Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Transkrypt

1 Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61) konsultacje: poniedziałek 11:45-13:15 Slajdy dostępne pod adresem: / 15

2 Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n = 1: det[a 11 ] = a 11. Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n = 2: [ ] a det 11 a 12 = a a 21 a 11 a 22 a 12 a Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n = 3: a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a a 31 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a / 15

3 Wyznacznik Definicja indukcyjna Wyznacznik macierzy kwadratowej A to funkcja det A, która każdej macierzy przypisuje liczbę rzeczywistą, określona indukcyjnie: 1 Jeśli A ma stopień 1 (wymiar 1 1), to det A = a Jeśli macierz A ma stopień n 2 (wymiar n n), to: det A = ( 1) 1+1 a 11 det A 11 + ( 1) 1+2 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n, gdzie A ij to macierz stopnia n 1 otrzymana z A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Wyznacznik często oznaczamy również przez A. 3 / 15

4 Wyznacznik Dopełnienie algebraiczne Niech A = [a ij ] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2. Dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A nazywamy liczbę: D ij = ( 1) i+j det A ij Rozwinięcie Laplace a wyznacznika Niech A = [a ij ] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2. Wtedy wyznacznik A można obliczyć ze wzorów: det A = a i1 D i1 + a i2 D i a in D in, det A = a 1j D 1j + a 2j D 2j a nj D nj, gdzie i oraz j są, odpowiednio, indeksami dowolnego wiersza i dowolnej kolumny macierzy A. 4 / 15

5 Własności wyznacznika Jeśli macierz A ma kolumnę lub wiersz złożone z samych zer, to det A = 0. Przestawienie dwóch kolumn lub dwóch wierszy zmienia znak wyznacznika na przeciwny. det(αa) = α n A, gdzie n to stopień macierzy A. ) det (A = det A. det(ab) = det A det B Jeśli A = diag(a 1,..., a n ), to det A = a 1... a n. Jeśli A jest macierzą górną (dolną) trójkątną, to det A jest równy ilocznynowi elementów na diagonali: det A = a 11 a a nn. Jeśli det A = 0, to A jest osobliwa (nie ma macierzy odwrotnej). Dlaczego? 5 / 15

6 Własności wyznacznika Wyznacznik nie zmienia się, jeśli do pewnej kolumny (wiersza) dodamy inną kolumnę (wiersz) pomnożoną przez dowolną stałą: a 11 a a 1i a 1n a 11 a a 1i + ca 12 a 1n a 12 a a 2i a 2n a 12 a a 2i + ca 22 a 2n det a 13 a a 3i a 3n. = det a 13 a a 3i + ca 32 a 3n a n1 a n2... a ni a nn a n1 a n2... a ni + ca n2 a nn Wniosek: Jeśli A ma dwie takie same kolumny (wiersze) to det A = 0. 6 / 15

7 Własności wyznacznika Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny zawierając wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik macierzy: a 11 a ca 1i a 1n a 11 a a 1i a 1n a 12 a ca 2i a 2n a 12 a a 2i a 2n det a 13 a ca 3i a 3n. = c det a 13 a a 3i a 3n a n1 a n2... ca ni a nn a n1 a n2... a ni a nn 7 / 15

8 Własności wyznacznika Rozdzielność ze względu na sumę składników w kolumnie: a 11 a a 1i + a 1i a 1n a 11 a a 1i a 1n a 12 a a 2i + a 2i a 2n a det a 13 a a 3i + a 3i a 12 a a 2i a 2n 3n. = det a 13 a a 3i a 3n a n1 a n2... a ni + a ni a nn a n1 a n2... a ni a nn a 11 a a 1i a 1n a 12 a a 2i a 2n + det a 13 a a 3i a 3n a n1 a n2... a ni a nn 8 / 15

9 Algorytm Gaussa obliczania wyznacznika Zmniejszamy stopień wyznacznika o 1, odejmując pierwszy wiersz przemnożony przez odpowiednią stała od wszystkich innych wierszy i wykorzystując rozwinięcie Laplace a: a 11 a 12 a 13 a 14 a det 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 22 a a 12 a 23 a a 13 a 24 a a 14 = a 11 det a 32 a a 12 a 33 a a 13 a 34 a a 14 a 42 a 41 a 11 a 12 a 43 a 41 a 11 a 13 a 44 a 41 a 11 a 14 9 / 15

10 Macierz odwrotna Definicja Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczaną przez A 1, która spełnia warunek: AA 1 = A 1 A = I n Uwaga: nie każda macierz [ ma ] macierz odwrotną! 1 0 Np. A = [0], lub A =. 0 0 Macierz, która ma macierz odwrotną nazywamy odwracalną, a jeśli nie ma, nazywamy ją osobliwą. 10 / 15

11 Wyznacznik a macierz odwrotna Jeśli macierz A = [a ij ] stopnia n jest nieosobliwa (ma niezerowy wyznacznik), to D 11 D 12 D 1n A 1 = 1 D 21 D 22 D 2n det A D n1 D n2 D nn 11 / 15

12 Operacje elementarne Na kolumnach: Zamiana i-tej i j-tej kolumny: k i k j. Pomnożenie j-tej kolumny przez liczbę c: ck j. Dodanie do elementów i-tej kolumny odpowiadających im elementów j-tej kolumny przemnożonych przez stała c: k i + ck j. Na wierszach: Zamiana i-tego i j-tego wiersza: w i w j. Pomnożenie j-tego wiersza przez liczbę c: cw j. Dodanie do elementów i-tego wiersza odpowiadających im elementów j-tego wiersza przemnożonych przez stała c: w i + cw j. 12 / 15

13 Bezwyznacznikowa metoda obliczania macierzy odwrotnej Zaczynamy od macierzy [A I], a następnie na wierszach otrzymanej w ten sposób macierzy wykonujemy operacje elementarne, otrzymując ostatecznie [I B]. Wtedy B = A 1. Praktyczny przykład tej metody to algorytm Gaussa-Jordana 13 / 15

14 Algorytm Gaussa-Jordana I krok: trzeba uzyskać macierz trójkątną górną z jedynkami na głównej przekątnej: 1 b 12 b 13 b 1n 0 1 b 23 b 2n b 3n Jeśli a 11 0, to dokonujemy kolejno przekształceń: w 1 = w 1/a 11 w 2 = w 2 a 21 w 1... w n = w n a n1 w 1 a 11 = 0, to przestawiamy wiersze, aby uzyskać a Następnie przechodzimy do kolejnej kolumny, itp. 14 / 15

15 Algorytm Gaussa-Jordana II krok: uzyskanie macierzy jednostkowej Dokonujemy kolejno przekształceń: w n = w n w n 1 = w n 1 b n 1,nw n w n 2 = w n 2 b n 2,n 1w n 1 b n 2,nw n / 15