PORÓWNANIE WYNIKÓW RÓŻNYCH METOD PROGNOZOWANIA PARAMETRÓW ORIENTACJI ZIEMI

INSTYTUT GEODEZJI I KARTOGRAFII Seria Monograficzna nr 10 WIESŁAW KOSEK MACIEJ KALARUS Cenrum Badań Kosmicznych PAN Warszawa WALDEMAR POPIŃSKI Główny Urząd Saysyczny Warszawa PORÓWNANIE WYNIKÓW RÓŻNYCH METOD PROGNOZOWANIA PARAMETRÓW ORIENTACJI ZIEMI ZARYS TREŚCI: Prognozy paramerów orienacji Ziemi porzebne są do wyznaczenia w czasie rzeczywisym ransformacji pomiędzy niebieskim i ziemskim układem odniesienia. W pracy przedsawione zosały różne meody prognozowania współrzędnych x, y bieguna ziemskiego i czasu UT1 UTC, akie jak meoda najmniejszych kwadraów (LS), auoregresji (AR), auoregresji i średniej ruchomej (ARMA), auokowariancji (AC), sieci neuronowych (NN), a akże kombinacje meody LS z meodami AR, ARMA, AC i NN. Przedsawiona zosała akże meoda prognozowania współrzędnych bieguna ziemskiego w układzie współrzędnych biegunowych. Najwyższą dokładność prognozy współrzędnych bieguna ziemskiego uzyskuje się poprzez zasosowanie kombinacji meody LS z meodą AR (LS+AR). Błędy prognozy współrzędnych bieguna ziemskiego są mniejsze niż dla meody prognozowania obecnie sosowanej przez IERS Rapid Service/Predicion Cenre w USNO. Prognozy meodą LS+AR współrzędnych bieguna ziemskiego są raz na ydzień auomaycznie wyznaczane, wysyłane do USNO i porównywane na bieżąco z prognozami am wyznaczanymi. Meoda a wkróce zosanie zasosowana do ruynowych wyznaczeń prognoz współrzędnych bieguna ziemskiego w IERS Rapid Service/Predicion Cenre. 1. PARAMETRY ORIENTACJI ZIEMI A TRANSFORMACJA POMIĘDZY ZIEMSKIM I NIEBIESKIM UKŁADEM ODNIESIENIA Do paramerów orienacji Ziemi należą współrzędne x, y bieguna ziemskiego, UT1 UTC, oraz efek precesyjno-nuacyjny wyrażony w długości i nachyleniu. Współrzędne bieguna ziemskiego dosępne są już od 1846 r., zmiany UT1 UTC od 1962 r., naomias poprawki do modelu nuacji z obserwacji VLBI od 1979 r. Akualizowane są one na sronach inerneowych Międzynarodowej Służby Ruchu Obroowego Ziemi (Inernaional Earh Roaion Sevice, IERS) (IERS 2003). W zbiorze IERS EOPC04 o inerwale próbkowania 1 dzień, kóry zosał wykorzysany w obliczeniach, znajdują się

218 Wiesław Kosek, Maciej Kalarus, Waldemar Popiński współrzędne x, y bieguna ziemskiego oraz zmiany czasu uniwersalnego UT1 UTC i długości doby (Lengh of Day, LOD). Dodakowo wykorzysane zosały współrzędne x, y bieguna ziemskiego IERS EOPC01 od 1846 do 1962 r. Z inerwałem próbkowania 0.05 la w celu przedłużenia wsecz ciągu czasowego współrzędnych bieguna EOPC04 obejmującego okres od począku 1962 do połowy 2004 r. 1.1. Ruch bieguna ziemskiego Ruch bieguna ziemskiego zaobserwowany zosał po raz pierwszy w połowie XIX w. w wyniku analiz obserwacji asromerycznych zmian szerokości asronomicznych sacji. Od roku 1980 wyznaczone współrzędne bieguna odnoszono do zw. Niebieskiego Bieguna Efemerydalnego (Celesial Ephemeris Pole, CEP) obowiązującego do końca 2002 r. Od 1 sycznia 2003, zgodnie z rezolucją B1.7 przyjęą na XXIV Generalnym Zgromadzeniu IAU w Mancheserze w 2000 r., CEP zosał zasąpiony przez zw. Niebieski Biegun Pośredni (Celesial Inermediae Pole, CIP) (Capiaine i in. 2003). Najbardziej energeycznymi oscylacjami we współrzędnych bieguna ziemskiego są oscylacje Chandlera i roczna. Rola momenu pędu amosfery w pobudzaniu oscylacji Chandlera, rocznej (Chao i Au 1991), a akże oscylacji o okresach krószych niż rok (Eubanks i in. 1988; Kosek i in. 1995) jes znacząca, chociaż nie do końca wyjaśnia ich przyczynę. Uwzględnienie dodakowo momenu pędu oceanu znacznie poprawiło korelację pomiędzy łączną amosferyczno-oceaniczną funkcją pobudzenia a funkcją pobudzenia wyznaczoną ze współrzędnych bieguna w zakresie częsoliwości Chandlera, rocznej oraz zmian o okresach krószych niż rok (Pone i Sammer 1999; Brzeziński i in. 2003; Gross i in. 2003; Kosek 2004a, 2004b). Przebieg zmienności współrzędnych x, y bieguna ziemskiego EOPC04 oraz EOPC01 przedsawiono na rysunku 1. [arcsec] 0.3 0.2 0.1 0.0-0.1-0.2-0.3 [arcsec] 0.3 0.2 0.1 0.0-0.1-0.2-0.3 EOPC01 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 x EOPC04 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 [laa] Rys. 1. Współrzędne x, y bieguna ziemskiego EOPC01 (linia szara) i EOPC04 (linia czarna) y

Porównanie wyników różnych meod prognozowania... 219 1.2. Zmiany prędkości obroowej Ziemi Zmiany prędkości obroowej Ziemi wyrażone przez czas UT1 UTC lub jego pierwszą pochodną LOD powodowane są głównie zmianami pływowymi związanymi z oddziaływaniem grawiacyjnym Słońca i Księżyca (Mc- Carhy i Luzum 1993) oraz niepływowymi, kórych główną przyczyną jes wymiana momenu pędu pomiędzy Ziemią a amosferą (Hide i in. 1980). Jednym z ważniejszych czynników wpływających na długookresowe zmiany składowej osiowej momenu pędu amosfery oraz LOD jes zjawisko ENSO (El Niño Souhern Oscillaion) (Dickey i in. 1999; Salsein i in. 1999). Deformacje pływowe UT1-UTC i LOD Oddziaływanie grawiacyjne Słońca i Księżyca w zmianach czasu uniwersalnego UT1 UTC lub zmianach długości doby LOD może być modelowane przy użyciu funkcji deerminisycznej odpowiednio według nasępujących wzorów: gdzie δut1 i i 5 62 i1 i B sin C cos, δ LOD B cos Csin (1) i i i B, C, B, C paramery modelu i j 1 a ij j i i a ij całkowie mnożniki j argumeny nuacji lunisolarnej l, l, F, D, (McCarhy 1996). Model oscylacji pływowych w zmianach długości doby oraz zmiany długości doby przed i po odjęciu modelu pływowego widoczne są na rysunku 2. [s] 0.002 0.001 0.000-0.001-0.002 [s] 0.004 0.003 0.002 0.001 0.000 model pływowy LOD 62 i1 39600 41800 44000 46200 48400 50600 52800 LOD LODR = LOD - model pływowy 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 [laa] Rys. 2. Model oscylacji pływowych w zmianach długości doby oraz zmiany długości doby przed (LOD linia szara) i po odjęciu modelu pływowego (LOD model linia czarna) i i i i

220 Wiesław Kosek, Maciej Kalarus, Waldemar Popiński 1.3. Precesja i nuacja Główną przyczyną zmian precesji i nuacji jes oddziaływanie grawiacyjne Słońca i Księżyca na część masy Ziemi znajdującej się poza masą kulisą. Zmiany e dla Ziemi sałej są dobrze poznane ze względu na dokładnie określone okresy precesji (25 600 la) oraz głównych wyrazów nuacji (13.66 dni, 0.5 roku, 1 rok, 9.3 la oraz 18.6 la). Wpływ amosfery i oceanu na zmiany nuacji (zmiany położenia bieguna względem ICRS) jes znacznie mniejszy niż na zmiany współrzędnych bieguna ziemskiego (zmiany położenia bieguna względem ITRS) lub UT1 UTC, chociaż, jak wskazują osanie badania, nie jes on zaniedbywalny i dalsze modelowanie nuacji jes obecnie przedmioem inensywnych badań (Gegou i in. 1998; Bizouard i in. 1998; de Viron i in. 2001; Dehan i in. 2003). 1.4. Transformacja pomiędzy niebieskim i ziemskim układem odniesienia oraz jej dokładność Transformacja pomiędzy niebieskim i ziemskim układem odniesienia (ICRF i ITRF) jes funkcją czasu i jej paramerami są paramery orienacji Ziemi (Earh Orienaion Parameers, EOP). Paramery orienacji Ziemi określają ruch osi Ziemi w przesrzeni względem ICRF, czyli precesję i nuację oraz ruch osi obrou Ziemi względem ITRF, czyli ruch bieguna oraz zmiany prędkości obroowej Ziemi. Transformacja a realizowana jes wzorem: CRS Q( ) R( ) W ( ) TRS (2) gdzie macierze Q (), R (), W () określają kolejno: ruch bieguna względem sysemu niebieskiego, obró Ziemi wokół osi biegunowej oraz obró uwzględniający ruch bieguna względem sysemu ziemskiego. Tablica 1. Błąd wyznaczenia x, y, UT1 UTC w poszczególnych laach w rozwiązaniu kombinowanym EOPC04 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 x [mas] 16.3 2.6 0.72 0.53 0.29 0.12 0.074 0.058 y [mas] 14.3 1.5 0.60 0.47 0.29 0.15 0.074 0.060 UT1 UTC [ms] 0.406 0.238 0.069 0.044 0.016 0.010 0.012 0.006 Dokładność ransformacji dwóch konwencjonalnych układów odniesienia ICRF i ITRF w czasie rzeczywisym zależy od precyzji wyznaczenia i prognozowania EOP, kórych dokładność wzrasała od począku la 70. dzięki zasosowaniu nowoczesnych echnik geodezji kosmicznej. W ablicy 1 pokazane są średnie błędy EOP od 1976 r. Paramery orienacji Ziemi zosały wyznaczone przez IERS jako kombinacja różnych rozwiązań EOP z obserwacji asromerycznych, SLR, VLBI, GPS i DORIS. Obecna dokładność wyznaczenia współrzędnych bieguna ziemskiego i poprawek do modelu nuacji IAU2000A wynosi około 0.06 mas, naomias zmian długości doby około

Porównanie wyników różnych meod prognozowania... 221 0.006 ms, co na powierzchni Ziemi odpowiada przesunięciom odpowiednio rzędu 1.8 mm i 2.8 mm. Dokładność prognozowania EOP jes bardzo mała w sosunku do dokładności ich wyznaczenia, a sosunek średniego błędu prognozy do średniego błędu wyznaczenia EOP wzrasa z długością prognozy (Kosek 1993, 1997, 2000, 2002; Kosek i in. 1998, 2000, 2001, 2002, 2004; Malkin i Skurikhina 1996; McCarhy i Luzum 1991; Schuh i in. 2002). W ablicy 2 przedsawione zosały średnie błędy prognozy EOP od 1 do 60 dni w przyszłości oraz sosunek ych błędów do średnich błędów ich wyznaczenia w roku 2000. Biorąc pod uwagę o, że prognoza EOP obliczana jes przez IERS Rapid Service/Predicion Cenre raz w ygodniu, widoczne jes, że po ym czasie błędy prognoz EOP są kilkadziesią razy większe niż dokładność ich wyznaczenia. Sosunek błędów prognozy do błędów wyznaczenia EOP rośnie szybciej dla UT1 UTC niż dla współrzędnych bieguna ziemskiego. Pozosałe paramery ransformacji pomiędzy sysemami ICRS i ITRS, precesja i nuacja prognozowane są prawie z dokładnością ich wyznaczenia ze względu na o, że deerminisyczny model ych zmian jes obecnie bardzo dobrze znany (McCarhy 1996; McCarhy i Luzum 2003; Brzeziński i Kosek 2004). Błąd prognozy precesji i nuacji niezależnie od jej długości wynosi 0.13 mas. Czym wyższa precyzja wyznaczenia EOP, ym większy saje się sosunek błędów ich prognozowanych warości do błędów ich wyznaczenia. Sąd, IERS Rapid Service/Predicion Cenre jes zaineresowane dokładniejszym niż obecnie prognozowaniem współrzędnych x, y bieguna ziemskiego oraz UT1 UTC. Tablica 2. Średnie błędy prognozy współrzędnych x, y bieguna ziemskiego oraz UT1-UTC od 1 do 60 dni w przyszłości oraz ich sosunek do błędu ich wyznaczenia w 2000 roku Dni w przyszłości 1 7 20 40 60 x, y [mas] 0.5 2.7 6.3 10.6 14.2 UT1 UTC [ms] 0.12 0.7 3.6 6.9 10.1 Sosunek błędu prognozy x, y ~7 ~36 ~85 ~140 ~190 do błędu wyznaczenia EOP UT1 UTC ~10 ~58 ~300 ~580 ~ 840 2. PRZYCZYNY WZRASTAJĄCYCH BŁĘDÓW PROGNOZY WSPÓŁRZĘDNYCH BIEGUNA ZIEMSKIEGO ORAZ UT1 UTC Powodem wzrosu błędu prognozy współrzędnych bieguna ziemskiego są nieregularne zmiany ampliud i faz oscylacji krókookresowych od kilku do około 250 dni (Kosek i Kołaczek 1995, 1997; Kosek i in. 1995; Kosek 2000), a akże zmiany ampliud i faz oscylacji rocznej i Chandlera (Kosek i in. 2001, 2002). Najbardziej znaczącym czynnikiem wpływającym na wzros błędów prognozy współrzędnych bieguna ziemskiego i UT1 UTC do kilku dni w przyszłości są nieregularne zmiany wysępujące podczas wymiany momen-

222 Wiesław Kosek, Maciej Kalarus, Waldemar Popiński ów pędu pomiędzy sałą Ziemią a zewnęrznymi ośrodkami ciekłymi, amosferą, oceanem i hydrosferą lądową. Przez nieregularne zaburzenia rozumiane są akie, kórych nie daje się przedsawić ani eksrapolować funkcją maemayczną. Niemożność wymodelowania ych nieregularnych zmian EOP powoduje wzros błędu ich prognozy. Rysunek 3 przedsawia czasowo częsoliwościowe widma mocy wyznaczone meodą środkowoprzepusowego filru ransformay Fouriera (FTBPF) (Popiński i Kosek 1995; Kosek 1995) zespolonych współrzędnych bieguna ziemskiego i zmian długości doby, na kórych widoczne są nieregularne zmiany ampliud oscylacji krókookresowych. Dokładność prognozy współrzędnych bieguna ziemskiego spowodowana jes akże zmianą ampliudy oscylacji rocznej i Chandlera, a akże fazy oscylacji rocznej, widocznych na rysunku 4 (Kosek i in. 2001, 2002). Zmiany e zosały wyznaczone meodą LS dla modelu eksrapolacji współrzędnych bieguna ziemskiego dopasowanego do ciągu danych o długości 3 la. Model en składa się z kołowej oscylacji Chandlera oraz dwóch elipycznych oscylacji rocznej i półrocznej. Zmiany ampliudy oscylacji Chandlera są większe niż rocznej, jednak ze względu na ich wygładzenie nie wpływają na błąd prognozy ak znacząco jak zmiany ampliudy oscylacji rocznej. Wzros długości ciągu danych, z kórych wyznaczany jes model LS, spowodował wzros błędów prognozy współrzędnych bieguna ziemskiego, szczególnie w okresie wysąpienia dwóch największych w poprzednim suleciu zjawisk El Niño w laach 1982/1983 oraz 1997/1998 (Kosek i in. 2001, 2002). Zarówno faza, jak i ampliuda oscylacji rocznej osiągnęły największe warości przed wysąpieniem ych zjawisk. Dokładność prognozy długookresowej zależy naomias od zmian ampliudy i fazy oscylacji Chandlera, a akże zmienności oscylacji długookresowych i wiekowych (Schuh i in. 2001). _ x iy [mas] okres [dni] okres [dni] 200 150 100 50 0-50 -100-150 -200 200 150 100 50 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 [laa] _ LODR = LOD model pływowy [ms] 7 6 5 4 3 2 1 0 0.2 0.15 0.1 0.05 Rys. 3. Czasowo-częsoliwościowe widma mocy FTBPF zespolonych współrzędnych bieguna ziemskiego i zmian długości doby

Porównanie wyników różnych meod prognozowania... 223 [arcsec] 0.3 0.2 0.1 ampliudy chandlerowska roczna 0.0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 [o] 360 faza oscylacji rocznej 340 320 300 1950 1960 1970 1980 1990 2000 [laa] Rys. 4. Zmiany ampliud oscylacji Chandlera (linia ciągła) i rocznej oraz zmiany fazy oscylacji rocznej wyznaczone meodą najmniejszych kwadraów w 3-lenich przedziałach czasowych współrzędnych x (okręgi), y (rójkąy) bieguna ziemskiego IERS EOPC04 3. PROGNOZA PARAMETRÓW RUCHU OBROTOWEGO ZIEMI WYZNACZANA W IERS RAPID SERVICE/PREDICTION CENTRE W USNO Prognoza współrzędnych x, y bieguna ziemskiego, UT1 UTC oraz poprawek do modelu nuacji obliczana jes obecnie przez IERS Rapid Service/Predicion Cenre, zlokalizowany w U.S. Naval Observaory w Waszyngonie. Od 22 maja 2001 r. prognoza współrzędnych x, y bieguna ziemskiego jes eksrapolacją modelu najmniejszych kwadraów kołowej oscylacji Chandlera, dwóch elipycznych oscylacji rocznej i półrocznej oraz składowej liniowej. Model en jes dopasowany do współrzędnych bieguna ziemskiego z osanich 400 dni i eksrapolowany na 1 rok w przyszłość (McCarhy i Luzum 1991). Do prognozy dodawana jes poprawka liniowa wynikająca z różnicy pomiędzy osanią warością danych a modelem. Poprawka a maleje wraz z długością prognozy. Poprzednia meoda prognozowania ruchu bieguna ziemskiego była eksrapolacją ego samego modelu dopasowywanego do osanich 1100 dni danych ruchu bieguna ziemskiego. Skrócenie czasu dopasowania modelu najmniejszych kwadraów do danych współrzędnych bieguna ziemskiego z 3 la do 1 roku podykowane było wzrasającymi błędami prognozy szczególnie w okresie zjawisk El Niño (Kosek i in. 2001). Od 14 sierpnia 2001 r. prognoza UT1 UTC wykorzysuje składową osiową momenu pędu EAAM NCEP/NCAR poprzez dołączenie jej do wek-

224 Wiesław Kosek, Maciej Kalarus, Waldemar Popiński ora obserwacyjnego filru Kalmana w posaci szeregu czasowego podobnego do zmian UT1 (UTAAM) (Luzum i in. 2001; Johnson i in. 2004). Dokładność ej prognozy do około 10 dni w przyszłości wzrosła o 42% w sosunku do poprzedniej meody prognozowania meodą filru Gaussa (McCarhy i Luzum 1991). Prognoza poprawek, do nuacji wyznaczana jes jako eksrapolacja modelu najmniejszych kwadraów KSV_1996_3 (McCarhy 1996). Ze względu na pozyskanie nowego modelu precesyjno-nuacyjnego (Mahews i in. 2002) nowy model meody najmniejszych kwadraów zawiera mniejszą liczbę paramerów niż poprzedni. 4. ZASTOSOWANE METODY PROGNOZOWANIA Głównym problemem w prognozowaniu jes wyznaczenie przewidywanej warości szeregu czasowego poza przedziałem czasowym, w kórym szereg en jes określony. Prognoza szeregów czasowych obliczona dowolną meodą prognozowania jes ym dokładniej wyznaczona, im mniejsza jes różnica pomiędzy jej warością a rzeczywisymi danymi w przyszłości. Porównanie akich różnic w różnych momenach czasu rozpoczęcia prognozowania pozwala ocenić dokładność każdej meody prognozy. 4.1. Meoda auokowariancyjna (AC) W auokowariancyjnej meodzie prognozowania (AC) warość pierwszego punku prognozy sacjonarnego dwuwymiarowego szeregu czasowego x 1, x2,..., x n (gdzie x x 1 ix2 ) wyznaczana jes nasępującym wzorem (Kosek 2002): gdzie x n 1 c k xnk 1 k 1 n1 c (3) 0 n k 1 c k x x k k 0, 1,, n 1 (4) n 1 jes esymaorem auokowariancji szeregu czasowego x, n liczbą danych. Nasępny punk prognozy xn l można wyznaczyć wówczas, gdy poprzedni punk prognozy x nl1 zosanie dodany do szeregu czasowego, gdzie l jes długością prognozy.

Porównanie wyników różnych meod prognozowania... 225 4.2. Meoda auoregresji (AR) Proces auoregresji rzędu p określony jes nasępującym wzorem: p p x a x a x a x... 2 2 1 1 (5) gdzie p a a a,...,, 2 1 są współczynnikami auoregresji, p jes rzędem auoregresji, naomias jes białym szumem. Prognoza meodą auoregresji (AR) spełnia równanie procesu auoregresji (5) i określona jes wzorem: 2,... 1,... 2 2 1 1 l dla x a x a x a x l p n p l n l n l n (6) gdzie p a a a,...,, 2 1 są esymaorami współczynników auoregresji wyznaczanymi z równań Yule a-walkera (Box i Jenkins 1976): p p p p p p c c c c c c c c c c c c a a a......... 2 1 1 0 2 1 2 0 1 1 1 0 2 1, (7) c p c c,...,, 1 0 są esymaorami auokowariancji określonymi równaniem (4), rząd auoregresji p wyznaczony jes z kryerium Akaike (Akaike Informaion Crierium, AIC) (1974): min 2 ) ( ln ) AIC( 2 n p p p (8) w kórym p a p c c a a c c p... ) ( 2 2 1 1 0 2 jes esymaorem wariancji szumu oparym na p -paramerowym modelu. Współczynniki auoregresji dwuwymiarowych szeregów czasowych wyznaczone zosały meodą najmniejszych kwadraów (Brzeziński 1994, 1995) według algorymu, kóry jes modyfikacją algorymu Barrodale a i Ericksona (1980) dla jednowymiarowych szeregów czasowych. 4.3. Meoda auoregresji średniej ruchomej (ARMA) Proces auoregresji średniej ruchomej ARMA(p, q) określony jes nasępującym wzorem (Box i Jenkins 1976): q i i i i p i i x a x 0 1 (9)

Wiesław Kosek, Maciej Kalarus, Waldemar Popiński 226 gdzie i i a, oraz q p, są odpowiednio współczynnikami oraz rzędami auoregresji i średniej ruchomej. Wprowadzając operaor przesunięcia wsecz B, o własnościach 1, z Bz 2 2 1 z z B Bz, równanie (9) może być przekszałcone w nasępujący sposób: q q p p B B x B a Bx a x...... 1 1 (10) q q p p B B B a B a x... 1... 1 1 1 (11) ) ( ) ( B B a x (12) Proces auoregresji średniej ruchomej skończonego rzędu ARMA(p, q) można przekszałcić do procesu średniej ruchomej nieskończonego rzędu () MA w nasępujący sposób: 0 ) ( ) ( ) ( j j j B B a B x (13) gdzie ) (B jes wielomianem procesu średniej ruchomej nieskończonego rzędu. Na podsawie równania (13) można określić przyszłe warości procesu auoregresji średniej ruchomej według nasępujących wzorów:... 1 1 1 1 1 1 0 l l l l l l x, (14)... 1 1 l l l x (15) Korzysając ze wzoru (13), określa się przyszłe warości procesu również w inny sposób: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B x B B B B B B B x l l l l l (16) Sąd prognoza procesu auoregresji średniej ruchomej (ARMA) może być wyrażona przez warości procesu sochasycznego x według nasępującego wzoru: ) ( ) ( B x B B x l l (17) przyszłe +k = 0 dla k = 1, 2,..., l

Porównanie wyników różnych meod prognozowania... 227 gdzie B. ( B) l B oznacza część operaora zawierająca ylko dodanie poęgi 4.4. Meoda sieci neuronowych (NN) Szuczne Sieci Neuronowe (SSN) należą do jednej z najbardziej popularnych ineligennych echnik przewarzanie informacji. Sosuje się je szeroko w inżynierii, nauce i ekonomii do rozwiązywania wielu problemów, szczególnie nieliniowych, np. prognozowania, rozpoznawania dźwięku i obrazu, zarządzania, wnioskowania. Model SSN jes maemaycznym modelem inspirowanym przez funkcjonalność ludzkiego mózgu, a w szczególności przez jego zdolność do uogólniania wiedzy. Proces projekowania akiej sieci nie jes prosy i w ogólności bazuje na wielokronych esach oraz, w głównej mierze, na doświadczeniu. Popularność sieci w dziedzinie prognozowania wynika z ego, że dają one rezulay lepsze niż wiele wyrafinowanych meod saysycznych. Naukę sieci, w ym przypadku, można rozparywać jako pewien proces opymalizacyjny, kóry poprzez renowanie wydobywa ukrye relacje między kolejnymi elemenami szeregu czasowego. Prognozowanie danych EOP przy pomocy SSN zosało przeesowane przez Eggera i Fröhlicha (1993) oraz Schuha i in. (2002). W celu zredukowania liczby danych do prognozowania meodą Neural Nework (NN), a ym samym skrócenia czasu obliczeń, inerpolowano szeregi EOPC04 z rozdzielczością 10 dni. Ampliudy oscylacji o okresach mniejszych niż kilkanaście dni nie przekraczają 0.4 mas (Kosek 1995, 1997). Inerpolowanie szeregu ze wspomnianą rozdzielczością nie przyczynia się zaem do uray isonych informacji. 4.4.1. Topologia i algorym renowania sieci Podsawowym problemem związanym z projekowaniem sieci jes usalenie odpowiedniej liczby neuronów oraz zasosowanie efekywnego algorymu renowania. W szczególności, jeżeli liczba neuronów będzie za duża, renowanie może zająć zby wiele czasu, naomias zby mała liczba neuronów nie zdoła poprawnie reprezenować zadanego szeregu czasowego. Archiekura sieci najczęściej jes usalona, naomias nauka prowadzona jes z użyciem różnych meod. Isnieje wiele meod poszukiwania opymalnej srukury sieci (de Falco i in. 1998; Goldberg 1989). W opisywanym eksperymencie opologia sieci neuronowej zosała zopymalizowana w rakcie esów. Osaecznie przyjęo sieć składającą się z dwóch warsw (rys. 5). Warswa pierwsza (ukrya) zawierała czery neurony z radialnymi funkcjami akywacji (Kalarus i Kosek 2004). Liczbę wejść usalono na 20 (2 10), zaem do orzymania kolejnych punków prognozy x i y

228 Wiesław Kosek, Maciej Kalarus, Waldemar Popiński należało podawać na wejście sieci po 10 (100 dni) punków danych, odpowiednio szeregów czasowych x i y (rys. 6). Liczba wejść oraz liczba neuronów określają rozmiar sieci. W przeprowadzonym eksperymencie cała wiedza sieci zawara była w 88 zmiennych opisujących wagi neuronów (weighs) oraz 8 zmiennych określających próg wzbudzenia neuronu (biases) (rys. 5). Opisana sieć neuronowa zosała wygenerowana w środowisku Malab (Neural Nework Toolbox) z użyciem funkcji newff, kóra worzy w pamięci obiek klasy feed-forward backpropagaion nework. 1 10 1 10 wagi wejściowe [W 1] 4x20 progi wejściowe [B 14x1 ] radbas radbas radbas radbas wagi w warswie [W 2] 2x4 progi w warswie [B 2] 2x1 purelin purelin x y Rys. 5. Schema sieci neuronowej x Szeregi czasowe x () x ( + 1) y ( + 15) y ( + 16) y szablon i + _ 1 szablon i szablon i + 1 dane wejściowe dane wyjściowe Rys. 6. Generowanie szablonu

Porównanie wyników różnych meod prognozowania... 229 Kolejnym ważnym problemem jes znalezienie opymalnej meody renowania sieci. W eksperymencie wykorzysano najszybszą dosępną w Malabie meodę renowania rainlm, kóra uakualnia wagi neuronów zgodnie z algorymem opymalizacyjnym Levenberga-Marquarda (LM) (More 1978). Popularność ej meody wynika przede wszyskim z jej prędkości działania, kóra jes co najmniej kilkakronie większa od prędkości klasycznych gradienowych meod propagacji wsecznej (np. raingd). Jedną z niewielu jej wad jes naomias duże zaporzebowanie na pamięć operacyjną kompuera, co wyklucza zasosowanie ej meody w sieciach, gdzie liczba wag przekracza kilkase. Działanie algorymu polega głównie na obliczaniu w każdej ieracji warości Jakobianu J(X) względem wag i progów wzbudzenia X. Nasępnie każda zmienna jes modyfikowana według wzoru: X J T T J XE XJX I (18) gdzie E jes wekorem błędów (różnica między pożądaną i akualną warością na wyjściu neuronów), zaś I macierzą jednoskową. Zmienna jes na bieżąco modyfikowana i używana w procedurze rainlm do redukcji czasu obliczeń. 4.4.2. Model ruchu bieguna Na pierwszym eapie analizy danych wykorzysano meodę najmniejszych kwadraów do wpasowania modelu zawierającego rend liniowy oraz dwie najbardziej energeyczne oscylacje: roczną i Chandlera. Model en zosał dopasowany do oryginalnych danych współrzędnych x, y bieguna ziemskiego IERS EOPC04 i można go wyrazić nasępująco: x( ) a b x x A Chx sin y( ) ay by AChy sin Chy Chy rend liniowy oscylacja Chandlera Chx Chx AAx sin Ax A sin Ay Ay Ax Ay oscylacja roczna (19) gdzie Chx, Chy, Ax, Ay są odpowiednio częsościami oscylacji Chandlera i rocznej w kierunkach x i y (częsości e są argumenami maksimów ampliudy ransformay Fouriera policzonej oddzielnie dla danych x i y), A Chx, AChy, AAx, AAy i Chx, Chy, Ax, Ay są nieznanymi ampliudami i fazami oscylacji rocznej i Chandlera wyznaczone meodą najmniejszych kwadraów.

230 Wiesław Kosek, Maciej Kalarus, Waldemar Popiński ampliuda [arcsec] 0.15 0.12 0.09 0.06 0.03 0.00 roczny chandlerowski 0 100 200 300 400 500 600 okres [dni] Rys. 7. Moduł ransformay Fouriera zespolonych współrzędnych bieguna ziemskiego z usunięą składową liniową (linia ciągła) oraz ransformay Fouriera residuów pozosałych po odjęciu modelu (linia pogrubiona) Moduły ransformay Fouriera (Press i in. 1992; Priesley 1981) zespolonego szeregu współrzędnych bieguna oraz residuów pozosałych po odjęciu modelu dla oscylacji lewoskręnych zosały przedsawione na rysunku 7. Odjęcie modelu zmniejsza ampliudę sygnału. Wciąż jednak pozosaje znaczący sygnał w pobliżu oscylacji Chandlera i rocznej. Sygnał en spowodowany jes zmienną fazą oraz ampliudą oscylacji Chandlera i rocznej (Kołaczek i Kosek 1998; Kosek i in. 2001, 2002; Schuh i in. 2001; Kosek 2003) i nie jes możliwe wymodelowanie go meodą LS. 5. PROGNOZOWANIE WSPÓŁRZĘDNYCH BIEGUNA ZIEMSKIEGO POPRZEZ TRANSFORMACJĘ DO UKŁADU BIEGUNOWEGO W układzie współrzędnych biegunowych promień i długość łuku polhodii określone są wzorami: R m 2 m 2 x x y y, = 1, 2,..., n (20) 2 2 x x y y, A = 2, 3,..., n (21) 1 1 gdzie współrzędne bieguna średniego x, y są wyznaczone przy użyciu dolnoprzepusowego filru Ormsby (1961) z opymalnie zaprojekowanymi paramerami i eksrapolowane w przyszłość meodą LS (Kosek 2003). Po wyznaczeniu prognozy promienia R n 1 i długości łuku A n 1 polhodii wyznaczane są prognozy współrzędnych bieguna ziemskiego x n 1, y n1 (rys. 8) dowolną meodą prognozowania przy zasosowaniu wzorów liniowego wcięcia w przód. Zakłada się przy ym, że ruch bieguna ziemskiego odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (Kosek 2002, 2003). Zmiany promienia i długości łuku polhodii pokazane są na rysunku 9. m m

Porównanie wyników różnych meod prognozowania... 231 W zmianach ych widoczna jes 6 7-lenia oscylacja o zmieniającej się ampliudzie, wynikająca ze zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej. Prognozowanie w układzie współrzędnych biegunowych pozwala na wyeliminowanie problemu rozdzielania ych dwóch najbardziej energeycznych oscylacji o bliskich sobie częsoliwościach (Kosek i Kalarus 2003). x 1, y 1 R 1 R A 1 x, y A R 1 x, y 1 1 x m m, y średni biegun Rys. 8. Schema prognozowania współrzędnych bieguna ziemskiego w układzie współrzędnych biegunowych poprzez liniowe wcięcie w przód prognozy promienia i długości łuku polhodii [arcsec] 0.5 R 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 [arcsec/dni] 0.010 A 0.008 0.006 0.004 0.002 0.000 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 [laa] Rys. 9. Szeregi czasowe zmian promienia R i długości łuku polhodii A

232 Wiesław Kosek, Maciej Kalarus, Waldemar Popiński W celu wyznaczenia prognozy promienia i długości łuku polhodii zasosowana zosała meoda auokowariancyjna (AC) oraz kombinacja meody najmniejszych kwadraów z meodą auoregresji (LS+AC). W meodzie kombinacji LS+AR wyznaczany jes model meody LS promienia i długości łuku polhodii, a nasępnie wyznaczane są residua eksrapolacji jako różnica pomiędzy danymi a modelem. Prognoza meodą kombinacji LS+AR jes sumą eksrapolacji modelu LS oraz prognozą AR residuów eksrapolacji. W prognozowaniu meodą AC wykorzysane zosały w obliczeniach zmiany promienia i długości łuku polhodii z okresu 40 la. W prognozowaniu meodą LS+AR model meody LS składał się z sześciu oscylacji o okresach: 2220 (6.1 la), 1200, 650, 310, 200 i 130 dni (Kosek i Kalarus 2003) i dopasowany zosał do danych promienia i długości łuku polhodii z okresu 35 la, naomias model auoregresji obliczony był z residuów eksrapolacji z okresu osanich 6 la. Średnie błędy prognozy współrzędnych x, y bieguna ziemskiego oraz promienia R i scałkowanej długości łuku L polhodii w przedziale 1984 2004.5 dla meod LS+AR oraz AC pokazane są na rysunku 10. Błędy prognozy współrzędnych x, y bieguna ziemskiego sają się duże ze względu na szybko rosnący błąd prognozy scałkowanej długości łuku polhodii. Wadą prognozowania współrzędnych bieguna ziemskiego w biegunowym układzie współrzędnych jes mała dokładność prognozy scałkowanej długości łuku polhodii bez względu na zasosowaną meodę prognozy. [arcsec] 0.14 LS + AR L 0.12 0.10 0.08 0.06 x y 0.04 0.02 R 0.00 0 50 100 150 200 250 300 350 [dni w przyszłości] [arcsec] 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 50 100 150 200 250 300 350 [dni w przyszłości] Rys. 10. Średni błąd prognozy współrzędnych x (linia ciągła), y (linia przerywana) bieguna ziemskiego oraz promienia R (okręgi) oraz scałkowanej długości łuku polhodii L (rójkąy) w laach 1984 2004.34 dla meod LS+AR oraz AC 6. PROGNOZOWANIE WSPÓŁRZĘDNYCH BIEGUNA ZIEMSKIEGO ORAZ CZASU UT1 UTC W celu prognozowania czasu współrzędnych bieguna ziemskiego, UT1 UTC i LOD zasosowano kombinacje meody LS z meodami sochasycznymi AC, AR, ARMA i NN. Wszyskie wymienione meody zaprojek- AC L x y R

Porównanie wyników różnych meod prognozowania... 233 owane zosały do prognozowania dwuwymiarowych szeregów czasowych, z wyjąkiem meody NN, kórą prognozuje się ylko jednowymiarowe szeregi czasowe. W celu prognozowania UT1 UTC odejmowane są skoki sekundowe (UT1 TAI), nasępnie model oscylacji pływowych (UT1R TAI) oraz model zmian sezonowych wyznaczany poprzez dopasowanie meodą LS. W przypadku prognozowania zmian LOD odejmowany jes model oscylacji pływowych (LODR) oraz zmiany sezonowe wyznaczane meodą LS. Do prognozowania zmian UT1 UTC oraz LOD wykorzysano e same programy co do prognozowania dwuwymiarowych współrzędnych bieguna ziemskiego przy założeniu zerowania się części urojonej szeregu czasowego. W kombinacji meody LS z meodami sochasycznymi wyznaczany jes model eksrapolacji LS współrzędnych x, y bieguna ziemskiego, UT1R TAI lub LODR. Końcowa prognoza ych zmian jes sumą eksrapolacji modelu LS oraz prognozy meody sochasycznej residuów eksrapolacji LS. W kombinacji LS+AR, LS+ARMA model meody LS składający się z kołowej oscylacji Chandlera, dwóch elipycznych oscylacji rocznej i półrocznej oraz rendu liniowego dopasowany zosał do 10-leniego ciągu danych współrzędnych bieguna ziemskiego, naomias model auoregresji do osanich 890 dni (dwukrony okres Chandlera) residuów eksrapolacji LS. W kombinacji LS+AC modele meody LS i AC dopasowane zosały odpowiednio do ciągu osanich 30 la danych współrzędnych bieguna ziemskiego oraz ich residuów eksrapolacji. W kombinacji LS+NN model meody LS dopasowany zosał osobno do inerpolowanych danych x i y współrzędnych bieguna ziemskiego IERS EOPC04 od 1962 do 2004.5 r., naomias długość szablonu do renowania sieci na residuach eksrapolacji LS była równa 100 dni (Kalarus i Kosek 2004). Średnie błędy prognoz współrzędnych x, y bieguna ziemskiego w laach 1984.0 2004.5 wyznaczonych meodami LS+AR, LS+ARMA, LS+NN oraz dla obecnej meody prognozowania IERS Rapid Service/Predicion Cenre w USNO pokazano na rysunku 11. Średnie błędy prognozy współrzędnych x, y bieguna ziemskiego są na ogół mniejsze dla kombinacji meody LS z meodami sochasycznymi niż dla meody sosowanej w IERS Rapid Service/Predicion Cenre (rys. 11). Meoda LS+AR zosanie wkróce zasosowana do ruynowych wyznaczeń prognoz współrzędnych x, y bieguna ziemskiego w IERS Rapid Service/Predicion Cenre. Od sycznia 2004 r. wyniki prognoz wyznaczane raz w ygodniu ą meodą są na bieżąco porównywane z prognozami wyznaczanymi w IERS. Absolune warości różnic od 1 do 60 dni w przyszłości pomiędzy współrzędnymi x, y bieguna ziemskiego i ich prognozami wyznaczonymi przez USNO oraz kombinacją meody LS z meodami AR, ARMA, AC i NN pokazane są na rysunku 13.