Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Transkrypt

1 Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011

2 Plan wykªadu

3 Plan prezentacji

4 Kontakt moja strona internetowa: at29060/wszip/ andrzej.toroj (at) gmail.com

5 Literatura Obowi zkowa: Cegieªka: Matematyka dla studentów nansów i rachunkowo±ci oraz zarz dzania, WSZiP, Warszawa Kªopotowski i in.: Matematyka dla studiów zaocznych, SGH, Warszawa Uzupeªniaj ca: Ostoja-Ostaszewski: Matematyka w ekonomii: modele i metody, cz. I i II, PWN, Warszawa Dubnicki i in.: Analiza matematyczna podr cznik dla ekonomistów, PWN, Warszawa Antoniewicz, Misztal: Matematyka dla studentów ekonomii wykªady z wiczeniami, AE, Wrocªaw 1996.

6 Zaliczenie przedmiotu 80%: kolokwium na ostatnich zaj ciach 20%: aktywno± na zaj ciach, ew. kartkówki :-) Dla uzyskania oceny dostatecznej nale»y zdoby min. 50% wszystkich mo»liwych do uzyskania punktów. Zaliczenie wicze«na ocen pozytywn = zaliczenie caªego przedmiotu na t sam ocen (bez egzaminu). Niezaliczenie wicze«(nieprzyst pienie do zaliczenia lub ocena negatywna) = egzamin.

7 Plan prezentacji

8 Macierz prostok tna tabelka wypeªnona liczbami (np. rzeczywistymi) ma m wierszy i n kolumn, ka»da z liczb macierzy ma swój unikalny adres (i, j), przy czym i {1, 2,..., m} numer wiersza, j {1, 2,..., n} numer kolumny st d mówimy o elemencie (i, j) macierzy m n numer wiersza zawsze podajemy najpierw! Funkcja, która dowolnej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j) przyporz dkowuje liczb a ij dla i {1, 2,..., m} oraz j {1, 2,..., n}.

9 Przykªady macierz 3 2, której element (3, 1) = , 5 macierz 1 5, której element (1, 2) = 7 10 macierz 1 1, której jedyny element (1, 1) = 10

10 Po co si uczy o macierzach? badania marketingowe: podstawowym ¹ródªem wiedzy o klientach / zachowaniach konsumentów s bazy danych, w których poszczególne wiersze reprezentuj klientów / ankietowanych, a kolumny ich poszczególne charakterystyki lub odpowiedzi na pytania; dane w tej formie wykorzystuje si do poszukiwania zale»no±ci analizy makroekonomiczne: co wpªywa na co? w macierzy wiersze reprezentuj poszczególne okresy czasu, a kolumny poszczególne kategorie makroekonomiczne, np. PKB, konsumpcja, inwestycje...; poszukuj c zale»no±ci równie» wyró»niamy macierz tzw. zmiennych obja±nianych i obja±niaj cych zagadnienia optymalizacyjne w zarz dzaniu, np. maksymalizacja zysku jako funkcji wielu zmiennych, minimalizacja kosztów transportu jako cel decyzji, z jakich magazynów maj by zaopatrywane sklepy itd.

11 Po co si uczy o macierzach? badania marketingowe: podstawowym ¹ródªem wiedzy o klientach / zachowaniach konsumentów s bazy danych, w których poszczególne wiersze reprezentuj klientów / ankietowanych, a kolumny ich poszczególne charakterystyki lub odpowiedzi na pytania; dane w tej formie wykorzystuje si do poszukiwania zale»no±ci analizy makroekonomiczne: co wpªywa na co? w macierzy wiersze reprezentuj poszczególne okresy czasu, a kolumny poszczególne kategorie makroekonomiczne, np. PKB, konsumpcja, inwestycje...; poszukuj c zale»no±ci równie» wyró»niamy macierz tzw. zmiennych obja±nianych i obja±niaj cych zagadnienia optymalizacyjne w zarz dzaniu, np. maksymalizacja zysku jako funkcji wielu zmiennych, minimalizacja kosztów transportu jako cel decyzji, z jakich magazynów maj by zaopatrywane sklepy itd.

12 Po co si uczy o macierzach? badania marketingowe: podstawowym ¹ródªem wiedzy o klientach / zachowaniach konsumentów s bazy danych, w których poszczególne wiersze reprezentuj klientów / ankietowanych, a kolumny ich poszczególne charakterystyki lub odpowiedzi na pytania; dane w tej formie wykorzystuje si do poszukiwania zale»no±ci analizy makroekonomiczne: co wpªywa na co? w macierzy wiersze reprezentuj poszczególne okresy czasu, a kolumny poszczególne kategorie makroekonomiczne, np. PKB, konsumpcja, inwestycje...; poszukuj c zale»no±ci równie» wyró»niamy macierz tzw. zmiennych obja±nianych i obja±niaj cych zagadnienia optymalizacyjne w zarz dzaniu, np. maksymalizacja zysku jako funkcji wielu zmiennych, minimalizacja kosztów transportu jako cel decyzji, z jakich magazynów maj by zaopatrywane sklepy itd.

13 Plan prezentacji

14 Mno»enie macierzy przez liczb x11 x a 12 a x11 a x = 12 x 21 x 22 a x 21 a x 22 Wszystkie elementy macierzy mno»ymy przez t liczb. UWAGA! Mno»enie macierzy przez liczb jest przemienne, tzn. x11 x a 12 x11 x = 12 a. x 21 x 22 x 21 x 22

15 Dodawanie macierzy y 11 y 12 y 21 y 22 y 31 y 32 + x 11 x 12 x 21 x 22 x 31 x 32 = y 11 + x 11 y 12 + x 12 y 21 + x 21 y 22 + x 22 y 31 + x 31 y 32 + x 32 Dodaj c dwie macierze, dodajemy poszczególne wyrazy o odpowiadaj cych sobie adresach. Dodawanie macierzy jest oczywi±cie równie» przemienne. UWAGA! Nie mo»na doda do siebie macierzy o ró»nych wymiarach. Musi si zgadza zarówno liczba wierszy, jak i liczba kolumn.

16 Macierz zerowa Macierz zerowa np. B = Macierz, której wszystkie wyrazy s równe 0. Je»eli którykolwiek wyraz jest niezerowy, to macierz jest niezerowa. Je»eli macierz A jest macierz 2 3, to A + B = A.

17 Mno»enie dwóch macierzy (1) A B = a11 a12 a13 a21 a22 a23 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 a11b11 + a12b21 + a13b a11 a12 a13 A B = a21 a22 a23 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 = = a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b b11 b12 b13 b14 a11 a12 a13 A B = = a21 a22 a23 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b a21b11 + a22b21 + a23b

18 Mno»enie dwóch macierzy (1) A B = a11 a12 a13 a21 a22 a23 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 a11b11 + a12b21 + a13b a11 a12 a13 A B = a21 a22 a23 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 = = a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b b11 b12 b13 b14 a11 a12 a13 A B = = a21 a22 a23 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b a21b11 + a22b21 + a23b

19 Mno»enie dwóch macierzy (1) A B = a11 a12 a13 a21 a22 a23 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 a11b11 + a12b21 + a13b a11 a12 a13 A B = a21 a22 a23 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 = = a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b b11 b12 b13 b14 a11 a12 a13 A B = = a21 a22 a23 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b a21b11 + a22b21 + a23b

20 Mno»enie dwóch macierzy (2)

21 Mno»enie dwóch macierzy (3) Mno»enie macierzy nie jest przemienne! A B B A Nie ka»de dwie macierze mo»na pomno»y! Musz by identyczne wymiary wewn trzne mno»enia, czyli liczba kolumn macierzy z lewej strony i liczba wierszy macierzy z prawej strony. Wymiary iloczynu macierzy Gdy mno»ymy macierz m n przez macierz n p, otrzymana macierz ma wymiary odpowiadaj ce zewn trznym wymiarom iloczynu, tzn. m p.

22 Macierz kwadratowa o wymiarach m m, czyli równej liczbie wierzy i kolumn np macierz gªówn przek tn macierzy kwadratowej m m nazywamy elementy o indeksach (i, i), tzn. elementy (1, 1), (2, 2),..., (m, m) np gªówna przek tna Tylko macierz kwadratow mo»emy odwróci i obliczy jej wyznacznik (zob. dalej).

23 Macierz jednostkowa Macierz jednostkowa = macierz kwadratowa o wymiarach m m z jedynkami na gªównej przek tnej i zerami poza ni. Oznaczamy I m. Mno»enie przez macierz jednostkow (o odpowiednim wymiarze) nie zmienia macierzy: A n m I m = A n m I m A m n = A n m Mno»enie przez macierz zerow daje w wyniku macierz zerow. Wymiary takiej macierzy ustala si na ogólnych zasadach (tzn. zewn trzne wymiary iloczynu).

24 Transpozycja W wyniku transpozycji macierzy A m n o elementach a i,j powstaje macierz B n m o elementach b j,i = a i,j. Oznaczamy B = A T = A. Transpozycja macierzy sprawia,»e jej wiersze staj si kolumnami (i na odwrót). Pierwszy wiersz macierzy A staje si pierwsz kolumn macierzy B. Drugi wiersz macierzy A staje si drug kolumn macierzy B. Itd T =

25 Macierz symetryczna Macierz symetryczna = macierz kwadratowa równa wªasnej transpozycji. Symetryczna wzgl dem gªównej przek tnej. a d e np. d b f e f c

26 Plan prezentacji

27 Macierz 2 2 a b A = c d A: det A = a d b c

28 Macierz 3 3 A = a b c d e f g h i a b c d e f g h i a b c d e f det A = aei + dhc + gbf ceg fha ibd (wzór Sarrusa) a b c d e f g h i a b c d e f

29 Macierz 4 4 i wi ksza a 11 a a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... a n1 a n2 a nn det A = n ( 1) i+j a ij det A ij dla i nr dowolnie wybranego wiersza i=1 det A = n ( 1) i+j a ij det A ij dla j nr dowolnie wybranej kolumny j=1 przy czym A ij macierz powstaªa z A przez wykre±lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny

30 Plan prezentacji

31 Macierz odwrotna Liczby rzeczywiste Macierze Odwrotno± a 1 = 1 A 1 =... a Mno»enie przez a a 1 = 1 A A 1 = I odwrotno± a 1 a = 1 A 1 A = I Istnienie odwrotno±ci a 0 det A 0 Je»eli det A 0, to macierz nazywamy nieosobliw.

32 Macierz 2 2 a b A = c d d b A 1 = 1 det A c a d b = 1 ad bc c a

33 Macierz 3 3 i wi ksza Schemat post powania: 1 Odwracamy kwadratow, nieosobliw macierz A. Zapisujemy macierz jednostkow o tych samych wymiarach. 2 Za pomoc operacji elementarnych przeksztaªcamy macierz A do macierzy jednostkowej. 3 Te same operacje elementarne wykonujemy równolegle dla macierzy jednostkowej, zapisanej na pocz tku. 4 Macierz uzyskana z jednostkowej na ko«cu jest macierz A 1. 5 Sprawdzamy, czy A A 1 = I.

34 Operacje elementrarne zamieniamy wiersze miejscami w3 w mno»ymy wiersz przez liczb ró»n od , 5w , 5 0, mno»ymy wiersz przezliczb ró»n od 0 i dodajemy do innego wiersza w1 2w , 5 0, 5 1 2, 5 0, 5 1

35 Przykªad A = Znajd¹ A w3 w , 5w w1 2w , , Sprawdzamy: A A 1 = = ,