1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
|
|
- Irena Żukowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2 Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976, R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, PWN, Warszawa 1958.
3 Struktury zbiorów Definicja 1.1 Rodzinę F 2 X nazywamy ciałem w X, gdy spełnione są następujące warunki (i) F, (ii) F = = X \ F, (iii), B F = B F.
4 Twierdzenie 1.1 Rodzina F 2 X jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki (i) F = F, (ii), B F = B F. Dowód. (= ) Wystarczy zauważyć, że B = ( B ) F. ( =) Wystarczy zauważyć, że B = ( B ) F.
5 Twierdzenie 1.2 Jeżeli F jest ciałem w X, to (i), X F, (ii) 1,..., n F = n k=1 k F, (iii) 1,..., n F = n k=1 k F, (iv), B F = \ B F.
6 Dowód. (i) F = F. Zatem X = F oraz = X F. (ii) Dowód indukcyjny. Dla n = 2 teza wynika z definicji. Załóżmy, że teza zachodzi dla dowolnych m zbiorów. Mamy 1,..., m+1 F = m+1 k=1 ( m ) k = k m+1 F. k=1 (iii) Wystarczy zauważyć, że k k = ( k k ). (iv) Wynika z równości \ B = B F oraz Twierdzenia 1.1.
7 Definicja 1.2 Rodzinę F 2 X nazywamy σ ciałem w X, gdy (i) F, (ii) F = F, (iii) n IN n F = n IN n F.
8 Wniosek 1.1 Rodzina F jest σ ciałem w X wtedy i tylko wtedy, gdy (i) F, (ii) F = F, (iii) n IN n F = n=1 n F, Dowód. Wystarczy zauważyć, że n = ( n) oraz n IN n IN n = (. n) n IN n IN
9 Twierdzenie 1.3 Jeżeli F jest σ ciałem w X, to jest ciałem w X. Dowód. Załóżmy że F jest σ ciałem. Jeśli, B F, to zatem F jest ciałem. B = B B B... F,
10 Definicja 1.3 Niech H 2 X będzie niepustym zbiorem. (a) Zbiór c(h) = {F 2 X : F - ciało, H F} nazywamy ciałem generowanym przez rodzinę H. (b) Zbiór σ(h) = {F 2 X : F - σ-ciało, H F} nazywamy σ-ciałem generowanym przez rodzinę H.
11 Twierdzenie 1.4 Niech H 2 X będzie niepustym zbiorem. Wówczas (a) Zbiór c(h) jest najmniejszym (w sensie inkluzji) ciałem w X zawierającym rodzinę H. (b) Zbiór σ(h) jest najmniejszym σ-ciałem w X zawierającym rodzinę H.
12 Dowód. (a) Wprost z definicji wynika, że c(h) zawiera H oraz jest zawarte w każdym ciele o tej własności. Pokażemy, że c(h) jest ciałem. Ponieważ zbiór pusty należy do każdego ciała, więc należy też do przekroju, czyli c(h). Niech c(h). Wówczas dla każdego ciała F H, F oraz F. Zatem c(h). Podobnie, jeśli, B c(h), to dla każdego ciała F H,, B F oraz B F. Zatem B c(h). Dowód punktu (b) jest identyczny.
13 Definicja 1.4 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną i niech G będzie rodziną wszystkich zbiorów otwartych w X. Rodzinę B(X ) = σ(g) nazywamy σ-ciałem zbiorów borelowskich, a jej elementy zbiorami borelowskimi.
14 Twierdzenie 1.5 Niech P będzie rodziną przedziałów otwartych w IR. Wówczas B(IR) = σ(p). Dowód. Oczywiście σ(p) B(IR). Niech IR będzie zbiorem otwartym. Dla a zdefiniujmy r a = dist(a, ). Wówczas = a B(a, r a ) = a lq B(a, r a ). Zatem dowolny otwarty podzbiór IR da się przedstawić w postaci przeliczalnej sumy przedziałów otwartych. Wynika stąd, że G σ(p), gdzie G oznacza rodzinę otwartych podzbiorów IR. Zatem B(IR) = σ(g) σ(p).
15 Zadania Zadanie 1.1 Wykazać, że B = ( B ) oraz k = ( k) k IN k IN dla dowolnych zbiorów, B, 1, 2,.... Zadanie 1.2 Niech X = {1, 2, 3, 4}. Sprawdzić czy rodziny F 1 = {, {1}, {2, 3, 4}, X } oraz F 2 = {, {1}, {2, 3}, {4}, X } są ciałami oraz σ ciałami.
16 Zadania Zadanie 1.3 Niech X będzie zbiorem nieskończonym. Pokazać, że rodzina F s = { X : lub jest skończony } jest ciałem, ale nie jest σ ciałem. Zadanie 1.4 Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Pokazać, że rodzina jest σ ciałem. F p = { X : lub jest przeliczalny }
17 Zadania Zadanie 1.5 Niech F będzie σ-ciałem podzbiorów X i niech E X. Pokazać, że rodzina F E = { E : F} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru E. Zadanie 1.6 Niech X, Y będą zbiorami niepustymi i niech f : X Y. Pokazać, że jeśli F jest σ-ciałem w X, to jest σ-ciałem w Y. E f = { Y : f 1 () F}
18 Zadania Zadanie 1.7 Niech X, Y będą zbiorami niepustymi i niech g : X Y. Pokazać, że jeśli G jest σ-ciałem w Y, to {g 1 (): G} jest σ-ciałem w X. Zadanie 1.8 Zbiór IR 2 nazywamy symetrycznym, gdy (x,y) ( x, y). Pokazać, że rodzina symetrycznych podzbiorów IR 2 jest σ-ciałem.
19 Zadania Zadanie 1.9 Pokazać, że suma wstępującego ciągu ciał jest ciałem. Zadanie 1.10 Niech X = {1, 2, 3, 4}. Znaleźć σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów = {{1}}, B = {{1}, X }, C = {{1}, {2}} oraz D = {{2}, {2, 3}}. Zadanie 1.11 Niech X = IN. Znaleźć σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów = {{1}}, B = {{1}, {2}, {3},...} oraz C = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}.
20 Zadania Zadanie 1.12 Niech H 2 X będzie niepustym zbiorem. Pokazać, że σ(c(h)) = σ(h). Zadanie 1.13 Pokazać, że jeśli B σ(), to σ() = σ(b). Zadanie 1.14 Pokazać, że zbiór liczb niewymiernych należy do σ-ciała zbiorów borelowskich. Zadanie 1.15 Pokazać, że B(IR) = σ() = σ(b), gdzie = {[a, b]: a, b IR}. B = {(, q]: q lq}.
21 Definicja 2.1 Niech F będzie ciałem w X. Funkcję λ: F IR nazywamy addytywną funkcją zbioru, gdy (i) λ( ) = 0, (ii), B F, B = = λ( B) = λ() + λ(b).
22 Twierdzenie 2.1 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR addytywną funkcją zbioru, to 1,... n F, i j = (i j) = λ ( n k=1 k) = n k=1 λ( k). Dowód (indukcyjny). Dla dwóch zbiorów teza wynika z definicji. Załóżmy, że teza zachodzi dla m zbiorów. Mamy λ ( m+1 k=1 ) ( m ) k = λ k +λ(m+1 ) = k m m+1 λ( k )+λ( m+1 ) = λ( k+1 ). k=1 k=1
23 Twierdzenie 2.2 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR addytywną funkcją zbioru, to (i) λ > lub λ <, (ii), B F, B, λ() IR λ(b) IR = λ(b \ ) = λ(b) λ(),
24 Dowód. (i) Przypuśćmy, że istnieją, B F takie, że λ() = oraz λ(b) = +. Zauważmy, że λ() = λ( B) + λ( \ B) oraz λ(b) = λ( B) + λ(b \ ). Zatem < λ( B) <, λ( \ B) = oraz λ(b \ ) = +. Otrzymujemy λ(( \ B) (B \ )) = λ( \ B) + λ(b \ ) = +, co stanowi sprzeczność z faktem, że ( \ B) (B \ ) F.
25 Dowód - c.d. (ii) Zauważmy, że λ(b) = λ() + λ(b \ ). Zatem, jeśli λ(b) IR, to λ(), λ(b \ ) IR, natomiast jeśli λ(b) = ± oraz λ() IR, to λ(b \ ) = ±.
26 Twierdzenie 2.3 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR addytywną funkcją zbioru, to (i) λ 0 (, B F, B = λ() λ(b) ), (ii) λ 0 ( λ ( n k=1 k) n k=1 λ( k) dla 1,..., n F ).
27 Dowód. (i) (= ) Jeśli λ 0, to dla, B F, B mamy λ(b) = λ() + λ(b \ ) λ(). ( =) Jeśli dla, B F, B zachodzi λ(b) λ(), to w szczególności λ(b) λ( ) = 0.
28 Dowód - cd. (ii) (= ) Załóżmy, że λ 0. Dla 1,..., n F zdefiniujmy zbiory B 1 = 1, B 2 = 2 \ 1,..., B n = n \ n 1 k=1 k. Zauważmy, że n k=1 k = n k=1 B k oraz B i B j = dla i j. Korzystając z Twierdzenia 2.1 oraz punktu (i) otrzymujemy λ ( n ) ( n ) k = λ B k = k=1 k=1 n λ(b k ) k=1 n λ( k ) ( =) Jeśli dla 1,..., n F zachodzi λ ( n k=1 k) n k=1 λ( k), to dla F, λ() = λ( ) λ() + λ(), czyli 0 λ(). k=1
29 Wniosek 2.1 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR nieujemną addytywną funkcją zbioru, to, B F, λ() = 0 = λ(b) = λ(b \ ) = λ( B). Dowód. Jeśli, B F oraz λ() = 0, to z Twierdzenia 2.3 (i) wynika, że 0 λ(b ) λ() = 0 oraz 0 λ( \ B) λ() = 0. Otrzymujemy λ(b) = λ(b \ ) + λ(b ) = λ(b \ ) oraz λ(b) = λ( B) λ( \ B) = λ( B).
30 Definicja 2.2 Niech F będzie ciałem w X. Funkcję λ: F IR nazywamy σ-addytywną funkcją zbioru, gdy (i) λ( ) = 0, (ii) n F (n IN), n=1 n F, i j = (i j) = λ( n=1 n) = n=1 λ( n).
31 Twierdzenie 2.4 Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR σ-addytywną funkcją zbioru, to λ jest addytywna. Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla, B F takich, że B = zachodzi λ( B) = λ( B...) = λ()+λ(b)+λ( )+λ( )+... = λ()+λ(b).
32 Twierdzenie 2.5 (o ciągłości miary) Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F IR σ-addytywną funkcją zbioru, to (i) n F, n n+1, (n IN), n=1 n F = λ( n=1 n) = lim n λ( n ). (ii) n F, n n+1, λ( n ) IR (n IN), n=1 n F = λ( n=1 n) = lim n λ( n ).
33 Dowód. (i) Zdefiniujmy rodzinę zbiorów (B n ) n IN wzorem B 1 = 1, B n+1 = n+1 \ n k=1 k = n+1 \ n dla n IN. Zauważmy, że n k=1 B k = n k=1 k dla n IN, k=1 B k = k=1 k oraz B i B j = dla i j. Zatem λ ( ) ( ) k = λ B k = λ(b k ) = lim k=1 k=1 k=1 n n k=1 = lim λ( n ) k = lim λ( n). n n k=1 λ(b k ) = lim λ( n n k=1 B k )
34 Dowód - cd. (ii) Korzystając z Twierdzenia 2.2 dostajemy λ( 1 ) λ ( ) ( ) ( k = λ 1 \ k = λ 1 ( ) ) k = = λ ( 1 k=1 k=1 k k=1 k=1 ) ( = λ ( 1 k) ) = λ ( ( 1 \ k ) ). k=1 k=1 Ponieważ ciąg ( 1 \ n ) n IN jest wstępujący, więc na mocy (i) otrzymujemy λ ( ( 1 \ k ) ) = lim λ( 1 \ n ) n k=1 = lim n (λ( 1) λ( n )) = λ( 1 ) lim n λ( n).
35 Definicja 2.3 Niech F będzie σ-ciałem w X. Parę (X, F) nazywamy przestrzenią mierzalną, a elmenty σ-ciała F nazywamy zbiorami mierzalnymi. Jeśli µ: F IR jest nieujemną funkcją σ-addytywną, to trójkę (X, F, µ) nazywamy przestrzenią z miarą, a funkcję µ miarą.
36 Wniosek 2.2 Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Wówczas (i) n F dla n IN = µ ( n=1 n) n=1 µ( n), (ii) przeliczalna suma zbiorów miary zero jest miary zero.
37 Definicja 2.4 Przestrzeń (X, F, µ) nazywamy przestrzenią z miarą σ-skończoną, jeśli istnieje ciąg ( n ) n IN zbiorów mierzalnych takich, że X = n=1 n oraz µ( n ) < + dla n IN. Przestrzeń (X, F, µ) nazywamy przestrzenią z miarą skończoną, jeśli µ(x ) < +, a przestrzenią z miarą unormowaną, jeśli µ(x ) = 1. Definicja 2.5 Przestrzeń (X, F, µ) nazywamy przestrzenią z miarą zupełną, jeśli ( B, B F, µ(b) = 0 ) = F.
38 Dla przestrzeni z miarą (X, F, µ) oznaczmy P = {B X : D F (µ(d) = 0, B D)}. Twierdzenie 2.6 (o uzupełnianiu miary) Jeśli (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą oraz F = { B : F, B P}, µ( B) = µ() dla F, B P, to (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną. Ponadto dla każdego C F zachodzi µ(c) = 0 C P.
39 Dowód. Pokażemy, że F jest σ-ciałem. Jeśli C F, to C = B, gdzie F oraz istnieje taki zbiór D F, że µ(d) = 0 i B D. Wówczas C = ( D) (D \ ( B)). Ponieważ ( D) F oraz (D \ ( B)) D, więc C F. Niech teraz C n F dla n IN. Wówczas C n = n B n, gdzie n F oraz istnieją D n F takie, że B n D n, µ(d n ) = 0 dla n IN. Oczywiście n=1 n F. Z Wniosku 2.2 wynika, że µ( n=1 D n) = 0. Zatem n=1 C n F. Oznacza to, że F jest σ-ciałem.
40 Dowód - cd. Załóżmy, że dla C F zbiór C można przedstawić w postaci C = 1 B 1 oraz C = 2 B 2, gdzie 1, 2 F oraz B 1 D 1, B 2 D 2 dla pewnych zbiorów D 1, D 2 F takich, że µ(d 1 ) = µ(d 2 ) = 0. Wówczas 2 \ 1 C \ 1 B 1 D 1 oraz 1 \ 2 D 2, czyli µ( 2 \ 1 ) = µ( 1 \ 2 ) = 0. Zatem µ( 1 ) = µ( 2 ). Oznacza to, że wartość µ(c) jest określona jednoznacznie.
41 Dowód - cd. Niech(C n ) n IN będzie rodziną zbiorów parami rozłącznych postaci C n = n B n, gdzie n F, B n D n dla pewnego D n F takiego, że µ(d n ) = 0. Wówczas µ ( ) ( ) C n = µ n = µ( n ) = µ(c n ), n=1 n=1 czyli µ jest miarą na F. Niech C E F oraz µ(e) = 0. Wówczas E = B, gdzie F, µ() = 0 oraz B D, µ(d) = 0 dla pewnego D F. Zatem C D F oraz µ( D) = 0. Oznacza to, że C P F, czyli miara µ jest zupełna. n=1 n=1
42 Definicja 2.6 Miarę µ zdefiniowaną w Twierdzeniu 2.6 nazywamy uzupełnieniem miary µ.
43 Zadania Zadanie 2.1 Niech λ będzie funkcją addytywną określoną na ciele F. Pokazać, że λ() = λ( B) + λ( \ B) oraz λ() + λ(b) = λ( B) + λ( B) dla, B F. Zadanie 2.2 Niech F s będzie ciałem z zadania 1.3. Pokazać, że funkcja zbioru λ: F s IR zdefiniowana wzorem 0 card < ℵ 0 λ() = dla F s 1 card < ℵ 0 jest addytywna na F s.
44 Zadania Zadanie 2.3 Niech F p będzie σ-ciałem z zadania 1.4. Pokazać, że funkcja zbioru µ: F p IR zdefiniowana wzorem 0 card ℵ 0 µ() = dla F p 1 card ℵ 0 jest miarą, a zatem (X, F p, µ) jest przestrzenią z miarą.
45 Zadania Zadanie 2.4 Niech X, Y będą zbiorami niepustymi i niech f : X Y. Załóżmy, że F jest σ-ciałem w X, a µ miarą na F. Pokazać, że jeśli F f jest takie, jak w zadaniu 1.6, a µ f : F f [0, ] dana jest wzorem µ f () = µ(f 1 ()) dla F f, to (Y, F f, µ f ) jest przestrzenią z miarą.
46 Zadania Zadanie 2.5 Niech F będzie ciałem w X, a λ: F IR taką addytywną funkcją zbioru, że n F, n n+1 (n IN), n F = λ( n=1 n=1 n ) = lim n λ( n). Wykazać, że λ jest funkcją σ-addytywną. Zadanie 2.6 Udowodnić Wniosek 2.2.
47 Zadania Zadanie 2.7 Pokazać, że (X, 2 X, δ a ), gdzie X jest zbiorem niepustym oraz 1 a δ a () = 1l (a) = dla X, 0 a / jest przestrzenią z miarą unormowaną. Zadanie 2.8 Niech µ będzie miarą na F. Pokazać, że µ( 2 \ 1 ) = µ( 1 \ 2 ) = 0 = µ( 1 ) = µ( 2 ) dla 1, 2 F.
48 Zadania Zadanie 2.9 Pokazać, że dla każdego C F, µ(c) = 0 C P, gdzie F oraz µ są zdefiniowane w Twierdzeniu 2.6 Zadanie 2.10 Wykazać, że jeśli B D, to C = ( B) = ( D) (D \ ( B)).
49 Zadania Zadanie 2.11 Niech X = {1, 2, 3, 4}, F = σ({1, 2}). Niech µ będzie taką miarą, że Określić miarę uzupełnioną µ. µ({1, 2}) = 0, µ({3, 4}) = 1. Zadanie 2.12 Niech µ będzie miarą na B(R 2 ) taką, że dla każdego prostokąta P o wymiernych wierzchołkach, µ(p) =pole P. Pokazać, że µ() = 0, gdzie = {(x, y) R 2 : y = 0}.
50 Zadania Zadanie 2.13 Wykazać, że rodzina zbiorów zdefiniowana w dowodzie twierdzenia 2.3 (ii) spełnia warunki n k=1 k = n k=1 B k oraz B i B j = dla i j. Zadanie 2.14 Niech µ będzie miarą liczącą na 2 IN. Znaleźć przykład ciągu zstępującego zbiorów ( n ) n IN takiego, że µ( n n=1 n) lim n µ( n ).
51 Definicja 3.1 Funkcję µ : 2 X [0, + ] nazywamy miarą zewnętrzną, gdy (i) µ ( ) = 0, (ii) n=1 n = µ () n=1 µ ( n ).
52 Twierdzenie 3.1 Funkcja µ : 2 X [0, + ] jest miarą zewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy (i) µ ( ) = 0, (ii) B = µ () µ (B). (iii) µ ( n=1 n) n=1 µ ( n ).
53 Dowód. (= ) Jeśli µ jest miarą zewnętrzną, to oraz µ () µ (B) + µ ( ) + µ ( ) +... = µ (B) dla B µ ( ) n µ ( n ). n=1 ( =) Niech n=1 n. Wówczas n=1 µ () µ ( ) n µ ( n ). n=1 n=1
54 Dla miary zewnętrznej µ definiujemy rodzinę zbiorów C(µ ) = { X : µ (Z) = µ (Z ) + µ (Z ) dla Z X }. Ponieważ nierówność µ (Z) µ (Z ) + µ (Z ) zachodzi dla dowolnych, Z X, więc C(µ ) = { X : µ (Z) µ (Z ) + µ (Z ) dla Z X }. Twierdzenie 3.2 (Caratheodory ego) Jeśli µ jest miarą zewnętrzną w X, to ( X, C(µ ), µ C(µ )) jest przestrzenią z miarą zupełną.
55 Dowód. 1) Pokażemy, że C(µ ) jest ciałem. Ponieważ µ (Z) = µ (Z X ) = µ (Z ) + µ (Z X ) dla Z X, więc C(µ ), czyli C(µ ). Jeśli C(µ ), to µ (Z) = µ (Z )+µ (Z ) = µ (Z ( ) )+µ (Z ) dla Z X, czyli C(µ ).
56 Dowód - cd. Jeśli, B C(µ ), to µ (Z) = µ (Z ) + µ (Z ) = µ (Z B) + µ (Z B ) + µ (Z B) + µ (Z B ). Ponieważ (Z B) (Z B ) (Z B) = Z ( B), więc z powyższej równości otrzymujemy Zatem B C(µ ). µ (Z) µ (Z ( B)) + µ (Z ( B) ).
57 Dowód - cd. 2) Pokażemy indukcyjnie, że } 1,..., n C(µ ) = i j = (i j) Z X µ ( Z n ) k = k=1 n µ (Z k ) dla n IN. Dla n = 1 teza jest oczywista. Załóżmy, że teza zachodzi dla n = m. Wówczas dla zbiorów parami rozłącznych 1,..., m+1 C(µ ), µ ( m+1 Z k=1 ) k = µ (( m+1 Z k=1 k=1 ) ) k m+1 + µ (( m+1 Z k=1 k=1 k ) m+1 ) = µ (Z m+1 ) + µ ( m ) m Z k = µ (Z m+1 ) + µ (Z k ) m+1 = µ (Z k ) dla Z X. k=1 k=1
58 Dowód - cd. 3) Pokażemy, że C(µ ) jest σ-ciałem. Niech 1, 2,... C(µ ) będą zbiorami parami rozłącznymi. Wówczas, korzystając z punktów 1) i 2) dla Z X oraz n IN dostajemy µ (Z) = µ ( Z n ) k + µ ( Z ( n ) ) k = k=1 + µ ( Z ( n ) ) k k=1 k=1 n µ (Z k ) k=1 n µ (Z k ) + µ ( Z ( ) ) k k=1 k=1 Zatem µ (Z) µ (Z k ) + µ ( Z ( ) ) k k=1 µ ( Z k=1 ) k + µ ( Z ( ) ) k k=1 k=1
59 Dowód - cd. Jeśli B 1, B 2,... C(µ ) są dowolnymi zbiorami, to zbiory z rodziny ( n ) n IN danej wzorem n 1 1, = B 1, n = B n \ B k dla n IN należą do C(µ ), są parami rozłączne oraz k=1 k = k=1 B k. Zatem µ (Z) µ (Z = µ (Z k=1 k ) + µ ( Z ( ) ) k k=1 k=1 B k ) + µ ( Z ( ) ) B k. k=1 k=1
60 Dowód - cd. 4) Pokażemy, że µ := µ C(µ ) jest miarą. Niech 1, 2,... C(µ ) będą zbiorami parami rozłącznymi. Ponieważ µ jest miarą zewnętrzną, więc µ( k ) µ ( ) ( n ) k µ k k=1 k=1 k=1 dla n IN. Z punktu 2) wynika, że Otrzymujemy µ ( n k=1 k) = n k=1 µ( k) dla n IN. µ( k ) µ ( ) k lim k=1 k=1 czyli k=1 µ( k) = µ ( k=1 k). n k=1 n µ( k ) = µ( k ), k=1
61 Dowód - cd. 5) Pokażemy, że (X, C(µ ), µ) jest przestrzenią z miarą zupełną. Niech B, C(µ ), µ() = 0. Wówczas czyli µ (B) = 0. Zatem dla Z X, 0 µ (B) µ () = µ() = 0, µ (Z) µ (Z B ) = µ (Z B) + µ (Z B ). Oznacza to, że B C(µ ).
62 Twierdzenie 3.3 (o indukowaniu miary zewnętrznej) Jeżeli F jest ciałem w X, a λ: F [0, ] funkcją σ-addytywną, to funkcja λ : 2 X [0, ] określona wzorem λ () = inf { λ( n ): n=1 } n F (n IN), n dla X. n=1 jest miarą zewnętrzną na X. Ponadto λ F = λ oraz σ(f) C(λ ).
63 Dowód. Ponieważ 0 λ ( ) λ ( ) = 0, więc λ ( ) = 0. Niech k=1 k. Ustalmy dowolne ɛ > 0. Z definicji funkcji λ wynika, że dla każdego k IN istnieje rodzina ( k,n ) n IN zbiorów z ciała F taka, że Stąd k n=1 k,n oraz λ ( k ) + ɛ 2 k λ( k,n ). n=1 n=1 k=1 n=1 k,n oraz k=1 ( λ ( k ) + ɛ 2 k ) k=1 n=1 λ( k,n ).
64 Dowód - cd. Zatem z definicji funkcji λ otrzymujemy λ () ( λ ( k ) + ɛ ) = 2 k λ ( k ) + ɛ. k=1 Ponieważ ɛ > 0 było dowolne, więc z powyższej nierówności wynika, że λ () k=1 λ ( k ). Zatem λ jest miarą zewnętrzną. k=1
65 Dowód - cd. Z definicji λ wynika, że dla F, λ () λ() + λ( ) + λ( ) +... = λ(), czyli λ λ. Z drugiej strony, dla dowolnej rodziny ( n ) n IN zbiorów z ciała F takich, że n=1 n zachodzi nierówność λ() n=1 λ( n). Oznacza to, że λ λ. Zatem λ F = λ.
66 Dowód - cd. Niech F. Z definicji λ wynika, że dla dowolnego Z X oraz ɛ > 0 istnieją zbiory Z n F (n IN) takie, że Z n=1 Z n oraz λ (Z) + ɛ n=1 λ(z n). Zatem λ (Z) + ɛ λ((z n ) (Z n )) = λ(z n ) + λ(z n ) n=1 λ (Z ) + λ (Z ), czyli C(λ ). Ponieważ C(λ ) jest σ-ciałem, więc oznacza to, że σ(f) C(λ ). n=1 n=1
67 Wniosek 3.1 Jeśli (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą, to µ () = inf{µ(b): B F} dla X.
68 Twierdzenie 3.4 Jeśli (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą σ-skończoną, to (X, F, µ) = ( X, C(µ ), µ C(µ )).
69 Zadania Zadanie 3.1 Sprawdzić, czy funkcja zbioru µ : 2 X [0, ] dana wzorem µ () = sup inf dla X jest miarą zewnętrzną (zakładamy, że sup = inf = 0). Zadanie 3.2 Niech X = {1, 2, 3}. Pokazać, że funkcja µ : 2 X [0, ] dana wzorem 0, =, µ () = 1, {{1}, {2}, {3}, {1, 2}} 2 {{1, 3}, {2, 3}, X } jest miarą zewnętrzną. Wyznaczyć C(µ ). dla X
70 Zadania Zadanie 3.3 Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Pokazać, że funkcja µ : 2 X [0, ] dana wzorem µ 0, card ℵ 0, () = dla X 1, card > ℵ 0 jest miarą zewnętrzną. Wyznaczyć C(µ ). Zadanie 3.4 Pokazać, że nieujemna, skończenie addytywna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbioru jest przeliczalnie addytywna.
71 Zadania Zadanie 3.5 Pokazać, że dla X, jeśli µ () = 0, to C(µ ). Zadanie 3.6 Pokazać, że jeśli F jest ciałem na X oraz λ: F [0, ] jest miarą, to λ dana wzorem λ () = sup { λ( n ): n=1 n,, i F (i IN), i j = (i j) } n=1 spełnia warunki λ ( ) = 0, λ () n=1 λ ( n ), gdzie n=1 n, i j =.
72 Zadania Zadanie 3.7 Dana jest przestrzeń z miarą ({1, 2, 3}, σ({2}), µ), gdzie µ({2}) = µ({1, 3}) = 2. Określić µ. Zadanie 3.8 Dana jest przestrzeń z miarą ({1, 2, 3, 4}, σ({1}, {2}), µ), gdzie µ() =card dla σ({1}, {2}). Określić µ. Czy {2, 3} C(µ ).
73 Zadania Zadanie 3.9 Udowodnić Wniosek 3.1. Zadanie 3.10 Jeśli (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą σ-skończoną, to F = C(µ ). Wykazać, że ponadto µ = µ C(µ ). Zadanie 3.11 Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że F C(µ ).
74 Ustalmy liczbę naturalną N. Definicja 4.1 Niech I 1,... I N będą przedziałami ograniczonymi. Zbiór K postaci nazywamy Kostką w przestrzeni IR N Definicja 4.2 K = I 1... I N Kostką otwartą nazywamy zbiór postaci (a 1, b 1 )... (a N, b N ), a kostką domkniętą zbiór postaci [a 1, b 1 ]... [a N, b N ]. Kostkę o pustym wnętrzu nazywamy zdegenerowaną. Definicja 4.3 Zawartością kostki K = I 1... I N nazywamy liczbę vol N K = N I i. gdzie I oznacza długość przedziału I. i=1
75 Twierdzenie 4.1 Funkcja zbioru N : 2 IRN [0, + ] dana wzorem N = inf { vol K n : K n, K n - kostki domknięte (n IN) } n=1 jest miarą zewnętrzną. n=1 dla IR N
76 Dowód. Ponieważ vol = 0, więc N = 0. Niech k=1 k. Ustalmy ɛ > 0. Dla każdego k IN istnieje rodzina (K k,n ) n IN kostek domkniętych, t. że Zatem oraz N k K k,n oraz k N + ɛ 2 k vol K k,n. n=1 k=1 n=1 k=1 n=1 K k,n n=1 ( vol K k,n k N + ɛ ) = 2 k k N + ɛ. k=1 Ponieważ ɛ > 0 było dowolne, więc N k=1 k N, czyli N jest miarą zewnętrzną. k=1
77 Definicja 4.4 Niech K = [a 1, b 1 ]... [a N, b N ] i niech c i,k dla i = 1,..., N, k = 0,..., r i, będą liczbami rzeczywistymi takimi, że Rodzinę a i = c i,0 < c i,1 <... < c i,ri = b i dla i = 1,..., N. P = { [c 1,k1 1, c 1,k1 ]... [c N,kN 1, c N,kN ]: k i = 1,..., r i (i = 1,... N) }, nazywamy podziałem kostki K.
78 Lemat 4.1 Jeżeli K jest kostką domkniętą w IR N oraz P jest jej podziałem, to vol N K = L P vol N L. Dowód. Niech K = [a 1, b 1 ]... [a N, b N ]. Załóżmy, że punkty c i,k (i = 1,..., N, k = 0,..., r i ) takie, że a i = c i,0 < c i,1 <... < c i,ri = b i wyznaczają podział kostki K. Wówczas d N r i vol N K = (b i a i ) = (c i,ki c i,ki 1) = r 1 i=1 i=1 k i =1 k 1=1 k N =1 i=1 r N N (c i,ki c i,ki 1).
79 Lemat 4.2 Jeżeli K, K 1,..., K m są takimi kostkami domkniętymi, że K m l=1 K l, to vol N K m vol N K l. l=1 Dowód. Jeżeli K = [a 1, b 1 ]... [a N, b N ], K 1 = [c 1, d 1 ]... [c N, d N ] oraz K K 1, to c i a i, b i d i dla i = 1,..., N. Zatem dla m = 1 teza lematu zachodzi.
80 Dowód - c.d. Załóżmy, że m 2. Niech K = [a 1, b 1 ]... [a N, b N ] oraz K l = [a 1,l, b 1,l ]... [a N,l, b N,l ] dla l = 1,..., m. Niech P będzie podziałem kostki K wyznaczonym przez liczby c i,k które dla i = 1,..., N definiujemy jako te wyrazy spośród a i,l, b i,l, które należą do [a i, b i ]. Niech P l = {L P : L K l } dla l = 1,..., m. Ponieważ P m l=1 P l oraz dla l = 1,..., m oraz P l jest podziałem kostki K K l więc korzystając z Lematu 4.1 otrzymujemy vol N K = L P vol N L m l=1 L P l vol N L = m vol N (K K l ). l=1 Zatem, z pierwszej części dowodu, vol N K m l=1 vol N K l.
81 Twierdzenie 4.2 Jeżeli K jest kostką domkniętą w IR N, to K N = vol N K. Dowód. Ponieważ K K..., więc K N vol N K. Niech (K n ) n IN będzie ciągiem kostek domkniętych pokrywających K. Ustalmy ɛ > 0. Dla n IN niech L n będzie taką kostką otwartą, że K n L n oraz vol N cll n vol N K n + ɛ 2 n. Wówczas vol N L n vol N K n + ɛ. n=1 n=1
82 Dowód - c.d. Ponieważ K jest zbiorem zwartym oraz K n=1 L n, więc istnieje m IN takie, że K m n=1 L n. Z Lematu 4.2 wynika zatem, że Otrzymujemy vol N K vol N K m vol N cll n. n=1 vol N K n + ɛ. n=1 Ponieważ ciąg kostek (K n ) n IN pokrywających K był dowolny, więc z powyższej nierówności wynika, że vol N K K N + ɛ. Wobec dowolności ɛ > 0 otrzymujemy vol N K K N.
83 Wniosek 4.1 Dla dowolnej kostki K IR N zachodzi równość K N = vol N K. Definicja 4.5 Elementy σ-ciała L N : = C( N ) nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a, a miarę l N : = N LN nazywamy N-wymiarową miarą Lebesgue a. Przestrzeń ( IR N, L N, l N ) jest przestrzenią z miarą zupełną.
84 Twierdzenie 4.3 Jeżeli K jest kostką w IR N, to K L N.
85 Wniosek 4.2 Jeżeli K jest kostką IR N, to l N (K) = vol N K. Można wykazać, że miara Lebesgue a l N jest jedyną miarą na L N spełniającą powyższą równość. Wniosek 4.3 Miara Lebesgue a jest σ-skończona.
86 Wniosek 4.4 Każdy zbiór otwarty w IR N jest L N -mierzalny. Wniosek 4.5 Każdy zbiór borelowski w IR N jest L N -mierzalny. Można wykazać, że istnieją zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a, które nie są borelowskie oraz podzbiory przestrzeni IR N, które nie są mierzalne w sensie Lebesgue a.
87 Definicja 4.6 Miarę b N = l B(IR N nazywamy miarą Borela. N ) Twierdzenie 4.4 ( IR N, L N, l N ) = ( IR N, B(IR N ), b N )
88 Dowód. Pokażemy, że b N = N. Ponieważ bn() = inf { b N ( n ): n=1 n B(IR N } ), n dla IR N, n=1 N = inf { } vol K n : K n - kostka domknięta, K n n=1 n=1 oraz każda kostka jest zbiorem borelowskim, dla IR N więc b N N. Metodą podobną do dowodu twierdzenia o indukowaniu miary zewnętrznej łatwo pokazać, że N b N ().
89 Dowód - c.d. Korzystając z Twierdzenia 3.4 otrzymujemy ( IR N, L N, l N ) = ( IR N, C( N ), N C( N ) = ( IR N, B(IR N ), b N ). ) = ( IR N, C(b N), b N ) C(b N )
90 Zadania Zadanie 4.1 Udowodnić ostatnią równość z dowodu Lematu 4.1. Zadanie 4.2 Udowodnić Wniosek 4.1 (oraz Wniosek 4.2).
91 Zadania Zadanie 4.3 Wykazać, że jeżeli, B IR N oraz istnieje η > 0 takie, że dist(, B) > η, to B N = N + B N, gdzie dist(, B) = inf{ x y : x, y B}. Zadanie 4.4 Niech K, K 0 będą takimi zbiorami, że dist(k 0, K ) > 0 oraz K \ K 0 < ɛ. Wykazać, że dla Z IR N zachodzi Z K N + Z \ K N Z N + ɛ.
92 Zadania Zadanie 4.5 Pokazać, że jeśli, B [0, 1] oraz l 1 () + l 1 (B) > 1, to B. Zadanie 4.6 Pokazać, że miara Lebesgue a jest niezmiennicza względem przesunięcia. Zadanie 4.7 Uzasadnić, że jeśli L 2, l 2 () < 1, to istnieje para liczb (a, b) IR 2 taka, że dla dowolnych n, m Z punkt (a + m, b + n) nie należy do zbioru. Zadanie 4.8 Udowodnić Wniosek 4.3.
93 Zadania Zadanie 4.9 Udowodnić Wniosek 4.4 (oraz Wniosek 4.5). Zadanie 4.10 Pokazać, że miara Lebesgue a zbioru Cantora wynosi zero. Zadanie 4.11 Znaleźć miarę Lebesgue a zbioru, tych wszystkich liczb z przedziału [0, 1], które w swoim przedstawieniu dziesiętnym nie zawierają cyfry 5. Zadanie 4.12 Wykazać, że b N = N.
94 Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Definicja 5.1 Odwzorowanie f : X IR nazywamy mierzalnym, gdy a IR {x X : f (x) < a} F.
95 Twierdzenie 5.1 Odwzorowanie f : X IR jest mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy B B(IR) f 1 (B) F. Dowód. Zauważmy, że {x X : f (x) < a} = f 1 ([, a)). Ponieważ { IR : f 1 () F} jest σ-ciałem oraz B(IR) jest najmniejszym σ-ciałem zawierającym przedziały postaci [, a), więc a IR f 1 ([, a)) F B B(IR) f 1 (B) F.
96 Wniosek 5.1 Odwzorowanie f : X IR jest mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków (i) a IR {x X : f (x) > a} F, (ii) a IR {x X : f (x) a} F, (iii) a IR {x X : f (x) a} F, (iv) U IR U - otwarty f 1 (U) F. (v) V IR V - domknięty f 1 (V ) F. Wniosek 5.2 Każda funkcja stała jest mierzalna.
97 Twierdzenie 5.2 Jeśli f : X IR jest funkcją mierzalną oraz α IR, to funkcje f oraz αf także są mierzalne. Dowód. {x X : f (x) < a} = {x X : a < f (x) < a} = f 1 (( a, a)) F, czyli f jest mierzalna. Dla α = 0 funkcja αf jest stała, dla α > 0 mamy natomiast dla α < 0, {x X : αf (x) < a} = {x X : f (x) < a α } F, {x X : αf (x) < a} = {x X : f (x) > a α } F, czyli αf jest mierzalna.
98 Lemat 5.1 Jeśli f, g : X IR są funkcjami mierzalnymi, to zbiór {x X : f (x) < g(x)} jest mierzalny. Dowód. Niech (w n ) n IN będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych. Ponieważ więc f (x) < g(x) n IN ( f (x) < wn w n < g(x) ), {x X : f (x) < g(x)} = ( {x X : f (x) < wn } {x X : w n < g(x)} ) F. n IN
99 Twierdzenie 5.3 Jeśli f, g : X IR są funkcjami mierzalnymi, to funkcje max{f, g}, min{f, g}, f + g oraz f g także są mierzalne. Dowód. Ponieważ {x X : max{f (x), g(x)} < a} = {x X : f (x) < a} {x X : g(x) < a}, {x X : min{f (x), g(x)} < a} = {x X : f (x) < a} {x X : g(x) < a} więc funkcje max{f, g} oraz min{f, g} są mierzalne.
100 Dowód - c.d. Dla c IR mamy {x X : f (x) + c < a} = {x X : f (x) < a + c} F, czyli funkcja f + c jest mierzalna. Zatem na mocy Lematu 5.1 mamy {x X : f (x) + g(x) < a} = {x X : f (x) < g(x) + a} F. Ponieważ {x X : f 2 (x) < a} = {x X : f (x) < a} {x X : f (x) > a} F, więc funkcja f 2 jest mierzalna. Zauważmy, że f (x) g(x) = 1 4[( f (x) + g(x) ) 2 ( f (x) g(x) ) 2 ]. Zatem f g jest mierzalna.
101 Wniosek 5.3 Kombinacja liniowa skończonej ilości funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną. Twierdzenie 5.4 Jeśli funkcje f 1, f 2,... : X IR są mierzalne, to funkcja f : X IR dana wzorem f (x) = lim n f n(x) także jest mierzalna. Dowód. Zauważmy, że f (x) < a m IN n0 IN n n0 f n (x) < a 1 m. Zatem f 1 ([, a)) = m IN n 0 IN fn 1 n n 0 ([ 1 )), a F. m
102 Twierdzenie 5.5 Jeśli funkcje f 1, f 2,... : X IR są mierzalne, to funkcje sup f n (x) oraz n IN inf f n(x) także są mierzalne. n IN Dowód. Zauważmy, że oraz {x X : sup f n (x) > a} = n IN {x X : inf n IN f n(x) < a} = {x X : f n (x) > a} F n=1 {x X : f n (x) < a} F. n=1
103 Wniosek 5.4 Dla dowolnego ciągu (f n ) n IN funkcji mierzalnych funkcje lim sup f n (x) n oraz lim inf f n(x) są mierzalne. n Dowód. Mamy lim sup f n = inf ( sup f n+m ) F oraz lim inf n n IN m IN n f n = sup n IN ( inf m IN f n+m) F.
104 Wniosek 5.5 Dla dowolnego ciągu (f n ) n IN funkcji mierzalnych zbiór punktów B = {x X : lim f n(x) istnieje } jest mierzalny. n Dowód. Mamy B = {x X : lim inf f n(x) = lim sup f n (x)} F. n n
105 Definicja 5.2 Dla dowolnego zbioru X funkcję 1 x 1l (x) = 0 x / nazywamy funkcją charakterystyczną zbioru. Dla 1,..., n X oraz a 1,..., a n IR funkcję f postaci nazywamy funkcją prostą. f (x) = n a i 1l i (x) i=1
106 Twierdzenie 5.6 Funkcja 1l jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest mierzalny. Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla a (0, 1), {x X : 1l (x) > a} =. Wniosek 5.6 Jeśli a i a j dla i j oraz zbiory 1,..., n są parami rozłączne, to funkcja prosta postaci n f (x) = a i 1l i jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory 1,..., n są mierzalne. i=1
107 Dla f : X IR oznaczamy f + (x) = sup{f (x), 0} oraz f (x) = sup{ f (x), 0}. Zauważmy, że f (x) = f + (x) f (x) dla x X. Twierdzenie 5.7 Jeżeli f : X IR jest funkcją mierzalną, to istnieje ciąg (f n ) n IN funkcji prostych taki, że lim n f n(x) = f (x) dla każdego x X. Jeżeli f jest nieujemna, to ciąg (f n ) n IN można dobrać tak, aby był rosnący.
108 Dowód. Załóżmy, że f (x) 0 dla x X. Dla n IN definiujmy zbiory oraz funkcję n,i = { x X : i 1 2 n f (x) < i 2 n }, i = 1, 2,..., n2 n, B n = {x X : f (x) n}. f n = n1l Bn + n2 n i=1 i 1 2 n 1l n,i. Zauważmy, że f n (x) f n+1 (x) oraz lim n f n(x) = f (x) dla x X. Jeśli f jest funkcją mierzalną przyjmującą wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, to stosujemy powyższą konstrukcję dla f + oraz f.
109 Definicja 5.3 Mówimy, że pewna własność zachodzi prawie wszędzie (w skrócie p.w.), jeżeli zbiór tych x X, dla których nie zachodzi ma miarę zero. Definicja 5.4 Mówimy, że ciag funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych (f n ) n IN jest zbieżny do funkcji funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej f według miary, gdy dla każdego η > 0, lim µ( {x : f (x), f n (x) IR, f n (x) f (x) η} ) = 0. n
110 Twierdzenie 5.8 Jeśli ciąg funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych (f n ) n IN jest zbieżny wg miary do funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej f oraz do funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej g, to f = g p.w. Dowód. Ustalmy η > 0 oraz ɛ > 0. Zauważmy, że dla dowolnego n IN zachodzi inkluzja {x : f (x), g(x) IR, f (x) g(x) η} { x : f (x), f n (x) IR, f n (x) f (x) η 2 } { x : g(x), f n (x) IR, f n (x) g(x) η 2 } {x : fn (x) = }.
111 Dowód - c.d. Ponieważ istnieją n 1, n 2 takie, że µ ({ x : f (x), f n (x) IR, f n (x) f (x) η }) ɛ < 2 2 µ ({ x : g(x), f n (x) IR, f n (x) g(x) η }) ɛ < 2 2 oraz f n są p.w. skończone dla n IN, więc dla n n 1, dla n n 2 µ({x : g(x), f (x) IR, f (x) g(x) η}) < ɛ. Wobec dowolności ɛ > 0 oznacza to, że µ({x : g(x), f (x) IR, f (x) g(x) η}) = 0.
112 Dowód - c.d. Ponieważ η > 0 było dowolne, więc µ({x : g(x), f (x) IR, f (x) g(x) > 0}) µ ({ x : g(x), f (x) IR, f (x) g(x) 1 }) = 0. k k=1
113 Twierdzenie 5.9 Jeśli ciągi funkcji mierzalnych p.w. skończonych (f n ) n IN oraz (g n ) n IN są zbieżne według miary do funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych odpowiednio f i g, to lim (f n + g n ) = f + g wg miary n oraz dla każdego c IR. lim cf n = f wg miary n
114 Dowód. Ustalmy η > 0. Wystarczy zauważyć, że {x : f n (x) + g n (x), f (x) + g(x) IR, ( f n (x) + g n (x) ) ( f (x) + g(x) ) η} { x : f n (x), f (x) IR, (f n (x) f (x) η } 2 { x : g n (x), g(x) IR, (g n (x) g(x) η } 2 oraz {x : cf n (x), cf (x) IR, cf n (x) cf (x) η} { x : f n (x), f (x) IR, f n (x) f (x) η }. c
115 Twierdzenie 5.10 Załóżmy, że µ(x ) <. Niech f oraz f n dla n = 1, 2,... będą funkcjami mierzalnymi prawie wszędzie skończonymi. Jeśli lim n f n = f p.w., to lim n f n = f wg miary.
116 Definicja 5.5 Mówimy, że ciąg funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych (f n ) n IN spełnia warunek Cauchy ego względem miary, gdy η>0 ɛ>0 n0 m,n n0 µ ( {x X : f n (x), f m (x) IR, f n (x) f m (x) > η} ) < ɛ.
117 Twierdzenie 5.11 Jeśli ciąg funkcji mierzalnych i p.w. skończonych (f n ) n IN jest zbieżny według miary do pewnej funkcji f, to spełnia on warunek Cauchy ego według miary. Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla dowolnych η > 0 oraz m, n IN zachodzi inkluzja {x : f n (x), f m (x) IR, f n (x) f m (x) η} { x : f n (x), f (x) IR, f n (x) f (x) η 2 } { x : f m (x), f (x) IR, f m (x) f (x) η 2 } { x : f (x) = }.
118 Twierdzenie 5.12 (Riesza) Jeśli ciąg funkcji mierzalnych i p.w. skończonych (f n ) n IN spełnia warunek Cauchy ego według miary, to jest on zbieżny według miary do pewnej funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej f. Twierdzenie 5.13 Każdy ciąg funkcji mierzalnych prawie wszędzie skończonych (f n ) n IN zbieżny według miary do funkcji mierzalnej prawie wszędzie skończonej f 0 zawiera podciąg zbieżny do f 0 prawie wszędzie.
119 Zadania Zadanie 5.1 Udowodnić Wniosek 5.2. Zadanie 5.2 Sprawdzić, czy funkcja f : IR IR dana wzorem f (x) = 5x 7 jest mierzalna względem l 1. Zadanie 5.3 Niech f, g będą funkcjami mierzalnymi oraz g > 0. Pokazać, że funkcja f n g jest mierzalna.
120 Zadania Zadanie 5.4 Podać przykład funkcji f, która nie jest mierzalna oraz f 2 jest mierzalna. Zadanie 5.5 Niech f, g będą funkcjami mierzalnymi. Pokazać, że zbiór = {x X : f (x) = g(x)} jest mierzalny. Zadanie 5.6 Dla funkcji f, g, h : IR IR danych wzorami f (x) = 3x dla x IR, g(x) =sgnx dla x IR, h(x) = [x] dla x IR wyznaczyć σ(f ) := σ({f 1 (B): B B 1 }), σ(g) oraz σ(h).
121 Zadania Zadanie 5.7 Niech X = {1, 2, 3} oraz F = {, {1, 2}, {3}, X }. Czy funkcja f : X IR taka, że f (1) = 3, f (2) = 2, f (3) = 1 jest F-mierzalna? Zadanie 5.8 Udowodnić Wniosek 5.6. Czy założenia a i a j oraz i j = dla i j są konieczne? Zadanie 5.9 Opisać wszystkie funkcje f : IR IR F-mierzalne oraz G-mierzalne, gdzie F = {, lq, IR \ lq, IR} oraz G = { IR : = }.
122 Zadania Zadanie 5.10 Pokazać, że dla ciągu zdefiniowanego w dowodzie twierdzenia 5.7 zachodzi f n (x) f n+1 (x) oraz lim n f n(x) = f (x) dla x X. Zadanie 5.11 Załóżmy, że (X, F, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną. Niech f n : X IR dla n IN będą funkcjami mierzalnymi. Pokazać, że każda funkcja f taka, że f = lim n f n p.w. jest F-mierzalna. Zadanie 5.12 Pokazać, że jeśli ciąg funkcji mierzalnych wspólnie ograniczonych (prawie wszędzie) jest zbieżny do funkcji f według miary lub prawie wszędzie, to f jest ograniczona (prawie wszędzie).
123 Zadania Zadanie 5.13 Załóżmy, że (g n ) n IN, (f n ) n IN są ciągami funkcji mierzalnych p.w. skończonych oraz g, f są funkcjami mierzalnymi p.w. skończonymi. Pokazać, że jeśli f = g p.w. oraz f n = g n p.w. dla n IN, to f = lim n f n wg miary g = lim n g n wg miary. Zadanie 5.14 Niech F będzie ciałem podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesque a odcinka [0, 1]. Określmy ciąg funcji: f 1 = 1l [0,1], f 2 = 1l [0, 1 ], f 3 = 1l 2 [ 1,1], f 4 = 1l 2 [0, 1 ], f 5 = 1l 3 [ 1 3, 2 3 ]... Pokazać, że f n jest zbieżny do pewnej funkcji f według miary, ale nie jest zbieżny prawie wszędzie.
124 Zadania Zadanie 5.15 Pokazać, że ciąg funkcji f n : IR IR danych wzorami 0 x < n f n (x) = 1 x n jest zbieżny do funkcji f 0 punktowo, ale nie jest zbieżny do f według miary Lebesgue a.
125 Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Definicja 6.1 Rodzinę P = { 1,..., n } nazywamy rozbiciem zbioru, gdy 1,... n F, = 1... n oraz i j = dla i j. Mówimy, że rozbicie Q jest wpisane w rozbicie P, gdy Bj Q i P B j i. Zauważmy, że rozbicie Q jest wpisane w P wtedy i tylko wtedy, gdy k i P k IN B1,...,B k Q i = B j. j=1
126 Dla funkcji f : X IR oraz rozbicia P = { 1,..., n } oznaczamy oraz S(f, P) = S(f, P) = n inf f (x) µ( i ) x i i=1 m sup f (x) µ( i ). x i i=1 Przyjmujemy, że 0 = 0 = 0.
127 Definicja 6.2 Niech f : X IR będzie funkcją mierzalną oraz niech F. Wyrażenie f dµ zdefiniowane wzorem f dµ = sup{s(f, P): P - rozbicie zbioru } dla f 0, f dµ = f + dµ f dµ dla pozostałych f, nazywamy całką Lebesgue a z funkcji f po zbiorze. Mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Lebesgue a na, gdy f + dµ < oraz f dµ <.
128 Lemat 6.1 Jeśli rozbicie Q jest wpisane w rozbicie P, to S(f, P) S(f, Q) S(f, Q) S(f, P). Lemat 6.2 Dla dowolnych rozbić P = { 1,..., n } oraz Q = {B 1,..., B m } zbioru zachodzi nierówność S(f, P) S(f, Q). Dowód. Wystarczy zauważyć, że rozbicie P Q := { 1 B 1,... 1 B m,..., n B 1,... n B m } jest wpisane w P oraz w Q i skorzystać z Lematu 6.1.
129 Twierdzenie 6.1 Jeśli ograniczona funkcja mierzalna w sensie Lebesgue a f : [a, b] IR + jest całkowalna w sensie Riemana, to b a f (x) dx = [a,b] f dl 1. Dowód. Z Lematu 6.2 oraz definicji całki Riemana wynika, że b a f (x) dx sup{s(f, P): P - rozbicie [a, b]} inf{s(f, Q): Q - rozbicie [a, b]} b a f (x) dx. Zatem b a f (x) dx [a,b] f dl 1 b f (x) dx. a
130 Można wykazać, że w każda funkcja ograniczona całkowalna w sensie Riemana jest mierzalna w sensie Lebesgue a. Zatem w Twierdzeniu 6.1 założenie o mierzalności funkcji f może zostać pominięte.
131 Twierdzenie 6.2 Dla funkcji prostej postaci f (x) = n a i 1l i (x) dla x X, i=1 gdzie a 1,..., a n IR +, 1,..., n F, = n i=1 i oraz i j = dla i j, zachodzi wzór n f dµ = a i µ( i ). i=1
132 Dowód. Oznaczmy P = { 1,..., n }. Dla dowolnego rozbicia Q = {B 1,..., B m } zbioru mamy S(f, P Q) = n i=1 j=1 Korzystając z Lematu 6.1 otrzymujemy m a i µ( i B j ) = m a i µ( i ). i=1 f dµ = sup{s(f, P Q): Q - rozbicie zbioru } = m a i µ( i ). i=1
133 Lemat 6.3 Jeśli f, g : X IR + są mierzalne, F oraz g(x) f (x) dla x, to g dµ f dµ. Dowód. Wystarczy zauważyć, że inf x i g(x) inf x i f (x) dla i.
134 Twierdzenie 6.3 Dla dowolnej funkcji mierzalnej f : X IR + oraz dowolnego zbioru F zachodzi równość f dµ = sup { g dµ: g - mierzalna funkcja prosta, g f }.
135 Dowód. Z definicji całki Lebesgue a i Twierdzenia 6.2 wynika, że dla dowolnego podziału P zbioru wartość S(f, P) jest całką z pewnej mierzalnej funkcji prostej mniejszej lub równej od f. Zatem f dµ = sup{s(f, P): P-rozbicie zbioru } sup { g dµ: g-mierzalna funkcja prosta, g f }. Z Lematu 6.3 wynika, że dla każdej mierzalnej funkcji prostej g takiej, że g f zachodzi f dµ g dµ. Stąd f dµ sup { g dµ: g - mierzalna funkcja prosta, g f }.
136 Twierdzenie 6.4 Jeśli f : X IR + jest funkcją mierzalną, to funkcja zbioru ϕ: 2 X IR + dana wzorem ϕ() = f dµ dla F jest miarą. Twierdzenie to pozostawimy bez dowodu.
137 Twierdzenie 6.5 Jeśli f : X IR + jest funkcją mierzalną, to αf dµ = α f dµ dla F, α 0. Dowód. Wystarczy zauważyć, że S(αf, P) = αs(f, P) dla dowolnego rozbicia P zbioru.
138 Twierdzenie 6.6 (Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Niech (f n ) n IN będzie niemalejącym ciągiem funkcji mierzalnych, nieujemnych określonych na zbiorze mierzalnym. Jeśli f (x) = lim n f n(x) dla x, to lim f n dµ = f dµ. n
139 Dowód. Ponieważ 0 f n f n+1 f dla n IN, więc f n dµ f dµ. lim n Niech g : IR będzie mierzalną funkcją prostą taką, że 0 g f. Niech α < 1. Wówczas αg(x) < f (x) dla x. Niech n = {x : αg(x) f n (x)} dla n IN. Zauważmy, że n n+1 dla n IN oraz = n=1 n. Korzystając z Lematu 6.3 oraz Twierdzeń 6.4 i 6.5 dostajemy f n dµ f n dµ n αg dµ = α n g dµ n dla n IN.
140 Dowód - c.d. Ponadto z Twierdzenia 6.4 oraz twierdzenia o ciągłości miary wynika, że lim g dµ = g dµ. n n Otrzymujemy lim f n dµ α g dµ n Ponieważ α < 1 było dowolne, oraz g było dowolną prostą funkcją mierzalną taką, że g f, więc f n dµ f dµ. lim n
141 Z Twierdzenia 5.7 wynika, że każda nieujemna funkcja mierzalna f jest granicą pewnego niemalejącego ciągu (f n ) n IN funkcji prostych. Z Twierdzenia Lebesgue a wynika, że całka z funkcji f jest równa granicy całek z f n.
142 Twierdzenie 6.7 Jeśli f, g : X IR są funkcjami całkowalnymi w sensie Lebesgue a, to (f + g) dµ = f dµ + g dµ. Dowód. Załóżmy, że f i g są funkcjami prostymi. Niech 1,..., n będzie rozbiciem zbioru takim, że f (x) = n a i 1l i (x) oraz g(x) = i=1 dla pewnych a 1,..., a n, b 1,..., b n 0. n b i 1l i (x) i=1
143 Dowód - c.d. Wówczas f (x) + g(x) = n (a i + b i )1l i (x) i=1 jest mierzalną i nieujemną funkcją prostą. Otrzymujemy ( ) n f (x) + g(x) dµ = (a i + b i )µ( i ) = i=1 = f (x) dµ + n a i µ( i ) + i=1 g(x) dµ. n b i µ( i ) i=1
144 Dowód - c.d. Jeśli f i g są nieujemnymi funkcjami mierzalnymi, to z Twierdzenia 5.7 wynika, że istnieją niemalejące ciągi (f n ) n IN, (g n ) n IN funkcji prostych zbieżne odpowiednio do f i g. Z Twierdzenia 6.6 wynika, że (f + g) dµ = lim (f n + g n ) dµ = lim (f n + g n ) dµ. n n Z pierwszej części dowodu wynika, że (f n + g n ) dµ = f n dµ + g n dµ. Jeszcze raz korzystając z Twierdzenia 6.6 dostajemy ( lim f n dµ+ g n dµ ) = lim f n dµ+ lim g n dµ = n n n f dµ+ g dµ.
145 Dowód - c.d. Załóżmy, że f, g są dowolnymi funkcjami całkowalnymi w sensie Lebesgue a. Niech h = f + g. Mamy h + + f + g = h + f + + g +. Zatem z części dowodu dotyczącej funkcji mierzalnych nieujemnych wynika, że h + dµ + f dµ + g dµ = h dµ + f + dµ + g + dµ, a zatem h + dµ h dµ = f + dµ f dµ + g + dµ g dµ.
146 Wniosek 6.1 Jeśli f, g : X IR są funkcjami całkowalnymi w sensie Lebesgue a (lub mierzalnymi nieujemnymi) oraz α, β IR, to (αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ dla F. Wniosek 6.2 Jeśli f : X IR jest funkcją całkowalną w sensie Lebesgue a (lub mierzalną nieujemną), to f dµ = f dµ i i IN i i IN dla dowolnych parami rozłącznych zbiorów i, i IN.
147 Twierdzenie 6.8 (Lemat Fatou) Dla ciągu (f n ) n IN funkcji mierzalnych nieujemnych określonych na zbiorze mierzalnym zachodzi nierówność lim inf f n dµ lim inf f n dµ. n n
148 Dowód. Dla n IN zdefiniujmy funkcję g n : X IR + wzorem g n (x) = inf{f m (x): m IN, m n} dla x X. Wówczas 0 g n g n+1 f n+1 dla n IN oraz lim inf n f n(x) = lim n g n(x) dla x X. Korzystając z Twierdzenia 6.6 otrzymujemy lim inf f ndµ= lim g ndµ= lim g n dµ =lim inf n n n n g n dµ lim inf f n dµ. n
149 Twierdzenie 6.9 (Lebesgue a o zbieżności ograniczonej) Niech (f n ) n IN będzie ciągiem funkcji mierzalnych określonych na zbiorze mierzalnym. Załóżmy, że istnieje funkcja g całkowalna w sensie Lebesgue a taka, że f n (x) g(x) dla x, n IN. Jeśli lim f n(x) = f (x) dla x, n to f dµ = lim f n dµ. n
150 Dowód. Zauważmy, że g + f n, g f n 0. Korzystając z Twierdzenia 6.7 i Lematu Fatou dostajemy g dµ + (±f ) dµ = (g ± lim f n) dµ = lim inf (g ± f n) dµ n n lim inf (g ± f n ) dµ n ( = lim inf g dµ + (±f n ) dµ ) n = g dµ + lim inf (±f n ) dµ. n
151 Dowód - c.d. Stąd oraz f dµ = Otrzymujemy f dµ lim inf f n dµ n ( f ) dµ lim inf ( f n ) dµ = lim sup f n dµ. n n lim sup f n dµ n f dµ lim inf f n dµ. n
152 Zadania Zadanie 6.1 Wykazać, że rozbicie Q jest wpisane w P wtedy i tylko wtedy, gdy i P k IN B1,...,B k Q i = k B j. j=1 Zadanie 6.2 Udowodnić Lemat 6.1.
153 Zadania Zadanie 6.3 Dla funkcji f : [0, 1] [0, 1] danej wzorem 1 x [0, 1] lq f (x) = 0 x / [0, 1] lq obliczyć [0,1] f dl 1. Czy f jest całkowalna w sensie Riemana? Zadanie 6.4 Obliczyć całkę (0,10] x 3 dµ(x), gdzie µ = k=1 1 k 2 δ k.
154 Zadania Zadanie 6.5 Udowodnić Wniosek 6.1. Zadanie 6.6 Udowodnić, że jeśli f : X IR jest funkcją całkowalną w sensie Lebesgue a, to f dµ = f dµ i i IN i i IN dla dowolnych parami rozłącznych zbiorów i, i IN.
155 Zadania Zadanie 6.7 Niech f będzie funkcją mierzalną nieujemną taką, że fdµ = 0. X Pokazać, że f = 0 p.w. Zadanie 6.8 Niech 0 dla x IR \ [ n, n], f n (x) =. 1 n dla x [ n, n] Obliczyć IR lim n f n dl 1 oraz lim n IR f ndl 1.
156 Zadania Zadanie 6.9 Niech 0 dla x [0, 1 2 f 2n (x) = ], 1 dla x [ 1 2, 1], f 1 dla x [0, 1 2 2n+1(x) = ] 0 dla x [ 1 2, 1]. Obliczyć IR lim inf n f n dl 1 oraz lim inf n IR f ndl 1.
Teoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoFunkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki
Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Ostatnio poprawiłem 25 stycznia 2015 r. Nadeszła pora na całkowanie. Pierwsza rzecza jest zdefiniowanie
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowoI kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary
I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary 17.11.05 Grupa A 1. (a)udowodnić,żelim(a n B n ) lima n limb n. (b) Znaleźć granice górną i dolną ciągu zbiorów: ( A n = ( 1) n 1,1 ( 1)n 1 ) [3,4+( 1) n ). n n a)x
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoMetoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych
Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia
Bardziej szczegółowoGrzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste c Grzegorz Plebanek (2009) wersja γ (2013) Spis treści 0 Wiadomości wstępne 1 0.1
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 2002 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoFunkcje addytywne gorszego sortu
Rafał Filipów Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Definicja funkcji addytywnych Definicja Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne Cauchy ego tzn. gdy dla wszystkich x, y R.
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 1999 Spis treści Wstęp 1 1 Przestrzenie mierzalne i przestrzenie
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne
Sprawy organizacyjne Literatura Wykład będzie w zasadzie samowystarczalny. Oto kilka pozycji przydatnej literatury uzupełniającej (wszystkie pozycje zostały wydane przez PWN, z wyjątkiem książek H. Cartana
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowo