Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Transkrypt

1 Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych f : V W Dla f, g L(V ; W ) i a R określamy przekszta lcenia f + g : V W i a f : V W przyjmujac, że dla każdego α V (f + g)(α) = f(α) + g(α) i (a f)(α) = a f(α) (1) Wykażemy, że wówczas f + g, a f L(V ; W ) W tym celu weźmy dowolne α, β V i dowolne b R Z definicji przekszta lcenia liniowego i ze wzoru (1) mamy oraz (f + g)(α + β) = f(α + β) + g(α + β) = f(α) + f(β) + g(α) + g(β) = = [f(α) + g(α)] + [f(β) + g(β)] = (f + g)(α) + (f + g)(β) (f + g)(b α) = f(b α) + g(b α) = b f(α) + b g(α) = b [f(α) + g(α)] = b [(f + g)(α)], wi ec f + g L(V ; W ) Podobnie (a f)(α + β) = a f(α + β) = a [f(α) + f(β)] = a f(α) + a f(β) = (a f)(α) + (a f)(β) i (a f)(b α) = a f(b α) = a [b f(α)] = (ab) f(α) = (ba) f(α) = b [a f(α)] = b [(a f)(α)], zatem także a f L(V ; W ) Oznaczmy przez Θ przekszta lcenie trywialne przestrzeni V w przestrzeń W Zatem Jest jasne, że Θ L(V ; W ) Θ(α) = θ dla każdego α V (2) Twierdzenie 101 Dla dowolnych przestrzeni liniowych V i W zbiór L(V ; W ) z dzia laniami + i określonymi wzorami (1) tworzy przestrzeń liniowa Dowód Sprawdzamy po kolei wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej Weźmy dowolne f, g, h L(V ; W ) i dowolne α V, a, b R Wtedy: A1 [(f + g) + h](α) = (f + g)(α) + h(α) = [f(α) + g(α)] + h(α) = f(α) + [g(α) + h(α)] = f(α) + (g + h)(α) = [f + (g + h)](α), wiec (f + g) + h = f + (g + h); A2 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = g(α) + f(α) = (g + f)(α), wiec f + g = g + f; A3 (f + Θ)(α) = f(α) + Θ(α) = f(α) + θ = f(α), wiec f + Θ = f; 1

2 A4 (f +( 1) f)(α) = f(α)+[( 1) f](α) = f(α)+( 1) f(α) = θ = Θ(α), wi ec ( 1) f = f oraz ( f)(α) = f(α); A5 [a (f +g)](α) = a [(f +g)(α)] = a [f(α)+g(α)] = a f(α)+a g(α) = (a f)(α)+(a g)(α) = (a f + a g)(α), wi ec a (f + g) = a f + a g; A6 [(a+b) f](α) = (a+b) f(α) = a f(α)+b f(α) = (a f)(α)+(b f)(α) = (a f +b f)(α), wi ec (a + b) f = a f + b f; A7 [(ab) f](α) = (ab) f(α) = a [b f(α)] = a [(b f)(α)] = [a (b f)](α), wi ec (ab) f = a (b f); A8 (1 f)(α) = 1 f(α) = f(α), wi ec 1 f = f 2 Baza przestrzeni przekszta lceń liniowych Twierdzenie 102 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) odpowiednio Niech dla i = 1,, m, j = 1,, n, ϕ ij : V W bedzie przekszta lceniem liniowym wyznaczonym jednoznacznie przez warunki { θ, gdy k j, ϕ ij (α k ) = (3) β i, gdy k = j Wówczas uk lad (ϕ ij ),,m,,n jest baza przestrzeni L(V ; W ) Dowód Wykażemy najpierw, że uk lad (ϕ ij ),,m,,n weźmy dowolny uk lad (a ij ),,m liczb taki, że,,n jest liniowo niezależny W tym celu a ij ϕ ij = Θ Wtedy dla dowolnego k = 1,, n mamy θ = a ij ϕ ij (α k ) = a ij ϕ ij (α k ) = a ik β i Ale wektory β 1,, β m sa liniowo niezależne, wiec a ik = 0 dla wszystkich i = 1,, m i dla wszystkich k = 1,, n Zatem uk lad (ϕ ij ),,m jest liniowo niezależny,,n Pozostaje jeszcze wykazać, że uk lad (ϕ ij ),,m,,n weźmy dowolne f L(V ; W ) Wtedy dla każdego k = 1,, n istniej generuje przestrzeń L(V ; W ) W tym celu a skalary k,, a mk takie, że f(α k ) = k β a mk β m Stad dla k = 1,, n mamy a ij ϕ ij a ij ϕ ij (α k ) = a ik β i = f(α k ) (α k ) = Zatem z jednoznaczności określenia przekszta lcenia liniowego na bazie f = a ij ϕ ij a przez bazy (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) przestrzeni V i W odpo- Uwag03 Baze (ϕ ij ),,m,,n nazywali baza wyznaczon wiednio przestrzeni L(V ; W ) podana w twierdzeniu 102 bedziemy 2

3 Wniosek 104 Niech V i W bed a skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi Wówczas zachodzi równość dim L(V ; W ) = dim V dim W (4) 3 Macierz przekszta lcenia liniowego Niech (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) bed a uporzadkowanymi bazami przestrzeni liniowych V i W odpowiednio Niech f : V W bedzie przekszta lceniem liniowym Wówczas dla k = = 1,, n jest f(α k ) W, wiec istnieja k,, a mk R takie, że f(α k ) = k β a mk β m (5) Otrzymana w ten sposób m n macierz 1 2 n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn (6) nazywamy macierza przekszta lcenia liniowego f w bazach (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) przestrzeni V i W odpowiednio Zatem kolejne kolumny macierzy (6) sa wektorami wspó lrzednych wektora f(α k ) w bazie (β 1,, β m ) przestrzeni W dla k = 1,, n Przyk lad 105 Niech m, n N i niech A = [a ij ] M m n (R) Wówczas A jest macierza przekszta lcenia liniowego f : R n R m danego wzorem analitycznym f([x 1,, x n ]) = [1 x n x n,, a m1 x a mn x n ] w bazach kanonicznych tych przestrzeni Twierdzenie 106 Niech A bedzie macierz a przekszta lcenia liniowego f : V W w bazach (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) Jeżeli (α 1,, α n ), to A Dowód Ponieważ α = mamy f(α) = jest wektorem wspó lrz ednych wektora α V w bazie jest wektorem wspó lrz ednych wektora f(α) W w bazie (β 1,, β m ) a i α i, wiec z w lasności przekszta lceń liniowych i ze wzoru (5) a i f(α i ) = a i a ji β j = (a i a ji ) β j = 3

4 Zatem = (a i a ji ) β j = ( ) (a i a ji ) β j a i a ji jest j-ta wspó lrzedn a wektora f(α) w bazie (β 1,, β m ) Ponadto z defi- nicji mnożenia macierzy j-tym wyrazem macierzy A a i a ji M m 1 (R) jest a ji a i = [ ] Przyk lad 107 Niech A = bedzie macierza przekszta lcenia liniowego f : V W w bazach (α 1, α 2 ), (β 1, β 2 ) Obliczymy [ ] f(α) dla α = α 1 3 α 2 Wektorem wspó lrzednych wektora α w bazie (α 1, α 2 ) jest 1, zatem z twierdzeni06, wektorem wspó lrzednych 3 [ ] [ ] [ ] wektora f(α) w bazie (β 1, β 2 ) jest = Otrzymaliśmy wiec, że f(α) = 7 β 1 14 β 2 Twierdzenie 108 Niech A bedzie macierza przekszta lcenia liniowego f : V W w bazach (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) Wówczas dim Im f = r(a) Dowód Zauważmy, że Im f = lin(f(α 1 ),, f(α n )) = lin( a j1 β j,, a jn β j ) Z twierdzenia 913 wiemy, że istnieje izomorfizm liniowy ϕ: W R m taki, że ϕ(β j ) = ε j dla j = 1,, m Stad Im f = ϕ(im f), wiec w szczególności dim Im f = dim ϕ(im f) Ale ϕ(im f) = lin([1, a 21,, a m1 ],, [n, a 2n,, a mn ]), wiec dim ϕ(im f) = r(a), czyli dim Im f = r(a) Lemat 109 Niech A, B M m n (R) Jeżeli dla dowolnych skalarów,, zachodzi równość A = B to A = B Dowód Niech A = [a ij ] oraz niech B = [b ij ] Weźmy dowolne ustalone j = 1,, n i niech a j = 1 oraz a k = 0 dla wszystkich k {1,, n} \ {j} Wtedy z definicji mnożenia macierzy i-tym elementem macierzy A, M m 1 (R) jest a ij dla i = 1,, m Podobnie 4

5 i-tym elementem macierzy B B dla dowolnych,, R, wi ec a ij j = 1,, n Ponadto A, B M m n (R), wi ec A = B M m 1 (R) jest b ij dla i = 1,, m Ale A = = b ij dla dowolnych i = 1,, m oraz Twierdzenie 1010 Niech V, W, U bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowa- nych (α 1,, α n ), (β 1,, β m ), (γ 1,, γ s ) odpowiednio Niech A bedzie macierza przekszta lcenia f L(V ; W ) w bazach (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) oraz niech B bedzie macierza przekszta lcenia g L(W ; U) w bazach (β 1,, β m ) i (γ 1,, γ s ) Wówczas B A jest macierza przekszta lcenia g f L(V ; U) w bazach (α 1,, α n ) i (γ 1,, γ s ) Dowód Niech Wtedy z twierdzeni06 mamy, że A b edzie wektorem wspó lrz ednych wektora α V w bazie (α 1,, α n ) jest wektorem wspó lrz ednych wektora f(α) w bazie (β 1,, β m ) Ponownie z twierdzeni06 otrzymujemy, że B A wektorem wspó lrz ednych wektora g(f(α)) w bazie (γ 1,, γ s ) Ale B A = (B A), jest wiec jeśli C M s n (R) jest macierza przekszta lcenia g f L(V ; U) w bazach (α 1,, α n ) i (γ 1,, γ s ), to na mocy twierdzeni06 C = (B A) dla dowolnych,, R Ponieważ B M s m (R) i A M m n (R), wi ec B A M s n (R) Z lematu 109 otrzymujemy równość C = B A 5