Wykład 7 Macierze i wyznaczniki
|
|
|
- Aleksandra Wasilewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 1 / 51
2 1 Działania na macierzach Dodawanie i odejmowanie macierzy, mnożenie przez liczbę Mnożenie macierzy 2 Wyznacznik macierzy 3 Macierz odwrotna i jej zastosowania Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 2 / 51
3 Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51
4 Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51
5 Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: A Białynicki-Birula, Algebra, Bibl Mat 40, PWN 2009, [rozdz IV, 8] AI Kostrykin, Wstęp do algebry, t I, PWN 2004, [rozdz III] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51
6 Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: A Białynicki-Birula, Algebra, Bibl Mat 40, PWN 2009, [rozdz IV, 8] AI Kostrykin, Wstęp do algebry, t I, PWN 2004, [rozdz III] Jednak w powyższych pozycjach niektóre rozważane na wykładzie pojęcia pojawiają się w szerszym kontekście mogąc sprawiać trudność studentom pierwszego semestru ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51
7 Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51
8 Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Element a ij kolumnie jest współczynnikiem macierzy A stojącym w i tym wierszu i j tej Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51
9 Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Element a ij jest współczynnikiem macierzy A stojącym w i tym wierszu i j tej kolumnie Zbiór wszystkich macierzy o n kolumnach i m wierszach oznaczać będziemy przez Km n Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51
10 Dodawanie i odejmowanie macierzy a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn ± b 11 b 1n b 21 b 2n b m1 b mn = a 11 ± b 11 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 2n ± b 2n a m1 ± b m1 a mn ± b mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 5 / 51
11 Dodawanie i odejmowanie macierzy a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn ± b 11 b 1n b 21 b 2n b m1 b mn = a 11 ± b 11 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 2n ± b 2n a m1 ± b m1 a mn ± b mn Mnożenie macierzy przez element ciała K a 11 a 1n ca 11 ca 1n a 21 a 2n ca 21 ca 2n c = a m1 a mn ca m1 ca mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 5 / 51
12 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
13 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
14 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + O = A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
15 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
16 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O a(a + B) = aa + ab ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
17 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
18 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba 1A = A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
19 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
20 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy Co oznaczają własności w pierwszych dwóch wierszach? ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
21 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy Co oznaczają własności w pierwszych dwóch wierszach? Stwierdzenie Zbiór K n m z działaniem dodawania macierzy jest grupą przemienną ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51
22 Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ ], B = [ (A + 2B) + 4(2A B) ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51
23 Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ ], B = [ (A + 2B) + 4(2A B) ] 2 Rozwiąż równanie macierzowe 3(A + X ) + 5(3X + B) = A B Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51
24 Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ ], B = [ (A + 2B) + 4(2A B) ] 2 Rozwiąż równanie macierzowe 3(A + X ) + 5(3X + B) = A B 3 Rozwiąż układ równań macierzowych { 2X + 5Y = 2A B X + 2Y = 3A + B Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51
25 Definicja A = a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn K n m, B = b 11 b 1r b 21 b 2r b n1 b nr Iloczynem macierzy A oraz B nazywamy macierz c 11 c 1r c 21 c 2r C = A B = Rr m c m1 c mr K r n taką, że c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 8 / 51
26 Zobaczmy to na rysunku c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 9 / 51
27 Po co mnożyć macierze? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51
28 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51
29 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51
30 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51
31 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, 3 numer sklepu, w którym klient K 2 zapłaciłby najmniej, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51
32 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, 3 numer sklepu, w którym klient K 2 zapłaciłby najmniej, 4 numer sklepu, w którym klient K 1 zapłaciłby najwięcej ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51
33 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51
34 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51
35 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A Km, n B, C Kn k, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B Km, n C Kn k, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A Km, n B Kn k oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51
36 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A Km, n B, C Kn k, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B Km, n C Kn k, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A Km, n B Kn k oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A Km, n B Kn k, C Kk r, to A(BC) = (AB)C Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51
37 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51
38 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51
39 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności Uwaga Mnożenie macierzy nie jest przemienne Zobacz [ ] [ ] [ ] [ ] [ =, ] = [ ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51
40 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności Uwaga Mnożenie macierzy nie jest przemienne Zobacz [ ] [ ] [ ] [ ] [ =, ] = [ Uwaga Iloczyn macierzy możesz obliczyć przy pomocy arkusza kalkulacyjnego Excel (zob załączony plik macierzexls) ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51
41 Jeszcze jeden przykład zastosownia mnożenia macierzy ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 12 / 51
42 Jeszcze jeden przykład zastosownia mnożenia macierzy Zadanie Jaki jest związek pomiędzy poniższym grafem oraz macierzą? A = Policzmy (przy pomocy Excela) kolejne potęgi macierzy A i jeszcze raz porównajmy je z grafem ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 12 / 51
43 Załóżmy, że graf przedstawia połączenia pomiędzy stacjami kolejki linowej Masz 2 bilety (3 bilety, 4 bilety) na dowolny przejazd w jedną stronę Ile różnych wycieczek możesz zrobić wyruszając ze stacji 1 i kończąc na stacji 4? Jak to odczytać z macierzy To samo pytanie dla stacji 2 oraz 5 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 13 / 51
44 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 14 / 51
45 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 2 det [ ] a11 a 12 = ( 1) 1+2 a a 21 a 12 det[a 21] + ( 1) 2+2 a 22 det[a 11] = a 12a 21 + a 22a Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 14 / 51
46 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51
47 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 3 [ a11 a 12 a 13 ] det = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 4 a 13 det [ ] a21 a 22 + ( 1) 5 a a 31 a 23 det 32 [ ] [ ] a11 a 12 + ( 1) 6 a11 a 12 a a 31 a 33 det = 32 a 21 a 22 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51
48 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 3 [ a11 a 12 a 13 ] det = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 4 a 13 det [ ] a21 a 22 + ( 1) 5 a a 31 a 23 det 32 [ ] [ ] a11 a 12 + ( 1) 6 a11 a 12 a a 31 a 33 det = 32 a 21 a 22 = a 13(a 21a 32 a 22a 31) a 23(a 11a 32 a 12a 31) + a 33(a 11a 22 a 12a 21) = = (a 13a 21a 32 + a 23a 12a 31 + a 33a 11a 22) (a 13a 22a 31 + a 23a 11a 32 + a 33a 12a 21) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51
49 n = 3 [ a b c det d e f g h i ] = = (aei + bfg + cdh) (ceg + afh + bdi) Wzór ten można zapamiętać spoglądając na obrazek: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 16 / 51
50 Uwaga Jeśli przyjrzymy się definicji wyznacznika, to zauważamy, że jego wyliczanie z wzoru rekurencyjnego jest bardzo kłopotliwe Dla n = 4 trzeba policzyć 4 wyznaczniki macierzy stopnia 3, a dla n = 5 policzyć musimy 5 wyznaczników stopnia 4, co w konsekwencji daje aż 20 wyznaczników stopnia 3 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 17 / 51
51 Uwaga Jeśli przyjrzymy się definicji wyznacznika, to zauważamy, że jego wyliczanie z wzoru rekurencyjnego jest bardzo kłopotliwe Dla n = 4 trzeba policzyć 4 wyznaczniki macierzy stopnia 3, a dla n = 5 policzyć musimy 5 wyznaczników stopnia 4, co w konsekwencji daje aż 20 wyznaczników stopnia 3 Pytanie Czy jest łatwiejszy sposób obliczania wyznacznika? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 17 / 51
52 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
53 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
54 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
55 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
56 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
57 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
58 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
59 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
60 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51
61 Twierdzenie Laplace a (P S Laplace ( )) Jeśli A jest macierzą stopnia n > 1, to dla dowolnego j det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j + ( 1) 2+j a 2j det A 2j + + ( 1) n+j a nj det A nj oraz det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 19 / 51
62 Twierdzenie Laplace a (P S Laplace ( )) Jeśli A jest macierzą stopnia n > 1, to dla dowolnego j det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j + ( 1) 2+j a 2j det A 2j + + ( 1) n+j a nj det A nj oraz det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Porównaj to z definicją wyznacznika: Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 19 / 51
63 Wniosek ( 1) 1+j a 1k det A 1j +( 1) 2+j a 2k det A 2j ++( 1) n+j a nk det A nj = { det(a), gdy j = k = 0, gdy j k, det A = ( 1) j+1 a k1 det A j1 +( 1) j+2 a k2 det A j2 ++( 1) j+n a kn det A jn = { det(a), gdy j = k = 0, gdy j k Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 20 / 51
64 Teraz już możemy stosunkowo łatwo obliczać wyznaczniki dużych macierzy!!! Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 21 / 51
65 Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51
66 Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Wsk "Rozwijając" wyznacznik względem ostatniego wiersza pokaż, że u n = u n 1a nn wykorzystując wzór z tw Laplace a dla j = n det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51
67 Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Wsk "Rozwijając" wyznacznik względem ostatniego wiersza pokaż, że u n = u n 1a nn wykorzystując wzór z tw Laplace a dla j = n det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Podobnie, jeśli macierz zawiera zera nad przekątną, to wyznacznik tej macierzy jest iloczynem elementów na przekątnej Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51
68 Zadanie det a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm = = det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 23 / 51
69 Zadanie det c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 = = ( 1) mn det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 24 / 51
70 Zadanie det c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 = = ( 1) mn det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Zajrzyj do A Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, Przykład 67, str158 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 24 / 51
71 Zadanie Oblicz wyznacznik macierzy A = Rozw Wykonujemy operacje elementarne na liniach macierzy: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 25 / 51
72 det A = det planowana operacja I wiersz ( 2)+ II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 26 / 51
73 det A = det planowana operacja I wiersz ( 2)+ II wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 26 / 51
74 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja I wiersz+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 27 / 51
75 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja I wiersz+ III wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 27 / 51
76 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja I wiersz ( 3)+ IV wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 28 / 51
77 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja I wiersz ( 3)+ IV wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 28 / 51
78 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja II wiersz 6+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 29 / 51
79 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja II wiersz 6+ III wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 29 / 51
80 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja II wiersz ( 4)+ IV wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 30 / 51
81 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja II wiersz ( 4)+ IV wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 30 / 51
82 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51
83 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 wyznacznik po planowanej operacji det A = det Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51
84 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 wyznacznik po planowanej operacji det A = det Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51
85 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 wyznacznik po planowanej operacji det A = det = 68 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51
86 Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy( )) Jeżeli A, B K n n, to det(ab) = det(a) det(b) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51
87 Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy( )) Jeżeli A, B K n n, to Dowód Pokażemy, że macierz det(ab) = det(a) det(b) [ ] A 0 C = I n B za pomocą operacji elementarnych można sprowadzić do postaci [ ] C A AB = I n 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51
88 Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy( )) Jeżeli A, B K n n, to Dowód Pokażemy, że macierz det(ab) = det(a) det(b) [ ] A 0 C = I n B za pomocą operacji elementarnych można sprowadzić do postaci [ ] C A AB = I n 0 Wtedy na podstawie poprzednich zadań i własności wyznacznika det(a) det(b) = det(c) = det(c ) = ( 1) n2 ( 1) n det(ab) = = ( 1) n(n+1) det(ab) = det(ab) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51
89 [ A 0 C = I n B a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n ] a n1 a n2 a nn = b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51
90 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [ ] A 0 a n1 a n2 a nn C = = I n B b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51
91 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [ ] A 0 a n1 a n2 a nn C = = I n B b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51
92 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [ ] A 0 a n1 a n2 a nn C = = I n B b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna n-ta kolumna b ni + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51
93 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [ ] A 0 a n1 a n2 a nn C = = I n B b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna n-ta kolumna b ni + (n + i)-ta kolumna Jak się zmieni (n + i)-ta kolumna macierzy C? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51
94 Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k= b 11 0 b 1n b 21 0 b 2n b n1 0 b nn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51
95 Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k= b 11 0 b 1n b 21 0 b 2n b n1 0 b nn Zwróćmy uwagę, że w górnej części (n + i)-tej kolumny stoi i-ta kolumna macierzy AB Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51
96 Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k= b 11 0 b 1n b 21 0 b 2n b n1 0 b nn Zwróćmy uwagę, że w górnej części (n + i)-tej kolumny stoi i-ta kolumna macierzy AB Wykonajmy teraz powyższe operacje dla każdego i = 1,, n Co otrzymamy? ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51
97 Wynikiem wszystkich tych operacji jest oczywiście macierz [ ] C A AB = I n 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 35 / 51
98 Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51
99 Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51
100 Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Pytanie Jakie macierze są odwracalne i jak znależć macierz odwrotną do macierzy odwracalnej? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51
101 Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Pytanie Jakie macierze są odwracalne i jak znależć macierz odwrotną do macierzy odwracalnej? Zauważmy, że jeśli AB = I n, to z twierdzenia Cauchy ego mamy 1 = det(ab) = det(a) det(b), a więc det(a) 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51
102 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51
103 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51
104 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51
105 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Macierz A = [a ij ] K n n taką, że det(a) 0 nazywamy macierzą nieosobliwą Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51
106 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Macierz A = [a ij ] K n n taką, że det(a) 0 nazywamy macierzą nieosobliwą Zbiór GL(n, K) = {A K n n ; det(a) 0} z działaniem mnożenia macierzy tworzy grupę Nazywamy ją ogólną grupą liniową stopnia n nad ciałem K ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51
107 Wyznacznik ma duże zastosowania w geometrii Oto kilka przykładów: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51
108 Pole równoległoboku Jeśli u = [a, b], v = [c, d], to pole D równoległoboku [ "opartego" ] na tych wektorach (patrz rysunek) jest równe D = a b det c d Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51
![Objętość równoległościanu Jeśli u = [a, b, c], v = [d, e, f ], w = [g, h, i], to objętość V równoleglościanu [ a b c "opartego" na tych wektorach (patrz rysunek) jest równa V = det d e f g h](/docs-images/92/110549217/images/109-0.jpg "i ] Ale o tym więcej dowiecie się w następnym semestrze na przedmiocie geometria Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51")
109 Objętość równoległościanu Jeśli u = [a, b, c], v = [d, e, f ], w = [g, h, i], to objętość V równoleglościanu [ a b c "opartego" na tych wektorach (patrz rysunek) jest równa V = det d e f g h i ] Ale o tym więcej dowiecie się w następnym semestrze na przedmiocie geometria Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51
110 Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d ], jeśli ad bc 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51
111 Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d [ ] 1 Znajdź ], jeśli ad bc 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51
112 Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d [ ] 1 Znajdź ], jeśli ad bc 0 Chyba się zgodzimy, że w tym drugim przypadku trzeba się trochę narachować, aby zastosować wzór z poprzedniego twierdzenia Widać, że im wyższy stopień macierzy tym gorzej! Czy istnieje inny sposób obliczania macierzy odwrotnej? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51
113 Bezwyznacznikowy algorytm "odwracania" macierzy [A I n ] operacje elementarne [I n A 1] Kolejne kroki: Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkową Na wierszach otrzymanej w ten sposób macierzy wykonujemy operacje elementarne (zamiana wierszy miejscami, mnożenie wierszy przez liczbę różną od zera, dodawanie do elementów jednego wiersza elementów innego wiersza pomnożonego przez liczbę), aby macierz [A I n] doprowadzić do postaci [I n B] Otrzymana macierz B jest macierzą odwrotną do A, tzn B = A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 40 / 51
114 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
115 Przykład [ ] [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
116 Przykład [ ] [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
117 Przykład [ ] [ ] [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
118 Przykład [ ] [ ] [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz II wiersz ( 1 2 ) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
119 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 [ ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
120 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
121 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ [ ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
122 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ [ ] III wiersz ( 1) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
123 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ [ ] [ ] III wiersz ( 1) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
124 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ [ ] [ ] III wiersz ( 1) Zatem [ ] 1 = [ ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51
125 To już koniec wykładu 7! Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 42 / 51
126 To już koniec wykładu 7! Dziękuję za uwagę Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 42 / 51
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
![det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...](/thumbs/93/111637753.jpg "det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...")
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
![, A T = A + B = [a ij + b ij ].](/thumbs/98/137554993.jpg ", A T = A + B = [a ij + b ij ].")
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Wyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Algebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Obliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Algebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
A A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Metody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Układy równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 12, 08.01.2014 Typeset by Jakub Szczepanik. Motywacje 2/10 W celu wykonania obliczeń numerycznych w zagadnieniach
6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Macierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Laboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej
Ćwiczenie 10. Metody numeryczne rozwiązywania układów równań liniowych. Opracował: dr inż. Sebastian Dudzik 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z algorytmami numerycznymi przetwarzania
Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY
OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych operacji jest macierz o takich samych
4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Podstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Metoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Postać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
1 Działania na macierzach
1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β