RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

Transkrypt

1 RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag lych określonych na przedziale [, ), wyposażona w nastepuj ace dzia lania dodawania i mnożenia splotowego (f + g)(t) := f(t) + g(t) ; t [, ) ; (f g)(t) := f(t u)g(u) du ; t [, ) dla f, g C[, ). Bezpośrednio można sprawdzić, że powyżej określone dzia lanie splotu jest l aczne, przemienne i rozdzielne wzgledem dodawania, tj. f (g h) = (f g) h ; f g = g f ; f (g + h) = f g + f h ; dla wszystkich f, g, h C[, ). Oznacza to, że struktura algebraiczna (C[, ), +, ) jest pierścieniem przemiennym. Warto zauważyć, że jest to pierścień bez jedności. Istotnie, gdyby istnia la taka funkcja f C[, ), że f g = g dla wszystkich g C[, ), to w szczególności mielibyśmy (biorac w roli funkcji g funkcje identycznie równa 1) f(u) du = 1 dla każdego t [, ), co oczywiście jest niemożliwe, wobec ciag lości f. Bardzo g l eboka i fundamentalna jest obserwacja orzekajaca, że pierścień (C[, ), +, ) jest pierścieniem bez dzielników zera. Mianowicie zachodzi nastepuj ace s lynne Twierdzenie 1. (Titchmarsha) Za lóżmy, że funkcje f, g C[, ) sa takie, że (f g)(t) = dla t [, ). Wówczas f = lub g = na [, ). Dowód tego twierdzenia poprzedzimy kilkoma lematami. Lemat 1. (Phragména) Niech T > i za lóżmy, że funkcja g : [, T ] C jest ciag la. Wówczas dla każdego t [, T ] zachodzi równość lim x ( 1) k 1 e kx(t u) g(u) du = 1 g(u) du.

2 Dowód. Przy ustalonych x >, t [, T ] mamy oszacowanie ( 1) k 1 e kx(t u) g(u) MexT k ; k N, u [, T ], gdzie M := sup u [,T ] g(u). Zatem, wobec zbieżności szeregu i kryterium Weierstrassa, szereg funkcyjny e k ( 1) k 1 e kx(t u) g(u) jest zbieżny jednostajnie ze wzgledu na zmienna u. Ponadto, jego suma wynosi ( 1 exp( e x(t u) ) ) g(u). Twierdzenie o ca lkowaniu wyraz po wyrazie szeregów funkcyjnych jednostajnie zbieżnych oraz twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej daja nam lim x ( 1) k 1 e kx(t u) g(u) du = ( lim 1 exp( e x(t u) ) ) g(u). x Przy u < t granica wystepuj aca pod ostatnia ca lka wynosi g(u), natomiast przy u t wynosi ona. Otrzymujemy stad dowodzona równość. Z udowodnionego lematu latwo wyprowadzimy wniosek mówiacy o tym, że jeśli funkcja ciag la f(t) mnożona przez funkcje kontrolne e nt, szybko rosnace do ma ca lki jednostajnie ograniczone ze wzgledu na n, to funkcja ta musi być zerowa. Dok ladniej, mamy nastepuj acy Lemat 2. że Niech T > i za lóżmy, że f : [, T ] C jest ciag la oraz istnieje taka sta la M, T e nt f(t) du < M dla wszystkich n N. Wówczas f = na [, T ]. Dowód. Dla każdego t [, T ] mamy nastepuj ace oszacowanie ( 1) k 1 e kn(t u) e kn(t T ) f(t u) du M e kn(t T ) = M ( exp(e n(t T ) ) 1 ). e kn(t u) f(t u) du Gdy t < T, wtedy ostatnie wyrażenie zbiega do przy n. Stad i z lematu 1 dostajemy f(t u) du = dla każdego t [, T ). 2

3 Zatem, wobec ciag lości f, mamy f = na [, T ]. Lemat 2 bedzie narzedziem s lużacym do udowodnienia twierdzenia Titchmarsha w szczególnym przypadku, mianowicie wtedy, gdy funkcje f, g wystepuj ace w jego wypowiedzi sa równe. Przejście od tego szczególnego przypadku do sytuacji ogólnej wymaga lo bedzie użycia jeszcze jednego lematu. Lemat 3. (Lercha) Niech a < b bed a liczbami rzeczywistymi i niech φ : [a, b] C bedzie funkcja ciag l a. Za lóżmy, że b dla wszystkich n N. Wówczas φ = na [a, b]. Dowód. Z za lożenia bezpośrednio wynika, że a b a x n φ(x) dx = P (x)φ(x) dx = dla każdego zespolonego wielomianu P (x). Na mocy twierdzenia Stone a - Weierstrassa, zbiór wszystkich takich wielomianów jest gesty w przestrzeni Banacha zespolonych funkcji ciag lych określonych na [a, b] z norma sup. Funkcjona l Λ : f b fφ określony na tej przestrzeni jest zatem funkcjona lem liniowym, ciag lym a i zerujacym sie na podzbiorze gestym. Jest on wobec tego zerowy. W szczególności = Λ(φ) = b a φ2. Funcja podca lkowa jest ciag la i nieujemna. Dostajemy wiec φ 2 =, czyli φ =. Dowód Twierdzenia Titchmarsha. Jak to zosta lo już wcześniej zapowiedziane, najpierw wykażemy twierdzenie w przypadku, gdy f = g. Niech T > i za lóżmy, że funkcja f C[, ) spe lnia warunek (f f)(t) = dla wszystkich t [, 2T ]. Pokażemy, że wówczas f zeruje sie na przedziale [, T ]. Z takiego stwierdzenia, biorac T dowolnie duże, można wywnioskować teze twierdzenia dla f = g. Z za lożenia mamy 2T e n(2t t) f(t u)f(u) du dt = dla dowolnego n N. Podstawmy u T v, t 2T v w. Jakobian takiego odwzorowania wynosi u u v w = = 1, t v t w a obszar ca lkowania przechodzi na trójkat określony nierównościami: v T, w T, v + w. Oznaczmy ten trójkat przez, natomiast trójkat dope lniajacy go do prostokata [ T, T ] [ T, T ] oznaczmy przez. Mamy e n(v+w) f(t v)f(t w) dv dw =, skad e n(v+w) f(t v)f(t w) dv dw = e n(v+w) f(t v)f(t w) dv dw. + 3

4 Ca lka po lewej stronie wynosi T e nx f(t x) dx natomiast na trójkacie modu l wyrażenia e n(v+w) ograniczony jest z góry przez 1. Zatem 2 e nx f(t x) dx P M 2, gdzie M := sup f, P jest polem trójkata. Otrzymujemy e nx f(t x) dx e nx f(t x) dx + T T P M + T M. 2, T e nx f(t x) dx Na mocy lematu 2, f = na przedziale [, T ]. Jak wcześniej zauważyliśmy, dowodzi to prawdziwości twierdzenia w przypadku f = g. Ustalmy teraz dwie funkcje f, g C[, ) takie, że (f g)(t) = dla wszystkich t [, ). Oznaczmy f 1 (t) := tf(t), g 1 (t) := tg(t) dla t [, ). Wobec oczywistej równości mamy Stad (t u)f(t u)g(u) du + ug(u)f(t u) du = t (f 1 g + f g 1 )(t) = dla wszystkich t [, ). f(t u)g(u) du, = f g 1 (f 1 g + f g 1 ) = (f g) (f 1 g 1 ) + (f g 1 ) (f g 1 ) = (f g 1 ) (f g 1 ). Z udowodnionej już cz eści twierdzenia wnosimy, że f g 1 =. Innymi s lowy Powtarzajac to samo rozumowanie, dostajemy ug(u)f(t u) du = ; t [, ). u n g(u)f(t u) du = dla wszystkich: n N oraz t [, ). Korzystajac z lematu 3, mamy g(u)f(t u) = dla wszystkich t [, ), u [, t]. Gdyby istnia l punkt x taki, że g(x ), to stosujac powyższy warunek dla t x otrzymalibyśmy f = na [, ). Zatem f = lub g = na [, ). 4

5 2 Cia lo operatorów Mikusińskiego Wiadomość, że pierścień (C[, ), +, ) jest pierścieniem przemiennym bez dzielników zera pozwala dokonać standardowej algebraicznej konstrukcji i zbudować dla tego pierścienia odpowiadajace mu przemienne cia lo u lamków. Cia lo to oznaczać bedziemy symbolem M i nazywać cia lem operatorów Mikusińskiego, a jego elementy - operatorami Mikusińskiego. Funkcje f C[, ) oznaczać bedziemy też symbolem {f(t)}. Zauważmy, że każdy taki element f pierścienia (C[, ), +, ) może być utożsamiany z elementem cia la M, mianowicie z klasa abstrakcji reprezentowana przez u lamek {f(t)} {1}. Symbol {1} oznacza funkcje {1} identycznie równa 1, a symbol oznacza oczywiście mnożenie splotowe. Mamy wiec naturalne zanurzenie C[, ) f {f(t)} {1} {1} M. Podobnie każda liczbe zespolona α możemy utożsamiać w naturalny sposób z pewnym operatorem, mianowicie tzw. operatorem skalarnym [α] := {α} {1}, gdzie {α} oznacza funkcje identycznie równa α, rozważana jako element cia la M. Okazuje sie, że mnożenie splotowe przez operatory skalarne odpowiada zwyk lemu mnożeniu przez liczbe zespolona. Dok ladniej, zachodza nastepuj ace wzory [α + β] = [α] + [β], [αβ] = [α] [β], [α] {f(t)} = {αf(t)}, [α] {f(t)} {g(t)} = {αf(t)} {g(t)} dla wszystkich: α, β C, f, g C[, ). Mamy zatem nast epne naturalne zanurzenie C α [α] M. W ciele M istnieje oczywiście jedność. Oznaczamy ja symbolem 1 M. Jest ona u lamkiem wyznaczonym przez dowolny reprezentant c w nastepuj acy sposób 1 M = c c. Wyróżnimy teraz dwa operatory grajace szczególnie ważna role w zastosowaniach rachunku operatorów do równań różniczkowych. Operator generowany przez funkcje tożsamościowo równa 1 oznaczymy symbolem h na cześć Heaviside a (operator ten bywa także czesto oznaczany przez l): h := {1}. Operator ten zwiemy operatorem ca lkowym, co motywowane jest nastepuj acym rachunkiem { } h {f(t)} = {1} {f(t)} = f(s) ds. Operator, który jest elementem odwrotnym do h w ciele M oznaczymy symbolem s i nazwiemy operatorem różniczkowym: s := 1 M h. 5 o

6 W dalszym ciagu, jeśli piszemy równość operatorowa, to każda wystepuj ac a w niej liczbe zespolona rozumieć należy jako odpowiadajacy jej operator skalarny. Twierdzenie 2. Niech f C n [, ). Wówczas zachodzi nastepuj aca równość operatorowa f (n) = s n f s n 1 f()... s f (n 2) () f (n 1) (). Dowód. Mnożac obustronnie równość { {f(t)} = {f()} + } f (s) ds przez s i pamietaj ac, że s h = h s = 1 M, dostajemy teze w przypadku, gdy n = 1. Wzór dla n > 1 wynika latwo z tego przez indukcje. 3 Zastosowanie do równań różniczkowych Idea stosowania rachunku operatorowego do równań różniczkowych polega na fakcie, że operacje różniczkowania i ca lkowania w ciele M polegaja po prostu na mnożeniu przez odpowiednie operatory s i h. W ten sposób zapisanie równania różniczkowego w postaci operatorowej pozwala sprowadzić problem do rozwiazania prostego algebraicznego równania. Z uwagi na to, że po rozwiazaniu powsta lego równania algebraicznego w wyniku dostajemy operator cia la M, dodatkowo należy wiedzieć, przez jaka funkcje tenże operator jest reprezentowany. W przypadku równań różniczkowych liniowych o sta lych wspó lczynnikach lub uk ladów takich równań rozwiazanie w postaci algebraicznej zawsze wyraża sie pewna funkcja wymierna zmiennej s. Jeśli uwzglednimy to, że funkcje takie zawsze daja roz lożyć sie na u lamki proste, to wystarczajace dla nas w tym przypadku bed a nastepuj ace wzory Twierdzenie 3. Mamy dla wszystkich: n N, α C, β C \ {}. { } 1 M t n 1 (s α) = n (n 1)! eαt, (1) { } 1 M 1 (s α) 2 + β = 2 β eαt sin βt, (2) s α (s α) 2 + β 2 = { e αt cos βt } (3) Dowód. Pokażemy dowód wzoru (1). Na mocy twierdzenia 2 mamy s {e αt } = {αe αt } + 1 = α {e αt } + 1 M, 6

7 co dowodzi tego wzoru w przypadku n = 1. Jeśli teraz n > 1 i za lożymy prawdziwość wzoru dla n 1, to mamy { } 1 M t = {e αt n 2 } (s α) n (n 2)! eαt { 1 t } = s n 2 e αs e α(t s) ds (n 2)! { e αt } = s n 2 ds (n 2)! { } t n 1 = (n 1)! eαt, co kończy dowód indukcyjny. Przyk lad. Rozwiazać uk lad równań różniczkowych { x = x + 2y y = x + 2y z warunkami poczatkowymi x() = ξ, y() = η. Uk lad ten w postaci operatorowej przyjmuje postać { (s 1)x 2y = ξ x + (s 2)y = η. Zapisujac go w postaci macierzowej, mnożac obustronnie przez odpowiednia macierz odwrotna i zapisujac jej elementy w postaci sum u lamków zwyk lych, otrzymujemy 2 1 x s 3 s 3 3 s 3 s 3 ξ =. 1 1 y η s 3 s s 3 s 3 Stad możemy odczytać rozwiazanie operatorowe. Natomiast korzystajac ze wzoru (1) twierdzenia 3, możemy napisać przez jakie funkcje to algebraiczne rozwiazanie jest reprezentowane. Faktyczne rozwiazanie danego uk ladu ma postać x(t) = 2 3 (ξ η) e 3t (ξ + η), y(t) = 1 3 (ξ + η) 1 3 e 3t (ξ η). Rachunek operatorowy daje istotna korzyść w porównaniu ze zwyk l a metoda rozwiazywania równań różniczkowych liniowych o sta lych wspó lczynnikach lub uk ladów takich równań. Użycie rachunku operatorowego daje zupe lnie algorytmiczna metode rozwiazywania takich równań, nawet wtedy, gdy macierz uk ladu posiada wielokrotne wartości w lasne, co jest sytuacja niekorzystna w przypadku stosowania metody standardowej. Jak sie bowiem okazuje, macierz odpowiedniego uk ladu algebraicznego jest zawsze nieosobliwa w ciele M. Wynika to z nastepuj acego faktu. 7

8 Twierdzenie 4. Operatory sa liniowo niezależne nad cia lem C. 1, s, s 2,..., s n,... Dowód. Za lóżmy, że liczby zespolone α, α 1,..., α n sa takie, że w ciele M zachodzi równość α n s n + + α 1 s + α =. Mnożac te równość obustronnie przez operator h n, dostajemy α n + + α 1 h n 1 + α h n =. Latwo sprawdzić, że dla każdej liczby naturalnej k mamy { } t h k k 1 =. (k 1)! Wobec tego funkcja jest funkcja zerowa, skad α =... = α n =. t n 2 t n 1 α n + + α 1 (n 2)! + α (n 1)! 8