Wykład 7 Macierze i wyznaczniki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 7 Macierze i wyznaczniki"

Transkrypt

1 Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 1 / 51

2 1 Działania na macierzach Dodawanie i odejmowanie macierzy, mnożenie przez liczbę Mnożenie macierzy 2 Wyznacznik macierzy 3 Macierz odwrotna i jej zastosowania Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 2 / 51

3 Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51

4 Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51

5 Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: A Białynicki-Birula, Algebra, Bibl Mat 40, PWN 2009, [rozdz IV, 8] AI Kostrykin, Wstęp do algebry, t I, PWN 2004, [rozdz III] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51

6 Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: A Białynicki-Birula, Algebra, Bibl Mat 40, PWN 2009, [rozdz IV, 8] AI Kostrykin, Wstęp do algebry, t I, PWN 2004, [rozdz III] Jednak w powyższych pozycjach niektóre rozważane na wykładzie pojęcia pojawiają się w szerszym kontekście mogąc sprawiać trudność studentom pierwszego semestru ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51

7 Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51

8 Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Element a ij kolumnie jest współczynnikiem macierzy A stojącym w i tym wierszu i j tej Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51

9 Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Element a ij jest współczynnikiem macierzy A stojącym w i tym wierszu i j tej kolumnie Zbiór wszystkich macierzy o n kolumnach i m wierszach oznaczać będziemy przez Km n Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51

10 Dodawanie i odejmowanie macierzy a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn ± b 11 b 1n b 21 b 2n b m1 b mn = a 11 ± b 11 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 2n ± b 2n a m1 ± b m1 a mn ± b mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 5 / 51

11 Dodawanie i odejmowanie macierzy a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn ± b 11 b 1n b 21 b 2n b m1 b mn = a 11 ± b 11 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 2n ± b 2n a m1 ± b m1 a mn ± b mn Mnożenie macierzy przez element ciała K a 11 a 1n ca 11 ca 1n a 21 a 2n ca 21 ca 2n c = a m1 a mn ca m1 ca mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 5 / 51

12 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

13 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

14 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + O = A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

15 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

16 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O a(a + B) = aa + ab ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

17 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

18 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba 1A = A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

19 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

20 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy Co oznaczają własności w pierwszych dwóch wierszach? ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

21 Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy Co oznaczają własności w pierwszych dwóch wierszach? Stwierdzenie Zbiór K n m z działaniem dodawania macierzy jest grupą przemienną ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

22 Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ ], B = [ (A + 2B) + 4(2A B) ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51

23 Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ ], B = [ (A + 2B) + 4(2A B) ] 2 Rozwiąż równanie macierzowe 3(A + X ) + 5(3X + B) = A B Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51

24 Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ ], B = [ (A + 2B) + 4(2A B) ] 2 Rozwiąż równanie macierzowe 3(A + X ) + 5(3X + B) = A B 3 Rozwiąż układ równań macierzowych { 2X + 5Y = 2A B X + 2Y = 3A + B Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51

25 Definicja A = a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn K n m, B = b 11 b 1r b 21 b 2r b n1 b nr Iloczynem macierzy A oraz B nazywamy macierz c 11 c 1r c 21 c 2r C = A B = Rr m c m1 c mr K r n taką, że c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 8 / 51

26 Zobaczmy to na rysunku c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 9 / 51

27 Po co mnożyć macierze? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

28 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

29 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

30 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

31 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, 3 numer sklepu, w którym klient K 2 zapłaciłby najmniej, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

32 Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ ], B = Wtedy A B = [ Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, 3 numer sklepu, w którym klient K 2 zapłaciłby najmniej, 4 numer sklepu, w którym klient K 1 zapłaciłby najwięcej ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

33 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

34 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

35 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A Km, n B, C Kn k, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B Km, n C Kn k, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A Km, n B Kn k oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

36 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A Km, n B, C Kn k, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B Km, n C Kn k, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A Km, n B Kn k oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A Km, n B Kn k, C Kk r, to A(BC) = (AB)C Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

37 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

38 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

39 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności Uwaga Mnożenie macierzy nie jest przemienne Zobacz [ ] [ ] [ ] [ ] [ =, ] = [ ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

40 Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności Uwaga Mnożenie macierzy nie jest przemienne Zobacz [ ] [ ] [ ] [ ] [ =, ] = [ Uwaga Iloczyn macierzy możesz obliczyć przy pomocy arkusza kalkulacyjnego Excel (zob załączony plik macierzexls) ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

41 Jeszcze jeden przykład zastosownia mnożenia macierzy ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 12 / 51

42 Jeszcze jeden przykład zastosownia mnożenia macierzy Zadanie Jaki jest związek pomiędzy poniższym grafem oraz macierzą? A = Policzmy (przy pomocy Excela) kolejne potęgi macierzy A i jeszcze raz porównajmy je z grafem ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 12 / 51

43 Załóżmy, że graf przedstawia połączenia pomiędzy stacjami kolejki linowej Masz 2 bilety (3 bilety, 4 bilety) na dowolny przejazd w jedną stronę Ile różnych wycieczek możesz zrobić wyruszając ze stacji 1 i kończąc na stacji 4? Jak to odczytać z macierzy To samo pytanie dla stacji 2 oraz 5 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 13 / 51

44 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 14 / 51

45 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 2 det [ ] a11 a 12 = ( 1) 1+2 a a 21 a 12 det[a 21] + ( 1) 2+2 a 22 det[a 11] = a 12a 21 + a 22a Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 14 / 51

46 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51

47 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 3 [ a11 a 12 a 13 ] det = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 4 a 13 det [ ] a21 a 22 + ( 1) 5 a a 31 a 23 det 32 [ ] [ ] a11 a 12 + ( 1) 6 a11 a 12 a a 31 a 33 det = 32 a 21 a 22 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51

48 Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 3 [ a11 a 12 a 13 ] det = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 4 a 13 det [ ] a21 a 22 + ( 1) 5 a a 31 a 23 det 32 [ ] [ ] a11 a 12 + ( 1) 6 a11 a 12 a a 31 a 33 det = 32 a 21 a 22 = a 13(a 21a 32 a 22a 31) a 23(a 11a 32 a 12a 31) + a 33(a 11a 22 a 12a 21) = = (a 13a 21a 32 + a 23a 12a 31 + a 33a 11a 22) (a 13a 22a 31 + a 23a 11a 32 + a 33a 12a 21) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51

49 n = 3 [ a b c det d e f g h i ] = = (aei + bfg + cdh) (ceg + afh + bdi) Wzór ten można zapamiętać spoglądając na obrazek: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 16 / 51

50 Uwaga Jeśli przyjrzymy się definicji wyznacznika, to zauważamy, że jego wyliczanie z wzoru rekurencyjnego jest bardzo kłopotliwe Dla n = 4 trzeba policzyć 4 wyznaczniki macierzy stopnia 3, a dla n = 5 policzyć musimy 5 wyznaczników stopnia 4, co w konsekwencji daje aż 20 wyznaczników stopnia 3 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 17 / 51

51 Uwaga Jeśli przyjrzymy się definicji wyznacznika, to zauważamy, że jego wyliczanie z wzoru rekurencyjnego jest bardzo kłopotliwe Dla n = 4 trzeba policzyć 4 wyznaczniki macierzy stopnia 3, a dla n = 5 policzyć musimy 5 wyznaczników stopnia 4, co w konsekwencji daje aż 20 wyznaczników stopnia 3 Pytanie Czy jest łatwiejszy sposób obliczania wyznacznika? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 17 / 51

52 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

53 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

54 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

55 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

56 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

57 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

58 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

59 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

60 Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

61 Twierdzenie Laplace a (P S Laplace ( )) Jeśli A jest macierzą stopnia n > 1, to dla dowolnego j det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j + ( 1) 2+j a 2j det A 2j + + ( 1) n+j a nj det A nj oraz det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 19 / 51

62 Twierdzenie Laplace a (P S Laplace ( )) Jeśli A jest macierzą stopnia n > 1, to dla dowolnego j det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j + ( 1) 2+j a 2j det A 2j + + ( 1) n+j a nj det A nj oraz det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Porównaj to z definicją wyznacznika: Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 19 / 51

63 Wniosek ( 1) 1+j a 1k det A 1j +( 1) 2+j a 2k det A 2j ++( 1) n+j a nk det A nj = { det(a), gdy j = k = 0, gdy j k, det A = ( 1) j+1 a k1 det A j1 +( 1) j+2 a k2 det A j2 ++( 1) j+n a kn det A jn = { det(a), gdy j = k = 0, gdy j k Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 20 / 51

64 Teraz już możemy stosunkowo łatwo obliczać wyznaczniki dużych macierzy!!! Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 21 / 51

65 Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51

66 Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Wsk "Rozwijając" wyznacznik względem ostatniego wiersza pokaż, że u n = u n 1a nn wykorzystując wzór z tw Laplace a dla j = n det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51

67 Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Wsk "Rozwijając" wyznacznik względem ostatniego wiersza pokaż, że u n = u n 1a nn wykorzystując wzór z tw Laplace a dla j = n det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Podobnie, jeśli macierz zawiera zera nad przekątną, to wyznacznik tej macierzy jest iloczynem elementów na przekątnej Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51

68 Zadanie det a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm = = det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 23 / 51

69 Zadanie det c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 = = ( 1) mn det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 24 / 51

70 Zadanie det c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 = = ( 1) mn det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Zajrzyj do A Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, Przykład 67, str158 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 24 / 51

71 Zadanie Oblicz wyznacznik macierzy A = Rozw Wykonujemy operacje elementarne na liniach macierzy: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 25 / 51

72 det A = det planowana operacja I wiersz ( 2)+ II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 26 / 51

73 det A = det planowana operacja I wiersz ( 2)+ II wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 26 / 51

74 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja I wiersz+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 27 / 51

75 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja I wiersz+ III wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 27 / 51

76 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja I wiersz ( 3)+ IV wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 28 / 51

77 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja I wiersz ( 3)+ IV wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 28 / 51

78 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja II wiersz 6+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 29 / 51

79 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja II wiersz 6+ III wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 29 / 51

80 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja II wiersz ( 4)+ IV wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 30 / 51

81 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja II wiersz ( 4)+ IV wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 30 / 51

82 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51

83 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 wyznacznik po planowanej operacji det A = det Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51

84 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 wyznacznik po planowanej operacji det A = det Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51

85 wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 wyznacznik po planowanej operacji det A = det = 68 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51

86 Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy( )) Jeżeli A, B K n n, to det(ab) = det(a) det(b) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51

87 Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy( )) Jeżeli A, B K n n, to Dowód Pokażemy, że macierz det(ab) = det(a) det(b) [ ] A 0 C = I n B za pomocą operacji elementarnych można sprowadzić do postaci [ ] C A AB = I n 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51

88 Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy( )) Jeżeli A, B K n n, to Dowód Pokażemy, że macierz det(ab) = det(a) det(b) [ ] A 0 C = I n B za pomocą operacji elementarnych można sprowadzić do postaci [ ] C A AB = I n 0 Wtedy na podstawie poprzednich zadań i własności wyznacznika det(a) det(b) = det(c) = det(c ) = ( 1) n2 ( 1) n det(ab) = = ( 1) n(n+1) det(ab) = det(ab) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51

89 [ A 0 C = I n B a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n ] a n1 a n2 a nn = b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

90 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [ ] A 0 a n1 a n2 a nn C = = I n B b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

91 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [ ] A 0 a n1 a n2 a nn C = = I n B b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

92 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [ ] A 0 a n1 a n2 a nn C = = I n B b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna n-ta kolumna b ni + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

93 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [ ] A 0 a n1 a n2 a nn C = = I n B b 11 b 1i b 1n b 21 b 2i b 2n b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna n-ta kolumna b ni + (n + i)-ta kolumna Jak się zmieni (n + i)-ta kolumna macierzy C? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

94 Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k= b 11 0 b 1n b 21 0 b 2n b n1 0 b nn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51

95 Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k= b 11 0 b 1n b 21 0 b 2n b n1 0 b nn Zwróćmy uwagę, że w górnej części (n + i)-tej kolumny stoi i-ta kolumna macierzy AB Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51

96 Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k= b 11 0 b 1n b 21 0 b 2n b n1 0 b nn Zwróćmy uwagę, że w górnej części (n + i)-tej kolumny stoi i-ta kolumna macierzy AB Wykonajmy teraz powyższe operacje dla każdego i = 1,, n Co otrzymamy? ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51

97 Wynikiem wszystkich tych operacji jest oczywiście macierz [ ] C A AB = I n 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 35 / 51

98 Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51

99 Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51

100 Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Pytanie Jakie macierze są odwracalne i jak znależć macierz odwrotną do macierzy odwracalnej? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51

101 Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Pytanie Jakie macierze są odwracalne i jak znależć macierz odwrotną do macierzy odwracalnej? Zauważmy, że jeśli AB = I n, to z twierdzenia Cauchy ego mamy 1 = det(ab) = det(a) det(b), a więc det(a) 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51

102 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

103 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

104 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

105 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Macierz A = [a ij ] K n n taką, że det(a) 0 nazywamy macierzą nieosobliwą Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

106 Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Macierz A = [a ij ] K n n taką, że det(a) 0 nazywamy macierzą nieosobliwą Zbiór GL(n, K) = {A K n n ; det(a) 0} z działaniem mnożenia macierzy tworzy grupę Nazywamy ją ogólną grupą liniową stopnia n nad ciałem K ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

107 Wyznacznik ma duże zastosowania w geometrii Oto kilka przykładów: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51

108 Pole równoległoboku Jeśli u = [a, b], v = [c, d], to pole D równoległoboku [ "opartego" ] na tych wektorach (patrz rysunek) jest równe D = a b det c d Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51

109 Objętość równoległościanu Jeśli u = [a, b, c], v = [d, e, f ], w = [g, h, i], to objętość V równoleglościanu [ a b c "opartego" na tych wektorach (patrz rysunek) jest równa V = det d e f g h i ] Ale o tym więcej dowiecie się w następnym semestrze na przedmiocie geometria Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51

110 Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d ], jeśli ad bc 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51

111 Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d [ ] 1 Znajdź ], jeśli ad bc 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51

112 Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d [ ] 1 Znajdź ], jeśli ad bc 0 Chyba się zgodzimy, że w tym drugim przypadku trzeba się trochę narachować, aby zastosować wzór z poprzedniego twierdzenia Widać, że im wyższy stopień macierzy tym gorzej! Czy istnieje inny sposób obliczania macierzy odwrotnej? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51

113 Bezwyznacznikowy algorytm "odwracania" macierzy [A I n ] operacje elementarne [I n A 1] Kolejne kroki: Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkową Na wierszach otrzymanej w ten sposób macierzy wykonujemy operacje elementarne (zamiana wierszy miejscami, mnożenie wierszy przez liczbę różną od zera, dodawanie do elementów jednego wiersza elementów innego wiersza pomnożonego przez liczbę), aby macierz [A I n] doprowadzić do postaci [I n B] Otrzymana macierz B jest macierzą odwrotną do A, tzn B = A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 40 / 51

114 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

115 Przykład [ ] [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

116 Przykład [ ] [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

117 Przykład [ ] [ ] [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

118 Przykład [ ] [ ] [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz II wiersz ( 1 2 ) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

119 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 [ ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

120 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

121 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ [ ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

122 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ [ ] III wiersz ( 1) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

123 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ [ ] [ ] III wiersz ( 1) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

124 Przykład [ ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz [ ] III wiersz + II wiersz [ ] II wiersz ( 1 ) 2 ] II wiersz ( 1)+ I wiersz II wiersz ( 1)+ III wiersz [ [ ] [ ] III wiersz ( 1) Zatem [ ] 1 = [ ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

125 To już koniec wykładu 7! Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 42 / 51

126 To już koniec wykładu 7! Dziękuję za uwagę Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 42 / 51

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3 3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wyznaczniki

Wyk lad 3 Wyznaczniki 1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25 MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25 Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze... Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p. Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Algebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski

Algebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 8

Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym 1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria

Algebra liniowa z geometria Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

A A A A A A A A A n n

A A A A A A A A A n n DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1, Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 12, 08.01.2014 Typeset by Jakub Szczepanik. Motywacje 2/10 W celu wykonania obliczeń numerycznych w zagadnieniach

Bardziej szczegółowo

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9 Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Macierze. Układy równań.

Macierze. Układy równań. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej

Laboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej Ćwiczenie 10. Metody numeryczne rozwiązywania układów równań liniowych. Opracował: dr inż. Sebastian Dudzik 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z algorytmami numerycznymi przetwarzania

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY

OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych operacji jest macierz o takich samych

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo