R Ó Ż N I C Z K O W A L N E

F U N K C J E R Ó Ż N I C Z K O W A L N E 1. Podstawowe poje cia i wzory Funkcje s luża do opisu różnyc zjawisk fizycznyc, ekonomicznyc, biologicznyc itd. Uzyskanie samego opisu matematycznego jest na ogó l pierwszym krokiem do zbadania zjawiska. Wielokrotnie jedna z dróg prowadza cyc do celu jest poznanie w lasności funkcji. Jednym z pierwszyc problemów, które trzeba rozwia zywać jest ustalenie w jakim tempie zmieniaja sie wartości funkcji. Tego rodzaju kwestie napotykamy przy próbac znalezienia najwie kszyc lub najmniejszyc wartości funkcji, przy ustalaniu pre dkości z jaka porusza sie interesuja cy nas obiekt, przyspieszenia, zmiany liczby ludzi lub zwierza t na jakimś obszarze itd. Do poje cia pocodnej, czyli wielkości mierza cej tempo zmian funkcji, ludzie docodzili stopniowo. Matematycy i fizycy w wieku XVII i XVIII (Fermat, Newton, Leibniz i inni), ekonomiści nieco później, niezależnie od matematyków i fizyków (sta d nieco inna terminologia: np. koszt krańcowy, docód krańcowy,... ). Za pocza tek racunku różniczkowego i ca lkowego przyjmuje sie prze lom wieków XVII i XVIII, g lówne odkrycia zosta ly dokonane przez Newtona (1643 1727) i Leibniza (1646 1716). Pocza tkowo nie istnia l w laściwy je zyk, którym można by opisywać uzyskiwane rezultaty, ale na pocza tku XIX wieku i później teoria zosta la usystematyzowana dzie ki pracom wielu matematyków, g lównie wspominanego już Augusta Caucy ego. To, co w momencie powstawania by lo zrozumia le jedynie dla niewielu i to tylko najwybitniejszyc, sta lo sie przedmiotem obowia zkowyc wyk ladów dla pocza tkuja - cyc studentów, a nawet uczniów szkó l średnic. Oczywiście nie wszyscy poznaja teorie z taka sama dok ladnoś i tak samo dobrze ja rozumieja, jednak jest ona powszecnie studiowana od momentu powstania i nic nie zapowiada zmian w tym zakresie. Wielu studentów ma trudności ze zrozumieniem różnyc twierdzeń. Przyczyn jest wiele, ale w wie kszości przypadków sprowadzaja sie one do nieopanowania podstawowyc twierdzeń matematyki elementarnej i prób uproszczenia sobie życia przez opanowanie tzw. niezbe dnego minimum. Prowadzi to próby opanowanie zlepku twierdzeń, które nie tworza ca lości i w zwia zku z tym nie można ic zrozumieć, a przynajmniej jest to bardzo trudne. Jeden z nauczycieli licealnyc autora tego tekstu, nieżyja cy już cemik, t lumaczy l niektórym uczniom, że,,nie można nauczyć sie za ma lo. Myśle, że jest to g le boka prawda. Droga do poznania jakiejś teorii nie jest wybieranie z niej najprostszyc faktów, twierdzeń. Trzeba starać sie zrozumieć ca lość. To czasem jest trudne i wymaga powracania do podstaw, ale bez tego nie ma szans 1

na sukces. Po tym przyd lugim wste pie przejdziemy do definicji kilku podstawowyc poje ć matematycznyc. Definicja 5.1 (granicy funkcji) * Niec p oznacza dowolny punkt skupienia dziedziny funkcji f, tzn. punkt, który jest granica jakiegoś gu (x n ) punktów z dziedziny funkcji różnyc od p. Mówimy, że g R jest granica funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego gu (x n ) zbieżnego do p, którego wszystkie wyrazy sa różne od p, ma miejsce równość lim f(x n) = g. Granice n funkcji f w punkcie p oznaczamy symbolem lim f(x). Definicja 5.2 (granicy lewostronnej) g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy można znaleźć w dziedzinie g (x n ) o wyrazac mniejszyc (ściśle!) niż p, zbieżny do p i gdy dla każdego takiego gu odpowiadaja cy mu g wartości (f(x n )) ma granice g. Stosujemy oznaczenie lim f(x). Latwo można udowodnić, że funkcja 1 x ma jednostronne granice w punkcie 0 : prawostronna jest równa +, zaś lewostronna jest. Funkcja sin 1 x nie ma granicy prawostronnej w punkcie 0 wykazaliśmy to w przyk ladzie 6, wskazuja c dwa gi dodatnic argumentów tej funkcji zbieżne do 0, takie że odpowiadaja ce im gi wartości maja różne granice. Bez trudu można udowodnić,,funkcyjna wersje twierdzenia o scalaniu. Twierdzenie 5.3 ( o scalaniu) Funkcja f określona na zbiorze zawieraja cym g liczb mniejszyc niż p, zbieżny do p oraz g liczb wie kszyc niż p, zbieżny do p, ma granice w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy ma obie granice jednostronne i sa one równe. Dowód. Jest jasne, że z istnienia granicy wynika istnienie granic jednostronnyc zamiast wszystkic gów zbieżnyc do p, któryc wyrazy sa różne od p, rozpatrujemy jedynie ic cze ść. Jeśli natomiast wiemy, że istnieja granice jednostronne, to g o wyrazac różnyc od p możemy rozbić na pod g o wyrazac mniejszyc niż p i na pod g o wyrazac wie kszyc niż p. Odpowiadaja ce im gi wartości maja te sama granice, wie c g wartości odpowiadaja cy naszemu gowi ma granice i to równa wspólnej wartości obu granic jednostronnyc. Oczywiście jeśli g argumentów zawiera jedynie skończenie wiele wyrazów wie kszyc niż p, to nie możemy * Ta definicja jest nazywana gowa lub definicja Heinego 2

rozpatrywać granicy prawostronnej, ale to niczemu nie przeszkadza, bo w tym przypadku wystarczy skorzystać z istnienia granicy lewostronnej. Podobnie jak w przypadku twierdzenia o scalaniu, można przenieść inne twierdzenia dotycza ce granic gów na ogólniejszy przypadek granicy funkcji. Twierdzenie 5.4 (o arytmetycznyc w lasnościac granicy) A1. Jeśli istnieja granice lim f(x), lim g(x) i określona jest ic suma, to istnieje granica lim (f(x) + g(x)) i zacodzi wzór: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x). A2. Jeśli istnieja granice lim f(x), lim g(x) i określona jest ic różnica, to istnieje granica lim (f(x) g(x)) i zacodzi wzór: lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x). A3. Jeśli istnieja granice lim f(x), lim g(x) i określony jest ic iloczyn, to istnieje granica lim (f(x) g(x)) i zacodzi wzór: lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x). A4. Jeśli istnieja granice lim f(x), lim g(x) i określony jest ic iloraz, to istnieje f(x) granica lim g(x) f(x) i zacodzi wzór: lim g(x) = lim f(x) lim g(x). Dowód tego twierdzenia jest natycmiastowa konsekwencja twierdzenia o arytmetycznyc w lasnościac granicy gu. Z twierdzenia o trzec gac wynika analogiczne twierdzenie dla granic funkcji. Definicja 5.5 (o trzec funkcjac) Jeśli dla wszystkic argumentów x dostatecznie bliskic punktowi p zacodzi nierówność podwójna f(x) g(x) (x) i istnieja granice lim f(x), lim (x) oraz lim f(x) = lim (x), to również funkcja g ma granice w punkcie p i zacodzi równość lim f(x) = lim g(x) = lim (x). Twierdzenie 5.6 (o granicy z lożenia dwu funkcji) Za lóżmy, że dziedzina funkcji f zawiera zbiór wartości funkcji g, że funkcja g ma granice G w punkcie p, że granica G jest punktem skupienia dziedziny funkcji f i funkcja f ma granice H w punkcie G oraz że wartości funkcji g w punktac dostatecznie bliskic p sa różne od G. Przy tyc za lożeniac funkcja f g określona wzorem (f g)(x) = f(g(x)) ma w punkcie p granice, ta granica jest równa H. Za lożenia tego twierdzenia sa tak dobrane, że dowód wynika od razu z definicji 3

gowej granicy funkcji w punkcie. Definicja 5.7 (funkcji g lej) Funkcja f jest g la w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest argumentem funkcji i zacodzi jedna z dwu możliwości: (i) p nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f ; (ii) p jest punktem skupienia dziedziny funkcji f, która ma granice w punkcie p i ta granica jest równa wartości funkcji w punkcie p : Twierdzenie 5.8 ( carakterystyka g lości) lim f(x) = f(p). Funkcja f jest g la w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej ε istnieje liczba δ > 0, taka że jeśli x p < δ, to f(x) f(p) < ε. Dowód. Jeżeli p nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f, to istnieje liczba δ > 0, taka że jedynym punktem x dziedziny funkcji f, dla którego x p < δ jest punkt p w tym przypadku f(x) f(p) = f(p) f(p) = 0 < ε, niezależnie od wyboru liczby dodatniej ε. Pozosta la cze ść twierdzenia może być otrzymana natycmiast z definicji otoczeniowej granicy funkcji. Dowód zosta l zakończony. Z poznanyc twierdzeń o granicac funkcji wynika od razu naste puja ce twierdzenie. Twierdzenie 5.9 (o operacjac na funkcjac g lyc) Za lóżmy, że funkcje f i g określone na wspólnej dziedzinie sa g le w punkcie p. Wtedy naste puja ce funkcje sa g le w punkcie p : f + g, f g, f g oraz pod warunkiem g(p) 0. Ważna operacja jest sk ladanie (superponowanie) funkcji. Polega ono na,,wykonaniu po kolei dwu funkcji: (f g)(x) = f(g(x)). Okazuje sie, że sk ladaja c funkcje g le otrzymujemy w rezultacie funkcje g la. Twierdzenie 5.10 (o g lości z lożenia dwu funkcji) Jeżeli funkcja g jest g la w punkcie p, funkcja f określona na zbiorze zawieraja cym zbiór wartości funkcji g jest g la w punkcie g(p), to z lożenie f g jest funkcja g la w punkcie p. Dowód. Wynika to od razu z otoczeniowej definicji g lości: jeśli ε > 0, to istnieje δ > 0, takie że jeśli y g(p) < δ, to f(y) f(g(p)) < ε, istnieje też η > 0, takie że jeśli x p < η, to g(x) g(p) < δ, a wobec tego f(g(x)) f(g(p)) < ε. Dowód zosta l zakończony. Nie jest natomiast prawda, że funkcja odwrotna do funkcji f g lej w punkcie 4 f g

p musi być g la w punkcie f(p). Zace camy czytelników do samodzielnego skonstruowania przyk ladu. Musi on być nieco dziwaczny, bowiem jeśli za lożymy, że funkcja f jest g la w ca lej dziedzinie, która jest przedzia lem, to wtedy funkcja odwrotna musi być g la, mówimy o funkcji, której wartościami sa liczby rzeczywiste. Tego twierdzenia jednak nie udowodnimy teraz, bowiem jego dowód stanie sie latwiejszy później. Przyk lad 5.1 Funkcja sta la jest g la w każdym punkcie. Przyk lad 5.2 Funkcja identyczność, czyli funkcja, której wartoś w punkcie x jest liczba x jest g la w każdym punkcie prostej wynika to natycmiast z definicji g lości. Zamiast mówić funkcja identyczność be dziemy mówić funkcja x, rozumieja c, że jest ona określona na ca lej prostej. Przyk lad 5.3 Funkcje x 2, x 3,... sa g le w każdym punkcie prostej. Wynika to natycmiast z twierdzenia o g lości iloczynu funkcji g lyc i poprzedniego przyk ladu. Przyk lad 5.4 a 0, a 1,..., a n Każdy wielomian, czyli funkcja postaci a 0 + a 1 x + + a n x n, gdzie sa dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest g la w każdym punkcie prostej. Wynika to z poprzednic przyk ladów oraz twierdzenia o g lości iloczynu i sumy funkcji: funkcja postaci a j x j jest iloczynem funkcji sta lej o wartości a j oraz funkcji x j, wielomian jest suma takic funkcji. Przyk lad 5.5 Funkcja x 1 x+3, której dziedzina jest zbiór z lożony ze wszystkic liczb rzeczywistyc z wyja tkiem liczby 3 jest g la w każdym punkcie swej dziedziny, bo jest ilorazem funkcji g lyc. Przyk lad 5.6 Funkcja wyk ladnicza e x jest g la. Wykazaliśmy to wcześniej (twierdzenie o g lości funkcji wyk ladniczej). Przyk lad 5.7 to wykazane wcześniej. Przyk lad 5.8 Logarytm naturalny (o podstawie e ) jest funkcja g la. Zosta lo Dla każdej liczby rzeczywistej a funkcja pote gowa x a o wyk ladniku a jest g la w każdym punkcie pó lprostej (0, + ). Wynika to z g lości logarytmu naturalnego, g lości funkcji wyk ladniczej o podstawie e i g lości iloczynu oraz z lożenia funkcji g lyc: x a = e a ln x. Przyk lad 5.9 Jeśli a > 0, to funkcja x a jest g la w punkcie 0, jej wartość 5

w punkcie 0 definiujemy w tym przypadku jako 0. Trzeba jeszcze wykazać, że jeśli lim x n = 0 i x n > 0, to n lim n xa n = 0. Jest tak dla a = 1 k, k dowolna liczba ca lkowita wie ksza niż 1, bo x 1/k = k x. W przypadku dowolnego a znajdujemy najpierw dodatnia liczbe ca lkowita k > 1 a. Dla każdej liczby nieujemnej x < 1 mamy wtedy 0 x a x 1/k. Teza wynika teraz z twierdzenia o trzec gac. Przyk lad 5.10 Jeśli a = p q, gdzie q jest nieparzysta liczba ca lkowita dodatnia, zaś p liczba ca lkowita ujemna, to funkcja x a = q x p jest g la w każdym punkcie pó lprostej (, 0). Wynika to od razu z g lości funkcji pierwiastek q tego stopnia, g lości wielomianu i g lości ilorazu funkcji g lyc oraz twierdzenia o g lości z lożenia. W ostatnic trzec przyk ladac wykazaliśmy, że funkcja pote gowa jest g la wsze dzie tam, gdzie jest określona. Przyk lad 5.11 to wykazane wcześniej. Przyk lad 5.12 Funkcje sinus i kosinus sa g le w każdym punkcie prostej. Zosta lo Niec arcsin x oznacza taka liczbe, że sin(arcsin x) = x oraz π 2 arcsin x π 2, oczywiście zak ladamy, że 1 x 1. Jasne jest, że te warunki określaja jednoznacznie liczbe arcsin x. Zdefiniowaliśmy wie c na przedziale [ 1, 1] funkcje, która go przekszta lca na przedzia l [ π 2, π 2 ]. Wykażemy, że funkcja arcsin jest g la na przedziale [ 1, 1]. Za lóżmy, że tak nie jest. Oznacza to, że istnieje g (x n ) punktów przedzia lu [ 1, 1] zbieżny do pewnej liczby g, taki że g (arcsin x n ) nie jest zbieżny do arcsin g. Oznacza to, że z gu (arcsin x n ) można wybrać podcia g ( arcsin x kn ) zbieżny do granicy G arcsin g. Oczywiście π 2 G π 2. Sta d i z g lości funkcji sinus wynika, że g = lim x k n = lim sin(arcsin(x k n )) = sin(g) sin(arcsin g) = g. n n Otrzymaliśmy sprzeczność g g. Oznacza to, że każdy pod g zbieżny gu (arcsin x n ) ma granice arcsin g, a to oznacza, że lim arcsin x n = arcsin g. n Przyk lad 5.13 Niec arctg x oznacza taka liczbe, że π 2 < arctg x < π 2 oraz tg(arctg x) = x. Jasne jest, że te dwa warunki wyznaczaja liczbe arctg x jednoznacznie. Zdefiniowaliśmy wie c funkcje, która przekszta lca zbiór wszystkic liczb rzeczywistyc na przedzia l otwarty ( π 2, π 2 ). Funkcja arctg jest cia g la na ca lej prostej. Dowód, który można przeprowadzić podobnie do podanego w poprzednim przyk ladzie dowodu g lości funkcji arcsin pozostawiamy czytelnikom, by mogli 6

sprawdzić, na ile zrozumieli metode. Oczywiście w dowodzie należy skorzystać z g- lości funkcji tangens, która g la jako iloraz funkcji g lyc. Przyk lad 5.14 Dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 funkcja wyk ladnicza a x jest g la w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Wynika to z tego, że a x = e x ln a, twierdzeń o g lości iloczynu i z lożenia oraz g lości funkcji wyk ladniczej o podstawie e i g lości identyczności oraz funkcji sta lej. Z tyc przyk ladów wynika, że każda funkcja, która można zdefiniować,,wzorem używaja c standardowyc funkcji, jest g la w ca lej swojej dziedzinie, np. ( ) exp sin x 4 113. sin(x 2 12x+2) tg(cos x+ln x) Wynika to z wielokrotnego stosowania twierdzeń o g lości z lożenia, sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Mog loby wie c powstać wrażenie, że wszystkie funkcje sa g le. Tak jednak nie jest. Podamy poniżej kilka przyk ladów. Przyk lad 5.15 sgn(x) = x x dla x 0 oraz f(0) = 0, ta funkcja jest g la w każdym punkcie p 0, bo wtedy jest sta la w pewnym przedziale otwartym zawieraja cym p, w punkcie 0 ta funkcja jest nie g la, bowiem jej granica prawostronna jest w tym punkcie równa 1, lewostronna jest równa 1, wie c funkcja sgn (znak liczby) nie ma granicy w punkcie 0. Przyk lad 5.16 Niec f(x) = sin 1 x dla x 0, f(0) = 0. Funkcja tak zdefiniowana nie ma granicy w punkcie 0, wie c nie jest w tym punkcie g la. We wszystkic innyc punktac jest g la jako z lożenie funkcji g lej sinus z funkcja g la 1 x. Przyk lad 5.17 Niec f(x) = 1 dla x 0 i f(0) = 0. Funkcja ta jest nie g la w punkcie 0, coć ma w tym punkcie granice, jednak ta granica nie jest równa wartości funkcji w punkcie 0. W innyc punktac p funkcja jest g la, bo jest sta la na pewnym przedziale otwartym zawieraja cym punkt p. Oczywiście można uznać ten przyk lad za sztuczny. Przyk lad 5.18 Niec V (t) oznacza obje tość jednego kilograma wody w temperaturze t, ciśnienie jest sta le, tzw. normalne i niezależne od temperatury. Ze szkolnyc lekcji fizyki wiadomo, że funkcja V ma nie g lość w punkcie 0 tj. w temperaturze, w której naste puje przejście ze stanu ciek lego w sta ly lub odwrotnie, zreszta w punkcie 0 funkcja jest z punktu widzenia fizyki niezdefiniowana, ze wzgle du na zmiane stanu skupienia. Granice jednostronne istnieja : prawostronna jest mniejsza niż lewostronna (dlatego lód p lywa w wodzie wystaja c z niej). Przyk lad ten poda- 7

jemy po to, by czytelnicy tego tekstu zdawali sobie sprawe, że w niektóryc sytuacjac funkcje nie g le pojawiaja sie w naturalnyc sposób. Definicja 5.11 (pocodnej) Za lóżmy, że funkcja f jest określona w dziedzinie zawieraja cej przedzia l otwarty f(p+) f(p) o środku p oraz że istnieje granica lim. Granice te nazywamy pocodna funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbolem f (p) lub df dx (p). Jeśli pocodna jest skończona, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p. Funkcje liniowa przypisuja ca liczbie liczbe f (p) nazywamy różniczka funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbolem df(p), a wartość tej funkcji liniowej w punkcie oznaczamy przez df(p)() lub df(p). Definicja 5.12 (prostej stycznej do wykresu funkcji) Za lóżmy, że funkcja f ma pocodna w punkcie p oraz że jest g la w punkcie p.* Jeśli pocodna f (p) jest skończona, to mówimy, że prosta styczna do wykresu funkcji f w punkcie (p, f(p)) jest prosta, której wspó lczynnik kierunkowy jest równy f (p) przecodza ca przez punkt (p, f(p)). Jeśli f (p) = lub f (p) =, to mówimy, że styczna do wykresu w punkcie (p, f(p)) jest prosta pionowa przecodza ca przez ten punkt, czyli prosta o równaniu x = p. Z tej definicji wynika od razu, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to prosta styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (p, f(p)) ma równanie y = f (p)(x p) + f(p). Później przekonamy sie, że próby przenoszenia definicji stycznej do okre gu (jako prostej maja cej z okre giem dok ladnie jeden punkt wspólny) na przypadek stycznej do wykresu funkcji nie maja wie kszego sensu, bo prowadza do wyników niezgodnyc z intuicja. Motywy wprowadzenia podanej przez nas definicji sa naste puja ce. Jeśli = 0 jest nieduża liczba, to wspó lczynnik kierunkowy prostej przecodza cej przez punkty (p, f(p)) oraz (p +, f(p + )) jest równy ilorazowi różnicowemu f(p+) f(p) jest w przybliżeniu równy f (p)., który Prosta styczna jest wie c,,granica prostyc przecodza cyc przez punkt (p, f(p)) i jeszcze jeden punkt wykresu leża cy blisko wymienionego. Nie zamierzamy tu precyzować poje cia,,granicy prostyc, bo używamy go jedynie w tym miejscu i to jedynie w celu wyjaśnienia, ska d sie taka definicja stycznej bierze. Mówia c jeszcze mniej * Wykażemy później, że jeśli pocodna f (p) funkcji f w punkcie p jest skończona, czyli że f jest różniczkowalna w punkcie p, to funkcja f jest g la w punkcie p, wie c w tym przypadku nie ma potrzeby dodatkowo zak ladać g lości funkcji w punkcie p. 8

dok ladnie: prosta styczna ma przylegać możliwie ściśle do wykresu w pobliżu punktu (p, f(p)), daleko od tego punktu wykres i styczna moga sie rozcodzić. Podamy teraz kilka przyk ladów. Przyk lad 5.19 Niec f(x) = ax + b. W tym przypadku iloraz różnicowy f(p+) f(p) = a(p+) ap jest niezależny od, zreszta również od p. Wobec tego pocodna funkcji liniowej ax + b jest równa a. Z tego wynika, że prosta styczna do prostej y = ax + b jest ona sama, co nie powinno dziwić, bo ona sama do siebie przylega najlepiej ze wszystkic prostyc. Cze sto stosowany jest zapis (ax + b) = a. Przyk lad 5.20 = a Niec f(x) = x 2 i niec p be dzie dowolna liczba rzeczywista. Bez f(p+) f(p) trudu stwierdzamy, że = 2p+ 2p, co oznacza, że pocodna funkcji f w punkcie p jest liczba 2p. Zwykle piszemy (x 2 ) = 2x. Ponieważ f (0) = 0, wie c styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (0, 0) jest pozioma. Jeśli natomiast p = 10, to wspó lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu jest równy 20, wie c styczna w punkcie (20, 400) jest prawie pionowa. Przyk lad 5.21 Niec f(x) = x 3. Mamy f(p+) f(p) = 3p 2 +3p+ 2 3p2, co oznacza, że pocodna funkcji f w punkcie p jest 3p 2, tzn. (p 3 ) = 3p 2. I tym razem f (0) = 0, wie c styczna do wykresu funkcji f w punkcie (0, f(0)) = (0, 0) jest pozioma, czyli jest opisana równaniem y = 0. Jednak w tym przypadku wykres nie leży po jednej stronie stycznej, lecz przecodzi z jednej strony tej prostej na druga. Pocodna jest dodatnia z jednym wyja tkiem: f (0) = 0. Bez trudu można stwierdzić, że styczna do wykresu tej funkcji w każdym punkcie, z wyja tkiem punktu (0, 0), przecina wykres w jeszcze jednym punkcie*, wie c w tym przypadku nie jest prawda, że styczna ma z wykresem funkcji dok ladnie jeden punkt wspólny. Przyk lad 5.22 f(p+) f(p) p jest 1. = p+ p Teraz zajmiemy sie funkcja f(x) = x. Jeśli p > 0 i < p, to = 1 = 1 1, co oznacza, że pocodna funkcji f w punkcie W taki sam sposób pokazać można, że f (p) = 1 dla każdej liczby p < 0. Pozosta l jeszcze jeden przypadek do rozważenia, mianowicie p = 0. Jeśli > 0, to f(0+) f(0) lim f(0+) f(0) = 1 i wobec tego lim + f(0+) f(0) = 1. Analogicznie = 1. Z tyc dwu równości wynika od razu, że nie istnieje granica * Czytelnik zecce sprawdzić w jakim to pomaga w zrozumieniu tekstu! 9

f(0+) f(0) lim, czyli że funkcja x pocodnej w punkcie 0 nie ma, cociaż jest g la ma ona w tym punkcie pocodne jednostronne, ale sa one różne. Na wykresie funkcji jest to widoczne, w punkcie (0, 0) wykres sie za lamuje, można powiedzieć, że wykres ma w tym punkcie,,ostrze. Zauważmy, że rezultaty tyc rozważań można opisać wzorem ( x ) = x x. Przyk lad 5.23 Podamy teraz przyk lad świadcza cy o tym, że istnieja funkcje g le, które przynajmniej w niektóryc punktac nie maja pocodnyc jednostronnyc. Tym studentom, któryc te przyk lady me cza, zalecamy pominie cie tego punktu w pierwszym czytaniu i ewentualny powrót do niego później. Warto też spróbować sporza dzić szkic wykresu funkcji, co może u latwić zrozumienie sytuacji. Przecodzimy do szczegó lów. Niec f(x) = x sin 1 x dla x 0 oraz f(0) = 0. Z oczywistej nierówności f(x) x wynika, że lim f(x) = 0 = f(0), a to znaczy, że funkcja x 0 f jest g la w punkcie 0. Cia g lość w innyc punktac jest oczywistym wnioskiem z twierdzenia o operacjac na funkcjac g lyc i twierdzenia o g lości z lożenia dwu funkcji. Z twierdzeń, które udowodnimy nied lugo wyniknie, że funkcja ta ma pocodna skończona w każdym punkcie z wyja tkiem punktu 0. Wykażemy teraz, że funkcja ta nie ma pocodnej w punkcie 0, dok ladniej, że w tym punkcie funkcja nie ma pocodnej prawostronnej w punkcie 0. Jeśli > 0, to f(x+) f(x) = sin 1. Udowodniliśmy poprzednio, że funkcja sin 1 nie ma granicy prawostronnej: sin ( 1 / ) 1 2nπ = 0 oraz sin ( 1 / 1 2nπ+π/2) = 1. Widzimy, wie c że dla każdej liczby naturalnej n punkt ( 1 2nπ, 0) leży na wykresie funkcji, co oznacza, że styczna do wykresu funkcji w punkcie (0, 0) powinna być pozioma oś uk ladu wspó lrze dnyc. Jednakże dla każdej liczby naturalnej n punkt ( 1 2nπ+π/2, 1 2nπ+π/2) leży na wykresie funkcji, wie c styczna powinna być prosta, na której te punkty leża, czyli prosta o równaniu y = x styczna ma być prosta najdok ladniej,,przylegaja ca do wykresu. Podobnie można uzasadniać, że styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (0, 0) powinna być prosta o równaniu y = kx, gdzie k jest dowolna liczba z przedzia lu [ 1, 1] na każdej takiej prostej znajduja sie punkty leża ce na wykresie funkcji f, tworza ce g zbieżny do 0. Można powiedzieć, że wykres funkcji x sin 1 x oscyluje mie dzy prostymi y = x oraz y = x i do żadnej z nic ani do żadnej leża cej w ka cie przez nie wyznaczonym w punkcie (0, 0) nie,,przylega. Przyk lad 5.24 Obliczymy teraz pocodna funkcji wyk ladniczej. Niec f(x) = e x. Przypomnieć wypada, że e lim x+ e x = e x lim e 1 = e x 1 = e x. Wobec tego 10

pocodna w punkcie x funkcji wyk ladniczej o podstawie e jest liczba e x, czyli (e x ) = e x. Wobec tego równanie stycznej w punkcie (p, e p ) do wykresu funkcji e x ma postać y = e p (x p) + e p. Przyk lad 5.25 Naste pna bardzo ważna funkcja jest logarytm naturalny. Znajdziemy jej pocodna. Niec f(x) = ln x dla każdej liczby dodatniej x. Przypomni- ln(1+x) jmy, że lim x 0 x = 1. Mamy wie c dla x > 0 naste puja ca równość*: ln(x+) ln x ln(1+x/) lim = lim x/ 1 x = 1 1 x = 1 x. Znaczy to, że pocodna logarytmu naturalnego w punkcie x jest liczba 1 x, czyli (ln x) = 1 x. Wobec tego styczna w punkcie (p, ln p) do wykresu logarytmu naturalnego ma równanie y = 1 p (x p) + ln p. Przyk lad 5.26 Ostatnia z krótkiego cyklu,,najważniejszyc funkcji elemen- sin x tarnyc jest sinus. Przypomnijmy, że lim x 0 x = 1. Z niej wynika, że sin(x+) sin x 2 sin 2 lim = lim cos(x+ 2 ) sin(/2) = lim /2 cos(x + 2 ) = cos x. Uda lo sie wie c nam wykazać, że pocodna funkcji sinus w punkcie x jest liczba cos x, czyli że zacodzi wzór (sin x) = cos x. Sta d wynika, że równanie stycznej w punkcie (p, sin p) do wykresu funkcji sinus to y = (cos p) (x p) + sin p, w szczególności styczna do wykresu funkcji sinus w punkcie (0, 0) ma równanie y = x. Naste pne wzory wyprowadzimy po podaniu regu l, wed lug któryc obliczane sa pocodne. Nie be dziemy w tym przypadku zajmować sie pocodnymi nieskończonymi, bowiem w zastosowaniac be da nam potrzebne na ogó l pocodne skończone. Twierdzenie 5.13 (o arytmetycznyc w lasnościac pocodnej) Za lóżmy, że funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f ± g, f g i, jeśli g(p) 0, to również f g sa różniczkowalne w punkcie p i zacodza wzory: (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), ( ) (f g) = f (x)g(x) + f(x)g (x), f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x). 2 Dowód. Mamy f f(p+) f(p) (p) = lim oraz g g(p+) g(p) (p) = lim i wiemy, że te pocodne sa skończone. Sta d i z twierdzenia o arytmetycznyc w lasnościac granicy funkcji wynika, że f(p+)+g(p+) f(p) g(p) f(p+) f(p) g(p+) g(p) lim = lim + lim = f (p) + g (p). Udowodniliśmy wie c twierdzenie o pocodnej sumy dwu funkcji różniczkowalnyc. * Przypomnijmy, że ln(x+) ln x=ln x+ x =ln(1+ x ) 11

W identyczny sposób dowodzimy twierdzenie pocodnej różnicy funkcji różniczkowalnyc. Zajmiemy sie teraz iloczynem funkcji różniczkowalnyc. Tym razem skorzystamy z udowodnionego wcześniej twierdzenia o g lości funkcji różniczkowalnej. Mamy f(p+)g(p+) f(p)g(p) lim [f(p+) f(p)] g(p+)+f(p)[g(p+) g(p)] = lim = f(p+) f(p) g(p+) g(p) = lim lim g(p + ) + f(p) lim = f (p)g(p) + f(p)g (p). Teraz kolej na iloraz. Mamy teraz dodatkowe za lożenie: g(p) 0. Wynika sta d, że istnieje taka liczba δ > 0, że g(p + ) g(p) < g(p) = 0 g(p), jeżeli < δ. Wnioskujemy sta d, że liczby g(p) i g(p + ) leża po tej samej stronie zera, w szczególności g(p + ) 0. Mamy zatem lim f(p+) g(p+) f(p) g(p) f(p+)g(p) f(p)g(p+) = lim g(p+)g(p) = f(p+)g(p) f(p)g(p) [f(p)g(p+) f(p)g(p)] = lim g(p+)g(p) = Dowód zosta l zakończony. = lim f(p+) f(p) Twierdzenie 5.14 (o pocodnej z lożenia) g(p) f(p) g(p+) g(p) g(p+)g(p) = f (p)g(p) f(p)g (p) g(p) 2. Za lóżmy, że funkcja g jest różniczkowalna w punkcie p, zaś funkcja f, określona na zbiorze zawieraja cym wszystkie wartości funkcji g, jest różniczkowalna w punkcie g(p). Wtedy z lożenie tyc funkcji f g jest różniczkowalne w punkcie p i zacodzi wzór: Wprowadzimy oznaczenie y = g(x). d(f g) dx (x) = df dy (f g) (x) = f (g(x))g (x). Można napisać (f g) (x) = f (y)g(x) lub dg df dg (g(x)) dx (x) = dy (y) dx (x) lub krócej d(f g) dx wzór ten zapisywany jest w postaci d(f g) dx = df dg dg dx = df dy dg dx. Cze sto lub, po oznaczeniu z = f(y), jako dz dx = dz dy dy dx. W literaturze angloje zycznej nosi nazwe,,te Cain Rule, czego oczywistym motywem jest jego ostatnia postać, zw laszcza jeśli zastosujemy go nie w przypadku z lożenia dwu funkcji, lecz wie kszej ic liczby wtedy lańcuc staje sie bardziej widoczny. Dowód. Mamy do czynienia z dwiema funkcjami różniczkowalnymi: f w punkcie q = g(p) oraz g w punkcie p. Niec r g () = g(p+) g(p) g (p) i niec r g (0) = 0. Funkcja g jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja r g jest g la w punkcie 0. Prawdziwa jest zatem równość: g(p+) = g(p)+g (p)+r g (). Przyjmijmy teraz, że r f (H) = f(g(p)+h) f(g(p)) H 12 oraz r f (0) = 0. Tak jak w przy-

padku funkcji g funkcja f jest różniczkowalna w punkcie q = g(p) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja r f jest g la w punkcie 0. Również w tym przypadku zacodzi też wzór: f(g(p)+h) = f(g(p))+f (g(p))h +r f (H)H. Gotowi jesteśmy do,,wydzielenia cze ści liniowej z lożenia f g w otoczeniu punktu p : f(g(p + )) = f(g(p) + g (p) + r g ()) = = f(g(p)) + f (g(p)) ( g (p) + r g () ) + r f ( g (p) + r g () )( g (p) + r g () ) = = f(g(p)) + f (g(p))g (p) + [r g () + r f ( g (p) + r g () )( g (p) + r g () )]. Jasne jest, że granica wyrażenia znajduja cego sie w nawiasie kwadratowym przy 0 jest liczba 0. Sta d zaś wynika od razu, zob. twierdzenie carakteryzuja ce pocodna jako wspó lczynnik wielomianu stopnia 1 najlepiej przybliżaja cego funkcje, że pocodna funkcji f g w punkcie p jest liczba f (g(p))g (p). Dowód zosta l zakończony. Twierdzenie 5.15 (o pocodnej funkcji odwrotnej) Za lóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, że f (p) 0, że funkcja f ma funkcje odwrotna oraz że funkcja f 1 q = f(p). Wtedy funkcja f 1 lub tak: odwrotna do f jest g la w punkcie jest różniczkowalna w punkcie q i zacodzi wzór ( f 1 ) (q) = 1 f (p). Wzór na pocodna funkcji odwrotnej można zapisać tak: ( ) f 1 (q) = 1 f (f 1 (q)) ( f 1 ) (f(p)) = 1 f (p). Piszemy też dx dy = ( dy dx) 1, oznaczywszy uprzednio y = f(x). Ten ostatni zapis, zw laszcza w po la czeniu z wzorem dz dx = dz dy dy dx, sugeruje, że symbol dy dx można traktować jak u lamek. Trzeba jednak uważać, bo nie oznacza on u lamka, lecz pocodna i pos lugiwać sie analogiami z ilorazem jedynie w zakresie dopuszczonym podawanymi twierdzeniami. Można np. napisać wzór dg dx + d dx = d(g+) dx oznacza on, że pocodna sumy dwu funkcji wzgle dem zmiennej x jest równa sumie ic pocodnyc wzgle dem tej samej zmiennej x. Natomiast nie można napisać wzoru df dy + dg dx = df dx+dg dy dy dx np. dlatego, że jego prawa strona nie ma sensu, bo w ogóle nie jest zdefiniowana. Później rozważać be dziemy pocodne wyższyc rze dów i tam sytuacja be dzie jeszcze bardziej skomplikowana. Dowód. Tym razem wiemy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, że f (p) 0 oraz że funkcja f 1 odwrotna do funkcji f jest g la w punkcie q = f(p). f Wystarczy teraz wykazać, że lim 1 (q+) f 1 (q) = 1 f (p). f 1 Niec H = f 1 (q + ) f 1 (q). Oczywiście H zależy od. Z g lości funkcji w punkcie q wynika od razu, że lim H = 0. Zacodzi wzór = q + q = 13

= f(f 1 (q + )) f(f 1 (q)) = f(f 1 (q) + H) f(f 1 (q)) = f(p + H) f(p). Z tego i z poprzednic wzorów wynika, że f lim 1 (q+) f 1 (q) H = lim H 0 f(p+h) f(p) = 1 f (p). Pokażemy teraz, jak podane przed cwila twierdzenia można stosować. Przyk lad 5.27 Znajdziemy pocodna funkcji kosinus. Mamy cos x = sin ( π 2 x). Skorzystamy z wzoru wynikaja cego z wzoru wykazanego w przyk ladzie pierwszym: ( π 2 x) = ( ) ( 1)x + π 2 = 1. Teraz skorzystamy z twierdzenia o pocodnej z lożenia: (cos x) = ( ( π )) ( π ) sin 2 x = cos 2 x ( 1) = sin x tutaj role funkcji f z wzoru na pocodna z lożenia pe lni sinus, którego pocodna jest kosinus, zaś role funkcji g odgrywa funkcja π 2 x, której pocodna jest 1. Przyk lad 5.28 Zastosujemy wzór na pocodna ilorazu dla uzyskania wzoru na pocodna funkcji tangens. Mamy (tg x) = = ( ) sin x cos x = (sin x) cos x (cos x) sin x (cos x) 2 = cos x cos x ( sin x) sin x cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 + tg2 x. Przyk lad 5.29 Teraz kolej na kotangens. Wzór ten można uzyskać na różne sposoby, np. modyfikuja c nieznacznie wyprowadzenie wzoru na pocodna funkcji tangens. Można też zastosować metode znana już z wyprowadzenia wzoru na pocodna funkcji kosinus i w laśnie tak posta pimy: (ctg x) = ( tg ( π 2 x)) = 1 1 cos 2 ( π 2 x) ( 1) = sin 2 x = 1 ctg2 x. Przyk lad 5.30 Przypomnijmy, że funkcja odwrotna do funkcji tangens ograniczonej do przedzia lu ( π 2, π 2 ) jest funkcja arctg, która przekszta lca zbiór wszystkic liczb rzeczywistyc IR na przedzia l ( π 2, π 2 ). Zacodzi zatem wzór: tg (arctg x) = x. Funkcja arctg jest g la. Pocodna funkcji tangens nie jest w żadnym punkcie mniejsza od 1, wie c jest różna od 0. Wobec tego z twierdzenia o pocodnej funkcji odwrotnej wynika, że funkcja arctg ma pocodna w każdym punkcie. Z twierdzenia o pocodnej z lożenia wynika, że musi zacodzić wzór: 1 = (x) = (tg (arctg x)) = ( 1 + tg 2 (arctg x) ) (arctg x) = ( 1 + x 2) (arctg x). Sta d wnioskujemy, że (arctg x) = 1 1+x 2. Przyk lad 5.31 Wyprowadzimy wzór na pocodna funkcji arcsin, czyli funkcji odwrotnej do funkcji sinus ograniczonej do przedzia lu [ π 2, π 2 ]. 14 Funkcja arcsinus

jest g la i przekszta lca przedzia l [ 1, 1] na przedzia l [ π 2, π 2 ]. Na tym ostatnim przedziale funkcja kosinus przyjmuje nieujemne wartości. Sta d wynika, że jeśli π 2 y π 2, to cos y = 1 sin 2 y. Ponieważ pocodna funkcji sinus jest różna od 0 w punktac przedzia lu otwartego ( π 2, π 2 ), wie c funkcja arcsin jest różniczkowalna w punktac odpowiadaja cyc punktom przedzia lu ( π 2, π 2 ), czyli w punktac przedzia lu otwartego ( 1, 1). Mamy wie c 1 = (x) = (sin (arcsin(x))) = cos (arcsin(x)) (arcsin(x)) = = 1 sin 2 (arcsin(x)) (arcsin) = 1 x 2 (arcsin(x)). Sta d już latwo wynika, że zacodzi wzór: (arcsin(x)) = 1 1 x 2. Znaleźliśmy wie c pocodna funkcji arcsin w punktac wewne trznyc jej dziedziny. W punktac leża cyc na jej brzegu, czyli w punktac 1 i 1 można by mówić jedynie o pocodnyc jednostronnyc. Pozostawiamy czytelnikom wykazanie tego, że w obu końcac przedzia lu [ 1, 1] funkcja arcsin ma pocodna jednostronna i że ta pocodna jednostronna równa jest +. Warto naszkicować sobie wykres funkcji arcsin jest on oczywiście symetryczny do wykresu funkcji sinus, ograniczonej do przedzia lu [ π 2, π 2 ], wzgle dem prostej o równaniu y = x. Przyk lad 5.32 Niec f(x) = x a, gdzie a jest dowolna liczba rzeczywista, zaś x jest liczba dodatnia. Wykażemy, że (x a ) = ax a 1.* Z definicji wynika, że x a = e a ln x. Korzystaja c z twierdzenia o pocodnej z lożenia dwu funkcji oraz poprzednio wyprowadzonyc wzorów na pocodne funkcji wyk ladniczej, logarytmu i funkcji liniowej otrzymujemy: (x a ) = ( e a ln x) = e a ln x a 1 x = axa 1. Dodać wypada, że pote ge x a można zdefiniować również w przypadku x = 0 i a > 0 oraz w przypadku x < 0, jeśli a jest liczba wymierna, której mianownik jest ca lkowita liczba nieparzysta, a licznik liczba ca lkowita, po ewentualnym skróceniu. Pozostawiamy czytelnikom uzasadnienie tego, że w obu tyc przypadkac podany przez nas wzór na pocodna funkcji pote gowej pozostaje w mocy, oczywiście w przypadku pierwszym mowa jest jedynie o pocodnej prawostronnej, cyba że a jest wyk ladnikiem dodatnim, wymiernym o mianowniku nieparzystym (mowa o zapisie liczby wymiernej w postaci u lamka nieskracalnego, którego licznik i mianownik sa liczbami ca lkowitymi). Przyk lad 5.33 Zajmiemy sie teraz przez cwile funkcja wyk ladnicza o dowolnej * Dla a= 1 2 jest to znany wielu czytelnikom z nauki w szkole wzór na pocodna pierwiastka kwadratowego, dla a=2 oraz a=3 otrzymaliśmy wzory wcześniej, zob, przyk lad 2,3. 15

podstawie. Niec a be dzie dowolna liczba dodatnia, x dowolna liczba rzeczywista. Poste puja c tak jak w przypadku funkcji pote gowej otrzymujemy wzór: (a x ) = ( e x ln a) = e x ln a ln a = a x ln a. Na tym zakończymy krótki przegla d najbardziej podstawowyc wzorów na pocodne. Be dziemy je obliczać wielokrotnie. Przekonamy sie niebawem, że można ic używać w celu rozwia zywania rozlicznyc problemów, np. znajdowania najwie kszyc i najmniejszyc wartości funkcji. Do tego potrzebne be da nam jednak twierdzenia pozwalaja ce na wia zanie w lasności funkcji z w lasnościami jej pocodnej. Warto nadmienić, że z twierdzeń, które już podaliśmy, wynika, że funkcje zdefiniowane za pomoca,,jednego wzoru, maja pocodna we wszystkic punktac swej dziedziny z wyja tkiem nielicznyc punktów wyja tkowyc, np. wzór ( 3 x) = (( x 1/3)) = 1 3 x 2/3 = 1 3 3 x 2 ma miejsce dla wszystkic x 0. Istnieja, co prawda, funkcje g le określone na ca lej prostej, które nie maja pocodnej w żadnym punkcie, ale my sie takimi tworami zajmować nie be dziemy. Jednak w fizyce rozpatrywany jest tzw. ruc Browna, w którego modelu matematycznym tego rodzaju dziwactwa pojawiaja sie. Zwia zane jest to z tym, że w tym modelu rozpatrywana jest sytuacja otrzymana przez przejście z liczba rozpatrywanyc cza stek do nieskończoności, co zważywszy na ic liczbe dziwne nie jest. Wtedy jednak typowa cza stka zderza sie z innymi,,bez przerwy, a to powoduje za lamania trajektorii, czyli punkty nieróżniczkowalności. Zwia zany z rucem Browna proces Wienera znajduje zastosowania również w modelac ekonomicznyc. Twierdzenie 5.16 (o g lości funkcji różniczkowalnej) Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to jest w tym punkcie g la. Dowód. lim f(x) = f(p) + lim (f(p + ) f(p)) = f(p) + lim f(p+) f(p) =f(p) + 0 f (p) = f(p).dowód zosta l zakończony. = Naste pne twierdzenie by lo używane przez Fermata (1601 1665) w odniesieniu do wielomianów jeszcze przed wprowadzeniem przez Newtona i Leibniza racunku różniczkowego i ca lkowego. Fermat zajmowa l sie znajdowa l mie dzy innymi znajdowaniem wartości najwie kszyc i najmniejszyc wielomianów na przedzia lac domknie tyc. Doprowadzi lo go to w gruncie rzeczy do poje cia pocodnej, coć nie stworzy l on teorii. Tym nie mniej odkry l twierdzenie, którego wage trudno przecenić, coć zarówno twierdzenie jak i jego dowód sa nies lycanie proste. 16

Twierdzenie 5.17 (o zerowaniu sie pocodnej w punktac lokalnego ekstremum) Jeśli f jest funkcja różniczkowalna w punkcie p i przyjmuje w punkcie p wartość najmniejsza lub najwie ksza, to f (p) = 0, podkreślić wypada, że zak ladamy tu, że p jest środkiem pewnego przedzia lu otwartego zawartego w dziedzinie funkcji. Dowód. Za lóżmy, że funkcja f ma w punkcie p wartość najwie ksza. Znaczy to, że dla każdego punktu x z dziedziny funkcji f zacodzi nierówność f(x) f(p), zatem dla > 0 mamy f(p+) f(p) 0, wobec tego f f(p+) f(p) (p) = lim + 0. Mamy też f f(p+) f(p) (p) = lim 0 dla < 0. Obie te nierówności moga zacodzić jednocześnie jedynie w przypadku f (p) = 0. Jeśli f przyjmuje w punkcie p wartość najmniejsza, to funkcja przeciwna przyjmuje w tym punkcie wartość najwie ksza, wie c 0 = ( f) (p) = f (p). Dowód zosta l zakończony. Wypada podkreślić, że jeśli funkcja określona na przedziale przyjmuje wartość najwie ksza w jego końcu, to nawet w przypadku, gdy jest w tym końcu jednostronnie różniczkowalna, to jej pocodna nie musi być równa 0, funkcja x rozpatrywana na przedziale [7, 13] przyjmuje swa najwie ksza wartość w punkcie 13, w którym jej pocodna jest liczba 1. Uwaga 5.18 ( o pozornej monotnoniczności) Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p oraz f (p) > 0, to istnieje liczba δ > 0 taka, że jeśli 0 < < δ, to f(p ) < f(p) < f(p+), tzn. dostatecznie blisko punktu p, na lewo od niego wartości funkcji sa mniejsze niż w wartość punkcie p, zaś na prawo od tego punktu, w jego pobliżu wartości funkcji sa wie ksze niż wartość w punkcie p. Dowód. Iloraz różnicowy f(p+) f(p) jest dodatni dla dostatecznie ma lyc, bowiem ma dodatnia granice przy 0, zatem licznik i mianownik tego u lamka maja taki sam znak. Twierdzenie 5.19 (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest g la w przedziale domknie tym [a, b] i ma pocodna we wszystkic jego punktac wewne trznyc oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c (a, b), że f (c) = 0. Dowód. Za lóżmy, że f(a) = f(b) nie jest najwie ksza wartoś funkcji f. Niec c be dzie punktem, w którym funkcja f przyjmuje wartość najwie ksza spośród przyjmowanyc na tym przedziale. Oczywiście a < c < b. Wobec tego f jest różniczko- 17 f

walna w punkcie c i na mocy twierdzenia Fermata zacodzi równość f (c) = 0. Jeśli funkcja f nie przyjmuje wewna trz przedzia lu [a, b] wartości wie kszyc niż f(a) = f(b), to albo przyjmuje mniejsze i możemy zamiast niej rozważyć funkcje przeciwna f, albo funkcja f jest sta la na przedziale [a, b]. W tym drugim przypadku c może być dowolnym punktem przedzia lu otwartego (a, b). Dowód zosta l zakończony. Interpretacja fizyczna tego twierdzenia może być np. taka: po prostoliniowej drodze porusza sie pojazd, który rozpoczyna i kończy przemieszczanie sie w tym samym punkcie ( f(a) = f(b) ), ponieważ kończymy podróż w punkcie startu, wie c w którymś punkcie musieliśmy zawrócić, w momencie zmiany kierunku jazdy nasza pre dkość by la równa 0. Na wykresie funkcji punkty, o któryc jest mowa w dowodzie twierdzenia Rolle a to te w otoczeniu, któryc wykres wygla da tak, jak wykres funkcji x 2 w otoczeniu punktu 0. Oczywiście to nie sa jedyne punkty, w któryc pocodna przyjmuje wartość 0. Niec f(x) = sin 3 x. Wtedy f (x) = 3 sin 2 x cos x, zatem f (0) = 0, cociaż w punkcie 0 funkcja f nie ma lokalnego maksimum ani lokalnego minimum, w każdym przedziale postaci (δ, δ), gdzie 0 < δ < π 2, funkcja f jest ściśle rosna ca. Ma ona lokalne ekstrema, ale w innyc punktac, np. w punktac ± π 2. Przejdziemy teraz do najważniejszego twierdzenia w racunku różniczkowym, twierdzenia o wartości średniej. Twierdzenie 5.20 (Lagrange a o wartości średniej) Jeśli funkcja f jest g la w każdym punkcie przedzia lu domknie tego [a, b] i ma pocodna we wszystkic punktac przedzia lu otwartego (a, b), to istnieje taki punkt c [a, b], że f (c) = f(b) f(a) b a. Dowód. Niec g(x) = f(x) f(b) f(a) b a (x a) f(a) od funkcji f odejmujemy f(b) f(a) funkcje b a (x a) + f(a), wie c liniowa, której wartości w końcac przedzia lu [a, b] pokrywaja sie z wartościami funkcji f. Mamy wie c g(a) = 0 = g(b). Funkcja g jest funkcja g la, jako różnica funkcji g lyc. Taki sam argument przekonuje nas o istnieniu pocodnej g we wszystkic punktac przedzia lu otwartego (a, b). Wobec tego dla funkcji g spe lnione sa za lożenia twierdzenia Rolle a. Istnieje wobec tego taki punkt c (a, b), że 0 = g (c) = f (c) f(b) f(a) b a Dowód zosta l zakończony., a to w laśnie mieliśmy wykazać. Każdy czytelnik z pewnoś zauważy l, że twierdzenie Rolle a jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Lagrange a o wartości średniej. Można też zinterpretować 18

,,fizycznie twierdzenie Lagrange a. Jeśli f(x) oznacza po lożenie w cwili x obiektu poruszaja cego sie po prostej, to f (c) oznacza pre dkość w cwili c, zaś f(b) f(a) b a to pre dkość średnia w okresie od a do b. Wg. tej interpretacji twierdzenie o wartości średniej mówi, że pre dkość cwilowa w pewnej cwili c równa jest pre dkości średniej, co wygla da na stwierdzenie zupe lnie oczywiste. Geometrycznie twierdzenie to oznacza, że jeśli poprowadzimy prosta przez dwa punkty leża ce na wykresie funkcji f, to styczna do wykresu f w pewnym punkcie leża cym mie dzy wybranymi punktami jest równoleg la do wybranej prostej. Widzimy wie c, że twierdzenie Lagrange a ma krótki dowód, prosto można je zinterpretować na różne sposoby. Pokażemy nied lugo, że ma ono liczne i ważne konsekwencje. Zadania 5.01 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (0), jeśli f(x) = x 2 cos x. 5.02 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (0), jeśli f(x) = xe x. 5.03 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (0), jeśli f(x) = x(x 1). 5.04 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (1), jeśli f(x) = x(x 1). 5.05 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (0), jeśli f(x) = x 2 cos 1 x i f(0) = 0. 5.06 Wykazać, że jeśli f(0) = 0 i f(x) = x cos 1 x, to funkcja f jest g la w punkcie 0, ale pocodnej w tym punkcie nie ma. 5.07 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (1), jeśli f(x) = (x 1)e x. 5.08 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (0), jeśli 5.09 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (0), jeśli f(x) = sin 5.10 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (2), jeśli 5.11 Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (1), jeśli f(x) = x 9 + sin(tg x). ( x ) 4 + sin(tg x). f(x) = (x 2) x + 3. f(x) = (ln x) 1 + 3x 2. 5.12 Obliczyć pocodna funkcji πx 2 w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.13 Obliczyć pocodna funkcji 4 3 πx3 w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.14 Obliczyć pocodna funkcji 1 3x+7x 2 +5x 3 w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.15 Obliczyć pocodna funkcji 1 + x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.16 Obliczyć pocodna funkcji 1 + 2x w tyc punktac, w któryc istnieje. 19

5.17 Obliczyć pocodna funkcji 1 + x 2 w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.18 Obliczyć pocodna funkcji 1 + sin x w tyc punktac, w któryc istnieje. 2x 5.19 Obliczyć pocodna funkcji 1+x w tyc punktac, w któryc istnieje. 2 x 5.20 Obliczyć pocodna funkcji (1 x) 2 (1+x) w tyc punktac, w któryc istnieje. 3 5.21 Obliczyć pocodna funkcji arccos(sin x) w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.22 Obliczyć pocodna funkcji sin 2 x sin(x 2 ) w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.23 Obliczyć pocodna funkcji x 3 w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.24 Obliczyć pocodna funkcji sin ( x + 1 + x 2) w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.25 Obliczyć pocodna funkcji tg x 2 ctg x 2 w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.26 Obliczyć pocodna funkcji x x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.27 Obliczyć pocodna funkcji tg x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.28 Obliczyć pocodna funkcji e x2 w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.29 Obliczyć pocodna funkcji e sin x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.30 Obliczyć pocodna funkcji x + 2x + 3x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.31 Obliczyć pocodna funkcji ln x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.32 Obliczyć pocodna funkcji sin 2 x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.33 Obliczyć pocodna funkcji sin x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.34 Obliczyć pocodna funkcji ln sin x w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.35 Obliczyć pocodna funkcji ln ( x + 1 + x 2) w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.36 Obliczyć pocodna funkcji arcsin 2x 1+x w tyc punktac, w któryc istnieje. 2 5.37 Obliczyć pocodna funkcji x x w tyc punktac, w któryc istnieje. 3 5.38 Obliczyć pocodna funkcji 1+x 3 1 x 3 w tyc punktac, w któryc istnieje. 5.39 Znaleźć równanie stycznej do wykresu cos 2 x 2 sin x w punkcie (π, 1) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 5.40 Znaleźć równanie stycznej do wykresu arctg(2x) w punkcie (0, 0) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 5.41 Znaleźć równanie stycznej do wykresu x 1 3 x + 2 w punkcie ( 3, 4) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 5.42 Znaleźć równanie stycznej do wykresu ( x 2 1 ) 2 w punkcie (0, 1) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 5.43 Znaleźć równanie stycznej do wykresu ( x 2 1 ) 2 w punkcie ( 2, 1 ) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 20

5.44 Znaleźć równanie stycznej do wykresu 3 x w punkcie (0, 0) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 5.45 Znaleźć równanie stycznej do wykresu 3 e x 1 w punkcie (0, 0) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 5.46 Znaleźć równanie stycznej do wykresu 1 cos ( x 2 ) w punkcie (0, 0) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 5.47 Znaleźć równanie stycznej do wykresu 3 x sin x w punkcie (0, 0) lub wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 5.48 Wykazać, że jeśli f(x) = x 3 + 3x dla x (, + ), to funkcja f określona na wskazanym przedziale ma funkcje odwrotna f 1 oraz ( f 1) (0). f 1. Znaleźć dziedzine funkcji 5.49 Wykazać, że jeśli f(x) = x + e x dla x (, + ), to funkcja f określona na wskazanym przedziale ma funkcje odwrotna f 1. Znaleźć dziedzine funkcji f 1 oraz ( f 1) (1). 5.50 Wykazać, że jeśli f(x) = x + ln x dla x (0, + ), to funkcja f określona na wskazanym przedziale ma funkcje odwrotna f 1. Znaleźć dziedzine funkcji f 1 oraz ( f 1) (1). 5.51 Niec f(x) = 5e 3x. Obliczyć f (x) 3f(x). 5.52 Niec f(x) = 5e 7x. Obliczyć f (x) + 7f(x). 5.53 Niec f(x) = 5xe 3x. Obliczyć f (x) 3f(x). 5.54 Niec f(x) = 5x 2 e 3x. Obliczyć f (x) 3f(x). 5.55 Niec f(x) = 5x 3 e 3x. Obliczyć f (x) 3f(x). 5.56 Niec f(x) = 5xe 3x. Obliczyć f (x) 3f(x). 5.57 Niec f: R R be dzie różniczkowalna funkcja parzysta, tzn. f( x) = f(x) dla każdej liczby x R. Wykazać, że f (0) = 0 i ogólnie f ( x) = f (x) dla każdego x R. 5.58 Za lóżmy, że funkcja f ma pocodna w każdym punkcie oraz że f (x) = 2f(x) dla każdej liczby x. Obliczyć pocodna funkcji f(x)e 2x. 5.59 Za lóżmy, że funkcja f ma pocodna w każdym punkcie oraz że f (x) = 2xf(x) dla każdej liczby x. Obliczyć pocodna funkcji f(x)e x2. 5.60 Za lóżmy, że funkcja f ma pocodna w każdym punkcie oraz że f (x) + f(x) = 0 dla każdej liczby x. Obliczyć ( f(x)e x). 21