Macierze i wyznaczniki. Zdefiniujemy teraz wyznaczniki i omówimy układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi. Zaczniemy od definicji.

Transkrypt

1 Macierze i wyznaczniki Po poprawkach wprowadzonych 25 października 207 r Zdefiniujemy teraz wyznaczniki i omówimy układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi Zaczniemy od definicji Definicja 8 (macierzy a, a,2 a,n a Tablice prostokatn a A 2, a 2,2 a 2,n nazywać bedziemy macierz a o m wierszach a m, a m,2 a m,n i n kolumnach Czasem stosować bedziemy oznaczenie A (a i,j i m lub A (a i,j, gdy nie j n bedzie watpliwości, o macierz jakiego wymiaru chodzi Macierze można mnożyć przez liczby mnożac każdy wyraz macierzy przez te liczbe: a, a,2 a,n ca, ca,2 ca,n a ca 2, a 2,2 a 2,n ca 2, ca 2,2 ca 2,n a m, a m,2 a m,n ca m, ca m,2 ca m,n Macierze tego samego wymiaru można dodawać dodajac odpowiednie wyrazy: a, a,n b, b,n a, b, a,n b,n a 2, a 2,n b 2, b 2,n a 2, b 2, a 2,n b n,n a m, a m,n b m, b m,n a m, b m, a m,n b m,n Mnożenie macierzy przez liczby i ich dodawanie z punktu widzenia własności formalnych nie różni si e od dodawania liczb rzeczywistych Inaczej jest z mnożeniem macierzy, które zaraz zdefiniujemy Zdefiniujemy iloczyn macierzy A (a r,s, która ma m kolumn przez macierz B (b s,t, która ma m wierszy W wyniku otrzymamy macierz C (c r,t, która ma tyle wierszy co macierz A i tyle kolumn co macierz B a, a 2, a,m b, b,2 b,n c, c,2 c,n a 2, a 2,2 a 2,m b 2, b 2,2 b 2,n c 2, c 2,2 c 2,n, a k, a k,2 a k,m b m, b m,2 b m,n c k, c k,2 c k,n gdzie c r,t m s a r,sb s,t dla dowolnego r {, 2,, k}, t {, 2,, n} Oznacza to, że wyraz c r,t macierzy C możemy potraktować jako iloczyn skalarny r tego wiersza macierzy A i t tej kolumny macierzy B Właśnie po to, by móc mówić o tym iloczynie skalarnym musimy założyć, że pierwsza macierz ma tyle samo kolumn co druga wierszy Pomnożymy teraz dwie macierze: ( ( (

2 A teraz pomnożymy je w przeciwnej kolejności: 2 ( Widać, że otrzymaliśmy różne wyniki, nawet wymiary sie nie zgadzaja Oznacza to, że to mnożenie macierzy nie jest przemienne wynik zależy od kolejności czynników! Oznacza to, że na ogół A B B A Mnożenie to jest łaczne, tzn (A B C A (B C Wykażemy to twierdzenie Niech A (a r,s r k, B (b s,t s l s l t m znajduj, C (c t,u t m Znajdziemy najpierw wyraz macierzy A B u n s a r,sb s,t Wobec tego w r tym wierszu acy sie w r tym wierszu i t tej kolumnie: l i u tej kolumnie iloczynu (ABC znajduje sie m ( l t s a r,sb s,t ct,u Jest to suma iloczynów postaci a r,s b s,t c t,u, w których wskaźniki s, t przyjmuja dowolne dopuszczalne wartości, tzn s l, t m Powtarzajac te obliczenia w przypadku iloczynu A(BC otrzymujemy l s a ( m r,s t b s,tc t,u, co jak łatwo stwierdzić jest sum a iloczynów postaci a r,s b s,t c t,u, w których wskaźniki s, t przyjmuja dowolne dopuszczalne wartości, tzn s l, t m, co oznacza, że otrzymaliśmy ten sam wynik, co w poprzednim iloczynie Bez trudu można stwierdzić, że prawdziwe sa nastepuj ace stwierdzenia: A B B A dla dowolnych macierzy A, B tego samego wymiaru; 2 (A B C A (B C dla dowolnych macierzy A, B, C tego samego wymiaru; 3 A O O A dla dowolnej macierzy A, tu i dalej O oznacza macierz tego samego wymiaru co A, w której wszystkie wyrazy sa równe 0; 4 dla dowolnej macierzy A istnieje macierz B tego samego wymiaru taka, że A B B A O (oczywiście b i,j a i,j ; 5 (A B C A (B C dla dowolnych macierzy A, B, C, dla których mnożenie jest zdefiniowane; 6 A I A dla dowolnej macierzy A, I oznacza tu i dalej macierz kwadratowa, która ma tyle wierszy ile A kolumn i której wszystkie wyrazy na głównej przekatnej sa równe, a poza nia sa równe 0, tzn i i,i oraz i i,j 0 dla i j; również I A A, ale teraz macierz I ma tyle kolumn ile wierszy ma macierz A; 7 A (B C A B A C i (B C A B A C A dla dowolnych macierzy, dla których działania sa zdefiniowane Macierz kwadratowa I, Główna przekatna macierzy kwadratowej C(c i,j składa sie z wyrazów c i,i, łaczy wiec lewy górny róg macierzy z prawym dolnym 2

3 która wystapiła w punkcie 6 nazywana jest macierza jednostkowa, własność 6 mówi, że pełni ona w zbiorze macierzy role podobna do tej, która pełni liczba w mnożeniu liczb rzeczywistych Różnica polega na tym, że jest wiele macierzy jednostkowych: w każdym wymiarze jedna Układ l równań liniowych z k niewiadomymi można zapisać w postaci a, x a,2 x 2 a,3 x 3 a,k x k b a 2, x a 2,2 x 2 a 2,3 x 3 a 2,k x k b 2 a l, x a l,2 x 2 a l,3 x 3 a l,k x k b l A x b, gdzie A (a i,j i l, x jest pionowo zapisanym wektorem o k współrzednych, j k czyli macierza o jednej kolumnie i k wierszach, analogicznie b Niewiadomymi sa x, x 2,, x k Nie zakładamy, że liczba niewiadomych równa jest liczbie równań: może być k < l, k l, k > l Przeanalizujemy teraz rozwiazywanie układu równań liniowych Oczywiście nie można spodziewać sie, że w każdej sytuacji otrzymamy jedno rozwiazanie Nawet wtedy, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, układ może mieć nieskończenie wiele rozwiazań lub może ich nie mieć wcale Bedziemy mnożyć równania przez liczby różne od 0, dodawać je stronami, zmieniać kolejność równań Nie b edziemy przepisywać niewiadomych Oznacza to, że b edziemy zajmować sie tzw rozszerzona macierza układu równań liniowych, czyli macierza a, a,2 a,k b a 2, a 2,2 a 2,k b 2, a l, a l,2 a l,k b k bo zawiera ona wszystkie informacje o układzie równań, wiec nie ma potrzeby przepisywać niewiadomych Cz esto używany jest termin macierz układu różni si e ona od macierzy rozszerzonej brakiem ostatniej kolumny Pokażemy na przykładach metode zwana eliminacja Gaussa 2 Rozważymy układ równań: x 2 2x 3 3x 4 20; x x 2 x 3 x 4 4; 2x x 2 x 3 x 4 7; 3x x 2 x 3 x 4 2 Zgodnie z zapowiedzia nie bedziemy pisać niewiadomych, wystarczy macierz rozszerzona W macierzy zamienimy pierwszy i drugi wiersz po to, by w lewym górnym rogu znalazła sie jedynka: 2 Chodzi o eliminowanie niewiadomych z kolejnych równań 3

4 Czytelnik zechce sprawdzić, że oznacza to, że zamiast mówić o przestawianiu wierszy możemy mówić o mnożeniu macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz Czytelnik zastanowi sie, przez jaka macierz należy pomnożyć wyjściowa macierz, by czwarty wiersz zamienił sie miejscem z pierwszym lub trzecim i ogólnie, by zamieniły sie miejscami wiersze i ty oraz j ty Nast epna operacje nie zmieni pierwszego ani drugiego wiersza, za to od trzeciego odejmiemy pierwszy pomnożony przez 2 i jednocześnie od czwartego wiersza odejmiemy pierwszy pomnożony przez 3 W rezultacie otrzymujemy: Czytelnik zechce zwrócić uwage na to, że , wiec również to przekształcenie macierzy można potraktować jako mnożenie jej z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz Zauważmy przy okazji, że , co oznacza, że operacje można było przeprowadzić w dwóch etapach i wtedy również można było to potraktować jak mnożenie przekształcanej macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz W wyniku otrzymaliśmy macierz, w pierwszej kolumnie której wystepuje w jednym miejscu jedynka a poza nia same zera Z punktu widzenia układu równań oznacza to, że niewiadoma x wystepuje teraz w jednym tylko równaniu, w pierwszym! Oznacza to, że pozostałe niewiadome możemy znaleźć używajac pozostałych trzech równań, a nastepnie z pierwszego równania wyliczyć x 3 Teraz wyeliminujemy x 2 z trzeciego i z czwartego równania Dla uproszczenia rachunków najpierw podzielimy czwarty wiersz przez 2 Otrzymamy 3 Niewiadoma x została wyeliminowana z trzech równań, kolej na x 2 4

5 Również ta operacja może być przedstawiona jako mnożenie macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz: Teraz do trzeciego wiersza dodamy drugi pomnożony przez 3, a do czwartego dodamy drugi: Podobnie jak poprzednio można uzyskać ten sam rezultat przez mnożenie z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz: Teraz zamienimy (tylko dla uproszczenia obliczeń miejscami trzeci i czwarty wiersz: I znów widzimy, że Teraz od czwartego wiersza odejmujemy trzeci pomnożony przez 3: Można ten ostatni krok przedstawić w postaci mnożenia z lewej strony przez macierz: W zasadzie zrobiliśmy nieomal wszystko: w czwartym równaniu jest już tylko jedna niewiadoma, w trzecim dwie, w drugim trzy, tylko w pierwszym sa wszystkie Oznacza to, że możemy znaleźć kolejno wartości niewiadomych Zrobimy to nie używajac w dalszym ciagu 5

6 niewiadomych jawnie Podzielimy najpierw ostatni wiersz przez 5: było to mnożenie z lewej strony przez macierz Teraz wyeliminujemy x 4 z pierwszych trzech równań: odejmujemy czwarty wiersz od trzeciego i pierwszego, a od drugiego odejmujemy czwarty pomnożony przez 3: Wykonaliśmy teraz takie mnożenie: Teraz dzielimy trzeci wiersz przez 3: Usuniemy teraz x 3 z pierwszych dwóch równań: Ostatnia operacja to usuniecie x 2 z pierwszego równania: No to wszystko sie udało i po tych przekształceniach układ równań przybrał taka postać: x ; x 2 2; x 3 3; x 4 4; co oznacza, że udało nam sie go rozwiazać! Ma on dokładnie jedno rozwiazanie Pokazaliśmy, że rozwiazywanie układu można potraktować jako mnożenie przez kolejne macierze (uwaga na kolejność! 6

7 Widzimy wi ec, że rozwiazywanie układu równań można interpretować jako mnożenie macierzy: Dodać należy, że mnożac wiersze przez liczby, dodajac je, zmieniajac ich kolejność wykonywaliśmy operacje odwracalne, zawsze mogliśmy przekształcić macierz z powrotem Dzieki temu wszystkie kolejne układy równań były równoważne, zatem ostatni układ równań był równoważny pierwszemu Omówimy jeszcze jeden przykład, ale już nie b edziemy tłumaczyć, jak operacje na wierszach macierzy można zastapić mnożeniem z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz x 2x 2 x 3 0; 4x 5x 2 2x 3 0; 5x 2x 2 3x 3 0 Zaczniemy od wypisania macierzy rozszerzonej tego układu: Teraz odejmiemy od drugiego wiersza pierwszy pomnożony przez 4, a od wiersza trzeciego pierwszy pomnożony przez 5: Teraz od trzeciego wiersza odejmujemy drugi pomnożony przez 4: Dzielimy drugi wiersz przez 3: Dodajemy do pierwszego wiersza drugi pomnożony przez 2 7

8 Tym razem rezultat jest ale nieco inny niż poprzednio Układ ma nieskończenie wiele rozwiazań Wartość x 3 jest dowolna i wtedy x x 3 3, x 2 2x 3 3 Jak widać może sie tak zdarzyć również wtedy, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych Obejrzymy ten sam układ po drobnej zmianie: x 2x 2 x 3 0; 4x 5x 2 2x 3 3; 5x 2x 2 3x 3 6 Wykonujemy kolejno te same operacje, które wykonaliśmy przed chwila Różnica pojawi sie tylko w czwartej kolumnie (czyli po prawej stronie równań Otrzymujemy w końcu: Układ jest wiec sprzeczny równanie 0 6 rozwiazań nie ma Natomiast bez trudu stwierdzamy, że punkt ( x 3 3 2, 2x 3 3, x 3 (2,, 0 x 3 (, 2, jest rozwi azaniem 3 3 zarówno pierwszego jak i drugiego równania dla każdej liczby x 3, wiec jest rozwiazaniem układu x 2x 2 x 3 0 4x 5x 2 2x 3 3 Do przekształcania dwóch pierwszych równań nie użyliśmy ani razu równania trzeciego, zatem ten ostatni układ dwóch równań jest równoważny układowi x x x 2 2x 3 3 Przekształcajac w podobny sposób układ 4x 5x 2 2x 3 3 5x 2x 2 3x 3 6 stwierdzamy, że jest on spełniony przez punkt ( 6 również jest rozwi Została jeszcze jedna możliwość: ( t, 2t, 3t ( azaniem tego układu dwóch równań x 2x 2 x 3 0; 2,, i że dla każdej liczby t trójka 2,, t(, 2, 3 5x 2x 2 3x 3 6 Bez trudu stwierdzamy, że punkt (,, 0 spełnia ten układ równań oraz że dla każdej liczby t 2 układ ten spełniony jest przez (,, 0 t(, 2, 3 ( t, 2t, 3t 2 2 Widzimy wiec, że chociaż układ trzech równań jest sprzeczny, to układy dowolnych dwóch maja rozwiazania, które jesteśmy w stanie opisać Geometria zwiazana z tymi równaniami nie jest skomplikowana Każde z równań opisuje jakaś płaszczyzne W przypadku układu x 2x 2 x 3 0; 4x 5x 2 2x 3 0; 5x 2x 2 3x 3 0 te trzy płaszczyzny maja wspólna prosta przechodzac a przez punkt 0 (0, 0, 0, równoległa do wektora (, 2, 3 W przypadku układu 8

9 x 2x 2 x 3 0; 4x 5x 2 2x 3 3; 5x 2x 2 3x 3 6 jest nieco inaczej Przesuni ete zostały dwie płaszczyzny W wyniku tego nie ma punktu wspólnego dla trzech płaszczyzn, ale każde dwie maja wspólna prosta Każda z trzech prostych jest równoległa do wektora (, 2, 3 Bez trudu można zauważyć, że za pomoca opisanych przekształceń macierzy rozszerzonej można ja doprowadzić do postaci schodkowej: każdy nastepny wiersz zawierać bedzie wiecej zer na poczatku, czyli w odpowiadajacym temu wierszowi równaniu wystapi mniej niewiadomych niż w poprzednim 4 Jeśli ostatni niezerowy wiersz zawiera tylko jeden wyraz różny od 0 i to na samym końcu, to układ jest sprzeczny Jeśli nie, to ma rozwiazania Może zdarzyć sie, że rozwiazań jest nieskończenie wiele, a może też zdarzyć sie, że tylko jedno W szczegóły nie bedziemy wchodzić Warto jednak nadmienić, że jeśli znajdziemy dwa rozwiazania układu liniowego, np x i y, to dla każdej liczby rzeczywistej α wektor α x ( α y również okaże sie rozwiazaniem Mamy bowiem: A x b i A y b, zatem A ( α x ( α y αa x ( αa y α b ( α b b Zbiór punktów postaci αx ( αy y α(x y, α R, to prosta przechodzaca przez punkt y w kierunku wektora x y, wiec przechodzaca również przez punkt x Wykazaliśmy, że wraz z każdymi dwoma punktami zbiór rozwiazań układu liniowego zawiera prosta, która przechodzi przez te punkty Takie zbiory matematycy nazywaja podprzestrzeniami afinicznymi Podprzestrzenie afiniczne przechodzace przez 0 nazywane sa liniowymi Podprzestrzenie liniowe maja te szczególna własność, że suma wektorów z takiej podprzestrzeni jest jej elementem To samo dotyczy iloczynu wektora przez liczbe Mamy z nimi do czynienia w przypadku rozwiźań równania Ax 0 Później okaże sie, że sa one szczególnie ważne również z powodów algebraicznych Z macierzami kwadratowymi wiaż a sie wyznaczniki Przypomnijmy ich definicje Definicja 82 (wyznacznika macierzy kwadratowej Wyznacznikiem det(a A macierzy (a, nazywamy liczb e a, Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już wyznaczniki macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego niż n Niech A (a i,j bedzie macierza o n wierszach i n kolumnach Wyznacznikiem det(a A macierzy A nazywamy liczbe a 2,2 a 2,3 a 2,n a 2, a 2,3 a 2,n a a, 3,2 a 3,3 a 3,n a a,2 3, a 3,3 a 3,n a n,2 a n,3 a n,n a n, a n,3 a n,n a 2, a 2,2 a 2,n a ( n a,n 3, a 3,2 a 3,n a n, a n,2 a n,n 4 Interesuje nas tylko poczatkowy blok samych zer, zera wystepuj ace na dalszych miejscach nic nas chwilowo nie obchodza 9

10 Na wszelki wypadek opiszemy słowami ten wzór Wyznacznik macierzy, to po prostu jedyny jej wyraz (w tym przypadku lepiej pisać np det(2 2 niż używać pionowych kresek i ryzykować skojarzenie z wartościa bezwzgledn a Wyznacznik macierzy n n znajdujemy rozwijajac go wzgledem pierwszego wiersza: liczbe ( j a,j mnożymy przez wyznacznik macierzy wymiaru n n powstałej z danej macierzy przez wykreślenie pierwszego wiersza i j tej kolumny Pokażemy na przykładach jak to działa i ogólnie a b ad bc; 2 7 c d ( [(5 (3 2 2 ] (2 [4 (3 2 5 ] [4 2 (5 5 ] 2 ( ; ( ( ( ( ( ( Mamy nadziej e, że definicja została wyjaśniona Pokażemy teraz jeszcze najprostsze zastosowania poj ecia wyznacznika Udowodniliśmy, że pole równoległoboku rozpi etego przez wektory (u, u 2, (v, v 2 równe jest u v 2 u 2 v Możemy wiec napisać, że to pole równe jest u u 2 v v 2 5 Kwadrat pola równoległoboku rozpietego przez wektory u, v R 3 jest równy u 2 v 2 ( u v 2 u u u v v u v v ten wyznacznik nazywany jest wyznacznikiem Grama wektorów u, v Można też rozważać wyznacznik Grama trzech lub wi ekszej liczby wektorów, ale o tym opowiemy później Niech i (, 0, 0, j (0,, 0, k (0, 0, Wtedy i j k u 2 u 3 u v u u 2 u 3 i v v 2 v 3 v 2 v 3 u u 3 j v v 3 u u 2 k v v 2 ( u 2 u 3 v 2 v 3, u u 3 v v 3, u u 2 (u 2 v 3 u 3 v 2, u v 3 u 3 v, u v 2 u 2 v v v 2 Widać wiec, że jeśli spamietamy, co to jest wyznacznik, to nie bedziemy mieć kłopotu z iloczynem wektorowym Po zapoznaniu sie z własnościami wyznaczników przekonamy sie, że moga nam jeszcze w co najmniej kilku przypadkach ułatwić życie Do sformułowania twierdzenia opisujacego podstawowe własności wyznaczników przyda nam sie nastepuj ace oznaczenie: D i;j oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A 5 Niskie pionowe kreski oznaczaja wartość bezwzgledn a, wysokie wyznacznik 0

11 przez wykreślenie i tego wiersza i j tej kolumny, D i,j;k,l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z A przez wykreślenie i tego i j tego wiersza oraz kolumn o numerach k, l Niech a, a,2 a,n a A 2, a 2,2 a 2,n a n, a n,2 a n,n Zachodzi wtedy Twierdzenie 83 (o podstawowych własnościach wyznacznika Dla dowolnej liczby i {, 2,, n} zachodzi równość det(a ( i a i, D i, ( i2 a i,2 D i,2 ( in a i,n D i,n jest to rozwini ecie Laplace a wzgl edem i tego wiersza; 2 Dla dowolnej liczby j {, 2,, n} zachodzi równość det(a ( j a,j D,j ( 2j a 2,j D 2,j ( in a n,j D n,j jest to rozwini ecie Laplace a wzgl edem i tej kolumny; 3 Zachodzi równość det(a ( 22 a, a,2 a 2, a 2,2 D,2;,2 ( 23 a, a,3 a 2, a 2,3 D,2;,3 ( 2n a, a,n a 2, a 2,n D,2;,n ( 223 a,2 a,3 a 2,2 a 2,3 D,2;2,3 ( 224 a,2 a,4 a 2,2 a 2,4 D,2;2,4 ( 22n a,2 a,n a 2,2 a 2,n D,2;2,n ( 2nn a,n a,n a 2,n a 2,n D,2;n,n jest rozwiniecie Laplace a wzgledem dwóch pierwszych wierszy Wystepuje w tej sumie ( n 2 n(n składników (2 kolumny spośród n kolumn wybrać można na ( n 2 2 sposoby Wykładnik potegi to suma numerów wierszy (czyli 2 i numerów kolumn, z których wybrane zostały wyrazy wyznacznika 2 2; 4 Jeśli jakiś wiersz (lub kolumn e pomnożymy przez liczb e c, to wyznacznik też zostanie pomnożony przez c 5 Jeśli zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny, to wyznacznik zmieni znak, w szczególności jeśli dwa wiersze (dwie kolumny pokrywaja sie, to wyznacznik jest równy 0; 6 Jeśli do jednego wiersza dodamy drugi pomnożony przez jakakolwiek liczbe, to wyznacznik nie ulegnie zmianie 7 Jeśli a i,j b i,j dla wszystkich j i wszystkich i i 0, to det(a i,j det(b i,j det(c i,j, gdzie c i,j a i,j b i,j dla i i 0 oraz c i0,j a i0,j b i0,j, czyli wyznaczniki, w których wszystkie wiersze sa identyczne z jednym wyjatkiem dodajemy sumujac wyjatkowe wiersze w obu, a pozostałe przepisujemy

12 Obliczanie wyznaczników na podstawie tej definicji lub definicji klasycznej, której nawet nie przytoczymy, prowadzi do wielu rachunków, które w wypadku wyznaczników dużego wymiaru sa kłopotliwe nawet przy użyciu komputerów Twierdzenie o podstawowych własnościach wyznacznika pozwoli upraszczać te rachunki Zanim udowodnimy własności 7 pokażemy na przykładzie, jak można z nich korzystać Obliczymy jeszcze raz wyznacznik Bedziemy stosować sformułowane właśnie własności własności doprowadzajac wyznacznik do jak najprostszej postaci Mamy wiec kolejno wg I kol wg I kol ( Jak widać rachunki nie były przesadnie skomplikowane Jasne jest, że celem tych przekształceń było doprowadzanie do pojawiania si e wielu zer w jednej kolumnie, a nast epnie rozwini ecie wzgl edem tej kolumny, co pozwalało na kolejne zmniejszanie wymiaru wyznacznika Nie b edziemy mnożyć przykładów tego rodzaju, bo każdy sam powinien obliczyć kilka wyznaczników, by dojść do pewnej wprawy w ich przekształcaniu Udowodnimy teraz twierdzenie o podstawowych własnościach wyznaczników Zacznijmy od stwierdzenia, że w przypadku wyznaczników macierzy wymiaru 2 2 wszystkie cz eści twierdzenia można łatwo sprawdzić bezpośrednio z definicji Założymy, że twierdzenie zachodzi dla wszystkich wyznaczników wymiarów mniejszych niż 5 i wykażemy jego prawdziwość dla wyznaczników wymiaru 5 Dowód ogólny różni si e od tego, który podamy za chwil e, tym jedynie, że zamiast liczby 5 pojawić si e musi literka n Obliczany wyznacznik oznaczamy przez D Zaczniemy od wykazania własności 3 Mamy a, a,2 a,3 a,4 a,5 a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 2,5 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 2,5 D a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 3,5 a, a 4, a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 4,5 a a 5, a 5,2 a 5,3 a 5,4 a 5,5 5,2 a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 2, a 2,3 a 2,4 a 2,5 a 2, a 2,2 a 2,4 a 2,5 a 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 3, a 3,2 a 3,4 a 3,5 a,2 a a 4, a 4,3 a 4,4 a 4,5,3 a 4, a 4,2 a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 5, a 5,2 a 5,4 a 5,5 2

13 a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,5 a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,5 a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,4 a,5 a 4, a 4,2 a 4,3 a 4,5 a 4, a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,2 a 5,3 a 5,5 a 5, a 5,2 a 5,3 a 5,4 a, D ; a,2 D ;2 a,3 D ;3 a,4 D ;4 a,5 D ;5 a,4 a, ( a2,2 D,2;,2 a 2,3 D,2;,3 a 2,4 D,2;,4 a 2,5 D,2;,5 a,2 ( a2, D,2;,2 a 2,3 D,2;2,3 a 2,4 D,2;2,4 a 2,5 D,2;2,5 a,3 ( a2, D,2;,3 a 2,2 D,2;2,3 a 2,4 D,2;3,4 a 2,5 D,2;3,5 a,4 ( a2, D,2;,4 a 2,2 D,2;2,4 a 2,3 D,2;3,4 a 2,5 D,2;4,5 ( a, a 2,2 a,2 a 2, D,2;,2 ( a, a 2,3 a,3 a 2, D,2;,3 ( a, a 2,4 a,4 a 2, D,2;,4 ( a, a 2,5 a,5 a 2, D,2;,5 a,5 ( a2, D,2;,5 a 2,2 D,2;2,5 a 2,3 D,2;3,5 a 2,4 D,2;4,5 ( a,2 a 2,3 a,3 a 2,2 D,2;2,3 ( a,2 a 2,4 a,4 a 2,2 D,2;2,4 ( a,2 a 2,5 a,5 a 2,2 D,2;2,5 ( a,3 a 2,4 a,4 a 2,3 D,2;3,4 ( a,3 a 2,5 a,5 a 2,3 D,2;3,5 ( a,4 a 2,5 a,5 a 2,4 D,2;4,5 a, a,2 a 2, a 2,2 D,2;,2 a, a,3 a 2, a 2,3 D a, a,4,2;,3 a 2, a 2,4 D,2;,4 a, a,5 a 2, a 2,5 D,2;,5 a,2 a,3 a 2,2 a 2,3 D a,2 a,4,2;2,3 a 2,2 a 2,4 D,2;2,4 a,2 a,5 a 2,2 a 2,5 D,2;2,5 a,3 a,4 a 2,3 a 2,4 D,2;3,4 a,3 a,5 a,4 a,5 D,2;3,5 a 2,3 a 2,5 a 2,4 a 2,5 D,2;4,5 Zakończyliśmy dowód własności 3 Po zakończeniu dowodu całego twierdzenia to samo rozumowanie zostało zapisane bez dodatkowych oznaczeń Można wi ec sobie obejrzeć jak to wyglada Może wypada dodać, że ten dowód można przeprowadzić nie używajac aż tylu wzorów Jest jasne, że jeśli rozwijamy wyznacznik najpierw według pierwszego wiersza, a potem według drugiego, to w rozwinieciu pojawia sie wszystkie wyznaczniki postaci D,2;i,j, i < j, bo wycinamy z macierzy dwa pierwsze wiersze i jakieś dwie kolumny Należy zobaczyć z jakim współczynnikiem ten wyznacznik si e pojawi Możemy z pierwszego wiersza wybrać i ty wyraz a z drugiego j ty lub odwrotnie W pierwszym przypadku współczynnik jest równy ( i a,i ( j a 2,j ( ij a,i a 2,j, bo wyraz a 2,j to j y wyraz w wyznaczniku powstałym po usuni eciu pierwszego wiersza i i tej kolumny W drugim przypadku współczynnik równy jest ( j a,j ( i ( 2ij a,j a,i Stad wynika, że wyznacznik D,2;i,j pojawia sie ze współczynnikiem ( ij a,i a,j a 2,i a 2,j (2ij a,i a,j a 2,i a 2,j W wykładniku wystepuje wiec suma numerów wszystkich tych wierszy i kolumn, które wycie- liśmy W tym rozumowaniu wymiar macierzy nie odgrywał najmniejszej roli, nawet z punktu widzenia zapisu W ten sposób wykazana została własność trzecia dla wyznaczników macierzy wymiaru 3

14 5 5 Z niej natychmiast wynika, że jeśli zamienimy miejscami wiersz pierwszy i drugi, to cały wyznacznik zmieni znak (bo tak jest w przypadku wyznaczników macierzy 2 2 Jeśli zamienimy miejscami którekolwiek dwa wiersze o numerach wiekszych niż, to zmienia znaki wszystkie wyznaczniki macierzy 4 4, zatem cały wyznacznik zmieni znak Zamiane miejsc wiersza pierwszego i np czwartego zrealizować można jako trzy kolejne zamiany: pierwszy z drugim, drugi z czwartym i wreszcie pierwszy z drugim To oznacza, że w wyniku zamiany miejscami dwóch wierszy wyznacznik zmienia znak Teraz wykażemy, że to samo jest prawda w wyniku zamiany miejscami dwu sasiednich (na razie kolumn Jeśli np zamieniamy miejscami kolumne trzecia i czwarta, to wyrazy a,3 i a,4 wystapi a w rozwinieciu wyznacznika ze zmienionymi znakami, natomiast wyznaczniki przez które mnożymy te wyrazy nie ulegna zmianie Znaki, z którymi wystepuj a a,, a,2 i a,5 nie zmienia sie, ale zmieni sie kolejność kolumn w wyznacznikach, przez które mnożymy te wyrazy, wiec te wyznaczniki (macierzy 4 4 zmienia znak Zamiane miejscami dwu kolumn niesasiednich realizujemy jako wiele zamian kolumn sasiednich, np zamiana drugiej kolumny z piat a to ciag zamian: druga z trzecia, trzecia z czwarta, czwarta z piat a, czwarta z trzecia, trzecia z druga W opisanym przypadku zamienialiśmy kolejne kolumny 5 razy, czyli wyznacznik zmieniał znak 5, wiec go zmienił Bez trudu stwierdzamy, że liczba zamian kolejnych kolumn jest zawsze nieparzysta Wykazana została własność piata Czwarta też bardzo łatwo wynika z prawdziwości twierdzenia dla wyznaczników niższego wymiaru: mnożenie pierwszego wiersza przez liczb e c z definicji wyznacznika powoduje pomnożenie go przez c Pomnożenie innego wiersza powoduje pomnożenie każdego z wyznaczników stopnia 4 wystepuj acych w definicji wyznacznika stopnia 5 przez c, wiec również w tym przypadku wyznacznik zostaje pomnożony przez c Podobnie jest z kolumnami: w każdym iloczynie a,j D ;j mnożony przez c jest dokładnie jeden czynnik, wi ec iloczyn mnożony jest przez c To kończy dowód własności czwartej Rozwijanie wg dowolnego wiersza jest możliwe, bo zamieniamy wiersz pierwszy z tym, wg którego mamy ochote rozwinać wyznacznik, nastepnie rozwijamy wg pierwszego wiersza, nastepnie w wyznacznikach stopnia cztery zamieniamy pierwszy wiersz z tym, w którym znalazły si e wyrazy a,, a,2, Wykażemy, że wyznaczniki można rozwijać wzgl edem kolumn Ponieważ już wiemy, że można przestawiajac kolumny zmieniamy jedynie znak wyznacznika, wiec wystarczy wykazać, że można wyznacznik rozwinać wzgledem pierwszej kolumny Należy udowodnić, że wyznacznik D jest równy a, D ; a 2, D 2; a 3, D 3; a 4, D 4; a 5, D 5; Rozwijamy każdy z wyznaczników D i;, i 2, 3, 4, 5, wzgl edem pierwszego wiersza W wyniku tego pojawiaja sie wyznaczniki D,i;;j Współczynnik przy wyznaczniku D,i;;j to: ( i a i, ( j a,j ( ij a i, a,j wyraz a,j znajduje sie w j kolumnie wyznacznika D i, Teraz rozwijamy wyznacznik D wzgl edem pierwszego wiersza: D a, D ; a,2 D ;2 a,3 D ;3 a,4 D ;4 a,5 D ;5 Teraz rozwijamy każdy z wyznaczników D ;j, j 2, 3, 4, 5, wzgl edem jego pierwszej kolumny W rozwini eciu pojawi si e wyznacznik D,i;,j ze współczynnikiem 4

15 ( j a,j ( i a i, ( ij a,j a i,, czyli z takim samym jak poprzednio Wynika z tego, że a, D ; a 2, D 2; a 3, D 3; a 4, D 4; a 5, D 5; a to kończy dowód tej cz eści twierdzenia a, D ; a,2 D ;2 a,3 D ;3 a,4 D ;4 a,5 D ;5 D, To, że dwa wyznaczniki, w których wszystkie wiersze z wyjatkiem i tego sa identyczne można dodawać dodajac i te wiersze (własność 7 wynika od razu z tego, że można rozwinać wyznacznik wzgledem dowolnego, np i tego wiersza Stad i z tego, że wyznacznik, w którym dwa wiersze sie pokrywaja jest równy 0 oraz z tego, że mnożenie wiersza przez liczbe c jest równoważne mnożeniu wyznacznika przez c, wynika, że dodanie do i tego wiersza wiersza j tego pomnożonego przez c nie zmienia wyznacznika: do danego wyznacznika dodajemy wyznacznik różniacy sie od danego tylko tym, że w miejscu i tego wiersza pojawia sie j ty pomnożony przez c, czyli dodajemy 0 W ten sposób zakończyliśmy dowód twierdzenia Na deser pokazujemy jak wyglada uzasadnienie własności trzeciej bez wprowadzania dodatkowych oznaczeń, ale to tylko ciekawostka, a nie zacheta (wrecz próba zniechecenia do dowodzenia w ten sposób a, a,2 a,3 a,4 a,5 a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 2,5 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 2,5 D a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 3,5 a, a 4, a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 4,5 a a 5, a 5,2 a 5,3 a 5,4 a 5,5 5,2 a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 2, a 2,3 a 2,4 a 2,5 a 2, a 2,2 a 2,4 a 2,5 a 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 3, a 3,2 a 3,4 a 3,5 a,2 a a 4, a 4,3 a 4,4 a 4,5,3 a 4, a 4,2 a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 5, a 5,2 a 5,4 a 5,5 a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,5 a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,5 a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,4 a,4 a,5 a 4, a 4,2 a 4,3 a 4,5 a 4, a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,2 a 5,3 a 5,5 a 5, a 5,2 a 5,3 a 5,4 a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 3,2 a 3,4 a 3,5 a 3,2 a 3,3 a 3,5 a, (a 2,2 a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 2,3 a 4,2 a 4,4 a 4,5 a 2,4 a 4,2 a 4,3 a 4,5 a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 5,2 a 5,4 a 5,5 a 5,2 a 5,3 a 5,5 a 3,2 a 3,3 a 3,4 ( a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 3, a 3,4 a 3,5 a 2,5 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a,2 a 2, a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 2,3 a 4, a 4,4 a 4,5 a 5,2 a 5,3 a 5,4 a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 5, a 5,4 a 5,5 a 3, a 3,3 a 3,5 a 3, a 3,3 a 3,4 ( a 3,2 a 3,4 a 3,5 a 2,4 a 4, a 4,3 a 4,5 a 2,5 a 4, a 4,3 a 4,4 a,3 a 2, a 4,2 a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,2 a 5,4 a 5,5 a 3, a 3,4 a 3,5 a 3, a 3,2 a 3,5 a 3, a 3,2 a 3,4 a 2,2 a 4, a 4,4 a 4,5 a 2,4 a 4, a 4,2 a 4,5 a 2,5 a 4, a 4,2 a 4,4 a 5, a 5,4 a 5,5 a 5, a 5,2 a 5,5 a 5, a 5,2 a 5,4 5

16 a,4 (a 2, a 3,2 a 3,3 a 3,5 a 4,2 a 4,3 a 4,5 a 5,2 a 5,3 a 5,5 a 2,2 a 3, a 3,3 a 3,5 a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,5 a 4, a 4,2 a 4,5 a 5, a 5,2 a 5,5 a 2,5 a 3, a 3,2 a 3,3 a 4, a 4,2 a 4,3 a 5, a 5,2 a 5,3 a,5 ( a 2, a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 5,2 a 5,3 a 5,4 a 2,2 a 3, a 3,3 a 3,4 a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,3 a 5,4 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,4 a 4, a 4,2 a 4,4 a 5, a 5,2 a 5,4 a 2,4 a 3, a 3,2 a 3,3 a 4, a 4,2 a 4,3 a 5, a 5,2 a 5,3 (a, a 2,2 a,2 a 2, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 5,3 a 5,4 a 5,5 (a, a 2,3 a,3 a 2, a 3,2 a 3,4 a 3,5 a 4,2 a 4,4 a 4,5 a 5,2 a 5,4 a 5,5 (a, a 2,4 a,4 a 2, a 3,2 a 3,3 a 3,5 a 4,2 a 4,3 a 4,5 a 5,2 a 5,3 a 5,5 (a, a 2,5 a,5 a 2, a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 5,2 a 5,3 a 5,4 (a,2 a 2,3 a,3 a 2,2 a 3, a 3,4 a 3,5 a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,4 a 5,5 (a,2 a 2,4 a,4 a 2,2 a 3, a 3,3 a 3,5 a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 (a,2 a 2,5 a,5 a 2,2 a 3, a 3,3 a 3,4 a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,3 a 5,4 (a,3 a 2,4 a,4 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,5 a 4, a 4,2 a 4,5 a 5, a 5,2 a 5,5 (a,3 a 2,5 a,5 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,4 a 4, a 4,2 a 4,4 a 5, a 5,2 a 5,4 (a,4 a 2,5 a,5 a 2,4 a 3, a 3,2 a 3,3 a 4, a 4,2 a 4,3 a 5, a 5,2 a 5,3 a, a,2 a 2, a 2,2 a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 5,3 a 5,4 a 5,5 a, a,3 a 2, a 2,3 a 3,2 a 3,4 a 3,5 a 4,2 a 4,4 a 4,5 a 5,2 a 5,4 a 5,5 a, a,4 a 2, a 2,4 a 3,2 a 3,3 a 3,5 a 4,2 a 4,3 a 4,5 a 5,2 a 5,3 a 5,5 a, a,5 a 2, a 2,5 a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 5,2 a 5,3 a 5,4 a,2 a,3 a 2,2 a 2,3 a 3, a 3,4 a 3,5 a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,4 a 5,5 a,2 a,4 a 2,2 a 2,4 a 3, a 3,3 a 3,5 a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 a,2 a,5 a 2,2 a 2,5 a 3, a 3,3 a 3,4 a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,3 a 5,4 a,3 a,4 a 2,3 a 2,4 a 3, a 3,2 a 3,5 a 4, a 4,2 a 4,5 a 5, a 5,2 a 5,5 a,3 a,5 a 2,3 a 2,5 a 3, a 3,2 a 3,4 a 4, a 4,2 a 4,4 a 5, a 5,2 a 5,4 a,4 a,5 a 2,4 a 2,5 a 3, a 3,2 a 3,3 a 4, a 4,2 a 4,3 a 5, a 5,2 a 5,3 Z udowodnionego twierdzenia wynika od razu, że jeśli w macierzy zast apimy wiersze jej kolumnani (z zachowaniem kolejności, to wyznacznik nie ulegnie zmianie: 6

17 a, a,2 a,3 a,n a, a 2, a 3, a n, a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,n a,2 a 2,2 a 3,2 a n,2 a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,n a,3 a 2,3 a 3,3 a n,3 a n, a n,2 a n,3 a n,n a,n a 2,n a 3,n a n,n wynika to z tego, że wyznacznik można rozwijać wzgledem wierszy lub kolumn Macierz otrzymana z danej macierzy A przez opisana zamiane wierszy i kolumn nazywamy macierza transponowana i oznaczamy przez A T, operacja ta stosowana jest nie tylko do macierzy kwadratowych, np (( T Ostatnio wymieniona własność wyznaczników można wiec zapisać tak: det(a det(a T dla każdej macierzy kwadratowej A Twierdzenie 84 Cramera Układ n równań liniowych z n niewiadomymi ma dokładnie jedno rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego układu jest różny od 0 Dowód Rozważamy układ równań a, x a,2 x 2 a,3 x 3 a,n x n c ; a 2, x a 2,2 x 2 a 2,3 x 3 a 2,n x n c 2 ; a 3, x a 3,2 x 2 a 3,3 x 3 a 3,n x n c 3 ; a n, x a n,2 x 2 a n,3 x 3 a n,n x n c n Przekształcamy go stosujac opisane wcześniej operacje na wierszach: zamieniamy miejscami wiersze, mnożymy wiersz przez liczbe c 0, dodajemy jeden wiersz do drugiego Po pierwszej z tych operacji wyznacznik a, a,2 a,3 a,n a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,n a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,n a n, a n,2 a n,3 a n,n zmienia znak, po drugiej jest pomnożony przez c, po trzeciej nie ulega zmianie Po pewnym czasie macierz zostanie sprowadzona do postaci schodkowej Wyznacznik tej ostatniej macierzy jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik wyjściowej macierzy jest równy 0 Warto zauważyć, że α, α,2 α,3 α,n 0 α 2,2 α 2,3 α 2,n 0 0 α 3,3 α 3,n α, α 2,2 α 3,3 α n,n α n,n wynik otrzymujemy rozwijajac wyznacznik wzgledem pierwszej kolumny 7

18 α, α,2 α,3 α,n α 2,2 α 2,3 α 2,n 0 α 2,2 α 2,3 α 2,n 0 α 0 0 α 3,3 α 3,n α, 3,3 α 3,n, α n,n 0 0 α n,n nastepnie powtarzamy te operacje na wyznaczniku niższego stopnia Jeśli na przekatnej otrzymanej macierzy schodkowej nie ma zer, to wyznacznik układu też jest różny od 0 Układ ma wtedy dokładnie jedno rozwiazanie, bo ostatnie równanie wyznacza x n, przedostanie x n itd Jeśli natomiast pojawi sie co najmniej jedno 0, to wyznacznik układu jest równy 0 Jeśli ostatni niezerowy wiersz ma postać 0, 0,, 0, d l przy czym d l 0, to układ jest sprzeczny Jeśli natomiast wyglada on tak 0, 0,, 0, ã l,j,, d l przy czym ã l,j 0, to można potraktować niewiadome x j, x j2,, x n jako parametry, tzn podstawić w ich miejsce dowolne liczby ( i nastepnie obliczyć wartość x j z wzoru x j dl a l,j a l,j x j a l,j2 x j2 a l,n x n Potem można zajać sie znalezieniem x j Jeśli A l,j 0, to można wartość niewiadomej x j wyznaczyć z l ego równania Jeśli a l,j0, to traktujemy x j jako nastepny parametr W tej sytuacji znajdujemy x j2 chyba, że a l2,j2 0 W tym przypadku zaczynamy zajmować sie x j2 itd Widać wiec, że w tej sytuacji układ równań ma nieskończenie wiele rozwiazań Definicja 85 (rz edu macierzy Rzedem macierzy prostokatnej nazywamy najwiekszy ze stopni wyznaczników różnych od 0 Z tej definicji wynika, że rzad nie może przekroczyć ani liczby wierszy macierzy, ani też liczby jej kolumn Poprawiajac nieco dowód twierdzenia Cramera można udowodnić nastepuj ace Twierdzenie 86 Kroneckera Capelli Rzedy macierzy układu równań i macierzy rozszerzonej tego układu sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy układ ma co najmniej jedno rozwiazanie: jedno, jeśli rzedy sa równe liczbie niewiadomych, nieskończenie wiele rozwiazań, jeśli rzedy sa mniejsze od liczby niewiadomych Dowodu tego twierdzenia nie podajemy, zreszta formułujemy je tylko po to, by poinformować studentów, że można je sformułować Student chemii nie mosi go pamietać Twierdzenie 87 wzory Cramera Jeśli a, a,2 a,3 a,n a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,n a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,n 0, a n, a n,2 a n,3 a n,n to jedynym rozwiazaniem układu a, x a,2 x 2 a,3 x 3 a,n x n c ; a 2, x a 2,2 x 2 a 2,3 x 3 a 2,n x n c 2 ; a 3, x a 3,2 x 2 a 3,3 x 3 a 3,n x n c 3 ; a n, x a n,2 x 2 a n,3 x 3 a n,n x n c n 8

19 jest punkt (x, x 2, x 3,, x n zdefiniowany za pomoc a równości: x c a,2 a,3 a,n c 2 a 2,2 a 2,3 a 2,n c 3 a 3,2 a 3,3 a 3,n c n a n,2 a n,3 a n,n a, a,2 a,3 a,n a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,n a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,n a n, a n,2 a n,3 a n,n, x 2 a, c a,3 a,n a 2, c 2 a 2,3 a 2,n a 3, c 3 a 3,3 a 3,n a n, c n a n,3 a n,n a, a,2 a,3 a,n a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,n a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,n a n, a n,2 a n,3 a n,n, x 3 a, a,2 c a,n a 2, a 2,2 c 2 a 2,n a 3, a 3,2 c 3 a 3,n a n, a n,2 c n a n,n a, a,2 a,3 a,n a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,n a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,n a n, a n,2 a n,3 a n,n,, x n a, a,2 a,3 c a 2, a 2,2 a 2,3 c 2 a 3, a 3,2 a 3,3 c 3 a n, a n,2 a n,3 c n a, a,2 a,3 a,n a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,n a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,n a n, a n,2 a n,3 a n,n Dowód Z twierdzenia Cramera udowodnionego powyżej wynika, że układ ma dokładnie jedno rozwi azanie Wystarczy sprawdzić, że można je wyrazić za pomoc a wzorów Cramera Zrobimy to w przypadku n 3 Ogólny od tego nie różni si e niczym istotnym Wykażemy, że a, x a,2 x 2 a,3 x 3 c Obliczamy: a, c a,2 a,3 c 2 a 2,2 a 2,3 c 3 a 3,2 a 3,3 a,2 a, c a,3 a 2, c 2 a 2,3 a 3, c 3 a 3,3 a,3 a, a,2 c a 2, a 2,2 c 2 a 3, a 3,2 c 3 a, c a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3 a,c 2 a,2 a,3 a 3,2 a 3,3 a,c 3 a,2 a,3 a 2,2 a 2,3 a,2 c a 2, a 2,3 a 3, a 3,3 a,2c 2 a, a,3 a 3, a 3,3 a,2c 3 a, a,3 a 2, a 2,3 a,3 c a 2, a 2,2 a 3, a 3,2 a,3c 2 a, a,2 a 3, a 3,2 a,3c 3 a, a,2 a 2, a 2,2 c a, a,2 a,3 a 2, a 2,2 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,3 c 2 a, a,2 a,3 a, a,2 a,3 a 3, a 3,2 a 3,3 c 3 a, a,2 a,3 a 2, a 2,2 a 2,3 a, a,2 a,3 c a, a,2 a,3 a 2, a 2,2 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,3 9

20 W ten sposób zakończyliśmy dowód równości a, x a,2 x 2 a,3 x 3 c, nie przepisywaliśmy mianownika, wi ec pojawił si e on na końcu wraz z c W taki sam sposób można wykazać, że zachodza równości a 2, x a 2,2 x 2 a 2,3 x 3 c 2 oraz a 3, x a 3,2 x 2 a 3,3 x 3 c 3 Wzorów Cramera na ogół sie nie stosuje, bo obliczanie wyznaczników jest kłopotliwe, a jeśli już mamy przeprowadzać operacje na wierszach, to lepiej od razu zajać sie macierza rozszerzona Komputery pomagaja oczywiście troche, ale gdy liczba równań jest duża, to i tak, nawet przy użycia komputera, nie oblicza sie wyznaczników, lecz raczej eliminuje sie niewiadome metoda Gaussa Tym nie mniej można też napisać jawny wzór na macierz A odwrotna do macierzy A ( a i,j, czyli tak a, że A A I A A Zachodzi wzór Cramera: ( D ; ( 2 D ;2 ( 3 D ;3 ( n T D ;n A ( 2 D 2; ( 22 D 2;2 ( 23 D 2;3 ( 2n D 2;n det A ( 3 D 3; ( 32 D 3;2 ( 33 D 3;3 ( 3n D 3;n ( n D n; ( n2 D n;2 ( n3 D n;3 ( nn D n;n Sprawdzenie poprawności tego wzoru to w zasadzie powtórzenie dowodu poprawności wzoru na rozwiazania układu n równań liniowych z n niewiadomymi Wzór ten w przypadku macierzy niewielkiego rozmiaru może być z powodzeniem używany, jednak w przypadku macierzy dużego wymiaru nie warto go używać, bo liczba obliczeń wzrasta z wymiarem macierzy bardzo szybko Znów, podobnie jak poprzednio, można stosować operacje na wierszach Pokażemy jak to wyglada w przypadku macierzy, której odwrotna już raz znaleźliśmy Rozważaliśmy wcześniej układ równań liniowych, którego macierz rozszerzona wygladała tak: Stosowaliśmy eliminacje Gaussa Prowadzi to do znalezienia macierzy odwrotnej macierzy , 3 co teraz jest naszym najbliższym celem Bedziemy przeprowadzać te same operacje co poprzednio, na macierzy Przypomnijmy, że każda z trzech operacji przeprowadzanych na wierszach możemy traktować jako wynik mnożenia odpowiednio dobranej macierzy przez dana macierzy Macierz M, która zamierzamy przekształcać, to dwie macierze napisane obok siebie: macierz A, a tuż za nia macierz I, można ja oznaczyć przez (A I to nie iloczyn! Dodajac np wiersz drugi do wiersza trzeciego mnożymy macierz M przez macierz 20

21 B 0 0, ale to oznacza, że obliczmy dwa iloczyny: B A i B I Nastepne operacje można interpretować w taki sam sposób Oznacza, że jeśli po pewnej liczbie tych operacji dojdziemy do macierzy postaci (I C (to nie iloczyn!, to macierz C bedzie macierza odwrotna do A jako iloczyn macierzy, który pomnożony przez A daje I Przystepujemy do przekształcania: przestawiliśmy wiersze, odj eliśmy pierwszy wiersz pomnożony przez 2 od trzeciego i pomnożony przez 3 od czwartego; dodaliśmy drugi wiersz pomnożony przez 3 do trzeciego i pomnożony przez 2 od czwartego; odjeliśmy trzeci wiersz pomnożony przez 2 od 3 czwartego Do tej pory stosowaliśmy jedynie takie operacje na wierszach, które zachowywały wartości bezwzgledn a wyznacznika lewej macierzy kwadratowej, znak zmienił sie raz, gdy przestawiliśmy wiersze Teraz bedzie inaczej pomnożyliśmy trzeci wiersz przez 3, czwarty przez ; odjeliśmy czwarty wiersz od pierwsze go, pomnożony przez 3 od drugiego, pomnożony przez 8 od trzeciego; 9 2

22 dodaliśmy trzeci wiersz do pierwszego, odj eliśmy trzeci pomnożony przez 2 od drugiego; dodaliśmy trzeci wiersz do pierwszego, odj eliśmy trzeci pomnożony przez 2 od drugiego Po tych przekształceniach możemy napisać: Jak widać odwracanie macierzy wymaga troche pracy, ale żadnych trudności tu nie ma Jeśli macierz odwrotnej nie ma, to oczywiście w trakcie operacji na wierszach w pewnym momencie natkniemy sie na zbyt duży uskok, co oznacza, że na głównej przekatnej lewej macierzy pojawia sie zera i już na niej pozostana, co uniemożliwi kontynuacje konstrukcji macierzy odwrotnej W terminach wyznaczników: w tym momencie stwierdzimy, że wyznacznik lewej macierzy jest równy 0 Twierdzenie 88 (Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu macierzy Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego wymiaru A i B jest równy iloczynowi ich wyznaczników: det(a B det(a det(b Dowód Przypomnijmy, że α, α,2 α,3 α,n 0 α 2,2 α 2,3 α 2,n 0 0 α 3,3 α 3,n α, α 2,2 α 3,3 α n,n α n,n Bez trudu można sprawdzić, że w iloczynie α, α,2 α,3 α,n β, β,2 β,3 β,n 0 α 2,2 α 2,3 α 2,n 0 β 2,2 β 2,3 β 2,n 0 0 α 3,3 α 3,n 0 0 β 3,3 β 3,n α n,n β n,n pod główna przekatn a sa same zera a na głównej przekatnej pojawiaja sie kolejno liczby α, β,, α 2,2 β 2,2,,α n,n β n,n Stad i z równości (α, β, (α 2,2 β 2,2 (α n,n β n,n (α, α 2,2 α n,n (β, β 2,2 β n,n, 22

23 wynika, że twierdzenie jest prawdziwe, gdy obie macierze sa trójkatne, tzn sa postaci α, α,2 α,3 α,n 0 α 2,2 α 2,3 α 2,n 0 0 α 3,3 α 3,n α n,n Z tego, co udowodniliśmy do tej pory wynika, że jeśli w macierzy kwadratowej B zastapimy i ty wiersz przez sume tego wiersza i wiersza j tego pomnożonego przez liczbe c, to wyznacznik nie ulegnie zmianie Ta operacja może być opisana jako mnożenie C i,j (c B, gdzie C i,j (c oznacza macierz, na której głównej przekatnej sa jedynki, poza ta przekatn a zera z wyjatkiem przeciecia i-tego wiersza z j ta kolumna, gdzie znajduje sie liczba c Poniżej przykład dla n C 2,4 ( Bez trudu można sprawdzić, że C 2,4 ( C 2,4( Łatwo można zauważyć, że iloczyn A C i,j (c jest macierza, której wszystkie kolumny z wyjatkiem j tej sa takie same jak kolumny macierzy A, j ta kolumna iloczynu A C i,j (c jest suma j tej kolumny macierzy A oraz i tej pomnożonej przez c Wynika stąd równość det ( A C i,j (c det(a Mnożenie macierzy jest łaczne, wiec AB (A C i,j (c (C i,j (c B i wobec tego det(a B det ( (A C i,j (c (C i,j (c B Aby udowodnić, że det(ab det(a det(b, wystarczy wi ec dowieść, że det ( (A C i,j (c (C i,j (c B det ( A C i,j (c det ( C i,j (c B, czyli udowodnić twierdzenie dla macierzy A C i,j (c i C i,j (c B wcześniej wykazaliśmy, że det(c i,j (c B det(b i det(a C i,j (c det(a Zamiana i tego wiersza z j tym to mnożenie przez macierz P i,j, której wszystkie wiersze z wyjatkiem i tego i j tego sa takie same, jak w macierzy jednostkowej, zaś w i tym wierszu jedynka jest na miejscu j tym, a w wierszu j tym na miejscu i tym Np dla n 4 mamy P, , P , Z łatwościa przekonujemy sie, że P i,j P i, j (dwukrotna zamiana i-tego i j tego wiersza niczego nie zmienia Mamy det(p i,j B det(b, det(a P i,j det(a ostatnia równość wynika z tego, że macierz A P i,j różni si e od macierzy A tylko tym, że zamienione zostały kolumny o numerach i, j, co jak wiemy powoduje jedynie zmian e znaku wyznacznika Aby uzyskać twierdzenie dla macierzy A, B, wystarczy je dowieść dla macierzy A P i,j, P i,j B 23

24 Stosujac opisane operacje wielokrotnie sprowadzamy dowód twierdzenia do przypadku à B, gdzie macierz B jest trójkatna (czyli ma pod przekatn a same zera Nastepnie mnożymy macierz à z lewej strony przez macierze typu C i,j(c oraz macierze typu P i,j Zachodzi równość det ( C i,j (c (à B det(ã B operacja na wierszach macierzy à B, wi ec dzi eki łaczności mnożenia macierzy: det(ã B det ( C i,j (c (à B det ( (C i,j (c à B Wzór det(c i,j (c à det(ã pozwala zast apić macierze Ã, B macierzami Ci,j (c Ã, B Podobnie jest z mnożeniem przez P i,j, które powoduje zmiane znaków obu wyznaczników: det(ã i det(ã B Możemy wiec po pewnym czasie doprowadzić również macierz à do postaci trójkatnej Dowód został zakończony Wniosek 89 (o wyznaczniku macierzy odwrotnej Jeśli macierz A ma odwrotna (czyli, gdy det(a 0, to det(a det(a Twierdzenie 80 (Obj etość równoległościanu rozpi etego przez wektory u, v, w R 3 Niech u (u, u 2, u 3, v (v, v 2, v 3, w (w, w 2, w 3 Wtedy obj etość równoległościanu rozpietego przez wektory u, v, w (zaczepione w punkcie 0 równa jest u u 2 u 3 ( u v w v v 2 v 3, w w 2 w 3 a jej kwadrat równy jest u u u v u w v u v v v w w u w v w w Dowód Obj etość równoległościanu równa jest iloczynowi pola podstawy przez jego wysokość Niech podstawa bedzie równoległobok rozpiety przez wektory u i v Pole tego równoległoboku to u v Trzeba wiec znaleźć wysokość Wektor u v jest prostopadły do każdego z wektorów u, v, wi ec wysokość jest odcinkien równoległym do wektora u v Innymi słowy należy zrzutować prostopadle wektor w na prosta wyznaczona przez wektor u v Ten rzut to wektor w ( u v u v Jego długość, czyli wysokość równoległościanu, to u v w ( u v 2 u v Wobec tego objetość równa jest u v w ( u v u v w ( u v, u u 2 u 3 co mieliśmy udowodnić Równość ( u v w v v 2 v 3 wykazujemy bez trudu rozwijajac w w 2 w 3 wyznacznik wzgledem trzeciego wiersza (po przypomnieniu sobie definicji iloczynu wektorowego Wreszcie 2 u u 2 u 3 u u 2 u 3 u u 2 u 3 v v 2 v 3 v v 2 v 3 v v 2 v 3 w w 2 w 3 w w 2 w 3 w w 2 w 3 u u 2 u 3 u v w u u u v u w v v 2 v 3 u 2 v 2 w 2 v u v v v w w w 2 w 3 u 3 v 3 w 3 w u w v w w 24

25 Wniosek 8 Trzy wektory u, v, w R 3, zaczepione w punkcie 0 (0, 0, 0 leża w jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy u u 2 u 3 u u u v u w v v 2 v 3 0 v u v v v w 0 w w 2 w 3 w u w v w w Definicja 82 (trójki wektorów dodatnio zorientowanej Trzy wektory u, v w R 3 nieleżace w jednej płaszczyźnie tworza układ dodatnio zorientowany w przestrzeni trójwymiarowej wtedy i tylko wtedy, gdy u u 2 u 3 v v 2 v 3 > 0 w w 2 w 3 Z definicji wynika natychmiast, że jeśli trójka ( u, v, w jest układem dodatnio zorientowanym, to trójka ( v, u, w układem dodatnio zorientowanym nie jest zmiana kolejności wierszy powoduje zmian e znaku wyznacznika Można i należy sobie wyobrażać, że układ trzech wzajemnie prostopadłych wektorów jest dodatnio zorientowany, gdy można ten układ obrócić (kilka razy wokół prostych przechodzacych przez 0 tak, by po obrotach wektory u i i (, 0, 0 były zgodnie równoległe (czyli równoległe i skierowany w te sama strone, podobnie wektor v i j (0,, 0 oraz wektory w i k (0, 0, Temu stwierdzeniu można nadać bardzo precyzyjne znaczenie i wtedy je udowodnić Można zreszta to stwierdzenie uogólnić na trójki wektorów niekoniecznie wzajemnie prostopadłych Warto w tym miejscu dodać, że iloczyn wektorowy wektorów u, v R 3 może być zdefiniowany geometrycznie jako wektor, który jest prostopadły do obu wektorów u, v, ma długość równa polu równoległoboku rozpietego przez te wektory, i taki, że trójka u, v, u v jest dodatnio zorientowana W matematyce od wielu lat jednym z kluczowych poj eć jest poj ecie funkcji Załóżmy, że dana jest funkcja przekształcajaca płaszczyzne R 2 lub przestrzeń R 3 w siebie i to taka, że odległość x y obrazów x, y punktów x, y jest równa odlegości x y punktów x, y Załóżmy dodatkowo, że punkt 0 jest przekształcany na siebie (nie rusza si e, czyli 0 0 Przekonamy się, że w tej sytuacji istnieje taka macierz kwadratowa A, że dla każdego x R n, n 2, 3 6 zachodzi równość x A x (tu wektory sa traktowane jako macierze o jednej kolumnie i n wierszach Wykażemy, że wtedy A jest taka macierza, że A A T I i odwrotnie: jeśli A A T I, to Ax Ay x y dla dowolnych x, y R n 7 Przejdziemy do dowodu Mamy x 2 x 0 2 x 0 2 x 0 2 x 2 dla dowolnego x R n, w tym y 2 y 2 Mamy też xy 2 (xy (xy x x2x yy y x 2 2x y y 2 i analogicznie x y 2 x 2 2x y y 2, a ponieważ x y x y, wi ec dla dowolnych x, y zachodzi równość x y x y Mamy wi ec (x y (x y 2 (x y 2 2(x y (x y (x y (x y (x y 2 2(x y x 2(x y y x x 2x y y y 6 n może być dowolne; mówimy o 2 i 3, by w razie potrzeby łatwiej można było sobie coś narysować 7 Tzn że przyporzadkowanie punktowi x punktu x Ax jest izometria 25

26 (x y 2 2(x y x 2(x y y x x 2x y y y (x y 2 2(x y (x y (x y (x y ( (x y (x y ((x y (x y 0 Stad wynika, że (x y x y dla dowolnych x, y Analogicznie dowodzimy, że (tx tx dla dowolnej liczby t i dowolnego punktu x Niech e j oznacza wektor, którego wszystkie współrzedne sa równe 0 z wyjatkiem j tej, która jest równa Niech a i,j oznacza i ta współrzedn a wektora e j W kolumnach macierzy (a i,j znajduja sie wektory e, e 2, Mamy x x e x 2 e 2 x n e n Wobec tego x ( x e x 2 e 2 x n e n x e x 2 e 2 x n e n A x Mamy również e j e j e j e j oraz e i e j e i e j 0 dla i j Te równości oznaczaja, że A A T I Udowodniliśmy wiec obiecane twierdzenie Dla przykładu opiszemy macierz obrotu o kat α wokół punktu 0 (0, 0 Z definicji funkcji sinus i kosinus wynika, że w wyniku obrotu punkt (, 0 przechodzi na punkt (cos α, sin α, zaś punkt (0, ( cos π, sin ( π 2 2 przechodzi na punkt cos(α π, sin(α π ( sin α, cos α 2 2 Wynika stad, że w obrocie o kat α wokół punktu 0 (0, 0 punkt ( x y przechodzi na punkt ( ( x (x ( cos α sin α x cos α y sin α y sin α cos α y x sin α y cos α Teraz znajdziemy analityczny opis symetrii wzgl edem prostej y 2x Niech (u, v oznacza punkt symetryczny do punktu (, 0 wzgledem prostej y 2x Środek odcinka o końcach (, 0 i (u, v, czyli punkt ( u, v0 2 2 leży na prostej y 2x, zatem v0 2 u, czyli v 2u Wektor (u, v 0 jest prostopadły do wektora ( 0, 2 0 Wobec tego zachodzi równość 0 (u, v (, 2 u 2v Musza wiec być spełnione równania: 2u v 2, u 2v Stad u 3 0,6 i v 4 0,8 Analogicznie, jeśli obrazem punktu (0, w tej symetrii 5 5 jest punkt (r, s, to 2 r0 s oraz 0 (r 0, s (, 2, zatem 2 2 2r s, r 2s 2 Wynika stad, że r 4 0, 8 i s 3 0,6 St ad 5 5 wnioskujemy, że obrazem punktu ( x y w symetrii wzgledem prostej y 2x jest punkt ( ( x (x ( 0,6 0,8 0,6x 0,8y y 0,8 0, 6 y 0,8x 0,6y Widać, że stosunkowo tanim kosztem uzyskujemy wzory na obrazy punktu w przekształceniach izometrycznych Oczywiście nie dla każdej macierzy przekształcenie, które punktowi x przypisuje punkt x Ax jest izometria, na ogół nie jest Tym nie mniej takie przekształcenia z wielu przyczyn sa bardzo interesujace Nazywane sa liniowymi 8 Omówimy jeszcze jeden przykład Zanim jednak to nastapi wprowadzimy definicje bardzo ważnego pojecia 8 O przekształceniach linowych jeszcze coś opowiemy Te, o których teraz mówimy to tylko przykład, poj ecie jest istotnie szersze! 26