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne
Rekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Zadanie 1. Oblicz iteracyjnie i rekurencyjnie f(4), gdzie f jest funkcją określoną na zbiorze
Bardziej szczegółowoPoprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1)
WROCŁAW, 12 GRUDNIA 2014 EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1) ZA KAŻDE ZADANIE MOŻNA DOSTAĆ OD 0 DO 5 PUNKTÓW. PIERWSZA CZEŚĆ SKŁADA SIE Z 5 ZADAŃ TESTOWYCH I TRWA 80 MINUT OD 10:00 DO 11:20, PO NIEJ
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowoSchemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoKongruencje twierdzenie Wilsona
Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Bardziej szczegółowoJAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych Definicja gramatyki bezkontekstowej Podstawowymi narzędziami abstrakcyjnymi do opisu języków formalnych są gramatyki i automaty. Gramatyka bezkontekstowa
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoO rekurencji i nie tylko
O rekurencji i nie tylko dr Krzysztof Bryś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 10 grudnia 2011 Intuicyjnie: rekurencja sprowadzenie rozwiązania danego problemu do rozwiązania
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowo