1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

Transkrypt

1 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza

2 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie krawdzie. Graf jest półeulerowski, gdy posiada łacuch o powyszej własnoci. Przykład Poniej podano reprezentacje trzech grafów, z których pierwszy jest eulerowski, drugi półeulerowski, natomiast ostatni nie jest ani eulerowski ani półeulerowski.

3 167 Grafy eulerowskie Nazwa eulerowski pochodzi std, i Euler w 176 r. rozwizał problem mostów królewieckich. Pytano, czy mona przej dokładnie raz przez kady z siedmiu mostów (rys. po lewej) tak, aby powróci do punktu wyjcia. Zauwamy, e problem jest równowany stwierdzeniu, czy graf pokazany na rys. po prawej stronie jest eulerowski. a a b d b d c c

4 168 Grafy eulerowskie Aby poda warunek konieczny i dostateczny na to, aby dany graf był eulerowski bdzie potrzebny poniszy lemat: Lemat Jeli kady wierzchołek multigrafu G ma stopie równy co najmniej 2, to G zawiera cykl. Dowód: Jeli G zawiera ptle lub krawdzie wielokrotne, to lemat jest spełniony, wic zakładamy dalej, e G jest grafem prostym. Nastpnie konstruujemy ciek: wybieramy dowolny wierzchołek v 1 V(G), po czym dodajemy kolejne według zasady: jeli v i jest ostatnio dodanym wierzchołkiem, to jeli v i jest ssiedni z v j poprzednio dodanym do cieki, to otrzymujemy cykl zawierajcy v j,...,v i co koczy dowód. W przeciwnym wypadku wybieramy dowolnego ssiada wierzchołka v i (istnieje, poniewa deg(v i )>1) i dodajemy go do cieki. Graf G jest skoczony wic w pewnym kroku otrzymamy wierzchołek v k, który jest ssiedni z pewnym v l, gdzie l<k.

5 169 Tw. Eulera Tw. (Euler, 176) Multigraf spójny jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy stopie kadego wierzchołka jest liczb parzyst. Dowód: () Jeli C jest cyklem Eulera w G, to trawersujemy i usuwamy krawdzie w E(G) zgodnie z kolejnoci zadan przez C. Gdy przechodzimy przez dowolny wierzchołek v, to usuwamy dwie incydentne z nim krawdzie, wic stopie tego wierzchołka w tak zredukowanym grafie pozostaje parzysty. Na rys. poniej kolorem czerwonym oznaczono krawdzie, które zostały usunite z G. 2l v 2k 2l v 2k 2 2 (przed przejciem przez v) (po przejciu przez v)

6 170 Tw. Eulera Dowód tw. Eulera ( ) G jest spójny, wic dla kadego v zachodzi deg(v)>1 wic z poprzedniego lematu wiadomo, e G zawiera cykl, który oznaczmy przez C. Twierdzenie dowodzimy przez indukcj wzgldem m. Jeli C = G, to dowód jest zakoczony. W przeciwnym wypadku kada składowa spójnoci grafu G E(C) spełnia załoenie twierdzenia, wic z załoenia indukcyjnego jest eulerowska. Znajdujemy cykl Eulera w G nastpujco: przechodzimy przez kolejne wierzchołki w C i jeli biecy wierzchołek naley do pewnej składowej spójnoci, to trawersujemy cykl Eulera w tej składowej, powracajc do tego samego wierzchołka w C. C Składowe spójnoci grafu G E(C)

7 171 Algorytm Fleury ego Wniosek Multigraf spójny jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jego krawdzi mona podzieli na rozłczne cykle. Wniosek Multigraf spójny jest półeulerowski, gdy posiada co najwyej dwa wierzchołki nieparzystego stopnia. Jeden z nich jest pocztkiem, a drugi kocem łacucha Eulera. Algorytm Fleury ego (znajdujcy cykl Eulera) rozpocznij wdrówk w dowolnym wierzchołku usuwaj strawersowane krawdzie, przechodzc po mocie jedynie w ostatecznoci (sytuacja, w której s do wyboru co najmniej dwa mosty oznacza, e graf nie jest eulerowski).

8 172 Inny algorytm... procedure Euler( G ) begin stos := ; ce := ; stos.push( dowolny wierzchołek grafu ); while stos do begin v := stos.top; if deg(v) 0 then begin u ssiad v o najniszym indeksie; G := (V(G),E(G)\{{u,v}}); stos.push(u); end else begin (* deg(v) = 0 *) stos.pop(v); ce.push(v); end end end Zmienne: stos stos pomocniczy; ce stos przechowujcy wierzchołki w kolejnoci w jakiej tworz cykl Eulera Uwagi: operacja top zwraca wierzchołek na szczycie stosu, ale zawarto stosu si nie zmienia wynik działania procedury to cykl Eulera zapamitany w zmiennej ce deg zwraca stopie wierzchołka w zredukowanym grafie

9 17 Problem chiskiego listonosza Dana jest sie ulic oraz poczta. Aby listonosz dostarczył korespondencj musi przej wzdłu kadej ulicy co najmniej raz i powróci do punktu wyjcia. Formułujc problem w jzyku grafów, pytamy o najkrótsz zamknit marszrut w grafie G utworzonym na podstawie sieci ulic, w którym wagi krawdzi odpowiadaj długociom ulic. Znany jest efektywny algorytm rozwizujcy ten problem. Rozwaymy trzy przypadki: Przypadek 1: graf G jest eulerowski. Wówczas kady cykl Eulera jest optymalnym rozwizaniem, które mona znale korzystajc np. z algorytmu Fleury ego.

10 174 CPP: przypadek 2 Graf G jest półeulerowski. Znajdujemy ciek Eulera łczc dwa wierzchołki nieparzystego stopnia u i v. Nastpnie szukamy najkrótszej drogi z u do v. Łczc obie drogi otrzymujemy rozwizanie. Przykład 1) Droga Eulera: b a f b c d e c f e 2) Najkrótsza droga z e do b e f a b ) Trasa listonosza : b a f b c d e c f e f a b a 4 b f 6 c 10 e 9 5 d

11 175 CPP: przypadek ogólny 1. Zidentyfikuj wierzchołki nieparzystego stopnia w grafie G. Niech W bdzie zbiorem takich wierzchołków. 2. Skonstruuj obciony graf pełny G o zbiorze wierzchołków W, w którym waga krawdzi {u,v} jest równa długoci najkrótszej cieki łczcej u z v w wyjciowym grafie G

12 176 CPP: przypadek ogólny. Znajd minimalne skojarzenie dokładne (ang. minimum weight perfect matching) M w grafie G. 4. Dla kadej krawdzi e M dodaj krawdzie w grafie G, które odpowiadaj najkrótszej ciece odpowiadajcej e. 5. Nowo powstały graf jest eulerowski