J. Santr - Wkład : Repettorim kinematki i dnamiki prepłwów Metod opis rch pln Podejście Lagrange a (inacej metoda wędrowna) polega na opiswani rch w prestreni pewnej wdielonej mas płn składającej się awse tch samch molekł. V - objętość pewnej mas płn (objętość płnna) otocona powierchnią S, która jest nieprenikliwa dla elementów płn Masa płn premiesca się od położenia V 0 w chwili t 0 do położenia V w chwili t. Joseph Lagrange 736-83
Element płn P stanowiąc cęść objętości V premiesca akreślając w prestreni tor element, któr może bć opisan równaniami parametrcnmi casem t jako parametrem: ( a, b, c, t) ( a, b, c, t) ( a, b, c, t) Zmieniając w równaniach wielkości a, b i c opisjem cora to inne element płn Wielkości opisjące rch płn są w taki sam sposób ależne od a, b, c, t: ( a, b, c t), ( a, b, c t) p p, ( a, b, c, t) gdie: i jv d dt v kw d dt w d dt
Metoda Eler a (metoda lokalna) polega na wbrani w prestreni nierchomej objętości kontrolnej V ograniconej powierchnią kontrolną S. Pre tę objętość prepłwają kolejno różne element płn różnmi wartościami takich wielkości jak prędkość, ciśnienie, gęstość itd. Predmiotem opis są wartości tch wielkości w wbranch pnktach objętości kontrolnej. (,, t), (,, t) p p, gdie: i (,,, t) Leonhard Eler 707-783 (,,, t) j (,,, t) k (,, t),
Pochodna materialna (sbstancjalna) Pochodna materialna jest scególną interpretacją pochodnej fnkcji wiel miennch, wiąaną elerowskim sposobem opis rch płn. Pokaje ona, w jaki sposób mienia się w casie dowoln parametr charakterjąc element płn porsając się w pol tego parametr. Wjaśnim to na prkładie dowolnego parametr skalarnego H, będącego jawną i łożoną fnkcją cas. Jeżeli H jest fnkcja miennch Elera to mam: ( t, ( t), ( t) ( t) ) H H, Zgodnie definicją różnicki pełnej fnkcji wiel miennch mam: DH H t H d dt H d dt H d dt
Ale mam: DH H t d dt H H d dt H d dt H t co prowadi do: H H t gradh Pochodna materialnapochodna lokalnapochodna nosenia Pochodna lokalna pokaje mianę parametr H w casie w pnkcie (,, ) wnikającą niestacjonarności pola H. Pochodna nosenia pokaje mianę parametr H w casie na sktek premiescenia się element płn prędkością pnkt o jednej wartości H do pnkt o innej wartości H.
Zastosowanie operatora pochodnej materialnej do składowch pola prędkości powala oblicć prspiesenie materialne, cli prspiesenie element płn porsającego się w niestacjonarnm i niejednorodnm pol prędkości. a t D a D a t a t D lb w apisie wektorowm: ( ) t grad t D
Linia prąd jest to linia pola wektorowego prędkości, cli linia stcna do wektora prędkości w każdm pnkcie pola w danej chwili cas. Jeżeli ds jest elementem linii prąd, a wektorem prędkości, to mam: ds cli: 0 warnek stcności d d 0 d d d d 0 0 co prowadi do równania linii prąd: d d d
Na ogół pre każd pnkt pola prędkości prechodi jedna linia prąd dająca się wnacć w sposób jednonacn. Jeżeli w jakimś pnkcie pola biega się więcej linii prąd, to jest to pnkt osobliw. Jeżeli pre krwą nie będącą linią prąd poprowadim linie prąd, to skam powierchnię prąd. Jeżeli jest to krwa amknięta, to skam rrkę prąd. Jeżeli prekrój tej rrki jest infinitemaln, to skam włókno prąd. Rrka prąd jest dobrm modelem rrociąg, dla którego można wnacć: objętościowe natężenie prepłw: objętościową prędkość średnią: masowe natężenie prepłw: Q ds n S n ~ ds n S S M ds n S ds n rrka prąd masową prędkość S ~ średnią: ds S gdie: jest składowa prędkości normalną do prekroj rrki S n
Tor element płn lb trajektoria jest to miejsce geometrcne pnktów w pol prepłw pre które prechodi element w kolejnch chwilach cas. Wektorowe równanie tor: dr ( r, t) dt W postaci skalarnej: d (,,, t ) dt d (,,, t) dt d dt (,,, t) Rowiąanie wmaga wględnienia warnków pocątkowch dla t t0 ( t) ( ) 0 t 0 t ( ) 0
W prepłwie niestacjonarnm linie prąd, tor elementów płn i linie wsnte nie pokrwają się. Linie prąd kolor sar Tor element kolor cerwon Linia wsnta kolor niebieski Linia wsnta jest to ślad rch element płn noson pre mieniające się pole prędkości.
Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia element płn. Rch ogóln element płn można więc traktować jako sperpocję premiescenia liniowego (translacji), obrot wględem chwilowego biegna ora odkstałcenia (deformacji), które kolei można podielić na liniowe (objętościowe) i kątowe (postaciowe).
Odkstałcenia w prpadk dwwmiarowm Prędkość rch płn apisjem jako: i Do odkstałcenia liniowego element płn dochodi gd składowa prędkości mienia się w kiernk i/lb składowa prędkości v mienia się w kiernk (lewa strona rsnk). Prowadi to do prrost objętości element w casie dt o wartość: v dddt jv gdie wielkości w nawiasie są prędkościami odkstałcenia liniowego ε ε v
Do odkstałcenia postaciowego element płn dochodi gd składowa prędkości mienia się w kiernk i/lb składowa prędkości v mienia się w kiernk (prawa strona rsnk). Prowadi to do obrot ścianek element płn o kąt: dt v d α dt d β Miarą prędkości łącnego odkstałcenia postaciowego jest wrażenie: v ε Stwn obrót element płn można traktować jako smę dwóch odkstałceń postaciowch tak dobranch, że kąt pomięd bokami element poostają proste. Prędkość kątową takiego obrot można apisać jako: Ω v v ε
Tensor smetrcn opisjąc deformację element płn nosi nawę tensora prędkości deformacji: ε, ε, ε [ D] ε, ε, ε ε, ε, ε gdie poscególne składowe wrażają się ależnościami: ε ε ε v ε v ε ε w v ε w ε ε w
Ostatecnie ogóln rch element płn można opisać następjącą ależnością: A [ D] r r 0 0 ω 0 Pierwse twierdenie Helmholta Prędkość dowolnego pnkt element płn składa się : -prędkości postępowej pnkt obranego a biegn -prędkości obrotowej wokół osi prechodącej pre biegn (wektor tej prędkości wnaca oś obrot) -prędkości deformacji element płn [D] tensor predkości deformacji. W porównani analogicnm rchem ciała stwnego można stwierdić następjące różnice: -wór dla płn jest ważn tlko w bliskim otoceni biegna -w płnie dodatkowo wstępje prędkość deformacji Hermann von Helmholt 8-894
Zamknięt kład równań mechaniki płnów Predstawione poniżej równania tworą amknięt kład równań mechaniki płnów, któr może bć astosowan do opis konkretnch prepłwów i skania, w drode rowiąania tego kład, informacji o wartościach interesjącch nas parametrów tego prepłw. Konkretna postać kład równań ależ od prjętego model płn. Prpadek : płn nieściśliw o stałej lepkości Zamknięt kład równań tworą: - równanie achowania mas div 0 D - równanie achowania pęd f gradp µ Raem są to cter równania skalarne cterema niewiadommi: - ciśnienie p,, - składowe prędkości
W tm prpadk pole temperatr nie wpłwa na prepłw, ale samo jest ależnione od pola prędkości prepłw popre równanie bilans entropii w postaci: T T T T c Tsɺ M λ T t Tę postać równania można skać podstawiając do orginalnego równania ależność dla energii wewnętrnej: e ct W prpadk gd lepkość płn ależ od temperatr, równanie bilans entropii jest sprężone równaniami achowania mas i achowania pęd popre ależność: µ µ ( T ) Mam wted kład seści równań seścioma niewiadommi:,, - ciśnienie p - składowe prędkości - temperatra T - współcnnik lepkości µ e 0
Prpadek : płn ściśliw W tm prpadk amknięt kład równań tworą: t - równanie achowania mas div( ) 0 D - równanie achowania pęd f gradp grad µ div div( µ [ D] ) De p Dp - równanie bilans entropii Ts ɺ λ T - równanie energii wewnętrnej e cv ( T ) p - równanie stan Z( p, T )RT - dodatkowe ależności µ µ ( T ) c c ( T ) T T 0 M dt V 3 V Z fnkcja ściśliwości R stała gaowa
W tm prpadk mam kład diewięci równań diewięcioma niewiadommi: - ciśnienie p - gęstość - energia wewnętrna e - temperatra T - współcnnik lepkości µ - składowe prędkości,, - ciepło właściwe cv Założono, że współcnnik prewodnictwa cieplnego λ ma wartość stałą. Warnki bregowe i pocątkowe Dla możliwienia rowiąania powżsch kładów równań koniecne jest określenie odpowiednich warnków bregowch ora (dla prepłwów niestacjonarnch) warnków pocątkowch. Warnki te są potrebne do wnacenia dowolnch stałch i dowolnch fnkcji wprowadonch podcas całkowania równań.
Równanie achowania mas Prawo achowania mas: w amkniętm kładie ficnm masa nie może powstać ani nie może lec anihilacji. Założenia: -ropatrjem niestalon trójwmiarow prepłw płn ściśliwego, -płn w całości wpełnia prestreń (brak nieciągłości, pęcher itp.), -stosjem opis Elera nierchoma objętość kontrolna ogranicona powierchnią kontrolną. Pr tch ałożeniach prawo achowania mas brmi: prrost mas w objętości prepłw mas pre powierchnię Prrost mas w objętości kontrolnej wnosi: t t ( )
Z kolei prepłw pre powierchnię kontrolną wnosi: ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v ( ) ( ) w w w w Porównanie ob wrażeń i podielenie stronami pre objętość kontrolną prowadi do wor:
( ) ( ) ( ) ( ) 0 div t w v t W prpadk stalonego prepłw płn ściśliwego równanie achowania mas prbiera postać: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 div w v W prpadk stalonego prepłw płn nieściśliwego równanie achowania mas prbiera posta : achowania mas prbiera postać: 0 div w v W prpadk porsającego się element płn (opis Lagrange a) równanie achowania mas prbiera postać: ( ) div D div grad t div t
Równanie achowania pęd Drga asada dnamiki Newtona: prędkość prrost pęd element płn jest równa smie sił ewnętrnch diałającch na ten element ( ) D m F Isaac Newton 643-77 Prędkość prrost pęd element płn (cli lewa strona równania) jest określona popre pochodną materialną jego prędkości: D ( ) v w div t t Dv v v v v ( v) v w div t t Dw w w w w ( w) v w div t t ( ) ( v ) ( w )
Prawą stronę równania tworą dwie kategorie sił: -sił powierchniowe (sił ciśnienia i sił lepkości), -sił masowe (sił ciężkości, sił Coriolisa, sił elektromagnetcne) Dla prkład tworm kompletne równanie dla kiernk, posłgjąc się kładem sił powierchniowch jak na rsnk: Gaspard Coriolis 79-843
Sił diałające na ścianki element prostopadłe do kiernk p p p p p Sił diałające na ścianki element prostopadłe do kiernk Sił diałające na ścianki element prostopadłe do kiernk
Po dodani powżsch wrażeń i podieleni stronami pre objętość element otrmjem sił powierchniowe na kiernk ( p ) Po pełnieni o składową jednostkowej sił masowej f i podstawieni do wjściowej ależności otrmjem: D f ( p ) i analogicnie dla poostałch kiernków: Dv f ( p ) Dw f ( p )
Tensor stan naprężenia w płnie p [ P] p p
Stan naprężenia w płnie Można dowodnić, że tensor stan naprężenia w płnie jest tensorem smetrcnm, cli: itd. Redkje to licbę niewiadomch naprężeń lepkościowch do 6, które msą bć wnacone w oparci o wbran model płn. Najcęściej jest stosowan model płn Newtona. Model płn Newtona opart jest na następjącch ałożeniach: -płn jest iotropow, cli ma jednakowe właściwości we wsstkich kiernkach, -naprężenia w płnie są liniowmi fnkcjami prędkości deformacji µ gdie: Isaac Newton 643-77 µ - dnamicn współcnnik lepkości
W prepłwie trójwmiarowm płn ściśliwego model płn Newtona jest opisan następjącmi ależnościami: µ λdiv v µ λdiv w µ λdiv µ µ v µ v w w gdie: div v w λ - objętościow współcnnik lepkości godnie hipoteą Stokesa mam: λ µ 3 W płnie nieściśliwm jest cli drgie cłon naprężeń normalnch się erją. div 0
Równanie Naviera-Stokesa Podstawienie ależności wnikającch model płn Newtona do równania achowania pęd daje równanie nane jako równanie Naviera-Stokesa. W formie skalarnej ma ono postać trech równań: Clade Navier 785-836 George Stokes 89-903 w v div p f D µ µ λ µ W formie skalarnej ma ono postać trech równań: w v div v v p f Dv µ λ µ µ div w w v w p f Dw λ µ µ µ
W formie wektorowej równanie Naviera Stokesa ma postać: D f gradp grad A B C D E A prędkość mian pęd element płn B- siła masowa C- siła powierchniowa ciśnienia ( λdiv ) div( µ [ D] ) D siła powierchniowa wiąana lepkością płn, wnikająca e mian objętości element płn ściśliwego (kompresji lb ekspansji) E- siła powierchniowa wiąana lepkością płn, wnikająca deformacji liniowej i postaciowej element płn
W płnie nieściśliwm równanie Naviera Stokesa prasca się do postaci: D f gradp div( µ [ D] ) Jeżeli dodatkowo ałożm, że lepkość płn jest stała,to mam: D f gradp µ Dalsm możliwm prosceniem jest ałożenie o brak lepkości płn, które prowadi do równania Elera, opisjącego rch płn nielepkiego i nieściśliwego: D f gradp Leonhard Eler 707-783 Równanie Naviera Stokesa może bć rowiąane analitcnie tlko dla niewiel prosconch prpadków. Wbrane prkład opisano niżej.
Równanie achowania energii Energię kinetcną płn można traktować jako smę energii rch makroskopowego ora energii rch moleklarnego, wanej energią wewnętrną: ( ) e dv,, V Zmiana w casie (cli pochodna sbstancjalna) całkowitej energii kinetcnej objętości płnnej V otoconej powierchnią S jest równa smie moc sił masowch, moc sił powierchniowch ora strmieniowi energii doprowadonej do objętości płnnej gdie: D e dv f dv ds j V V S V f j n ( ) jednostkowa siła masowa S ( V ) jednostkowa siła powierchniowa strmień ciepła doprowadonego wersor normaln ewnętrn nds ( f, f f ) f, ( j, j j ) j,
Równanie bilans entropii Entropia jest transportowana ciepłem godnie relacją Clasisa: T j s T j gdie: js j strmień entropii strmień ciepła temperatra pr której achodi transport Rdolf Clasis 8-888 Entropia mienia się wra parametrami stan (relacja Gibbsa): Ds De D T p gdie: p - ciśnienie e energia wewnętrna płn - gęstość płn Josiah Gibbs 839-903 Drga asada termodnamiki: w każdm procesie recwistm sma mian entropii wsstkich ciał biorącch diał w procesie jest awse dodatnia.
Zmiana w casie (cli pochodna sbstancjalna) entropii w objętości płnnej V(S) jest równa prodkcji entropii wewnątr tej objętości ora strmieniowi entropii pre powierchnię płnną S. D sdv sdv ɺ js ( ) V V S V nds Gdie: sɺ objętościowe natężenie źródeł entropii Powżse równanie można prekstałcić do postaci jednej całki po objętości płnnej: Ds j ɺ s div dv 0 T V Ponieważ objętość płnną V wbrano dowolnie, erować się msi również fnkcja podcałkowa, co prowadi do równania bilans entropii w postaci różnickowej (cli dla element płn): Ds ɺ s div j T
Równanie Bernolliego Równanie Bernolliego wraża asad achowania pęd i achowania energii płn pr spełnieni odpowiednich ałożeń. Założenia: t 0 -prepłw jest stacjonarn 0 -pln jest nielepki -płn jest barotropow -pole sił masowch jest potencjalne µ ( p) f gradπ Pr takich ałożeniach można scałkować równanie Elera: Daniel Bernolli 700-78 D f gradp
Równanie Bernolliego (738) p g const lb p g g const Sma energii potencjalnej pola sił masowch, energii ciśnienia ora energii kinetcnej płn jest stała. lb: Sma wsokości geometrcnej, wsokości ciśnienia (cli wsokości, na jaką wniesie się słp ciec pod ciśnieniem p) ora wsokości prędkości (cli wsokości, której spadając element płn ska prędkość ) jest stała.
Możliwe są inne postaci równania Bernolliego, jeżeli prjmie się scególne form warnk barotropowości płn. Na prkład dla ga podlegającego premianie adiabatcnej warnek ten ma postać: gdie κ jest wkładnikiem adiabat Poissona p 0 κ p κ 0 Równanie Bernolliego prjmje wted postać: κ c c p v ( κ ) κ p p 0 p κ 0 κ 0 g const Simeon Poisson 78-840 Porównanie wprowadenia równania Bernolliego równaniem achowania energii dla rrki prąd powala stwierdić, że pr pominięci energii wewnętrnej płn e i prewodnictwa cieplnego płn równanie Bernolliego wraża również asadę achowania energii.