det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

Transkrypt

1 Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia : 2 Dla macierzy stopnia n 2: det A := det A := a, ( ) +j a j det A j, j= gdzie A ij oznacza macierz powstaª z macierzy A przez skre±lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny Wyra»enie ( ) i+j det A ij nazywamy dopeªnieniem algebraicznym wyrazu a ij Stosujemy równie» oznaczenie a ij := det(a ij ) Wn (Wyznacznik macierzy stopnia 2:) a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2 a a 2 a 3 Wn 2 (Wzór Sarrusa:) a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 +a 2 a 23 a 3 +a 3 a 2 a 32 (a 3 a 22 a 3 + a 2 a 2 a 33 + a a 23 a 32 ) Uwaga Wzór Sarrusa stosujemy tylko i wyª cznie do macierzy stopnia 3!!! Rozwini cie Laplace'a Twierdzenie Wyznacznik macierzy A = (a ij ) jest równy rozwini ciu wzgl dem dowolnego wiersza lub dowolnej kolumny: det A := ( ) k+j a kj det A kj j= (rozwini cie wzgl dem k-tego wiersza) det A := ( ) i+k a ik det A ik i= (rozwini cie wzgl dem k-tej kolumny)

2 Wªasno±ci wyznacznika det A = det A T 2 det I n = (macierz jednostkowa dowolnego stopnia ma wyznacznik równy ) 3 Wyznacznik macierzy trójk tnej jest równy iloczynowi wyrazów gªównej przek tnej 4 Je±li w macierzy zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny), to wyznacznik zmieni znak na przeciwny 5 Je±li macierz A posiada dwa jednakowe wiersze (kolumny), to det A = 0 6 det aw k = a det w k (z dowolnego wiersza (kolumny) mo»na wyci gn staª przed wyznacznik) 7 det w k + w k = det i analogicznie dla kolumn w k + det w k 8 Je»eli macierz A ma zerowy wiersz (kolumn ), to det A = 0 9 Je»eli do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy dowoln kombinacj liniow pozostaªych, to wyznacznik nie zmieni si Uwaga 2 Wªasno±ci 6, 9 pozwalaj zastosowa metod Gaussa do szybkiego obliczania wyznaczników dowolnego stopnia Po wyzerowaniu wszystkich poza jednym wyrazów wiersza (kolumny) rozwini cie Laplace'a obni»a o jeden stopie«wyznacznika 2

3 0 Je±li A = (a ij ) n n, B = (b ij ) m m, C = (c ij ) m n i a a 2 a n a 2 a 22 a 2n D := a n a n2 a nn c c 2 c n b b 2 b m c 2 c 22 c 2n b 2 b 22 b 2m c m c m2 c mn b m b m2 b mm, to Twierdzenie 2 (Cauchy'ego) det D = det A det B det A B = det A det B Def 2 Macierz kwadratow A nazywamy nieosobliw det A 0 Twierdzenie 3 Dowolna macierz nieosobliwa A = (a ij ) ma macierz odwrotn A = (b ij ) Jej wyrazy wyznaczamy ze wzoru: b ij = ( )i+j det A ji det A (gdzie ( ) i+j det A ji jest dopeªnieniem algebraicznym wyrazu a ji ) Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej: Obliczamy det A A wyznaczamy tylko w przypadku det A 0 2 Wyznaczamy macierz dopeªnie«algebraicznych D := (( ) i+j det A ij ) 3 Transponujemy macierz D 4 A = det A DT Wyznacznik, a rz d macierzy Twierdzenie 4 Rz d macierzy kwadratowej A stopnia n jest równy n det A 0 Def 3 Minorem stopnia k macierzy A m n nazywamy wyznacznik dowolnej macierzy powstaªej z A przez skre±lenie m k wierszy i n k kolumn Twierdzenie 5 Rz d macierz jest równy najwy»szemu stopniowi jej niezerowego minora 3

4 Ukªad m równa«liniowych z n niewiadomymi a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 Macierz ukªadu: A := a m x + a m2 x a mn x n = b m a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 Macierz uzupeªniona: U := a m a m2 a mn b m Macierzowy zapis ukªadu a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn AX = B x x 2 gdzie A jest macierz ukªadu, X =, B = b b 2 s odpowiednio x n wektorami niewiadomych i wyrazów wolnych Przykªady: Rozwi za ukªady równa«: x x 2 +x 3 x 4 = 2x +x 2 +x 3 = x 2 +3x 3 2x 4 = 3 3x +x 2 +3x 3 x 4 = x x 2 x 3 = 4 b m Twierdzenie 6 (Kroneckera-Capellego) Niech A, U b d odpowiednio macierz i macierz uzupeªnion ukªadu równa«liniowych z n niewiadomymi Ukªad ten ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy ra = ru Je±li ra = ru = n, to ukªad ma dokªadnie jedno rozwi zanie Je±li ra = ru = k < n, to ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi za«zale»nych od n k parametrów Uwaga 3 (Ogólna posta rozwi zania:) n k X = X 0 + t i X i Je±li ra ru, to ukªad nie ma rozwi zania Taki ukªad nazywamy sprzecznym i= 4

5 Ukªady jednorodne Def 4 Ukªad równa«ax = B nazywamy jednorodnym gdy wektor B wyrazów wolnych jest wektorem zerowym Wn 3 Ukªad jednorodny zawsze ma rozwi zanie Jest ono (n k)-wymiarow podprzestrzeni liniow przestrzeni R n, gdzie n jest ilo±ci niewiadomych, a k jest rz dem macierzy ukªadu n k X = t i X i = lin{x, X 2,, X n k } i= Uwaga 4 Rozwi zanie ukªadu niejednorodnego dostajemy dodaj c do dowolnego wektora X 0 speªniaj cego ukªad rozwi zanie ukªadu jednorodnego Ukªady Cramera Def 5 Ukªadem Cramera nazywamy ukªad n równa«z n niewiadomymi, którego macierz jest nieosobliwa Twierdzenie 7 (Cramera) Ukªad Cramera ma dokªadnie jedno rozwi zanie Jest ono okre±lone wzorem: x j = det A j det A, gdzie dla j {,, n}, A j oznacza macierz powstaª po zamianie w macierzy A ukªadu j-tej kolumny, kolumn wyrazów wolnych B Uwaga 5 Ukªad Cramera AX = B mo»na równie» rozwi za wyznaczaj c X = A B z równania macierzowego Najszybsza jest jednak metoda Gaussa! x +x 2 x 3 = 0 x x 2 +x 3 = 2 x +x 2 +x 3 = 4 Algorytm odwracania macierzy oparty na eliminacji Gaussa: Obok macierzy A piszemy macierz jednostkow tego samego stopnia, 2 Za pomoc operacji na wierszach tak zbudowanej (podwójnej) macierzy sprowadzamy A do postaci jednostkowej, 3 Wyj±ciowa macierz jednostkowa zostaje przeksztaªcona w A 5