Przykład Zbiór {0, 2} jest podgrup grupy Z 4, bo elementem odwrotnym do liczby 2 jest ta sama liczba ((2 + 2)mod4 = 0).

Podobne dokumenty
Wykład 11. a, b G a b = b a,

Równoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

Parametryzacja rozwiązań układu równań

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Nieklasyczne modele kolorowania grafów

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Podstawy matematyki nansowej

ZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

Metoda najszybszego spadku

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

I kolokwium z Analizy Matematycznej

III. LICZBY ZESPOLONE

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Funkcje tworz ce - du»y skrypt

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Podstawowe struktury algebraiczne

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Ciągi liczbowe wykład 3

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

Tw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.

Definicja interpolacji

MATHCAD Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

Rozmieszczenie liczb pierwszych

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe

I. Podzielność liczb całkowitych

Analiza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych

ROZPORZ DZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

RAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)

Twierdzenia graniczne:

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

3. Funkcje elementarne

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Ekstremalna teoria grafów Filip Lurka V Liceum ogólnoksztaªc ce w Krakowie

KOMBINATORYKA 1 Struktury kombinatoryczne

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

A.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n )

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Fraktale - ciąg g dalszy

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)

Informatyka 1. Wykład nr 2 ( ) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc

Transkrypt:

Uzuełieia do rozdz. I Zbiór izometrii rzekształcajcych day rostokt ABCD, który ie jest kwadratem a siebie z działaiem składaia rzekształce jest gru abelow. Zbiór rozatrywaych izometrii składa si z elemetów: O 0, O to obroty o kty 0, π odowiedio oraz S a, S b to symetrie wzgldem symetralych oszczególych ar boków. Złoeie izometrii jest izometri, składaie rzekształce jest te łcze. Działaie w tej gruie moa oisa tabelk O 0 O S a S b O 0 O 0 O S a S b O O O 0 S b S a S a S a S b O 0 O S b S b S a O O 0 Przyjmujemy ierwsze argumety Elemetem eutralym jest O 0. Elemetem rzeciwym do dowolego elemetu jest te sam elemet. Jest to grua abelowa bo owysza tabelka jest symetrycza. Zbiór {0, } jest odgru gruy Z, bo elemetem odwrotym do liczby jest ta sama liczba (( + )mod 0). Uwaga. Twierdzeie odwrote do twierdzeia Lagrage a ie jest rawdziwe (istiej gruy dla których ie istieje odgrua rzdu k, chocia k jest dzielikiem rzdu takiej gruy). Sosób składaia ermutacji.,. Pod ierwsz (tz. wykoywaej jako ierwsza) ermutacj umieszczamy doly wiersz drugiej ermutacji.

Wtedy, Góry wiersz strzałek jest graficzym obrazem ierwszej ermutacji. Strzałki w drugim wierszu rowadz od kolejych wartoci ierwszej ermutacji do elemetów w ajiszym wierszu zajdujcych si a ozycji wskazaej rzez liczb a ocztku strzałki. Nastie rozatrujemy złoeie strzałek. Sosób odwracaia ermutacji. Aby wyzaczy elemet odwroty do ermutacji zaisujemy jej wiersze w odwrotej kolejoci i orzdkujemy kolumy wg ierwszego wiersza, zatem. Srawdzeie: e

e Uwaga. Aby odwróci cykl wystarczy zaisa go w odwrotej kolejoci. Graficzy obraz ermutacji. Kadej ermutacji moa jedozaczie rzyorzdkowa graf,. ermutacji odowiada graf. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Sosób rozkładaia ermutacji a cykle rozłcze. Aby rozłoy ermutacj a rozłcze cykle, bierzemy jako ocztek ierwszego cyklu ajmiejsza liczb, która ie rzechodzi a siebie, asty elemet cyklu to liczba a któr rzechodzi ta liczba, itd. a wrócimy do ocztkowej liczby w cyklu. Koleje cykle wyzaczamy odobie, a uwzgldimy wszystkie liczby, które ie rzechodz a siebie. Zatem:

( )( ) ( )( ) Poiewa składaie cykli rozłczych jest rzemiee obydwa rozkłady a cykle s sobie rówe. Liczba ie wystuje w tych cyklach bo ermutacja j zachowuje. Rozkład a owysze cykle dobrze wida a grafie tej ermutacji [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Sosób otgowaia cykli. Niech day bdzie cykl długoci k: (,,..., k ). Wtedy jest rówe czyli k k k (doly wiersz rzesuwa si w lewo o jeda ozycj a ierwsza liczba rzechodzi a ostatie miejsce). Koleje otgi otrzymujemy dokoujc kolejych rzesui dolego wiersza. Wiosek: k e. Uwaga. Potga cyklu ie musi by cyklem. N. dla ( ) mamy

) )( ( e Sosób rozkładaia ermutacji a trasozycje. Aby rozłoy ermutacj a trasozycje, rozkładamy j a cykle rozłcze, a kady cykl rozkładamy a trasozycje wg schematu (,,..., k ) (, k )(, k- )... (, )(, ) lub (,,..., k ) (, )(, )(, )... ( k-, k- )( k, k- ) Z obu schematów wyika, e cykl długoci arzystej rozkłada si a iearzyst liczb trasozycji a cykl długoci iearzystej rozkłada si a arzyst liczb trasozycji. Zatem. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) lub Srawdzeie.

Pierwszy rozkład. ( )( )( )( ) Drugi rozkład. ( )( )( )( ) Rozkład tej ermutacji a arzyst liczb trasozycji wiadczy o tym, e jest to ermutacja arzysta. Sosób wyisywaia iwersji daej ermutacji. Aby wyisa iwersje ermutacji

bierzemy ierwsz liczb z dolego wiersza tz. i tworzymy ary z liczbami miejszymi zajdujcymi si a rawo od iej, czyli (, ); (, ). Nastie bierzemy kolej liczb z dolego wiersza tz. i jak orzedio wyisujemy iwersj (, ). Koleje liczby daj iwersje: Dla liczby mamy (, ), (, ). Dla liczby mamy (, ), (, ). Dla liczby brak iwersji. Dla liczby mamy (, ). Dla liczby brak iwersji. Razem owysza ermutacja ma osiem iwersji, jest wic ermutacj arzyst. Piercie Z Działaie addytywe Działaie multilikatywe + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zauwamy, e jest to iercie rzemiey z jedyk. W iercieiu tym kady elemet jest odwracaly. Brak dzielików zera. Piercie Z jest ciałem. Piercie Z Działaie addytywe Działaie multilikatywe + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zauwamy, e jest to iercie rzemiey z jedyk. W iercieiu tym ie kady elemet jest odwracaly. Dzieliki zera to, i. Piercie Z ie jest ciałem.