Pochodne i wykresy funkcji

Transkrypt

1 Pocodne i wykresy funkcji Definicja 1 (pocodnej) Za lóżmy, że funkcja f jest określona w dziedzinie zawieraja cej przedzia l otwarty o środku p oraz że istnieje granica f(p+) f(p) 0. Granice te nazywamy pocodna funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbolem f (p) lub df (p). Jeśli pocodna jest dx skończona, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p. Funkcje liniowa przypisuja ca liczbie liczbe f (p) nazywamy różniczka funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbolem df(p), a wartość tej funkcji liniowej w punkcie oznaczamy przez df(p)() lub df(p). Definicja 2 (prostej stycznej do wykresu funkcji) Za lóżmy, że funkcja f ma pocodna w punkcie p oraz że jest cia g la w punkcie p.* Jeśli pocodna f (p) jest skończona, to mówimy, że prosta styczna do wykresu funkcji f w punkcie (p, f(p)) jest prosta, której wspó lczynnik kierunkowy jest równy f (p) przecodza ca przez punkt (p, f(p)). Jeśli f (p) lub f (p), to mówimy, że styczna do wykresu w punkcie (p, f(p)) jest prosta pionowa przecodza ca przez ten punkt, czyli prosta o równaniu x p. Z tej definicji wynika od razu, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to prosta styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (p, f(p)) ma równanie y f (p)(x p)+f(p). Później przekonamy sie, że próby przenoszenia definicji stycznej do okre gu (jako prostej maja cej z okre giem dok ladnie jeden punkt wspólny)na przypadek stycznej do wykresu funkcji nie maja wie kszego sensu, bo prowadza do wyników niezgodnyc z intuicja. Motywy wprowadzenia podanej przez nas definicji sa naste puja ce. Jeśli 0 jest nieduża liczba, to wspó lczynnik kierunkowy prostej przecodza cej przez punkty (p, f(p)) oraz (p +, f(p + )) jest równy ilorazowi różnicowemu f(p+) f(p), który jest w przybliżeniu równy f (p). Prosta styczna jest wie c granica prostyc przecodza cyc przez punkt (p, f(p)) i jeszcze jeden punkt wykresu leża cy blisko wymienionego. Nie zamierzamy tu precyzować poje cia granicy prostyc, bo używamy go jedynie w tym miejscu i to jedynie w celu wyjaśnienia, ska d sie taka definicja stycznej bierze. Mówia c jeszcze mniej dok ladnie: prosta styczna ma przylegać możliwie ściśle do wykresu w pobliżu punktu (p, f(p)), daleko od tego punktu wykres i styczna moga rozcodzić. Podamy teraz kilka przyk ladów. sie * Wykażemy później, że jeśli pocodna f (p) funkcji f w punkcie p jest skończona, czyli że f jest różniczkowalna w punkcie p, to funkcja f jest cia g la w punkcie p, wiec w tym przypadku nie ma potrzeby dodatkowo zak ladać cia g lości funkcji w punkcie p. 1

2 Pocodne i wykresy funkcji Przyk lad 1 Niec f(x) ax + b. W tym przypadku iloraz różnicowy f(p+) f(p) a(p+) ap jest niezależny od, zreszta również od p. Wobec tego pocodna funkcji liniowej ax+b jest równa a. Z tego wynika, że prosta styczna do prostej y ax + b jest ona sama, co nie powinno dziwić, bo ona sama do siebie przylega najlepiej ze wszystkic prostyc. Cze sto stosowany jest zapis (ax + b) a. Przyk lad 2 Niec f(x) x 2 i niec p be dzie dowolna liczba rzeczywista. Bez trudu stwierdzamy, że f(p+) f(p) 2p + 2p, co oznacza, że pocodna funkcji 0 f w punkcie p jest liczba 2p. Zwykle piszemy (x 2 ) 2x. Ponieważ f (0) 0, wie c styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (0, 0) jest pozioma. Jeśli natomiast p 10, to wspó lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu jest równy 20, wie c styczna w punkcie (20, 400) jest prawie pionowa. f(p+) f(p) Przyk lad 3 Niec f(x) x 3. Mamy 3p 2 + 3p p2, co oznacza, że pocodna funkcji f w punkcie p jest 3p 2, tzn. (p 3 ) 3p 2. I tym razem f (0) 0, wie c styczna do wykresu funkcji f w punkcie (0, f(0)) (0, 0) jest pozioma, czyli jest opisana równaniem y 0. Jednak w tym przypadku wykres nie leży po jednej stronie stycznej, lecz przecodzi z jednej strony tej prostej na druga. Pocodna jest dodatnia z jednym wyja tkiem: f (0) 0. Bez trudu można stwierdzić, że styczna do wykresu tej funkcji w każdym punkcie, z wyja tkiem punktu (0, 0), przecina wykres w jeszcze jednym punkcie*, wie c w tym przypadku nie jest prawda, że styczna ma z wykresem funkcji dok ladnie jeden punkt wspólny. Przyk lad 4 Teraz zajmiemy sie funkcja f(x) x. Jeśli p > 0 i < p, to f(p+) f(p) 1 1 1, co oznacza, że pocodna funkcji f w punkcie 0 p jest 1. W taki sam sposób pokazać można, że f (p) 1 dla każdej liczby p < 0. p+ p Pozosta l jeszcze jeden przypadek do rozważenia, mianowicie p 0. Jeśli > 0, to f(0+) f(0) 1 i wobec tego 0 + f(0+) f(0) 1. Analogicznie 0 f(0+) f(0) f(0+) f(0) 1. Z tyc dwu równości wynika od razu, że nie istnieje granica 0, czyli że funkcja x pocodnej w punkcie 0 nie ma, cociaż jest cia g la ma ona w tym punkcie pocodne jednostronne, ale sa one różne. Na wykresie funkcji jest to widoczne, w punkcie (0, 0) wykres sie za lamuje, można powiedzieć, że wykres ma w tym punkcie ostrze. Zauważmy, że rezultaty tyc rozważań można opisać wzorem ( x ) x x. a * Czytelnik zecce sprawdzić w jakim, to pomaga w zrozumieniu tekstu! 2

3 Pocodne i wykresy funkcji Twierdzenie 3 (o arytmetycznyc w lasnościac pocodnej) Za lóżmy, że funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f ± g, f g i, jeśli g(p) 0, to również f g sa różniczkowalne w punkcie p i zacodza wzory: (f + g) (x) f (x) + g (x), (f g) (x) f (x) g (x), ( ) (f g) f (x)g(x) + f(x)g (x), f g (x) f (x)g(x) f(x)g (x). g(x) 2 Dowód. Mamy f f(p+) f(p) (p) 0 oraz g g(p+) g(p) (p) 0 i wiemy, że te pocodne sa skończone. Sta d i z twierdzenia o arytmetycznyc w lasnościac granicy funkcji wynika, że f(p+)+g(p+) f(p) g(p) 0 Udowodniliśmy wie f(p+) f(p) g(p+) g(p) + f (p) + g (p). 0 0 c twierdzenie o pocodnej sumy dwu funkcji różniczkowalnyc. W identyczny sposób dowodzimy twierdzenie pocodnej różnicy funkcji różniczkowalnyc. Zajmiemy sie teraz iloczynem funkcji różniczkowalnyc. Tym razem skorzystamy z udowodnionego wcześniej twierdzenia o cia g lości funkcji różniczkowalnej. Mamy f(p+)g(p+) f(p)g(p) 0 [f(p+) f(p)] g(p+)+f(p)[g(p+) g(p)] 0 f(p+) f(p) g(p+) g(p) 0 g(p + ) + f(p) 0 0 f (p)g(p) + f(p)g (p). Teraz kolej na iloraz. Mamy teraz dodatkowe za lożenie: g(p) 0. Wynika sta d, że istnieje taka liczba δ > 0, że g(p+) g(p) < g(p) 0 g(p), jeżeli < δ. Wnioskujemy sta d, że liczby g(p) i g(p + ) leża po tej samej stronie zera, w szczególności g(p + ) 0. Mamy zatem f(p+) 0 g(p+) f(p) g(p) Dowód zosta l zakończony. 0 f(p+)g(p) f(p)g(p+) g(p+)g(p) f(p+)g(p) f(p)g(p) [f(p)g(p+) f(p)g(p)] 0 g(p+)g(p) 0 f(p+) f(p) g(p) f(p) g(p+) g(p) g(p+)g(p) Twierdzenie 4 (o cia g lości funkcji różniczkowalnej) f (p)g(p) f(p)g (p) g(p) 2. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to jest w tym punkcie cia g la. Dowód. f(x) f(p) + (f(p + ) f(p)) f(p) + f(p+) f(p) x p 0 0 f(p) + 0 f (p) f(p). Dowód zosta l zakończony. Twierdzenie 5 (o pocodnej z lożenia) Za lóżmy, że funkcja g jest różniczkowalna w punkcie p, zaś funkcja f, określona na zbiorze zawieraja cym wszystkie wartości funkcji g, jest różniczkowalna w punkcie g(p). 3

4 Pocodne i wykresy funkcji Wtedy z lożenie tyc funkcji f g jest różniczkowalne w punkcie p i zacodzi wzór: (f g) (p) f (g(p))g (p). Wprowadzimy oznaczenie q g(p). Można napisać (f g) (p) f (q)g(p). Dowód. Udowodnimy to twierdzenie zak ladaja c dodatkowo, że jeśli x p, to g(x) g(p). Mamy wtedy: f(g(p+)) f(g(p)) 0 f(g(p+)) f(g(p)) 0 g(p+) g(p) g(p+) g(p) f(g(p+)) f(g(p)) g(p+) g(p) 0 g(p+) g(p) 0 Hg(p+) g(p) f(g(p)+h) f(g(p)) g(p+) g(p) f (g(p))g (p). H 0 H 0 Skorzystaliśmy po drodze z tego, że H [g(p + ) g(p)] 0. Wolno, bo 0 0 funkcja różniczkowalna w punkcie p jest w nim cia g la. Dodatkowe za lożenie g(x) g(p) nieco upraszcza dowód, a w przypadku funkcji wyste puja cyc w szkole jest spe lnione, wie c nie jest szkodliwe. Naste pne twierdzenie by lo używane przez Fermata ( ) w odniesieniu do wielomianów jeszcze przed wprowadzeniem przez Newtona i Leibniza racunku różniczkowego i ca lkowego. Fermat zajmowa l sie znajdowa l mie dzy innymi znajdowaniem wartości najwie kszyc i najmniejszyc wielomianów na przedzia lac domknie tyc. Doprowadzi lo go to w gruncie rzeczy do poje cia pocodnej, coć nie stworzy l on teorii. Tym nie mniej odkry l twierdzenie, którego wage trudno przecenić, coć zarówno twierdzenie jak i jego dowód sa nies lycanie proste. Twierdzenie 6 (o zerowaniu sie pocodnej w punktac lokalnego ekstremum) Jeśli f jest funkcja różniczkowalna w punkcie p i przyjmuje w punkcie p wartość najmniejsza lub najwie ksza, to f (p) 0, podkreślić wypada, że zak ladamy tu, że p jest środkiem pewnego przedzia lu otwartego zawartego w dziedzinie funkcji. Dowód. Za lóżmy, że funkcja f ma w punkcie p wartość najwie ksza. Znaczy to, że dla każdego punktu x z dziedziny funkcji f zacodzi nierówność f(x) f(p), zatem dla > 0 mamy f(p+) f(p) 0, wobec tego f f(p+) f(p) (p) Mamy też f f(p+) f(p) (p) 0 0 dla < 0. Obie te nierówności moga zacodzić jednocześnie jedynie w przypadku f (p) 0. Jeśli f przyjmuje w punkcie p wartość najmniejsza, to funkcja przeciwna f przyjmuje w tym punkcie wartość najwie ksza, wie c 0 ( f) (p) f (p). Dowód zosta l zakończony. 4

5 Pocodne i wykresy funkcji Wypada podkreślić, że jeśli funkcja określona na przedziale przyjmuje wartość najwie ksza w jego końcu, to nawet w przypadku, gdy jest w tym końcu jednostronnie różniczkowalna, to jej pocodna nie musi być równa 0, funkcja x rozpatrywana na przedziale [7, 13] przyjmuje swa najwie ksza wartość w punkcie 13, w którym jej pocodna jest liczba 1. Twierdzenie 7 ( o wartościac funkcji w pobliżu punktu, w którym pocodna jest dodatnia) Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p oraz f (p) > 0, to istnieje liczba δ > 0 taka, że jeśli 0 < < δ, to f(p ) < f(p) < f(p + ), tzn. dostatecznie blisko punktu p, na lewo od niego wartości funkcji sa mniejsze niż w wartość punkcie p, zaś na prawo od tego punktu, w jego pobliżu wartości funkcji sa wie ksze niż wartość w punkcie p. Dowód. Iloraz różnicowy f(p+) f(p) jest dodatni dla dostatecznie ma lyc, bowiem ma dodatnia granice przy 0, zatem licznik i mianownik tego u lamka maja taki sam znak. Bez dowodu podajemy twierdzenie, które jest latwe w zastosowaniac, stosowane jest w bardzo licznyc sytuacjac. Twierdzenie 8 (o monotoniczności funkcji różniczkowalnyc) Za lóżmy, że funkcja f jest cia g la w każdym punkcie przedzia lu P i że jest różniczkowalna we wszystkic jego punktac wewne trznyc. Przy tyc za lożeniac funkcja f jest: niemaleja ca ( x < y f(x) f(y) ) wtedy i tylko wtedy, gdy jej pocodna f jest nieujemna, nierosna ca ( x < y f(x) f(y) ) wtedy i tylko wtedy, gdy jej pocodna f jest niedodatnia. sta la wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) 0 dla każdego punktu wewne trznego przedzia lu P. ściśle rosna ca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pocodna jest nieujemna oraz mie dzy każdymi dwoma punktami przedzia lu P znajduje sie punkt, w którym pocodna f jest dodatnia, ściśle maleja ca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pocodna jest niedodatnia oraz mie dzy każdymi dwoma punktami przedzia lu P znajduje sie punkt, w którym pocodna f jest ujemna. Dowodu nie podaje, bo bez twierdzenia Lagrange a o wartości średniej, które nie wyste puje w programie szkolnym pe lny dowód jest nieprzyjemny i d lugawy, a stosowane 5

6 Pocodne i wykresy funkcji w szko lac i na maturze jest jedynie w takic sytuacjac, w któryc dowód można uzyskać korzystaja c z twierdzenia 7 (o wartościac funkcji w pobliżu punktu, w którym pocodna jest dodatnia). 1. Korzystaja c jedynie z definicji pocodnej oblicz f (p), przy czym f(p) jest tak określone, że f jest cia g la w punkcie p, jeśli (a) f(x) x 2 cos x, p 0 ; (b) f(x) x2 x, p 0 ; (c) f(x) x(x 1), p 0 ; (d) f(x) x(x 1), p 1 ; (e) f(x) x 2 cos 1 x, p 0 ; (f) f(x) (x 1)3x, p 1 ; (g) f(x) x 1 + sin(tg x), p 0 ; () f(x) x, p 4 ; (i) f(x) (x 2) x + 3, p 2 ; (j) f(x) 9 + x 2, p 4. (k) f(x) (x 2) 1, p 3 ; (l) f(x) ( 9 + x 2) 2, p 4. ( l) f(x) x 3x 2, p 1 ; (m) f(x) x4, p Obliczyć pocodna funkcji f w tyc punktac, w któryc f istnieje, jeśli f(x) (a) 1 3x + 7x 2 + 5x 3, (b) 1 + x, (c) 2x (d) 1+x 2, x (1 x) 2 (1+x) 3, (e) x, (f) x x, (g) x 3 x, () 2x+17 1+x, (i) 2 13x+7, (j) x 2 4x + 3, (k) x 2 4x + 3 3, (l) x 2 4x Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )), jeśli (a) f(x) x2 2x+1 x, x 0 1 ; (b) f(x) 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3, x 0 0 ; (c) f(x) x 1 3 x + 2, x 0 3 ; (d) f(x) ( x 2 1 ) 2, x0 0 ; (e) f(x) ( x 2 1 ) 2, x0 2 ; (f) f(x) 3 x, x 0 0 ; (g) f(x) 3 x 2 1, x 0 3 ; () f(x) x, x 0 0 ; (i ) f(x) 169 x 2, x 0 12 ; (j) f(x) 7x 1+x 2, x 0 0. lub wykazać, że w podanym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej. 4. Jaki jest minimalny czas dojścia do domu stoja cego przy prostoliniowej szosie w odleg lości 13 km od miejsca, w którym sie znajdujemy, jeśli odleg lość od szosy wynosi 5 km, w terenie poruszamy sie z pre dkościa 3km/, zaś po szosie z pre dkościa 5 km/. 5. Znaleźć maksimum: a. obje tości bry l powsta lyc w wyniku obrotu trójka ta prostoka tnego o obwodzie 1 wokó l przeciwprostoka tnej; b. obje tości stożka wpisanego w kule o promieniu 1; c. obwodu trójka ta wpisanego w okra g o promieniu 1; d. d lugości statku, który może wp lyna ć z kana lu o szerokości a > 0 do prosto- 6

7 Pocodne i wykresy funkcji pad lego doń kana lu, którego szerokość jest równa b > 0 ; e. pola trójka ta o obwodzie 3 - można skorzystać z wzoru Herona; f. wyrazu cia gu (a n ), jeśli a n n+4 n 2 24 dla n 1, 2, 3... ; g. wyrazu cia gu (a n ), jeśli a n 13n 8 8n+5 dla n 1, 2, Cie żarówka porusza sie po autostradzie ze sta la pre dkościa v km/. Minimalna pre dkość dla cie żarówek na autostradzie wynosi 50 km/, maksymalna 100 km/, litr benzyny kosztuje 2 z l, kierowca otrzymuje 10 z l za godzine swej pracy. Cie - żarówka zużywa 11 + v2 400 litrów paliwa w cia gu godziny jazdy ( z pre dkościa v ). Przy jakiej pre dkości koszt przejazdu ustalonego odcinka trasy jest najmniejszy? 7. Zbadano, że w pewnej fabryce robotnik rozpoczynaja cy prace o godzinie 8: 00 wykonuje w cia gu x godzin x 3 + 6x x radioodbiorników. Po 15 minutowej przerwie wykonuje w cia gu x godzin 1 3 x3 + x x radioodbiorników. O której powinna rozpocza ć sie 15 minutowa przerwa, aby do 12:15 wykona l najwie cej radioodbiorników, a której by wykona l ic najmniej? 8. Statek p lywa z portu A do portu B. Koszt rucu statku sk lada sie z dwu cze ści: niezależnej od pre dkości i równej z l dziennie oraz zależnej od pre dkości i równej (liczbowo) podwojonemu sześcianowi pre dkości dziennie. Przy jakiej pre dkości koszt przep lynie cia trasy jest najmniejszy? 9. Ile pierwiastków ma równanie: a. x 3 6x 2 + 9x 10 0 ; b. 3x 4 4x 3 6x x 20 0 ; c. x 5 5x a w zależności od a IR ;. 10. Znaleźć przedzia ly monotoniczności oraz wypuk losci lub wkle s lości funkcji f, jej lokalne ekstrema i punkty przegie cia. Znaleźć granice funkcji f oraz granice funkcji f w końcac przedzia lów sk ladaja cyc sie na ic dziedziny (niekoniecznie takie same). Naszkicować wykres funkcji* f, jeśli f(x) a. x 4 (1 + x) 3 x ; b. 3 ; c. 3 x 2 1 x d. 1 x + 3 x+3 ; e. x 2 3x 4 ; f. g. (x + 1) 5/3 ( x 2 + 2x ) 1/3. Wiemy, że x 2 x+1 ; x 2 3x 4 ; f (x) 1 3 (x + 1)2/3 ( x 2 + 2x ) 2/3 ( 7x x + 2 ), niewymiernymi pierwiastkami funkcji f sa x oraz x , ma ona również pierwiastek wymierny, * UWAGA: Zak ladamy, że dziedziny funkcji sa tak dobrane, że operacje definiuja ce funkcje sa wykonalne oraz że dziedziny sa maksymalnymi zbiorami o tej w lasności. Pierwiastki stopnia nieparzystego sa określone dla wszystkic liczb rzeczywistyc x. 7

8 Pocodne i wykresy funkcji f (x) 2 9 (x + ( 1) 1/3 x 2 + 2x ) 5/3 ( 14x x x x 4 ), pierwiastkami drugiej pocodnej sa x , x , x , x , wszystkie one sa niewymierne.. 3 x 2 +2x 7 3 x 2 +2x 5. Sprawdzić, że f (x) 4 3 (x + 1) ( x 2 + 2x 5 ) 4 3 ( x 2 + 2x 7 ) 2 3, ( f (x) 4 9 9x x 3 + 8x 2 56x 181 ) ( x 2 + 2x 5 ) 7 ( 3 x 2 + 2x 7 ) 5 3 Wiadomo, że pierwiastkami (jednokrotnymi) drugiej pocodnej sa liczby x oraz x 2 3.7, innyc pierwiastków rzeczywistyc funkcja f nie ma. i. x 3 5x ( 5+x 2 ) 3. Sprawdzić, że zacodza równości: f (x) 25(x 1)(x+1) ( 5+x 2 ) 5 oraz f (x) 75x(x2 5) ( 5+x 2 ) Znaleźć minimalna obje tość stożka opisanego na kuli o promieniu Wśród trapezów równoramiennyc, na któryc można opisać okra g i w które można wpisać okra g znaleźć taki, w którym iloraz R r promieni okre gu opisanego i wpisanego jest najmniejszy. Wykazać, że iloraz R r wartości. może przyjmować dowolnie duże 13. Znaleźć na paraboli y x2 4 punkt P znajduja cy sie najbliżej punktu A (2, 5). Znaleźć ka t mie dzy odcinkiem AP i prosta styczna do paraboli w punkcie P. 14. Znaleźć najmniejsza wartość funkcji 1 + x (6 + x) 2. 8