przepływ Hagena-Poseuille a 22 października 2013 Hydrodynamika równanie Naviera-Stokesa przepły
|
|
- Mariusz Kulesza
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Hydrodynamika równanie Naviera-Stokesa przepływ Hagena-Poseuille a 22 października 2013
2 Ośrodki ciągłe równanie ruchu Zjawiska zachodzące w poruszających się płynach (cieczach lub gazach) traktujemy makroskopowo płyn jest ośrodkiem ciągłym. Do opisu formalnego naszego płynu w funkcji czasu (t) i współrzędnych przestrzennych (r) używamy: prędkości u(r, t) i dwóch (z trzech) parametrów stanu np. ciśnienia p i gęstości ρ. Na element płynu działają siły objętościowe (np. grawitacja) i powierzchniowe (ciśnienie, tarcie lepkie). Równanie ruchu takiego elementu to (1) masa du dt = F obj + F pow. Warto zauważyć, że siły objętościowe (F obj ) są proporcjonalne do objętości elementu, a więc do trzeciej potęgi jego charakterystycznego wymiaru (L 3 ), a siły powierzchniowe do powierzchni (L 2 ). Przy L 0 dominują więc te drugie.
3 Siły powierzchniowe Siły powierzchniowe to siły ciśnienia i siły tarcia lepkiego, występujące pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy. Z ich natury wynika, że powinno dać się je zapisać w postaci całki po powierzchni zamkniętej (Σ) i zamykającej w sobie rozważany element płynu (V ). Tak jak widzieliśmy reguły rachunku tensorowego wymagają aby (2) F i τ ik x k = τ i1 x 1 + τ i2 x 2 + τ i3 x 3. Przy tak określonej i-tej składowej siły możemy zastosować twierdzenie O-G w postaci tensorowej (3) V F i dv = V τ ik dv = τ ik dσ k. x k Σ
4 Siły powierzchniowe Wyrażenie pod całką powierzchniową τ ik dσ k τ i1 dσ 1 + τ i2 dσ 2 + τ i3 dσ 3 to iloczyn skalarny składowych tensora τ ik (pierwszy wskaźnik ustalony) i wektora dσ = (dσ 1, dσ 2, dσ 3 ) skierowanego elementu powierzchni całkowania Σ. Interpretacja τ ik Z formalnych dezyderatów zapisania siły powierzchniowej w postaci całki po powierzchni pojawia się potrzeba istnienia tensora τ ik. Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych ośrodków ciągłych.
5 Interpretacja τ ik Z równania (3) wynika jego prosta interpretacja τ ik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni, prostopadły do osi k. Tensor ten musi być tensorem symetrycznym. Jeżeli siły działające na daną objętość płynu wyrażają się poprzez całkę powierzchniową to i ich moment musi mieć postać takiej samej całki. M l = ɛ lki x k F i Oczekujemy, że składowa l (gdzie l i, l k, i k momentu siły powinna dać się zapisać w postaci całki ( τil (F i x k F k x i )dv = x k τ ) kl x i dv. x l x l V V
6 Tensor τ ik jest symetryczny V (F i x k F k x i )dv = V ( τil x k τ ) kl x i dv. x l x l Całkę tę, przekształcamy (całkowanie przez części) ( τil x k τ ) kl x i dv = [τ il x k τ kl x i ] dv V x l x l V x l ( ) x k x i τ il τ kl dv. x l x l Pierwsza z dwóch całek jest całką z dywergencji a więc można ja przekształcić do całki powierzchniowej; druga całka to ( ) x k x i τ il τ kl dv = (τ il δ kl τ kl δ il ) dv = (τ ik τ ki ) dv. x l x l V Aby moment siły dał się przedstawić w postaci wyłącznie całki powierzchniowej tensor τ ik musi być tensorem symetrycznym. V V V
7 Tensor τ ik jest symetryczny τ ik = τ ki. Zawsze może być on przedstawiony w odpowiednim układzie układzie osi własnych w którym tylko diagonalne składowe są różne od zera, a składowe poza przekątną główną znikają. Suma składowych diagonalnych jest to tzw. ślad tensora τ ii τ 11 + τ 22 + τ 33 skalarna wielkość, będąca niezmienikiem transformacji.
8 Tensor τ ik a hydrostatyka Dla płynu w równowadze, tensor naprężeń wyraża się jednoznacznie przez ciśnienie panujące w otoczeniu (nieskończenie małego) elementu cieczy. Z prawa Pascala wynika, że wszystkie trzy składowe tensora (układ osi własnych) są sobie równe. Ponieważ reprezentują one siły działające na jednostkowe powierzchnie, prostopadłe do trzech głównych osi mamy (4) τ 11 = τ 22 = τ 33 = 1 3 τ ii = p (ujemny znak, bo siła działa w kierunku przeciwnym do kierunku skierowanego na zewnątrz wektora dσ).
9 Przypadek ogólny; składowe ścinania W przypadku, kiedy mamy do czynienia z ruchem względnym warstw płynu tensor τ ik zapisujemy w postaci (5) τ ik = pδ ik + d ik. Pierwszy składnik po prawej stronie to przyczynek od sił ciśnienia; drugi tensor d ik związany jest właśnie z ruchem cieczy. Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od zera, to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna różnica prędkości. Na przykład, jeżeli rozpatrywać ruch w kierunku osi 0x (albo x 1 ), możemy mieć do czynienia z pewnym zróżnicowaniem prędkości w kierunku osi 0y (albo x 2 ) i wyrażenie u 1 x 2 będzie różne od zera. Możemy skojarzyć z tym odpowiednią siłę (na jednostkę powierzchni) d 12 = µ u 1 x 2, gdzie współczynnik µ jest stałą materiałową i zależy, w pierwszym rzędzie, od rodzaju płynu.
10 Przypadek ogólny; składowe ścinania, c.d. Tensor d ij powinien być symetryczny, bo stanowi część symetrycznego tensora τ ik ; zresztą symetria zresztą wynika z założenia o izotropowych własnościach płynu konkretnie, określona zmiana składowej (np.) x-owej wzdłuż y powinna skutkować pojawieniem się takiej samej siły tarcia jak taka sama zmiana składowej y-owej wzdłuż x. Aby tak było zapisujemy tensor d ik w postaci (6) d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ), gdzie tensor e ik e ik = 1 ( ui + u ) k 2 x k x i to naocznie symetryczny tensor, w którym występują pierwsze pochodne składowych wektora prędkości; natomiast (7) = u i x i = div u = e ii to ślad tego tensora (skalar).
11 Przypadek ogólny; składowe ścinania, c.d. = u i x i = div u = e ii d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ), Dodanie takiego (formalnie przekształconego do wielkości tensorowej mnożnik δ ik ) skalara niewiele zmienia określenie sił (pochodne tensora τ ik ) pozostaje bez zmian. Tak określony tensor ma ślad (sumę składowych diagonalnych) równy zeru łatwo to sprawdzić, o ile uzmysłowimy sobie że ślad delty Kroneckera (też tensor!) δ ii = 3. Takie zerowanie się dywergencji tensora pozwala na formułowanie dodatkowych wniosków.
12 Równanie Naviera-Stokesa Powracamy do równania masa du dt = F obj + F pow. masa elementu objętości dv to ρdv (8) ρdv du i dt = F iρdv + τ ik x k dv, i = 1, 2, 3 gdzie F i to gęstość sił objętościowych (siła na jednostkę masy), a za siły powierzchniowe dywergencję tensora naprężeń. Dzielimy przez dv i podstawiamy jawną postać tensora naprężeń (9) ρ du i dt = ρf i p x i + x k [ 2µ(e ik 1 ] 3 δ ik ). To właśnie równanie nazywamy równaniem Naviera-Stokesa.
13 Równanie Naviera-Stokesa c.d. Dla gęstości ρ stałej w czasie i przestrzeni mamy (równanie ciągłości!) divu = e ii = = 0. Mamy wówczas też 2µ e ik x k = µ x k ( ui x k + u k x i ) ( 2 u i = µ x 2 + ) e kk = µ 2 u i k x i x 2 k (wymieniamy szyk liczenia pochodnych mieszanych i jeszcze raz korzystamy z zerowania się dywergencji prędkości). Równanie (9) w zapisie wektorowym przybiera wówczas postać (10) ρ du dt = ρf p + µ u.
14 Równanie N-S bez tensorów Równanie N-S można też wyprowadzić bez tensorów, stosując proste rachunki, z których wynikają te same postacie przyczynków do sił powierzchniowych. Zobaczmy Siły powierzchniowe ciśnienia (a) i lepkości(b)
15 Siły ciśnienia Na element cieczy dxdydz działa z lewej siła F x (x, y, z) = p(x, y, z)dydz, natomiast z prawej ta sama składowa ma postać F x (x + dx, y, z) = p(x + dx, y, z)dydz. Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, zachowując tylko wyrazy nieskończenie małe pierwszego rzędu [ F x = p(x + dx, y, z)dydz p(x, y, z) + p ] x dx dydz. Za ruch w kierunku osi 0x odpowiedzialna jest F wypadkowa x = p x dxdydz, (x,y,z) a więc na jednostkę objętości F wypadkowa x /dv = p x. (x,y,z)
16 Siły lepkości Na dolną podstawę elementu działa zgodnie z założeniem Newtona siła µ u x(x, y, z) dxdy z na górną µ u x(x, y, z + dz) z [ ux (x, y, z) = µ + z z ] u x (x, y, z) dz dxdy; z ich wypadkowa odniesiona do elementu o rozmiarach dxdydz to µ 2 u x (x, y, z) z 2 dxdydz.
17 Pochodna śledcza Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu względem czasu, występującej po lewej stronie równania masa du dt = F obj + F pow. Ta zmiana ma charakter globalny i związana jest zarówno z upływem czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia, co również może zmieniać jego prędkość. Formalnie wystarczy obliczyć pochodną prędkości jako pochodną zupełną, pamiętając, że u = u(x, y, z, t) du dt = u t + u x dx dt + u dy y dt + u z du i dt = u i t + u k dz dt = u t + u x u x + u y u y + u z u z u i x k, i = 1, 2, 3. W żargonie mechaniki ośrodków ciągłych mamy pochodną śledczą.
18 Pochodna śledcza, c.d. pamiętając, że du i dt = u i t + u k grad = e i u i x k, i = 1, 2, 3. x i, i ostatecznie u k u i x k = (u )u i du i dt = u i t + (u )u i
19 Równanie ruchu Dla (jednostkowego elementu objętości) nieściśliwej cieczy lepkiej równaniem dynamicznym jest (11) ρ u t + ρ(u )u = P + µ 2 u + ρg. Oznaczenie jak zwykle: ρ gęstość płynu (z założenia stała; założenie nieco dyskusyjne dla gazów, chociaż przy prędkości powietrza poniżej 50 m/s nieźle spełnione); u prędkość; P ciśnienie; g - przyspieszenie ziemskie; µ wsp. lepkości. Pierwszy wyraz po lewej stronie (11) nazywa się pochodną lokalną (wzgl.czasu); drugi to przyspieszenie konwekcyjne elementu objętości. Prawa strona równania to oczywiście siły działające na element objętości: gradient ciśnienia, siły lepkie i ciążenie. (12) ρ u i t + ρu k u i = P + µ x k x i 2 u i x j x j + ρg i. (i = 1, 2, 3) sumujemy po powtarzających się wskaźnikach.
20 Równanie ruchu zapis in extenso ρ u ( ) 1 t + ρ u 1 u 1 u 1 u 1 + u 2 + u 3 x 1 x 2 x 3 = P ( 2 ) u 1 + µ + 2 u u 1 + ρg 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 dla i = 1 i analogicznie dla i = 2, 3. Trzy równania skalarne typu (13) zawierają cztery niewiadome: trzy składowe prędkości i ciśnienie. Brakującym czwartym równanie jest równanie ciągłości (rozdz. 1). Rozwiązanie układu czterech równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych wymaga też sformułowania adekwatnych warunków brzegowych (początkowych).
21 Hydrostatyka Nieruchomy płyn w polu sił ciężkości Najprostszy przypadek równań N-S to u = 0: (13) P = ρg. Dla jednowymiarowego przypadku (por. rysunek) rozwiązaniem (13) jest (14) P = ρgx 2 + P 0, gdzie P 0 jest ciśnieniem na powierzchni.
22 Ciśnienie wewnętrzne; powierzchnia swobodna Ciśnienie P występujące w równ. N-S można zapisać w postaci sumy trzech wyrazów: (15) P = p 0 + ρg x + p, gdzie: p 0 to pewne stałe ciśnienie zewnętrzne (np. atmosferyczne); ρg x to ciśnienie hydrostatyczne i w końcu p właściwe ciśnienie wewnętrzne, albo zmodyfikowane, związane z ruchem płynu. Jeżeli nie interesuje nas hydrostatyka (np. zaniedbujemy zmiany ciśnienia z głębokością), ani to, co dzieje się na(d) powierzchni(ą) swobodnej (-ną) płynu to podstawiając z (15) do (11) otrzymujemy nieco prostsze równanie (16) ρ Du Dt = p + µ 2 u.
23 Przepływy ustalone: jednokierunkowe i okrężne Rozważamy ustalone przepływy jednokierunkowe takie, w których wszystkie cząstki poruszają się w jednym kierunku. Wektory prędkości cząstek są równoległe, a w dodatku nie zmieniają się wzdłuż linii prądu przepływ jest ustalony, albo stacjonarny, pochodne cząstkowe względem czasu równe są zeru. Gradient prędkości (jej wartości bezwzględnej) będzie więc prostopadły do tych linii prądu (bo to jest kierunek najszybszych zmian wartości prędkości), a jeżeli tak to konwekcyjny wyraz w pochodnej śledczej prędkości jest równy zeru. (u )u = 0.
24 Przepływy ustalone: Przykłady Górna ścianka porusza się w kierunku 0x
25 Przepływy ustalone: Przykłady (1) Górna ścianka porusza się w kierunku 0x Mamy tylko jedną składową prędkości u x ; tensor naprężeń (17) τ xy = µ u x y µdu x dy. siła lepkości w danym kierunku jest proporcjonalna do zmiany prędkości w kierunku normalnym, przypadającej na jednostkę tej normalnej wysokości.
26 Przepływy ustalone: Przykłady (2) Obie ścianki poruszają się w kierunkach przeciwnych z równymi prędkościami
27 Przepływy ustalone: Przykłady (3) przepływ tłokowy (wywołany przez pewien gradient ciśnienia)
28 Przepływy ustalone: Przykłady (4) Przepływ rotacyjny w pierścieniu, którego zewnętrzna ścianka obraca się ze stałą prędkością kątową
29 przepływ tłokowy (wywołany przez pewien gradient ciśnienia) (18) dp dx = µd2 u x dy 2. Pochodna dp/dx musi mieć stałą wartość wynika to ze stałości przepływu wzdłuż osi 0x. Warunki brzegowe: du x /dy = 0 dla y = 0 (symetria względem osi 0y) i u x = 0 dla y = ±a (na stałej powierzchni prędkość płynu znika ze względu na lepkość; mówimy o przepływach bez poślizgu). Rozwiązaniem (18) spełniającym oba te warunki jest (19) u x = 1 dp 2µ dx (a2 y 2 ), (zauważmy, że aby przepływ zachodził w dodatnim kierunku osi 0X musimy mieć dp/dx < 0.)
30 przepływ tłokowy w rurze o promieniu a (20) dp dz = µd2 u z dr 2. wzór Hagena-Poiseuille a. (21) u z = 1 dp 4µ dz (a2 r 2 ), (r odległość od osi rury). Uśredniając po całym przekroju rury, możemy wyliczyć średnią prędkość (22) u z = 1 dp 8µ dz a2.
31 przepływ tłokowy w rurze o promieniu a tensor naprężeń W układzie współrzędnych cylindrycznych, składowa τ a zr to ( ur (23) τ zr = µ z + u ) z = µ u z r r (składowa radialna u r = 0). Podstawiając za u r z (21) dostaniemy (24) τ zr = µ d [ 1 ] dp dr 4µ dz (a2 r 2 ) = 1 dp 2 dz r. To bardzo ważny wynik naprężenie pomiędzy kolejnymi warstwami (o symetrii cylindrycznej) płynu rośnie liniowo, w miarę jak odsuwamy się od osi rury i osiąga maksymalną wartość na ściance rury. Ten liniowy wzrost spotkamy także w przypadku przepływów turbulentnych płynów newtonowskich!! a W oryginale autor konsekwentnie zmienia szyk wskaźników tensora τ. Tensor jest symetryczny, ale siłę tarcia lepkiego, z jaką ścianka rury działa na poruszający się wzdłuż osi 0z płyn ( na jednostkową powierzchnię, normalną do promienia r) oznaczamy τ zr a nie jak u Clarka τ rz.
Tensory mały niezbędnik
28 października 2013 Rozkład wektora V na współrzędne: α = (0x, V ), β = (0y, V ), γ = (0z, V ). Rozkład wektora r, r = (x, y) na współrzędne w dwóch różnych układach współrzędnych. x = x cos θ + y sin
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PŁYNÓW Płyn
MECHANIKA PŁYNÓW Płyn - Każda substancja, która może płynąć, tj. pod wpływem znikomo małych sił dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może swobodnie się przemieszczać
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoLaminarna warstwa graniczna. 3 listopada Hydrodynamika Prawo Darcy ego równanie Eulera
Hydrodynamika Prawo Darcy ego równanie Eulera i Bernoulliego Laminarna warstwa graniczna 3 listopada 2013 Prawo Darcy ego przepływ przez ośrodki porowate Henri Darcy, francuski inżynier-hydrolog. W połowie
Bardziej szczegółowoZasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski
Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa Mariusz Adamski 1. Zasady zachowania. Znaczna część fizyki, a w szczególności fizyki klasycznej, opiera się na sformułowaniach wypływających z zasad zachowania.
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Bardziej szczegółowo[ ] ρ m. Wykłady z Hydrauliki - dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne
WYKŁAD 1 1. WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne Płyn - ciało o module sprężystości postaciowej równym zero; do płynów zaliczamy ciecze i gazy (brak sztywności) Ciecz - płyn o małym współczynniku ściśliwości,
Bardziej szczegółowo1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH
1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej,
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15
WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15 Fundamentalne Zasady Zachowania/Zmienności w Mechanice mówią nam co dzieję się z: masą pędem krętem (momentem pędu)
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 12 Procesy transportu Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Zjawiska transportu Zjawiska transportu są typowymi procesami nieodwracalnymi zachodzącymi w przyrodzie. Zjawiska te polegają
Bardziej szczegółowoKinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
Bardziej szczegółowoSpis treści 11 Uzupełnienia do rozdziałów 5 i 6
Spis treści 11 Uzupełnienia do rozdziałów 5 i 6 1 11.1 Równania hydrodynamiki krótkie wprowadzenie.............. 1 11.1.1 Tensor naprężeń (napięć)........................ 1 11.1.2 Hydrostatyka..............................
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 RÓWNANIE NAVIERA-STOKESA 1/17
WYKŁAD 8 RÓWNANIE NAVIERA-STOKESA /7 Zaczniemy od wyprowadzenia równania ruchu dla płynu newtonowskiego. Wcześniej wyprowadziliśmy z -ej Zasady Dynamiki ogólne równanie ruchu, którego postać indeksowa
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA
POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 1 Temat: Wyznaczanie współczynnika
Bardziej szczegółowo6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoSTAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE 1/14
WYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE /4 RÓWNANIE EULERA W Wykładzie nr 4 wyprowadziliśmy ogólne r-nie ruchu płynu i pokazaliśmy jego szczególny (de facto najprostszy) wariant zwany Równaniem
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA PROCESOWA
TERMODYNAMIKA PROCESOWA Wykład III Podstawy termodynamiki nierównowagowej Prof. Antoni Kozioł Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Uwagi ogólne Większość zagadnień związanych z przemianami różnych
Bardziej szczegółowoOddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze.
Siły w przyrodzie Oddziaływania Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze. Występujące w przyrodzie rodzaje oddziaływań dzielimy na:
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1
J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 Warstwa przyścienna jest to część obszaru przepływu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opływanego ciała. W warstwie przyściennej znaczącą rolę
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych
Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało sprężyste Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 4 ZASADA ZMIENNOŚCI PĘDU I OGÓLNE RÓWNANIA ZNACZENIE ZASADY ZMIENNOŚCI KRĘTU. RUCHU PŁYNU. 1/11
WYKŁAD 4 ZASADA ZMIENNOŚCI PĘDU I OGÓLNE RÓWNANIA RUCHU PŁYNU. ZNACZENIE ZASADY ZMIENNOŚCI KRĘTU. 1/11 RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU PŁYNU Wiemy uż, że Zasada Zmienności Pędu est szczególnym przypadkiem ogólne
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Po czym można rozpoznać, że na ciało działają siły? Możliwe skutki działania sił: Po skutkach działania sił. - zmiana kierunku ruchu
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoZadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu
Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych
Bardziej szczegółowo18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa
Kinematyka 1. Podstawowe własności wektorów 5 1.1 Dodawanie (składanie) wektorów 7 1.2 Odejmowanie wektorów 7 1.3 Mnożenie wektorów przez liczbę 7 1.4 Wersor 9 1.5 Rzut wektora 9 1.6 Iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia
Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha F.Żarnecki Praca Rozważamy
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoTransport masy w ośrodkach porowatych
grudzień 2013 Dyspersja... dyspersja jest pojęciem niesłychanie uniwersalnym. Możemy zrekapitulować: dyspersja to w ogólnym znaczeniu rozproszenie, rozrzut, rozcieńczenie. Możemy nazywać dyspersją roztwór
Bardziej szczegółowo. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest porównanie na drodze obserwacji wizualnej przepływu laminarnego i turbulentnego, oraz wyznaczenie krytycznej licz
ZAKŁAD MECHANIKI PŁYNÓW I AERODYNAMIKI ABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW ĆWICZENIE NR DOŚWIADCZENIE REYNODSA: WYZNACZANIE KRYTYCZNEJ ICZBY REYNODSA opracował: Piotr Strzelczyk Rzeszów 997 . Cel ćwiczenia Celem
Bardziej szczegółowoSTATYKA I DYNAMIKA PŁYNÓW (CIECZE I GAZY)
STTYK I DYNMIK PŁYNÓW (CIECZE I GZY) Ciecz idealna: brak sprężystości postaci (czyli brak naprężeń ścinających) Ciecz rzeczywista małe naprężenia ścinające - lepkość F s F n Nawet najmniejsza siła F s
Bardziej szczegółowoCiśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni.
Ciśnienie i gęstość płynów Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha Powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy zarówno ciecze
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoNumer Nota albumu Robert G
FIZYKA TRANSPORTU, 3 TERMIN, 16/03/07 1 Fizyka transportu, 3 termin, 16/03/07 Egzamin zaliczyła pozytywnie jedna osoba: 124 948 +dst) Fizyka transportu, 2 termin, 7/03/07 Egzamin zaliczyła pozytywnie jedna
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr -Wykład 2 Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów
J. Szantyr -ykład Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów Stany skupienia materii: ciała stałe płyny, czyli ciecze i gazy -Ciała stałe przenoszą obciążenia zewnętrzne w taki sposób, że ulegają deformacji
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoAerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.
Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych. przepłw wokół profilu RAE-2822 (M = 0.85, Re = 6.5 10 6, α = 2 ) Efekty lepkie w przepływach ściśliwych Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego Całkowe
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.
Bardziej szczegółowoŁadunek elektryczny. Zastosowanie równania Laplace a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal. Wprowadzenie. Podstawowe cechy pól siłowych
6 czerwca 2013 Ładunek elektryczny Ciała fizyczne mogą być obdarzone (i w znacznej większości faktycznie są) ładunkiem elektrycznym. Ładunek ten może być dodatni lub ujemny. Kiedy na jednym ciele zgromadzonych
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE
1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoNieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, cz. 1
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoStatyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał
Statyka Cieczy i Gazów Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał 1. Podstawowe założenia teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał: Ciała zbudowane są z cząsteczek. Pomiędzy cząsteczkami
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoLXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA
LXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA CZĘŚĆ TEORETYCZNA Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 0 punktów. Zadanie 1. przedmiot. Gdzie znajduje się obraz i jakie jest jego powiększenie? Dla jakich
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych
J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych a) Wentylator lub pompa osiowa b) Wentylator lub pompa diagonalna c) Sprężarka lub pompa odśrodkowa d) Turbina wodna promieniowo-
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I
J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałach otwartych Przepływy w kanałach otwartych najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoGęstość i ciśnienie. Gęstość płynu jest równa. Gęstość jest wielkością skalarną; jej jednostką w układzie SI jest [kg/m 3 ]
Mechanika płynów Płyn każda substancja, która może płynąć, tj. dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje oraz może swobodnie się przemieszczać (przepływać), np. przepompowywana
Bardziej szczegółowoRozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoPrzepływy laminarne - zadania
Zadanie 1 Warstwa cieczy o wysokości = 3mm i lepkości v = 1,5 10 m /s płynie równomiernie pod działaniem siły ciężkości po płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem α = 15. Wyznaczyć: a) Rozkład prędkości.
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA
ĆWICZENIE 8 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 5
Podstawy fizyki wykład 5 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Grawitacja Pole grawitacyjne Prawo powszechnego ciążenia Pole sił zachowawczych Prawa Keplera Prędkości kosmiczne Czarne
Bardziej szczegółowoZasada zachowania energii
Zasada zachowania energii Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: Stała siła działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o. Praca jaką wykona przy tym siła W przypadku
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoVII.1 Pojęcia podstawowe.
II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
ANALIZA PRZEKAZYWANIA CIEPŁA I FORMOWANIA SIĘ PROFILU TEMPERATURY DLA NIEŚCIŚLIWEGO, LEPKIEGO PRZEPŁYWU LAMINARNEGO W PRZEWODZIE ZAMKNIĘTYM Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie obserwacja procesu formowania
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................
Bardziej szczegółowoStatyka płynów - zadania
Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowo