1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza"

Transkrypt

1 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza

2 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie krawdzie. Graf jest półeulerowski, gdy posiada łacuch o powyszej własnoci. Przykład Poniej podano reprezentacje trzech grafów, z których pierwszy jest eulerowski, drugi półeulerowski, natomiast ostatni nie jest ani eulerowski ani półeulerowski.

3 167 Grafy eulerowskie Nazwa eulerowski pochodzi std, i Euler w 176 r. rozwizał problem mostów królewieckich. Pytano, czy mona przej dokładnie raz przez kady z siedmiu mostów (rys. po lewej) tak, aby powróci do punktu wyjcia. Zauwamy, e problem jest równowany stwierdzeniu, czy graf pokazany na rys. po prawej stronie jest eulerowski. a a b d b d c c

4 168 Grafy eulerowskie Aby poda warunek konieczny i dostateczny na to, aby dany graf był eulerowski bdzie potrzebny poniszy lemat: Lemat Jeli kady wierzchołek multigrafu G ma stopie równy co najmniej 2, to G zawiera cykl. Dowód: Jeli G zawiera ptle lub krawdzie wielokrotne, to lemat jest spełniony, wic zakładamy dalej, e G jest grafem prostym. Nastpnie konstruujemy ciek: wybieramy dowolny wierzchołek v 1 V(G), po czym dodajemy kolejne według zasady: jeli v i jest ostatnio dodanym wierzchołkiem, to jeli v i jest ssiedni z v j poprzednio dodanym do cieki, to otrzymujemy cykl zawierajcy v j,...,v i co koczy dowód. W przeciwnym wypadku wybieramy dowolnego ssiada wierzchołka v i (istnieje, poniewa deg(v i )>1) i dodajemy go do cieki. Graf G jest skoczony wic w pewnym kroku otrzymamy wierzchołek v k, który jest ssiedni z pewnym v l, gdzie l<k.

5 169 Tw. Eulera Tw. (Euler, 176) Multigraf spójny jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy stopie kadego wierzchołka jest liczb parzyst. Dowód: () Jeli C jest cyklem Eulera w G, to trawersujemy i usuwamy krawdzie w E(G) zgodnie z kolejnoci zadan przez C. Gdy przechodzimy przez dowolny wierzchołek v, to usuwamy dwie incydentne z nim krawdzie, wic stopie tego wierzchołka w tak zredukowanym grafie pozostaje parzysty. Na rys. poniej kolorem czerwonym oznaczono krawdzie, które zostały usunite z G. 2l v 2k 2l v 2k 2 2 (przed przejciem przez v) (po przejciu przez v)

6 170 Tw. Eulera Dowód tw. Eulera ( ) G jest spójny, wic dla kadego v zachodzi deg(v)>1 wic z poprzedniego lematu wiadomo, e G zawiera cykl, który oznaczmy przez C. Twierdzenie dowodzimy przez indukcj wzgldem m. Jeli C = G, to dowód jest zakoczony. W przeciwnym wypadku kada składowa spójnoci grafu G E(C) spełnia załoenie twierdzenia, wic z załoenia indukcyjnego jest eulerowska. Znajdujemy cykl Eulera w G nastpujco: przechodzimy przez kolejne wierzchołki w C i jeli biecy wierzchołek naley do pewnej składowej spójnoci, to trawersujemy cykl Eulera w tej składowej, powracajc do tego samego wierzchołka w C. C Składowe spójnoci grafu G E(C)

7 171 Algorytm Fleury ego Wniosek Multigraf spójny jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jego krawdzi mona podzieli na rozłczne cykle. Wniosek Multigraf spójny jest półeulerowski, gdy posiada co najwyej dwa wierzchołki nieparzystego stopnia. Jeden z nich jest pocztkiem, a drugi kocem łacucha Eulera. Algorytm Fleury ego (znajdujcy cykl Eulera) rozpocznij wdrówk w dowolnym wierzchołku usuwaj strawersowane krawdzie, przechodzc po mocie jedynie w ostatecznoci (sytuacja, w której s do wyboru co najmniej dwa mosty oznacza, e graf nie jest eulerowski).

8 172 Inny algorytm... procedure Euler( G ) begin stos := ; ce := ; stos.push( dowolny wierzchołek grafu ); while stos do begin v := stos.top; if deg(v) 0 then begin u ssiad v o najniszym indeksie; G := (V(G),E(G)\{{u,v}}); stos.push(u); end else begin (* deg(v) = 0 *) stos.pop(v); ce.push(v); end end end Zmienne: stos stos pomocniczy; ce stos przechowujcy wierzchołki w kolejnoci w jakiej tworz cykl Eulera Uwagi: operacja top zwraca wierzchołek na szczycie stosu, ale zawarto stosu si nie zmienia wynik działania procedury to cykl Eulera zapamitany w zmiennej ce deg zwraca stopie wierzchołka w zredukowanym grafie

9 17 Problem chiskiego listonosza Dana jest sie ulic oraz poczta. Aby listonosz dostarczył korespondencj musi przej wzdłu kadej ulicy co najmniej raz i powróci do punktu wyjcia. Formułujc problem w jzyku grafów, pytamy o najkrótsz zamknit marszrut w grafie G utworzonym na podstawie sieci ulic, w którym wagi krawdzi odpowiadaj długociom ulic. Znany jest efektywny algorytm rozwizujcy ten problem. Rozwaymy trzy przypadki: Przypadek 1: graf G jest eulerowski. Wówczas kady cykl Eulera jest optymalnym rozwizaniem, które mona znale korzystajc np. z algorytmu Fleury ego.

10 174 CPP: przypadek 2 Graf G jest półeulerowski. Znajdujemy ciek Eulera łczc dwa wierzchołki nieparzystego stopnia u i v. Nastpnie szukamy najkrótszej drogi z u do v. Łczc obie drogi otrzymujemy rozwizanie. Przykład 1) Droga Eulera: b a f b c d e c f e 2) Najkrótsza droga z e do b e f a b ) Trasa listonosza : b a f b c d e c f e f a b a 4 b f 6 c 10 e 9 5 d

11 175 CPP: przypadek ogólny 1. Zidentyfikuj wierzchołki nieparzystego stopnia w grafie G. Niech W bdzie zbiorem takich wierzchołków. 2. Skonstruuj obciony graf pełny G o zbiorze wierzchołków W, w którym waga krawdzi {u,v} jest równa długoci najkrótszej cieki łczcej u z v w wyjciowym grafie G

12 176 CPP: przypadek ogólny. Znajd minimalne skojarzenie dokładne (ang. minimum weight perfect matching) M w grafie G. 4. Dla kadej krawdzi e M dodaj krawdzie w grafie G, które odpowiadaj najkrótszej ciece odpowiadajcej e. 5. Nowo powstały graf jest eulerowski

Skojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych.

Skojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 206 Skojarzenia Najliczniejsze skojarzenia: grafy proste dwudzielne, dowolne grafy proste. Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 207 Definicje Def Zbiór

Bardziej szczegółowo

Wstp. Warto przepływu to

Wstp. Warto przepływu to 177 Maksymalny przepływ Załoenia: sie przepływow (np. przepływ cieczy, prdu, danych w sieci itp.) bdziemy modelowa za pomoc grafów skierowanych łuki grafu odpowiadaj kanałom wierzchołki to miejsca połcze

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Szukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem

Szukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem Szukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem Algorytm Dijkstry Załoenia: dany jest spójny graf prosty G z wagami na krawdziach waga w(e) dla kadej krawdzi e jest nieujemna dany jest wyróniony wierzchołek

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków 240 Kolorowanie wierzchołków Def. Niech G bdzie grafem prostym. Przez kolorowanie wierzchołków rozumiemy takie etykietowanie elementów V(G) liczbami naturalnymi, e ssiednie wierzchołki otrzymuj róne liczby

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

Temat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne.

Temat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne. Temat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne. 1. Definicja problemu Wejcie: Graf spójny niezorientowany G =

Bardziej szczegółowo

Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.

Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.

Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting. Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.. Oznaczenia i załoenia Oznaczenia G = - graf skierowany z funkcj wagi s wierzchołek ródłowy t wierzchołek

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

Temat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika.

Temat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika. Temat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika. 1. Pojcie struktury danych Nieformalnie Struktura danych (ang. data

Bardziej szczegółowo

oraz spełnia warunki: (*) dla wszystkich wierzchołków

oraz spełnia warunki: (*) dla wszystkich wierzchołków Temat: Problem najtaszego przepływu. Definicja problemu, przykład zastosowania. Algorytm Kleina. Algorytm Busackera Gowena. 1. Definicja problemu najtaszego przepływu Wejcie: Graf zorientowany G =

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie 2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Pojcie grafu. { {v 1, v 2 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 }, {v 4, v 1 },{v 2, v 4 } } )

Pojcie grafu. { {v 1, v 2 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 }, {v 4, v 1 },{v 2, v 4 } } ) 1 Pojcie grafu Def. Graf prosty G=(V,E) jest uporzdkowan par dwóch elementów: zbioru wierzchołków V oraz zbioru krawdzi E V V. Krawd pomidzy wierzchołkami u oraz v oznaczamy {u,v}. Graf prosty nie zawiera

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Temat: Algorytmy aproksymacyjne dla wybranych NP-trudnych problemów grafowych

Temat: Algorytmy aproksymacyjne dla wybranych NP-trudnych problemów grafowych Temat: Algorytmy aproksymacyjne dla wybranych NP-trudnych problemów grafowych 1. Problem komiwojaera Wejcie: Graf G = pełny, zorientowany z dodatnimi wagami; w - funkcja wag grafu Wyjcie: Najtaszy

Bardziej szczegółowo

Problem decyzyjny naley do klasy NP. (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM.

Problem decyzyjny naley do klasy NP. (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM. WYKŁAD : Teoria NP-zupełnoci. Problem decyzyjny naley do klasy P (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM. (przynaleno ta jest zachowana równie dla

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2 Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Temat: Algorytmy zachłanne

Temat: Algorytmy zachłanne Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje si w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymaln moliwo w nadziei, e doprowadzi

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Przeszukiwanie przestrzeni stanów. Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji. Podstawowe problemy teorii przeszukiwania przestrzeni stanów

Przeszukiwanie przestrzeni stanów. Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji. Podstawowe problemy teorii przeszukiwania przestrzeni stanów Przeszukiwanie przestrzeni stanów Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład Informatyka Studia Inynierskie Przestrze stanów jest to czwórka uporzdkowana [N,, S, GD], gdzie: N jest zbiorem wierzchołków

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił.

Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. Scenariusz lekcji Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. W roku 1962 chioski matematyk Mei-Ko Kwan zaproponował następujący problem: Listonosz roznosząc

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

.! $ Stos jest list z trzema operacjami: dodawanie elementów na wierzch stosu, zdejmowanie elementu z wierzchu stosu, sprawdzanie czy stos jest pusty.

.! $ Stos jest list z trzema operacjami: dodawanie elementów na wierzch stosu, zdejmowanie elementu z wierzchu stosu, sprawdzanie czy stos jest pusty. !"! " #$%& '()#$$ &%$! #$ %$ &%$& &$&! %&'" )$$! *$$&%$! +,- +-.! $ Celem wiczenia jest zapoznanie studenta ze strukturami: lista, stos, drzewo oraz ich implementacja w jzyku ANSI C. Zrozumienie działania

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

Nieklasyczne modele kolorowania grafów

Nieklasyczne modele kolorowania grafów 65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej 11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

Wektor o pocztku i kocu odpowiednio w punktach. Prosta zawierajca punkty p i q: pq Półprosta zaczynajca si w punkcie p i zawierajca punkt q:.

Wektor o pocztku i kocu odpowiednio w punktach. Prosta zawierajca punkty p i q: pq Półprosta zaczynajca si w punkcie p i zawierajca punkt q:. Temat: Geometria obliczeniowa, cz I. Podstawowe algorytmy geometryczne. Problem sprawdzania przynalenoci punktu do wielokta. Problem otoczki wypukłej algorytmy Grahama, i Jarvisa. 1. Oznaczenia Punkty

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

TOMASZ TRACZYK MATEMATYKA DYSKRETNA Wykłady 9-10 Grafy Hamiltona

TOMASZ TRACZYK MATEMATYKA DYSKRETNA Wykłady 9-10 Grafy Hamiltona TOMASZ TRACZYK MATEMATYKA DYSKRETNA Wykłady 9-10 Grafy Hamiltona Legenda głosi, Ŝe kiedy sir Wiliam Hamilton został wsadzony do więzienia za długi wymyślił grę w dookoła świata aby zdobyć pieniądze i wyjść

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

Projektowanie algorytmów rekurencyjnych

Projektowanie algorytmów rekurencyjnych C9 Projektowanie algorytmów rekurencyjnych wiczenie 1. Przeanalizowa działanie poniszego algorytmu dla parametru wejciowego n = 4 (rysunek 9.1): n i i

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Lab. 02: Algorytm Schrage

Lab. 02: Algorytm Schrage Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z

Bardziej szczegółowo

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Temat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej:

Temat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej: Temat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. 1. Algorytmy aproksymacyjne Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej: Zastosowa technik algorytmów

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 7,8,9. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 7,8,9. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 7,8,9 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Analiza algorytmów zadania podstawowe

Analiza algorytmów zadania podstawowe Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą

Bardziej szczegółowo

Porządek symetryczny: right(x)

Porządek symetryczny: right(x) Porządek symetryczny: x lef t(x) right(x) Własność drzewa BST: W drzewach BST mamy porządek symetryczny. Dla każdego węzła x spełniony jest warunek: jeżeli węzeł y leży w lewym poddrzewie x, to key(y)

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów. Magdalena Lemańska

Teoria grafów. Magdalena Lemańska Teoria grafów Magdalena Lemańska Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater Wstęp Graf Grafem

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa

Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Marcin Mucha, Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 1/55 Definicja problemu Skojarzeniem w grafie G = (V, E)

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

6.2. Baza i wymiar. V nazywamy baz-

6.2. Baza i wymiar. V nazywamy baz- 62 Baza i wymiar V nazywamy baz- Definicja 66 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F Podzbiór B przestrzeni V, je2eli: () B jest liniowo niezale2ny, (2) B jest generuj,cy, tzn lin(b) =V Przyk/ady:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach 12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - wykład - część Podstawowe algorytmy kombinatoryczne

Matematyka dyskretna - wykład - część Podstawowe algorytmy kombinatoryczne A. Permutacja losowa Matematyka dyskretna - wykład - część 2 9. Podstawowe algorytmy kombinatoryczne Załóżmy, że mamy tablice p złożoną z n liczb (ponumerowanych od 0 do n 1). Aby wygenerować losową permutację

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany

Bardziej szczegółowo