OSOBNO ANALITYCZNYCH

Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99

.Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem otwartym w R n, to powiemy, że funkcja f : Ω C jest p-osobno analityczna p < s, jeżeli dla każdego =,..., s Ω i dla każdego ci agu i < < i p s funkcja i,..., ip f,..., i,..., ip,..., s jest analityczna w pewnym otoczeniu punktu i,..., ip. Dla funkcji p osobno analitycznej f w Ω niech A f := Ω : f jest analityczna w pewnym otoczeniu punktu oznacza jej zbiór analityczności, a S f := Ω \ A f - jej zbiór osobliwości. Jeżeli X i Y s a dowolnymi zbiorami, S X Y oraz, y X Y, to oznaczamy S, := y Y :, y S, S, y := X :, y S. Poniższe twierdzenia charakteryzuj a zbiory osobliwości funkcji osobno analitycznych: Twierdzenie A. Jeżeli f jest p osobno analityczna w Ω, to dla dowolnego ci agu j < < j q s, gdzie q := s p, projekcja zbioru S f na R n j R n jq jest zbiorem pluripolarnym w C n j C n jq. Twierdzenie B. Niech S bȩdzie domkniȩtym podzbiorem zbioru Ω takim, że dla każdego ci agu j < < j q s, gdzie q := s p, projekcja zbioru S na R n j R n jq jest zbiorem pluripolarnym. Wtedy istnieje f - funkcja p osobno analityczna w Ω taka, że S = S f. Twierdzenie C. Niech f bȩdzie funkcj a p osobno analityczn a w Ω. Jeżeli k < s, to dla quasi prawie wszystkich R n to jest dla R n \ P, gdzie P jest pluripolarny S f, = S f,. Twierdzenia A i B w przypadku s = 2, p = n = n 2 = zosta ly udowodnione przez Saint Raymonda [2]. Wynik ten zosta l uogólniony przez Siciaka [5], który udowodni l twierdzenie A dla p s/2 oraz twierdzenie B w ca lości. Celem tej pracy jest udowodnienie twierdzenia C i, jako prostej konsekwencji, twierdzenia A w pe lnej wersji. Chcia lbym podziȩkować profesorowi Siciakowi za opiekȩ naukow a w czasie dwóch ostatnich lat moich studiów oraz za pomoc w napisaniu tej pracy. 2.Preliminaria. W dalszej czȩści potrzebne nam bȩd a dwa nastȩpuj ace twierdzenia: Twierdzenie Siciaka [3]; zobacz też [4]. Niech dla j =,..., s D j = Dj D n j j, Dt j - zbiory otwarte w C, symetryczne wzglȩdem osi t t =,..., n j, K j = Kj Kn j j, Kt j - przedzia ly domkniȩte zawarte w Dt j R. Niech f bȩdzie funkcj a osobno holomorficzn a w zbiorze X := s K D j K s j=

to znaczy dla dowolnego,..., s K K s i dla każdego j =,..., s funkcja f,..., j,, j+,..., s jest holomorficzna w D j. Wtedy f można przed lużyć do funkcji holomorficznej w otoczeniu zbioru X. Twierdzenie Bedforda-Taylora o zbiorach zaniedbywalnych []. Jeżeli u j j J jest lokalnie ograniczon a z góry rodzin a funkcji plurisubharmonicznych w zbiorze otwartym D w C n, to zbiór z D : u z := sup u j z < u z j J jest pluripolarny u oznacza górn a regularyzacjȩ funkcji u. 3.Dowody. Twierdzenie C twierdzenie A: Możemy za lożyć, że j,..., j q =,..., q. Wystarczy wzi ać k = q i zauważyć, że wtedy dla R n S f, =. Dowód twierdzenia C: Możemy zapisać R n R n s =R n R n p R n ap+ R n k R n k+ R n k+p R n k+bp+ R n s, gdzie a = [k/p], b = [s k /p]. Wtedy f jest osobno analityczna to znaczy osobno analityczna wzglȩdem tak zdefiniowanych zmiennych. Wystarczy zatem udowodnić twierdzenie C dla p =. Niech X ν Y ν ν N bȩdzie przeliczaln a rodzin a przedzia lów domkniȩtych w R n R n k+ tak a, że ν= X ν Y ν = Ω. Zbiór R n : S f, S f, zawiera siȩ w ν= Xν : S f, Y ν S f, Y ν. Możemy zatem za lożyć, że f jest osobno analityczna w domkniȩtym przedziale I I s R n czyli w pewnym jego otwartym otoczeniu. Aby udowodnić twierdzenie C trzeba pokazać, że zbiór Z f,k := I I k : S f, S f, jest pluripolarny. W rzeczywistości bȩdziemy wykorzystywać twierdzenie Siciaka przy dodatkowym za lożeniu, że funkcja f jest ograniczona. W tym przypadku dowód twierdzenia jest znacznie prostszy - można go wywnioskować z twierdzenia 2a w [3]. 2

Jeżeli I I k, y I k+ I s oraz y A f,, to definiujemy Q f,k, y := sup α α! α f, y yα / α oczywiście Q f,k, y < + oraz f, jest holomorficzna co najmniej w polidysku P y, /Q f,k, y. Dla y I k+ I s niech F f,k y := A f, y : Q f,k, y nie jest pó lci ag la z góry w. Dowód bȩdzie indukcyjny ze wzglȩdu na k. Za lóżmy najpierw, że k =. Rzut zbioru S f na I 2 I s jest nigdziegȩsty w R n 2, czyli istnieje U - otwarty, gȩsty podzbiór zbioru I 2 I s taki, że I U A f. W szczególności A f jest gȩsty w I I s. Indukcja wzglȩdem s. Oba kroki indukcyjne: dowód przypadku s = 2 oraz dowód przypadku s 3 przy za lożeniu, że jest prawdziwe dla dowolnej funkcji osobno analitycznej s zmiennych bȩdziemy wykonywać równocześnie. Mamy Zdefiniujmy dla m N E m := I m := I = [a, b ] [a n, b n ]. z C n : ma dist z t, [a t, b t ] < /m, t n y I 2 I s : f, y jest holomorficzna w I m, sup z I m f z, y m Mamy E m E m+, m= E m = I 2 I s. Pokażemy, że zbiór U := m= inte m jest gȩsty w I 2 I s. Niech Y bȩdzie dowolnym przedzia lem domkniȩtym w I 2 I s, a H - przeliczaln a baz a topologii w Y z lożon a z przedzia lów domkniȩtych. Dla I zbiór A f, jest gȩsty: gdy s = 2, to fakt ten jest trywialny, gdy zaś s 3, to wynika on z za lożenia indukcyjnego. Zatem, jeśli dla H H oznaczymy A H := I : f, jest analityczna w H,. to mamy H H A H = I. Twierdzimy, że istnieje H H takie, że zbiór A H jest determinuj acy dla funkcji holomorficznych w zespolonym otoczeniu przedzia lu I. Istotnie, gdyby tak nie by lo, to wszystkie zbiory A H H H by lyby nigdziegȩste w I i z twierdzenia Baire a dostalibyśmy sprzeczność. Zatem z lematu Montela zbiory E m H m N s a domkniȩte, wiȩc ponownie z twierdzenia Baire a U H. W efekcie U jest otwarty i gȩsty w I 2 I s. Analogicznie jak I m i U definiujemy zbiory Ij m i U j j = 2,..., s, m N. Weźmy dowolny przedzia l domkniȩty K 2 3

K s U. Korzystaj ac z gȩstości zbiorów U j znajdziemy przedzia ly domkniȩte K I, Kj K j j = 2,..., s oraz m N takie, że dla j =,... s K K j K j+ K s U j oraz f jest osobno holomorficzna i ograniczona przez m w zbiorze s j= K I m j K s. Zatem z twierdzenia Siciaka I K 2 K s A f. 2 Dla y U zbiór F f, y jest pluripolarny. Mamy I y A f, wiȩc istniej a D - zespolone otoczenie przedzia lu I oraz B - zespolone otoczenie punktu y takie, że f jest holomorficzna w D B. Z twierdzenia Bedforda-Taylora zbiór N := z D : ϕ z := sup α jest pluripolarny, a oczywiście F f, N. α! α f y α z, y / α < ϕ z 3 Jeżeli V jest przeliczalnym i gȩstym podzbiorem U, to Z f, y V F f, y. Weźmy Z f,. Znajdziemy y I 2 I s takie, że, y S f, ale y A f,. Wynika st ad, że funkcja f, jest holomorficzna w polidysku P y, / Q f,, y C N, gdzie N := n 2 + + n s. Niech λ bȩdzie takie, że < λ /4 oraz λ N < 2 i niech r := min, / Q f,, y. Dla y ϑ := P y, λr C N mamy St ad latwo dostaniemy f, y = α α! β f β!, y Q f,, y β y β α f y α, y y y α. α α + β! α! β! λ α = Q f,, y β λ β N, wiȩc Q f,, y λ N Q f,, y < 2 /r. 4

Dziȩki istnieje ỹ ϑ V. Wystarczy pokazać, że F f, ỹ. Przypuśćmy, że tak nie jest, czyli, że funkcja Q f,, ỹ jest pó lci ag la z góry w. Istnieje zatem przedzia l domkniȩty K - otoczenie w I taki, że dla K Q f,, ỹ < 2 /r. Funkcja f, jest holomorficzna w otoczeniu ỹ bo ỹ U, wiȩc, ỹ A f, zatem jest holomorficzna w polidysku P ỹ, /Q f,, ỹ. Mamy P ỹ, /Q f,, ỹ P ỹ, r /2 ϑ, wiȩc dla K f, jest holomorficzna w ϑ. Ponadto dla y ϑ mamy f, y α Q f,, y α λr α α α = 2 N. 2 Niech U i I m bȩd a jak w dowodzie punktu i niech H ϑ U. Znajdziemy m takie, że f jest osobno holomorficzna jako funkcja dwóch zmiennych: I i y I 2 I s i ograniczona przez m w zbiorze K ϑ I m H. Z twierdzenia Siciaka, y A f - sprzeczność. Dziȩki 2 i 3 widać, że Z f, jest pluripolarny. Udowodnilśmy zatem pierwszy krok indukcyjny; pokazaliśmy mianowicie, że twierdzenie C jest prawdziwe dla k = i dla dowolnego s 2. Niech teraz k 2 i za lóżmy, że twierdzenie C jest prawdziwe dla k i dowolnego s k. 4 Zbiór W := y I k+ I s : S f, y = S f, y jest gȩsty w I k+ I s. Jak już pokazaliśmy, twierdzenie C jest prawdziwe dla k =, wiȩc stosuj ac je w przypadku k > k razy widzimy, że dla quasi prawie wszystkich s I s,..., dla quasi prawie wszystkich k+ I k+ mamy W szczególności zbiór W jest gȩsty. S f, k+,..., s = S f, k+,..., s. 5 Dla y W zbiór F f,k y jest pluripolarny. Jeśli L A f, y, to analogicznie jak w dowodzie 2 pokazujemy, że F f,k y L jest pluripolarny. 6 Jeśli W jest przeliczalnym, gȩstym podzbiorem W, to zbiór R := Z f,k \ y W S f, y Ff,k y 5

jest pluripolarny. Weźmy dowolne R. Z definicji Z f,k znajdziemy y I k+ I s takie, że, y S f, ale y A f,. Oznaczmy g := f,..., k,. Najpierw pokażemy, że k, y A g. Przypuśćmy, że k, y S g. Mamy y A g k,, zatem k Z g,. Dziȩki 3 znajdziemy y W takie, że k F g, y, czyli funkcja Q g,, y nie jest pó lci ag la z góry w k. Z definicji R i W mamy A f, y \ F f,k y = A f, y \ F f,k y, zatem Q f,k, y jest pó lci ag la z góry w k. W szczególności Q f,k,..., k,, y = Q g,, y jest pó lci ag la z góry w - sprzeczność. Dostaliśmy w efekcie k, y A g, wiȩc k, y S f,..., k, \ S f,..., k,, czyli,..., k Zf,k. Pokazaliśmy zatem, że rzut zbioru R na I I k zawiera siȩ w zbiorze Z f,k, który, dziȩki za lożeniu indukcyjnemu, jest pluripolarny. W szczególności R jest pluripolarny. Z za lożenia indukcyjnego twierdzenie C jest prawdziwe dla dowolnej funkcji osobno analitycznej k zmiennych, wiȩc dla takich funkcji prawdziwe jest również twierdzenie A. W szczególności dla y I k+ I s zbiór S f, y jest pluripolarny. W efekcie z 4, 5 i 6 wnioskujemy, że Z f,k jest pluripolarny. Dowód twierdzenia C zosta l zakończony. Bibliografia [] E. Bedford, B. A. Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math. 49 982, -4. [2] J. Saint Raymond, Fonctions séparément analytiques, Ann. Inst. Fourier 4 99, 79-. [3] J. Siciak, Analyticity and separate analyticity of functions defined on lower dimensional subsets of C n, Zeszyty Nauk. UJ, Prace Mat. 3 969, 53-7. [4] J. Siciak, Separately analytic functions and envelopes of holomorphy of some lower dimensional subsets of C n, Ann. Pol. Math. 22 969, 45-7. [5] J. Siciak, Singular sets of separately analytic functions, Coll. Math. 6/699, 28-29. 6