8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

Transkrypt

1 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti, t i+1 ](t), ω Ω, t, i=1 gdzie = t t 1 <... < t n+1 < oraz ξ i są ograniczonymi zmiennymi losowymi F ti mierzalnymi, i =, 1, 2,..., n. Dla każdego X Ξ i M M 2, (u nas M = ) określamy proces (8.1) Y t = X s dm s := ξ M + n ξ i (M ti+1 t M ti t), t. i=1 Lemat 8.1 Niech X Ξ i M M 2. Wtedy (i) Proces Y = {Y t } t określony wzorem (8.1) jest martyngałem całkowalnym z kwadratem tj. Y M 2. (ii) Dla każdego N M 2 mamy w szczególności (iii) Y = X M. [ X s dm s, X s dm s, N = ] X s dm s, N = X s dm s = X s d M, N s X s d[m, N] s, X 2 s d M, M s. Dowód. Dowód punktów (i) i (ii) przebiega analogicznie jak dowód twierdzenia 5.23, wiec zostawiamy go jako zadanie domowe. W dowodzie punktu (iii) (z liniowości całki) wystarczy przyjąć X = ξ i I (ti, t i+1 ]. Wtedy dla t [, t i ], Y t = ξ i (M t M ti ) dla t (t i, t i+1 ), ξ i (M ti+1 M ti ) dla t [t i+1, ), t. Stąd proces Y jest stały (względem t) na przedziałach (, t i ] i [t i+1, ), więc ma skok tylko dla t (t i, t i+1 ]. Jeśli teraz M t = M t, to Y t = Y t, a jeśli M t M t, to Y t = ξ i (M t M ti ).

2 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Zatem Y = X M. Uwaga. Zauważmy, że w definicji procesów z Ξ używa się przedziałów postaci (t i, t i+1 ], a nie postaci [t i, t i+1 ). Jeśli X = ξ i I (ti, t i+1 ], to oraz więc E X 2 s d M, M s = E[ξ 2 i ( M, M ti+1 M, M ti )] [ ) 2 ] E X s dm s = E [ ξi 2 (Mt 2 i+1 Mt 2 i ) ] = E [ ξ 2 i (M 2 t i+1 M, M ti+1 M 2 t i + M, M ti ) ] + E[ξ 2 i ( M, M ti+1 M, M ti )] = E[ξ 2 i ( M, M ti+1 M, M ti )], [ ) 2 ] E X s dm s = E Xs 2 d M, M s ). Ale jeśli X = ξ i I [ti, t i+1 ) i M nie jest ciągły, to X 2 s d M, M s = ξ 2 i ( M, M ti+1 M, M ti ) ( ) [( ) i E Xs 2 2 d M, M s nie musi być równe E X s dm s ]. Niech M M 2. Określmy klasę procesów Λ 2 (M) = Zauważmy, że zachodzi równość { H prognozowalny proces : E ) } Hs 2 d M, M s <. ) ( E Hs 2 d M, M s = E Hs 2 d[m, M] s ), bo M, M jest prognozowalnym kompensatorem [M, M]. W przestrzeni wektorowej Λ 2 (M) wprowadzamy normę ( H 2 ) ( Λ 2 (M) = E Hs 2 d M, M s = E Hs 2 d[m, M] s ), Lemat 8.2 Niech H Λ 2 (M). Wtedy istnieje ciąg {H n } n 1 Ξ taki, że ) E (Hs n H s ) 2 d M, M s. n

3 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 15 Dowód. Analogiczny jak twierdzenia Twierdzenie 8.3 Niech M M 2. Dla każdego H Λ 2 (M) istnieje jedyny element L M 2 taki, że dla każdego N M 2 mamy L, N t = H s d M, N s, t, oraz L = H M. [L, N] t = H s d[m, N] s, t Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu twierdzenia Jednoznaczność może być udowodniona jak w przypadku ciągłych martyngałów. Istnienie. Rozważmy odwzorowanie Φ : Ξ M 2 określone wzorem Φ(H) = Z lematu 8.1 odwzorowanie Φ jest izometrią, bo H s dm s. ( H 2 ) [( Λ 2 (M) = E Hs 2 ) 2 ] d M, M s = E H s dm s = H s dm s 2M 2. Zatem może być rozszerzona do izometrii Φ na całej przestrzeni Λ 2 (M). Jeśli więc H Λ 2 (M) to z lematu 8.2 istnieje ciąg {H n } n 1 Ξ taki, że H n H w Λ 2 (M). Zatem H n s dm s n Φ(H) w przestrzeni M2. Definiujemy H s dm s := Φ(H) = lim n Z lematu 5.12 istnieje podciąg {H n k} n 1 taki, że H n s dm s. H n k s jednostajnie względem t. Stąd dm s k H s dm s, P p.w. ( H n k s dm s ) k ( H s dm s ), P p.w., t.

4 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Z drugiej strony ( lim k H n k s dm s ) = lim k Hn k t M t. Ponieważ H n H w Λ 2 (M), więc z definicji 7.2 mamy Zatem Równość E [ (H n k H) 2 t ( M t ) 2] ) E (H n k s H s ) 2 d[m, M] s (8.2) L, N t = ( H t M t = H s dm s ), P p.w., t. H s d N, M s, t k. dowodzi się analogicznie jak w twierdzeniu Korzystając z nierówności Kunity-Watanabe dla opcjonalnych wariacji tj. ) 1/2 ( H s K s dv s ([M, N]) Hs 2 ) 1/2 d[m, M] s Ks 2 d[n, N] s (dowód analogiczny jak dla klasycznej nierówności Kunity-Watanabe) dostajemy postępując analogicznie jak w dowodzie (8.2) równość [L, N] t = H s d[n, M] s, t. Uwaga. Zauważmy, że jeśli M M 2,d, to L M 2,d, bo dla N M 2,c mamy E(L N ) = E L, N = E H s d M, N s =. Definicja 8.4 Jedyny element L Λ 2 (M) w twierdzeniu 8.3 nazywamy całką stochastyczną procesu H względem martyngału M M 2 i oznaczamy ją symbolem H s dm s := L t, t. Tak określona całka stochastyczna posiada niektóre własności analogiczne jak całka stochastyczna względem ciągłych martyngałów, mianowicie

5 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Twierdzenie 8.5 Niech H Λ 2 (M) oraz K Λ 2 (L), gdzie Wtedy HK Λ 2 (M) oraz L t = K s dl s = H s dm s, t. K s H s dm s, t. Ponadto dla dowolnego czasu zatrzymania T mamy HI ]],T ]] Λ 2 (M) oraz dla t (8.3) L T t = T t H s dm s = I ]],T ]] H s dm s = Dowód. Analogiczny jak lematów 5.25 i H s dm T s = H T s dm T s. Twierdzenie 8.6 Niech M M 2 A i niech H będzie prognozawalnym procesem takim, że ) ( E Hs 2 ) d M, M s <, E H s dv s (M) <. Wtedy całka stochastyczna L = H s dm s względem M M 2 jest równa całce Lebesgue a- Stieltjesa Y = H s dm s względem M A. Dowód. Dla każdego ograniczonego martyngału N M 2 mamy (twierdzenie 7.3 i 7.9) ( ) ( E(Y N ) = E Y s N s = E H s M s N s ). Z drugiej strony bo s s E(L N ) = E L, N = E[L, N] = ) ( E H s d[m, N] s = E H s M s N s ), s [M, N] t = M c, N c t + s t M s N s, t oraz M c, N c =, bo M c = jako, że M M 2 A (wniosek 4.34). Dlatego E(Y N ) = E(L N ). Ponieważ N ograniczona może być wybrana dowolnie, więc Y = L i Y = L. Wzór (8.3) pozwala uogólnić pojęcie całki stochastycznej względem martyngałów z M 2 do całki stochastycznej względem martyngałów z M 2 loc, mianowicie zachodzi

6 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Twierdzenie 8.7 Niech M M 2 loc i niech H będzie prognozowalnym procesem takim, że H 2 s d M, M s A + loc. Wtedy istnieje jedyny element L M 2 loc taki, że dla każdego N M2 loc zachodzi L, N t = [L, N] t = H s d M, N s, t, H s d[m, N] s, t. Proces L nazywamy całką stochastyczną z procesu H względem martyngału M M 2 loc i oznaczamy H s dm s := L t, t. Dowód. Niech {T n } n 1 i {R n } n 1 będą ciągami lokalizacyjnymi dla M M 2 loc i dla H 2 s d M, M s A + loc. Określmy S n = T n R n, n 1. Z twierdzenia 8.3 otrzymujemy ciąg procesów L n M 2 taki, że Definiujemy L n t = H s dm Sn s, t. L t (ω) := L n t (ω) jeśli t S n (ω) Na mocy twierdzenia 8.5 proces L jest dobrze określony. 8.2 Całka stochastyczna względem martyngału lokalnego Z twierdzenia 7.11 martyngał M M loc (M = ) możemy przedstawić w postaci M = M + M, gdzie M M 2 loc oraz M M loc A loc. Celem naszym jest znalezienie klasy procesów które byłyby całkowalne względem M i M oraz określenie całki względem M jako sumy całek względem M i M. Taka definicja całki okaże się poprawna mimo, że rozkład M = M + M nie jest jednoznaczny. Uwaga. Niech H będzie prognozowalnym lokalnie ograniczonym procesem. i niech {T n } n 1 będzie ciągiem lokalizacyjnym dla H tzn. dla każdego n 1 proces H Tn jest ograniczony. Jeśli M M loc i M = M + M, gdzie M M 2 loc oraz M M loc A loc, to H s dv s (M ), H 2 s d M, M s A + loc. Zatem z twierdzenia 8.7 i twierdzenia 7.3 proces H możemy całkować względem M i M.

7 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Twierdzenie 8.8 Niech H będzie prognozowalnym lokalnie ograniczonym procesem i niech M M loc (M = ). Wtedy całkę stochastyczną z procesu H względem martyngału lokalnego M możemy zdefiniować wzorem (8.4) H s dm s = H s dm s + H s dm s, t, gdzie M = M + M oraz M M 2 loc oraz M M loc A loc Dowód. Z twierdzenia 8.7 i 7.3 tak określona całka jest lokalnym martyngałem. Musimy wykazać, że definicja całki stochastycznej (8.4) nie zależy od rozkładu M = M + M, gdzie M M 2 loc i M M loc A loc, który jak wiemy nie musi być jednoznaczny. Z dowodu twierdzenia 7.12 mamy reprezentację M = M c + M 1 + M 2, gdzie M c M c loc (i jest wyznaczony jednoznacznie z wniosku 7.13), M 1 M 2,d loc, M 2 M loc A loc. Załóżmy, że mamy jeszcze inną reprezentację M = M c + N 1 + N 2, gdzie M c M c loc, N 1 M 2,d loc, N 2 M loc A loc. Zatem oraz Y 1 t := Y 2 t := H s dm c s + H s dm c s + H s dm 1 s + H s dn 1 s + H s dm 2 s H s dn 2 s Dwie ostatnie całki po prawej stronie należą do M d loc w obu równaniach. Ponieważ całka względem ciągłego martyngału jest ciągła, więc z wniosku 7.13 mamy (Y 1 t ) c = (Y 2 t ) c = Ponadto zauważmy, że w obu przypadkach sumy całek H s dm 1 s + H s dm 2 s i H s dm c s. mają te same skoki, bo (M 1 + M 2 ) = (N 1 + N 2 ) oraz H s dn 1 s + H M 1 + H M 2 = H N 1 + H N 2. H s dn 2 s Z twierdzenia 7.12 są więc równe. Zatem definicja (8.4) całki stochastycznej jest poprawna.

8 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Uwaga. Została zdefiniowana całka z M M loc, M =. Gdy M, to określamy M t = M t M. Stąd M M loc, M = oraz M = M + M. Definiujemy wtedy całkę z prognozowalnego, lokalnie ograniczonego procesu H wzorem Niech M M d loc. Określmy H s dm s := H M + H s dm s. [M, M] t := s t( M s ) 2, t. Jest to proces o niemalejących trajektoriach i M jest oczywiście cadlag, więc [M, M] V +. Można pokazać więcej, mianowicie Twierdzenie 8.9 Niech M M d loc. Wtedy [M, M]1/2 A + loc. Dowód. Rozważmy rozkład M = M + M, gdzie M M 2 loc (w rzeczywistości M jest lokalnie ograniczony) oraz M M loc A loc. Mamy [M, M] t = ( M s ) 2 = s s t s t( M + M ) 2, t. Z nierówności trójkąta mamy Ale [M, M] 1/2 t = ( ( M s ) 2) 1/2 ( = ( M s + M ) 2) 1/2 s t ( ( M s) 2) 1/2 ( + ( M s ) 2) 1/2 = [M, M ] 1/2 t + [M, M ] 1/2 t, t. s t s t ( [M, M ] 1/2 = ( M s ) 2) 1/2 M V (M ), s więc [M, M ] 1/2 A + loc oraz [M, M ] 1/2 A + loc, bo M = M M M d loc, jest lokalnie ograniczony, więc należy do M 2,d loc i z twierdzenia Dla M M loc zdefiniujmy opcjonalną kwadratową wariację wzorem s t s [M, M] t := M c, M c t + s t( M s ) 2, t,

9 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Wniosek 8.1 Niech M M loc. Wtedy [M, M] 1/2 A + loc. Dowód. Mamy [M, M] 1/2 = ( M c, M c + [M d, M d ] ) 1/2 M c, M c 1/2 + [M d, M d ] 1/2 A + loc, z twierdzenia 8.9 i z tego, że M c, M c A + loc (co więcej jest jest on nawet lokalnie ograniczony na mocy twierdzenia 4.31). Uwaga. Jeśli M M loc, to z dowodu twierdzenia 8.8 wynika, że dla prognozowalnego lokalnie ograniczonego procesu H mamy H s dm d s M d loc. Ponadto [M d, M d ] t = s t( M s ) 2, t. Dla N M loc mamy [ ] H s dms d, N = ( s s H u dm d u ) N s = s H s M d s N s = H s d[m d, N] s oraz [ ] H s dms c, N = H s dms c, N c = H s d M c, N c = H s d[m c, N]. Z powyższej uwagi oraz twierdzenia 8.7 i 8.8 mamy Twierdzenie 8.11 Niech M M loc i niech H będzie prognozowalnym lokalnie ograniczonym procesem. Wtedy istnieje jedyny proces L M loc taki, że dla każdego N M loc mamy Ponadto L = H M. [L, N] = H s d[m, N] s. 8.3 Ogólny problem całki stochastycznej Byłoby interesujące wyznaczyć jak największą klasę procesów, które byłyby całkowane względem matyngałów lokalnych. Z naszych dotychczasowych rozważań wynika, że dla M M loc i dla prognozowalnego lokalnie ograniczonego procesu H mamy: (i) [M, M] 1/2 A + loc,

10 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład (ii) H s dm s M loc, ( ) (iii) H u dm u = H M. Zatem (8.5) ( ) 1/2 [ Hs 2 d[m, M] s = H s dm s, H s dm s ] 1/2 A + loc. Stąd wynika, że jeśli chcemy rozszerzyć klasę procesów całkowalnych H względem martyngałów lokalnych M, to jednym z koniecznych warunków jest warunek (8.5). Okazuje się, że jest to również warunek dostateczny. Określmy dla 1 p < przestrzeń liniową H p = { M M : E ( sup M t p) } <. t Z nierówności Dooba dla L 2 mamy ( E sup M t 2) 4E(M ), 2 t zatem H 2 = M 2. Można pokazać, że H 1 M. Przestrzeń H 1 jest przestrzenią Banacha z normą ( ) M H 1 = E sup M t t. Równoważną normę daje nierówność Davies a Twierdzenie 8.12 Istnieją stałe k > i K > takie, że dla każdego M M loc zachodzą nierówności ( ) k E([M, M] 1/2 ) E sup M t K E([M, M] 1/2 ). t Twierdzenie 8.13 Niech M M d loc (M = ) oraz niech H będzie prognozowalnym procesem takim, że ( ) 1/2 Hs 2 d[m, M] s A + loc. Wtedy istnieje jedyny proces L Hloc 1 Md loc taki, że L = H M. Dowód. Wystarczy wykazać, że jeśli M M d i ( ) 1/2 Hs 2 d[m, M] s A +,

11 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład to L H 1 M d. Rozważmy zbiór A = {M M }. Istnieją ciągi {T n } n 1 i {S n } n 1 o rozłącznych wykresach takie, że dla każdego n 1 czas zatrzymania T n jest prognozowalny, a S n totalnie nieosiągalny oraz A [[T n ]] k ]]. n 1 k 1[[S Zdefiniujmy proces Ponieważ ( E A n t = H Sn M Sn I {Sn t}, t n 1. EV (A n ) = E H Sn M Sn I {Sn< } HS 2 k ( M Sk ) 2 I {Sk < } + k 1 n 1 ) 1/2 E Hs 2 d[m, M] s <, H 2 T n ( M Tn ) 2 I {Tn< }) 1/2 = więc A n A, n 1. Niech Ãn będzie prognozowalnym kompensatorem A n. Oznaczmy N n := A n Ãn, n 1. Jak wiadomo (twierdzenie 4.38) kompensator Ãn ma ciągłe trajektorie. Stąd N n S n = H Sn M Sn I {Sn< }. Ponadto N n H 1, bo ( E ) ( sup Nt n = E t ) ( sup A n Ãn E t sup t Analogicznie konstruujemy proces dla T n, n 1. ) A n t +sup Ãn E [ V (A n )+V (Ãn ) ] <. t B n t = H Tn M Tn I {Tn t}, t, który z tych samych powodów co A n należy on do A. Oznaczmy K n = B n B n, n 1. Analogicznie jak w dowodzie lematu 7.14) dowodzi się, że B n, n 1 są martyngałami jednostajnie całkowalnymi. Zatem B n =. Z tych samych powodów co wyżej K n H 1. Oznaczmy L n = m n(n m + K m ), n 1. Wtedy L n H 1, n 1. Dla n > m otrzymujemy [L n L m, L n L m ] = ( H 2 Sk ( M Sk ) 2 I {Sk < } + HT 2 k ( M Tk ) 2 I {Tk < }) oraz E[L n L m, L n L m ] 1/2 m k n [ = E m k n ( H 2 Sk ( M Sk ) 2 I {Sk < } + H 2 T k ( M Tk ) 2 I {Tk < }) ] 1/2

12 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład zmierza do zera, gdy n, m z twierdzenia Lebesgue a o ograniczonej zbieżności, bo ) 1/2 E Hs 2 d[m, M] s <. Stąd i z nierówności Davies a ciąg {L n } n 1 jest ciągiem Cauchy ego w przestrzeni Banacha H 1. Zatem istnieje granica L := lim n Ln H 1. Możemy wybrać podciąg {L n k} k 1, który jest zbieżny do L P - p.w. i jednostajnie względem t, więc L = H M. Jednoznaczność wynika z twierdzenia Całka stochastyczna względem semimartyngałów Niech X, (X = ) będzie semimartyngałem tzn. (8.6) X = M + A, M M loc, A V oraz niech H będzie prognozowalnym lokalnie ograniczonym procesem. Definiujemy całkę jako H s dx s = H s dm s + H s da s, t. Lemat 8.14 Powyższa definicja całki stochastycznej względem semimartyngalu X jest poprawna tzn. nie zależy od reprezentacji (8.6) Dowód. Niech Stąd X = M 1 + A 1 = M 2 + A 2, M 1, M 2 M loc, A 1, A 2 V. M 1 M 2 = A 2 A 1 M loc V = M loc A loc. Jeśli martyngał lokalny M 1 M 2 V to całka stochastyczna względem M 1 M 2 jest równa całce Lebesgue a-stieltjesa. Zatem Stąd H s dm 1 s + H s d(m 1 s M 2 s ) = H s da 1 s = H s d(a 2 s A 1 s), t. H s dm 2 s + H s da 2 s, t.

13 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 16 Twierdzenie 8.15 (Wzór Ito) Niech X będzie semimartyngałem oraz niech F C 2 (IR). Wtedy proces {F (X t )} t jest semimartyngałem oraz dla s < t mamy F (X t ) = F (X s ) + F (X u ) dx u + 1 F (X u ) d X c, X c u + (s,t] 2 (s,t] [ F (Xu ) F (X u ) F ] (X u ) X u, s<u t gdzie X c jest ciągłą częścią semimartyngału X. Twierdzenie 8.16 (Wielowymiarowy wzór Ito) Niech X = (X 1,..., X n ) będzie semimartyngałem o wartościach w IR n i niech F C 2 (IR n ). Wtedy proces {F (X t )} t jest semimartyngałem oraz dla s < t mamy n F (X t ) = F (X s ) + D i F (X u ) dxu i + 1 n D i D j F (X u ) d (X i ) c, (X j ) c u + (s,t] 2 i=1 s<u t [ F (X u ) F (X u ) Wniosek 8.17 Niech M M loc. Wtedy M 2 t [M, M] t = 2 i,j=1 (s,t] n ] D i F (X u ) Xu i. i=1 M s dm s, t. Dowód. Zastosować wzór Ito do funkcji F (x) = x 2. Wniosek 8.18 Niech X i Y będą semimartyngałami. Wtedy XY jest semimartyngałem oraz X t Y t = X s dy s + Y s dx s + [X, Y ] t, t, gdzie [X, Y ] t := X c, Y c t + X s Y s, t. s t Jeśli X V, to X t Y t = X s dy s + Y s dx s + s t X s Y s, t,

14 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Dowód. Zastosować wielowymiarowy (n = 2) wzór Ito do funkcji F (x, y) = xy. Twierdzenie 8.19 (Doléans-Dade) Niech X będzie semimartyngałem (X = ). Wtedy istnieje jedyny semimartyngał Z taki, że oraz Z t = 1 + Z t = exp [X t 1 ] 2 Xc, X c t Z s dx s, t s t [ (1 + Xs ) exp( X s ) ]. Dowód. Zastosować wielowymiarowy (n = 2) wzór Ito do funkcji F (x, y) = e x y podstawiając x := X t 1 2 Xc, X c t, y := [ (1 + Xs ) exp( X s ) ]. s t