Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami

Transkrypt

1 8 Liczba 9 jest równa A. B. C. D. 9 5 C Przykładowe zadania z matematyki na oziomie odstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Liczba log jest równa A. log + log 0 B. log 6 + log C. log 6 log D. log 0 log 6 B Zadanie. (0-) Zadanie. (0-) m równania A. B. C. D. 8 8 D x = x jest liczba

2 Zadanie. (0-) Mniejszą z dwóch liczb sełniających równanie A. 6 B. C. D. x + 5x + 6 = 0 jest B Zadanie 5. (0-) Zbiorem rozwiązań nierówności, 5 5, + A. ( ) ( ) B. (, 5 5, + ) C. 5,+ ) D. 5,+ ) x 5 jest B Zadanie 6. (0-) Liczba jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) = ( m) x + A. m = 0 B. m = C. m = D. m = D. Wynika stąd, że Zadanie 7. (0-) y = f x. Rysunek rzedstawia wykres funkcji ( ) y y = f ( x) 0 x

3 Wskaż rysunek, na którym jest rzedstawiony wykres funkcji y = f ( x +). A. B. y y 0 x 0 x C. D. y y 0 x 0 x D Zadanie 8. (0-) Wskaż równanie osi symetrii araboli określonej równaniem A. x = B. x = C. x = D. x = y = x + x. C Prosta o równaniu y kwadratowej A. a = B. a = 0 C. a = D. a = C Zadanie 9. (0-) = a ma dokładnie jeden unkt wsólny z wykresem funkcji f ( x) = x + 6x 0. Wynika stąd, że

4 Zadanie 0. (0-) Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej A. 7 B. C. D. f ( x) = x + x w rzedziale 0,? C Zadanie. (0-) Które z równań oisuje rostą rostoadłą do rostej o równaniu y = x + 5? A. y = x + B. y = x + C. y = x + D. y = x + B Punkty A = (, ) i = ( 7,9) Zadanie. (0-) C są rzeciwległymi wierzchołkami rostokąta ABCD. Promień okręgu oisanego na tym rostokącie jest równy A. 0 B. 6 C. 5 D. C Zadanie. (0-) Kąt α jest ostry i sinα =. Wówczas A. cosα < B. cosα = C. cosα = D. cosα > D

5 Zadanie. (0-) Kąt α jest ostry i tgα =. Jaki warunek sełnia kątα? o A. α < 0 B. α = 0 C. α = 60 D. α > 60 A o o o Zadanie 5. (0-) Kąt środkowy i kąt wisany w okrąg są oarte na tym samym łuku. Suma ich miar jest o równa80. Jaka jest miara kąta środkowego? A. 60 o B. 90 o C. 0 o D. 5 o C Ciąg ( ) n Zadanie 6. (0-) n a jest określony wzorem n ( ) ( ) A. a = 8 B. a = 7 C. a = 0 D. a > 0 C a = 9 n dla n. Wynika stąd, że Zadanie 7. (0-) Liczby x, i 8 (w odanej kolejności) są ierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa A. B. C. - D. -7 B

6 Zadanie 8. (0-) Liczby 8, i x + (w odanej kolejności) są ierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa A. B., 5 C. D. 5 A Zadanie 9. (0-) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są odzielne rzez 6 lub rzez 0, jest A. 5 B. C. D. 0 C Zadanie 0. (0-) Liczba wszystkich sosobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch sośród ięciu miejsc w kinie, jest równa A. 5 B. 0 C. 5 D. B Rozwiąż równanie x =. x Zadanie. (0-) Lewa strona równania jest określona dla x. Przenosimy wszystko na lewą stronę i srowadzamy ułamki do wsólnego mianownika: x ( x) + ( x) 5 8x + = 0, = 0, = 0. x x x Stąd otrzymujemy 5 8x = 0, czyli określone, więc liczba ( ) ( ) 5 x =. Dla tej wartości x obie strony równania są 8 5 x = jest szukanym rozwiązaniem równania. 8

7 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. Zadanie. (0-) Korzystając ze wzorów na ierwiastki równania kwadratowego lub dostrzegając x + 6x 7 = x + 7 x, otrzymujemy dwa ierwiastki trójmianu rozkład na czynniki ( )( ) kwadratowego: x = 7, x =. Ponieważ arabola o równaniu y = x + 6x 7 ma ramiona skierowane do góry, leży ona oniżej osi Ox między swoimi miejscami zerowymi. Zatem rozwiązaniem nierówności jest rzedział domknięty 7,. Zadanie. (0-) Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f ( x) = x 6x + w rzedziale 0,. Wyznaczmy wsółrzędne wierzchołka araboli o równaniu y = x 6x +. Mamy b xw = =, yw = = 8. Ponieważ arabola ma ramiona skierowane do góry, to w a a rzedziale (, dana funkcja maleje. Zatem maleje także na zawartym w nim rzedziale 0,. Wobec tego najmniejszą wartość rzyjmie ona w rawym końcu, czyli dla x =. Tą wartością jest y = 6 + =. Zadanie. (0-) O funkcji liniowej f wiadomo, że f () = oraz że do wykresu tej funkcji należy unkt P =,. Wyznacz wzór funkcji f. ( ) Funkcja f jest liniowa, więc jej wzór możemy zaisać w ostaci: f ( x) = ax + b. Z warunku f ( ) = wynika, że = a + b. Skoro unkt P należy do jej wykresu, to mamy także = f ( ) = a + b. Rozwiązujemy otrzymany układ równań i otrzymujemy a 7, b = =. Zatem szukany wzór ma ostać ( ) 7 f x = x +. Zadanie 5. (0-) Naisz równanie rostej równoległej do rostej o równaniu y = x i rzechodzącej rzez unkt P = (, ). Wszystkie roste równoległe do danej rostej mają taki sam wsółczynnik kierunkowy.

8 Szukamy zatem rostej o równaniu ostaci y = x + b. Ponieważ szukana rosta rzechodzi rzez unkt P = (, ), otrzymujemy = + b, skąd b = 0. Zatem rosta ta ma równanie y = x. Zadanie 6. (0-) Wyznacz równanie rostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego =, = 6, C = 7,0. wierzchołkami są unkty: A ( ), B ( ), ( ) Wiemy, że szukana rosta rzechodzi rzez unkt ( 7,0) C = oraz rzez unkt D, będący środkiem boku AB. Zatem korzystając ze wzoru na wsółrzędne środka odcinka mamy D =, = (,0). Ze wzoru na równanie rostej rzechodzącej rzez y x 7 = 0, a dwa dane unkty otrzymujemy: ( )( ) ( )( ) stąd 5y + 0x 0 = 0, czyli y + x = 0. Zadanie 7. (0-) W trójkącie rostokątnym, w którym rzyrostokątne mają długości i, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sinα cos α. Niech α będzie kątem leżącym narzeciwko boku o długości, zaś β kątem leżącym narzeciwko boku o długości. Zauważmy, że sin α = cos β oraz cosα = sin β, więc mamy sinα cosα = sin β cos β, czyli szukana wartość nie zależy od wyboru kąta. Przeciwrostokątna w danym trójkącie ma długość + = 0. Z definicji funkcji 8 trygonometrycznych otrzymujemy sin α cos α = 0 0 = 0 = 5. Kąt α jest ostry i sin α =. Oblicz Zadanie 8. (0-) + tg α. sinα Mamy tgα =, więc tg sin α sin α α = = = =. cosα cos α sin α 5 7 Zatem + tg α = + =. 5 5

9 Ile wyrazów ujemnych ma ciąg ( ) n Zadanie 9. (0-) a określony wzorem a n = n n dla n? Szukamy liczb naturalnych sełniających nierówność n n < 0. Zaiszmy tę nierówność w ostaci n n + 5 < 0, ( n ) 5 < 0, skąd n 5 n + 5 < 0, n 6 n + < 0. Ponieważ n + > 0, otrzymujemy n < 6. Zatem ( )( ) ( )( ) liczba n może rzyjmować jedną z ięciu wartości:,,,, 5, czyli ciąg ma ięć wyrazów ujemnych. Zadanie 0. (0-) Liczby, x, 8 są w odanej kolejności ierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. Mamy a = oraz a x =, zatem różnica ciągu wynosi ( ) = a = a + r = + ( x ), skąd 6 = ( x 5) i w końcu x = r = x = x 5. Ponadto Zadanie. (0-) Wyrazami ciągu arytmetycznego ( a n ) są kolejne liczby naturalne, które rzy dzieleniu rzez 5 dają resztę. Ponadto a =. Oblicz a 5. Ponieważ dokładnie co iąta liczba naturalna daje z dzielenia rzez 5 resztę, to różnica danego ciągu arytmetycznego wynosi 5. Wobec tego = a = a + r = a + 0, skąd a =. Wobec tego a5 = a + r = + 5 = 7. Zadanie. (0-) Dany jest rostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 0% oraz zwiększamy długość boku b o 0%. Wyznacz stosunek a, jeśli wiadomo, że otrzymany rostokąt ma b taki sam obwód jak rostokąt wyjściowy. Otrzymany rostokąt ma boki długości 0,9a oraz,b. Z orównania obwodów obu rostokątów otrzymujemy związek 0, 9a +, b = a + b, skąd 0,b = 0,a. Wobec a 0, tego b = 0, =.

10 Zadanie. (0-) Udowodnij, że jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi, to x + y xy. Zauważmy, że dla dowolnych liczb x, y mamy ( x y) 0 kończy dowód., skąd x + y xy, co Zadanie. (0-) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz rawdoodobieństwo otrzymania iloczynu liczby oczek równego 5. Zdarzeniami elementarnymi są ary liczb całkowitych ( a, b ), gdzie a, b 6 6 takich ar. Zdarzenia elementarne srzyjające to ary (,5 ) oraz ( ) szukane rawdoodobieństwo jest równe =. 6 8 mamy 5,. Zatem W ciągu arytmetycznym ( n ) należy do rzedziału ( 0, 00 )? Zadanie 5. (0-) a dane są wyrazy: a =, a 9. Ile wyrazów tego ciągu 6 = Mamy = a + r, 9 = a + 5r. Stąd r = 5, r = 5 oraz a = 6. Pytamy, dla jakich n < <, czyli ( n ) mamy 0 a n 00 0 < < Stąd 6 < 5( n ) < 06, < n <, < n < Pierwszą nierówność sełniają liczby n, a drugą liczby n. Zatem liczb naturalnych sełniających obydwa warunki mamy 0 i tyle też wyrazów ciągu leży w rzedziale ( 0,00 ). Zadanie 6. (0-) Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sosób, że AB = BD (zobacz rysunek). Udowodnij, że ADC = 5 ACD. AC = BC. Odcinek AD = CD oraz

11 C D A B I C β α D A β α B Niech α = BAD i β = ACD. Trójkąty ABD, ACD i ABC są równoramienne, więc DAB = BAD = α, CAD = ACD = β oraz CAB = CBA = α + β. Suma miar kątów trójkąta ACD jest równa 80, więc ADC = 80 β. Z drugiej strony ADC = 80 ADB, czyli 80 β = 80 α. Stąd α = β. Suma miar kątów trójkąta ABC jest równa 80, więc ( ) ( β + β ) + β = 80. Stąd 7β = 80. α + β + β = 80, czyli Zatem ADC = 80 β = 7β β = 5β = 5 ACD. To kończy dowód. II Oznaczmy kąty α i β jak w orzednim rozwiązaniu. Ponieważ kąt ADB jest kątem zewnętrznym trójkąta ADC, więc α = β. Również kąt ADC jest kątem zewnętrznym trójkąta ABD, więc ADC = α + α + β = α + β = β + β = 5β = 5 ACD, co kończy dowód.

12 Zadanie 7. (0-) Oblicz sinus kąta między rzekątną sześcianu a jego łaszczyzną odstawy. Rozważmy trójkąt rostokątny ABC utworzony rzez rzekątną AB sześcianu, rzekątną AC odstawy sześcianu oraz krawędź BC. Kąt ostry α tego trójkąta jest kątem między rzekątną sześcianu i łaszczyzną jego odstawy. Długość rzekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest równa a, więc sinus kąta α jest równy a sinα = = =. a Zadanie 8. (0-) W graniastosłuie czworokątnym rawidłowym rzekątna o długości d jest nachylona do łaszczyzny odstawy od kątem takim, że sin α = 0,. Wyznacz objętość tego graniastosłua. I Przyjmijmy oznaczenia: BD - rzekątna odstawy DH = h- krawędź boczna BH = d- rzekątna graniastosłua AB = BC = CD = DA = a Trójkąt BDH jest rostokątny, więc h sinα =, czyli h =. Stąd h = d. d 5 d 5 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BDH otrzymujemy BD = d h = d d = d. 5 5 Pole odstawy graniastosłua jest więc równe PABCD = BD = d = d. 5 5 Zatem objętość tego graniastosłua jest równa V = PABCD h = d d = d II Przyjmijmy oznaczenia jak w rozwiązaniu I. Trójkąt BDH jest rostokątny, więc h sin α =, czyli h = d sinα. Stąd h = 0, d. d W trójkącie BDH mamy również a cosα =, czyli a = d cosα = d (0, ) = 0,96 d. d Stąd V = a h = 0,96 d 0, d = 0,096 d.

13 Zadanie 9. (0-) Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zaisie dziesiętnym wystęuje jedna cyfra niearzysta i trzy cyfry arzyste. Uwaga: rzyominamy, że zero jest liczbą arzystą. Mamy do dysozycji 5 cyfr arzystych: 0,,, 6, 8 oraz 5 cyfr niearzystych:,, 5, 7, 9. Musimy jednak amiętać, że 0 nie może być ierwszą cyfrą zaisu dziesiętnego liczby. Dlatego rozważymy dwa rzyadki: a) gdy ierwsza cyfra jest niearzysta oraz b) gdy ierwsza cyfra jest arzysta. W rzyadku a) ierwszą cyfrę można wybrać na 5 sosobów; każda ozostała cyfra musi być arzysta i każdą z nich też możemy wybrać na 5 sosobów. Zatem w rzyadku a) mamy 5 możliwości. W rzyadku b) cyfrę arzystą, stojącą na ierwszym miejscu, możemy wybrać na sosoby. Na ozostałych miejscach mamy rozmieścić jedną cyfrę niearzystą oraz dwie cyfry arzyste. Miejsce dla cyfry niearzystej możemy wybrać na sosoby; na ozostałych dwóch miejscach umieścimy cyfry arzyste. Cyfrę na każdym z tych trzech miejsc można wybrać na 5 sosobów. Zatem w rzyadku b) mamy 5 = 5możliwości = = 7 5 = 5liczb W obu rzyadkach łącznie otrzymujemy ( ) sełniających warunki zadania. Zadanie 0. (0-) Z ojemnika, w którym jest ięć losów: dwa wygrywające i trzy uste, losujemy dwa razy o jednym losie bez zwracania. Oblicz rawdoodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik rzedstaw w ostaci ułamka nieskracalnego. I (model klasyczny) Oznaczmy rzez w, w losy wygrywające, a rzez,, losy uste. Wszystkie wyniki losowania dwóch losów bez zwracania możemy rzedstawić w tabeli: wynik ierwszego losowania wyznacza wiersz, a wynik drugiego losowania - kolumnę, w rzecięciu których leży ole, odowiadające tej arze losowań. Pola ołożone na rzekątnej odrzucamy, gdyż odowiadałyby one wylosowaniu dwukrotnie tego samego losu, a to jest niemożliwe, gdyż losujemy bez zwracania. Niech A oznacza zdarzenie olegające na wylosowaniu dwóch losów, wśród których co najmniej jeden jest wygrywający. Zdarzenia elementarne srzyjające zdarzeniu A zaznaczamy w tabeli krzyżykiem (x). w w w x x x x w x x x x x x x x x x

14 Mamy więc 0 wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli Ω = 0, oraz zdarzeń elementarnych srzyjających zdarzeniu A, czyli A =. Prawdoodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe ( ) A 7 P A = = =. Ω 0 0 II (metoda drzewa) Losowanie z ojemnika kolejno dwóch losów bez zwracania możemy zilustrować za omocą drzewa, gdzie w oznacza wylosowanie losu wygrywającego, a - losu ustego. Pogrubione gałęzie drzewa odowiadają zdarzeniu A olegającemu na wylosowaniu dwóch losów, wśród których co najmniej jeden jest wygrywający. Na odcinkach drzewa zostały zaisane odowiednie rawdoodobieństwa. 5 5 w w w Zatem rawdoodobieństwo zdarzenia A jest równe P( A) = + + = = = Zadanie. (0-) Wykaż, że rawdziwa jest nierówność + + <. I Dla dowodu rzekształcimy w sosób równoważny tezę Ponieważ obie strony danej nierówności + + < odnieść do kwadratu. Otrzymujemy kolejno: ( + + ) < ( ) < ( )( ) + + < < <. 6 są dodatnie, możemy je Obie strony tej nierówności są także dodatnie, więc odnosząc je do kwadratu otrzymujemy <. Otrzymana nierówność jest oczywiście rawdziwa, a zatem dana w zadaniu nierówność jest również rawdziwa, co kończy dowód.

15 II Oznaczmy a = +, b =. Zauważmy, że dla dowolnych liczb a, b, takich, że mamy ( a b) 0 a b, >, skąd a b ab + >. Wobec tego ( a b) a b ab a b a b ( a b ) ( ) Stąd = + + < = + = + + =. a b < =, co kończy dowód. Zadanie. (0-5) W roku 05 na uroczystości urodzinowej ktoś sytał jubilata, ile ma lat. Jubilat odowiedział: jeżeli swój wiek srzed 7 lat omnożę rzez swój wiek za 5 lat, to otrzymam rok swojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma ten jubilat. Oznaczmy rzez x obecny wiek jubilata (w latach). Wówczas wiek jubilata srzed 7 lat jest równy x-7, wiek, jaki będzie miał za 5 lat, jest równy x+5, a rok jego urodzenia to 05-x. x 7 x + 5 = 05 x. Mamy więc równanie ( )( ) Po uorządkowaniu otrzymujemy x x 0 = 0. Rozwiązaniami tego równania są liczby x=55, x =. Stąd wiemy, że jubilat w roku 05 obchodzi 55. urodziny.