Algebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski

Transkrypt

1 Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski

2 Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami

3 Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski WYDAWNICTWO C.H. BECK WARSZAWA 200

4 Wydawca: Dorota Ostrowska-Furmanek Redakcja merytoryczna: Urszula Cielniak Projekt okładki i stron tytułowych: Maryna Wiśniewska Ilustracja na okładce: c Mark Evans/iStockphoto.com Seria: Metody ilościowe Złożono programem TEX c Wydawnictwo C.H. Beck 200 Wydawnictwo C.H. Beck Sp. z o.o. ul. Bonifraterska 7, Warszawa Skład i łamanie: Wydawnictwo C.H. Beck Druk i oprawa: Elpil, Siedlce ISBN

5 Spis treści Wstęp Rozdział. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności Podstawy teoretyczne Zadania Odpowiedzi i wskazówki Rozdział 2. Działania na macierzach z wykorzystaniem macierzy brzegowych Podstawy teoretyczne Zadania Odpowiedzi i wskazówki Rozdział. Zastosowanie macierzy brzegowych do obliczania wyznacznika... Podstawy teoretyczne Zadania Odpowiedzi i wskazówki Rozdział 4. Zastosowanie macierzy brzegowej do wyznaczania macierzy odwrotnej do macierzy danej Podstawy teoretyczne Zadania Odpowiedzi i wskazówki Rozdział 5. Zastosowanie macierzy brzegowych do rozwiązywania układów równań liniowych Podstawy teoretyczne Zadania Odpowiedzi i wskazówki Rozdział 6. Zastosowanie macierzy brzegowych do wyznaczania rozwiązań bazowych Podstawy teoretyczne Zadania Odpowiedzi i wskazówki Dodatek A. Elementy teorii jednorównaniowych modeli ekonometrycznych. 9 A.. Podstawy teoretyczne A.2. Zadania A.. Odpowiedzi i wskazówki

6 Spis treści Dodatek B. Elementy teorii par korelacyjnych B.. Podstawy teoretyczne B.2. Zadania B.. Odpowiedzi i wskazówki Bibliografia

7 Wstęp Niniejsza praca składa się z sześciu rozdziałów poświęconych teorii i aplikacjom macierzy brzegowych oraz dwóch dodatków oznaczonych literami A i B. Scharakteryzujemy teraz krótko treść rozdziałów i dodatków. W rozdziale pierwszym przedstawiamy definicję macierzy brzegowej będącej szczególnym przypadkiem macierzy blokowej oraz podajemy podstawowe twierdzenie dotyczące macierzy brzegowych. Rozdział drugi zawiera informacje na temat działań wykonywanych na macierzach z wykorzystaniem macierzy brzegowych. Mówimy tu o dodawaniu i odejmowaniu macierzy, przedstawiamy iloczyn Cauchy ego dwóch macierzy oraz iloczyn liczby przez macierz (macierzy przez liczbę). Rozdział trzeci jest poświęcony omówieniu zastosowań macierzy brzegowych do obliczania wartości wyznacznika, natomiast w rozdziałach dalszych zaprezentowano zastosowania macierzy brzegowych do wyznaczania macierzy odwrotnej (rozdz. 4), rozwiązywania układów równań liniowych (rozdz. 5) oraz wyznaczania rozwiązań bazowych (rozdz. 6). Z przedstawionych informacji wynika, że w naszej książce są omawiane podstawowe zagadnienia mieszczące się w programie algebry liniowej wykładanej na różnego rodzaju studiach ekonomicznych w Polsce. Proponowane ujęcie zapewnia a priori jednolite podejście do tematu, a tym samym ułatwia zaprogramowanie metod na komputer. Nadto powoduje, że wykład algebry nie ma cech książki kucharskiej, tak charakterystycznych w przypadku ujęcia tradycyjnego. Posługiwanie się macierzami brzegowymi wymaga umiejętności konstruowania odpowiedniej macierzy brzegowej. Mając taką macierz, należy w każdym przypadku wykonać te same, co z mocą podkreślamy, działania elementarne na wierszach macierzy brzegowej. Pod pojęciem działań elementarnych rozumiemy:. Mnożenie wierszy macierzy przez dowolną liczbę różną od zera (oznacza to, że każdy element danego wiersza mnożymy przez tę liczbę, np. jeśli wiersz ma postać [2 5 7], a daną liczbą jest 2, to pomnożenie tego wiersza przez 2 powoduje, że mamy nowy wiersz postaci [ ]. 7

8 Wstęp 2. Mnożenie wiersza przez dowolną liczbę różną od zera, a następnie dodanie tak otrzymanego wiersza do innego wiersza (poprzednio pomnożony wiersz [ ] dodamy do innego wiersza, np. [6 2 8 ], i otrzymamy [0 8 8 ]).. Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy. Każdy z wymienionych rozdziałów ma jednakową strukturę. Najpierw omawiamy podstawowe fakty tematycznie związane z zagadnieniem wymienionym w tytule rozdziału, następnie ilustrujemy je na przykładach, po czym, w kolejnym podrozdziale, przedstawiamy zadania do samodzielnego rozwiązania przez Czytelnika. Na koniec podajemy odpowiedzi do zadań przeznaczonych do samodzielnego rozwiązania wraz ze wskazówkami. Na wstępie informowaliśmy, że oprócz wspomnianych sześciu rozdziałów, które można nazwać algebraicznymi, praca zawiera jeszcze dwa dodatki oznaczone literami A i B. One również mają taką samą strukturę, co wymienione rozdziały. Dodatek A jest poświęcony elementom teorii jednorównaniowych modeli ekonometrycznych. Dodatek B dotyczy elementów teorii par korelacyjnych. Powyższe informacje wskazują, że tematyka zamieszczona w dodatkach odpowiada wykładom z ekonometrii realizowanym na kierunku ekonomia. Dodajmy jeszcze, że w dodatkach A i B podajemy wykorzystanie macierzy brzegowych zarówno w teorii jednorównaniowych modeli ekonometrycznych, jak i w teorii par korelacyjnych. Niniejsze opracowanie może być więc uznane za podręcznik z zakresu algebry liniowej oraz aplikacji w ekonometrii, przeznaczony głównie, ale nie jedynie, dla słuchaczy studiów ekonomicznych w ramach kierunku ekonomia. 8

9 Rozdział. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności.. Podstawy teoretyczne Daną macierz [a ij ] o wymiarach m n dzielimy na bloki A ij przy użyciu p linii poziomych i q linii pionowych. Blok A ij jest macierzą o wymiarach m i n j, gdzie: oraz m + m m p = m (.) n + n n q = n. Mamy zatem: a a 2... a n A A 2... A q a 2 a a 2n A 2 A A 2q =. (.2) a m a m2... a mn A p A p2... A pq Macierz A daną wzorem (.2) nazywamy macierzą blokową. Jej szczególnym przypadkiem jest macierz brzegowa. Jest to bowiem macierz blokowa, w której: ) blok A jest macierzą nieosobliwą stopnia S, 2) bloki A 2,..., A q są S-wymiarowymi wektorami kolumnowymi, ) bloki A 2,..., A p są S-wymiarowymi wektorami wierszowymi, 4) bloki A ij (i = 2,,..., p, j = 2,,..., q) są liczbami, czyli macierzami o wymiarach. Macierz blokową zapisaną w postaci macierzy, której bloki spełniają warunki od do 4, nazywamy wielokrotną macierzą brzegową. Odnotujmy jeszcze, że każda macierz brzegowa jest macierzą blokową, ale nie każda macierz blokowa jest macierzą brzegową. Aby nią być, musi spełniać warunki od do 4. 9

10 Rozdział. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności Przykład.. Macierz: zapisana w postaci: (.) (.4) 5 7 nie jest macierzą brzegową, bo nie jest spełniony postulat. Ta sama macierz A zapisana w postaci: (.5) 5 7 jest macierzą brzegową, bo są spełnione wszystkie postulaty od do 4. Istotnie, blok A 2 = jest macierzą kwadratową, wektory A 2 5 = oraz 4 6 A 7 = są wektorami kolumnowymi dwuwymiarowymi, blok A 2 = jest 2 dwuwymiarowym wektorem wierszowym, pozostałe zaś bloki A 22 = [5] oraz A 2 = [7] są macierzami o wymiarach, czyli liczbami. Zakładamy, że macierz wyjściowa jest macierzą kwadratową stopnia n, np.: (.6) Wówczas macierz postaci: (.7) 0

11 .. Podstawy teoretyczne jest pojedynczą macierzą brzegową (użyliśmy jednej linii poziomej i jednej linii pionowej). Tę samą macierz możemy zapisać w postaci: (.8) Tym razem użyliśmy dwóch linii poziomych i tyluż pionowych. Jest to zatem podwójna macierz brzegowa. Wynika z tego, że macierz kwadratowa stopnia n może być zapisana w postaci co najwyżej (n )-krotnej macierzy brzegowej. Innymi słowy, macierz kwadratową stopnia n możemy przedstawić w postaci k-krotnej macierzy brzegowej (k < n). Dla dalszych rozważań wygodniej będzie posługiwać się następującym zapisem wielokrotnej macierzy brzegowej: A f... f k g. (.9)... Q rk g r W formule (.9) rolę macierzy A (zob. zapis (.2)) odgrywa macierz A, rolę bloków A j dla j = 2,,..., q odgrywają wektory f t (t =, 2,..., k), natomiast rolę bloków A i dla i = 2,,..., p (zob. (.2)) odgrywają wektory g d (d =, 2,..., r). Na koniec zauważmy, że bloki A ij (i = 2,,..., p, j = 2,,..., q) tworzą obecnie macierz Q rk o wymiarach r k i elementach q zv (z =, 2,..., r, v =, 2,..., k). Dodajmy jeszcze, że macierz A podaną w zapisie (.9) nazywamy macierzą wewnętrzną macierzy brzegowej A. W pracy Kolupy i Szczepańskiej-Gruźlewskiej [99] udowodniono następujące Twierdzenie.. Na macierzy brzegowej A danej wzorem (.9) wykonujemy przekształcenie elementarne (zob. wstęp) takie, że: α wewnętrzna macierz A przechodzi w górną macierz trójkątną (zera poniżej głównej przekątnej) z jednostkową główną przekątną, β wektory g k, k =, 2,..., r, przechodzą w wektory zerowe. Wówczas macierz Q rk = [q zv ] o wymiarach r k przechodzi w macierz D rk = [d zv ] również o wymiarach r k, przy czym Odwołamy się do ilustracji twierdzenia.. d zv = q zv g z A f v. (.0)

12 Rozdział. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności Przykład.2. Dana jest macierz A postaci: (.) 2 4 Zapiszmy ją jako podwójną macierz brzegową: (.2) 2 4 Na tej macierzy wykonamy przekształcenia α i β. Mamy zatem kolejno: A (.) W wyniku tych operacji macierz [] została przekształcona w macierz górną trójkątną z jednostkową przekątną (jest to macierz zdegenerowana), natomiast macierz: 2 5 Q 22 = 4 została przekształcona w macierz: D 22 = [ ]. Sprawdzimy poprawność dokonanych obliczeń, stosując wzór (.0). Mamy zatem: d = q g A f = 2 2 = 2 2 = 4, d 2 = q 2 g A f 2 = 5 = 5 = 4, d 2 = q 2 g 2 A f = 2 2 = 4 = 5, d 22 = q 22 g 2 A f 2 = 4 2 = 4 2 = 0. (.4) Niech dana będzie macierz [a ij ] o wymiarach m n. Symbolem A T oznaczamy macierz transponowaną, powstałą przez zapisanie wierszy macierzy A w kolumnach, czyli A T = [a ji ] n m. 2

13 .. Podstawy teoretyczne Rozpatrzymy teraz macierz kwadratową A stopnia n +. Ma ona postać: a... a n a,n+ a 2... a 2n a 2,n (.5) a n... a n,n a n,n+ a n+,... a n+,n a n+,n+ Zapiszemy ją w postaci macierzy brzegowej: A f, (.6) g z gdzie A = [a ij ] jest macierzą kwadratową stopnia n. Jest to macierz wewnętrzna macierzy brzegowej A danej wzorem (.6). Z kolei: g = [g g 2... g n ] dla g i = a n+,i, i =, 2,..., n, f T = [f f 2... f n ] dla f j = a j,n+, j =, 2,..., n, z = a n+,n+. (.7) Przykład.. Macierz (.8) zapiszemy w postaci (.6). Mamy zatem: = A f, (.9) g z czyli 2 5 A = , f = 2 2, g = [ 2 0 W pracy Kolupy [982] podane jest następujące ], z = 4. (.20) Twierdzenie.2. Jeśli A ij oznacza dopełnienie algebraiczne elementu a ij macierzy wewnętrznej A, to: n n det z det A A ij g i f j, (.2) i= j=

14 Rozdział. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności gdzie symbole det A oraz det A oznaczają wyznaczniki macierzy odpowiednio A oraz A (zob. wzór (.6)). Zauważmy, że: n n i= j= ( ) T A ij g i f j = g A D f, (.22) gdzie A D oznacza macierz dołączoną, czyli macierz o elementach A ij stanowiących dopełnienia algebraiczne elementów a ij macierzy wewnętrznej A, natomiast symbol T w indeksie górnym oznacza macierz transponowaną. Na podstawie (.9) dostajemy: ( ) T det z det A g A D f. (.2) Zależność tę zilustrujemy przykładem. Przykład.4. Posłużmy się macierzą A daną wzorem (.8) i zapisaną w postaci (.9) jako macierz brzegowa. Obliczamy: A 0 = det = 9, A = det = 2, A 4 5 = det = 4, A 5 2 = det = 0, A 2 22 = det = 4, A = det = 0, A 5 = det =, A 2 2 = det = 4, A 4 5 = det = Wówczas: skąd: 9 0 ( ) A D T = A D = 0 4 0, Ponieważ det A = = 28, przeto Mamy zatem: g ( A D ) T [ f = 2 0 Ostatecznie: 4 ] (transponowana macierz dołączona). z det A = 4 ( 28) = [ = det 2 ( 22) = ] 2 2 = 22.

15 .. Podstawy teoretyczne Z twierdzenia.2 wynika kolejne Twierdzenie.. Jeśli macierz wewnętrzna A macierzy brzegowej A jest nieosobliwa, to: det A = z ga f. (.24) det A Ze wzoru (.24) widać, że wartość ga f można obliczyć za pomocą wzoru: ga f = z det A. (.25) det A Na podstawie wzoru (.25) można wysnuć wniosek, że chcąc obliczyć wartość ga f, należy obliczyć wyznaczniki stojące po prawej stronie tego wzoru. Jest to sugestia całe szczęście fałszywa, bowiem obliczenie jednego wyznacznika jest kłopotliwym zabiegiem numerycznym, natomiast obliczenie dwóch wyznaczników jest już bardzo pracochłonne. Poniżej podamy postępowanie, według którego możemy obliczyć iloraz det A przez det A bez osobnego obliczania każdego z wymienionych wyznaczników. Dla macierzy A danej wzorem (.20) obliczyliśmy det A = 28 oraz det 90, wobec czego: det A = 45 det A 4. (.26) Jednocześnie na podstawie twierdzenia. mamy: A Wynik ten prosimy porównać z rezultatem (.26). Na zakończenie przeglądu własności macierzy brzegowej podamy jeszcze następujące Twierdzenie.4. Jeśli macierze A, B, C i D są macierzami o wymiarach odpowiednio n n, n p, p n, p p, to wyznacznik macierzy F postaci A B F =, (.27) C D przy założeniu nieosobliwości macierzy A (przy założeniu nieosobliwości macierzy D) jest odpowiednio równy 5

16 Rozdział. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności ( ) det F = det A det D CA B, (.28) ( ) det F = det D det A BD C. (.29) Dowód twierdzenia.4 podany jest w pracy Kolupy i Szczepańskiej-Gruźlewskiej [99]. Dodajmy jeszcze, że macierz M postaci oraz macierz N dana wzorem noszą nazwę dopełnień Schura. M = D CA B N = A BD C.2. Zadania.. Dane są następujące macierze: 2 a) 4 5 7, b) B = c) C = , Zapisać każdą z nich w przynajmniej dwóch różnych postaciach macierzy brzegowych..2. Na podanych macierzach brzegowych: 2 a) 4 5 7, b) B = 5 7 2, 0 6

17 c) C = , 7 4 wykonać przekształcenia α i β... Dana jest macierz brzegowa postaci: Zadania Wykonać przekształcenia α i β..4. Dla macierzy brzegowych postaci: 2 a) 5 4, b), wyznaczyć iloraz det A przez det A : I) bezpośrednio obliczając det A, a następnie det A, II) wykonując przekształcenia α i β..5. Czy w wyniku wykonania przekształceń α i β na macierzy brzegowej postaci: na miejscu zera otrzymamy 4?.6. Dana jest macierz brzegowa: d 0 0 a 0 d 2 0 a d a b b 2 b z 7

18 Rozdział. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności oraz macierz A = Sprawdzić, że jeśli d i 0, to: det det (A ) d d d ( z. i= ) a i b i. d i.. Odpowiedzi i wskazówki.. a) Na przykład b) np. B = lub c) tylko 6 C = a) , lub B = , = = 26 7, b) B = , c) C =

19 A Odpowiedzi i wskazówki.4. ai) det A =, det 4, 2 2 aii) A 0 0 9, bi) det A =, det 27, bii) Nie, mamy bowiem: Stosując przekształcenia α i β, otrzymujemy: a d 0 0 a 0 0 d 0 d 2 0 a 2 0 d 2 0 a d a 0 0 d a b b 2 b z 0 b 2 b z a b d a 0 0 d 0 0 a d d a b z a b d a 2b 2 d a d a 2 d 2 a d z a b d a 2b 2 d 2 a b d. 9

20 Rozdział 2. Działania na macierzach z wykorzystaniem macierzy brzegowych 2.. Podstawy teoretyczne W tym rozdziale omówimy kolejno dodawanie macierzy, odejmowanie i mnożenie macierzy w sensie Cauchy ego oraz mnożenie macierzy przez liczbę (liczby przez macierz). Rozpatrzmy dwie macierze [a ij ] oraz B = [b ij ] o tych samych wymiarach m n. Podkreślamy, iż tylko wówczas możemy obliczyć ich sumę C = A + B, która również jest macierzą o wymiarach m n. Do jej wyznaczenia korzystamy z macierzy brzegowej postaci: D = I m A. (2.) I m B Na macierzy D wykonujemy przekształcenia β (przekształceń α nie trzeba wykonywać, gdyż macierz I m jest górną macierzą trójkątną z jednostkową główną przekątną). Po ich wykonaniu na miejscu macierzy B podanej w macierzy D (zob. wzór (2.)) wystąpi szukana suma C = A + B. Odwołajmy się do przykładów. 2 Przykład 2.. Dodajmy macierz o wymiarach 2 do macierzy B = o takich samych wymiarach Macierz D ma postać: 0 2 D =