Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
|
|
- Adrian Kaczmarczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
2 Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych
3 Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka liczb naturalnych. Elementarna arytmetyka liczb naturalnych używa języka, w którym oprócz stałej 0 występuje jednoargumentowa funkcja suc nazywana następnikiem, i relacja równości.
4 Aksjomaty Peano Aksjomaty tej teorii, a więc podstawowe prawa rządzące liczbami naturalnymi, sformułował Peano.
5 Aksjomaty Peano Aksjomaty Peano liczb naturalnych Ax1. Zero jest liczbą naturalną. Ax2. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna liczba naturalna suc(n), która jest następnikiem n. Ax3. Zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. Ax4. Jeżeli k jest następnikiem liczby n, k=suc(n), i k jest następnikiem liczby m, k=suc(m), to n = m.
6 Aksjomaty Peano c.d. Ax5. Zasada indukcji matematycznej: Jeżeli A jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych N takim, że spełnione są warunki (1), (2): (1) 0 A, (2) dla każdej liczby naturalnej n, jeżeli n A i m jest następnikiem n, to m A, to A=N.
7 Intuicje Aksjomat piąty mówi jak można zbudować zbiór liczb naturalnych z zera przez sukcesywne zastosowanie funkcji następnika: każda liczba naturalna n jest otrzymana z zera przez n-krotne wykonanie operacji następnika, 1= df suc(0) 2 = df suc(suc(0)) 3 = df suc(suc(suc(0)))...
8 Intuicje Fakt ten wielokrotnie, i często nieświadomie, wykorzystuje się w programowaniu z użyciem pętli "while" stwierdzając, że program {x:= 0; while x < y do x := x+1 od } nie zapętla się dla wszystkich wartości naturalnych zmiennej y.
9 Przykład Twierdzenie: Każda liczba postaci n 5 -n dla n N jest podzielna przez 5. Dowód. Niech A={n N: (n 5 - n) mod 5 = 0}. Udowodnimy, że N=A A, ponieważ = 0.
10 Przykład 2. Weźmy jakąś ustaloną liczbę n należącą do A. Wynika stąd oczywiście, że dla pewnego naturalnego k, mamy n 5 - n = 5k. Wtedy jednak (n+1) 5 - (n+1) jest też podzielne przez 5, bo (n+1) 5 -(n+1) = n 5 +5n 4 +10n 3 +10n 2 +5n +1- n -1 = n 5 - n + 5(n 4 +2n 3 +2n 2 +n) = 5(k+n 4 +2n 3 +2n 2 +n). Stąd n+1 A.
11 Przykład Ponieważ oba założenia zasady indukcji matematycznej zostały spełnione, zatem możemy wywnioskować, że A=N. Oznacza to, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba n 5 -n jest podzielna przez 5.
12 Zasada minimum
13 Zasada minimum Z zasady indukcji matematycznej wynika natychmiast następujące twierdzenie zwane "zasadą minimum". Twierdzenie W każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.
14 Dowód zasady minimum Niech A, A N i przypuśćmy, że w A nie ma liczby najmniejszej (tzn. A nie ma elementu pierwszego). Oznacza to w szczególności, że 0 A. Rozważmy zbiór B takich liczb naturalnych n, że ani n ani żadna liczba mniejsza od n nie należy do A, B = {n : (" m n) m A}. Udowodnimy, że wobec przyjętych założeń, musi być B=N. Dowód tego faktu przeprowadzimy wykorzystując zasadę indukcji matematycznej.
15 Dowód zasady minimum (1) Ponieważ 0 nie należy do A, to z definicji zbioru B wynika, że 0 B. (2) Załóżmy, że dla pewnego n, n B. Udowodnimy, że liczba n+1 należy do B.
16 Dowód zasady minimum Z założenia indukcyjnego wynika, że wszystkie liczby mniejsze od n oraz samo n nie należą do zbioru A. Gdyby więc (n+1) A, to byłby to element najmniejszy w A, co nie jest możliwe wobec przyjętego w A założenia. Zatem (n+1) A, a stąd (n+1) B. Ponieważ wykazaliśmy, że oba założenia zasady indukcji są spełnione, to na mocy tejże zasady indukcji wszystkie liczby naturalne należą do B.
17 Dowód zasady minimum Skoro jednak udowodniliśmy, że N=B, to zbiór A musi być pusty, wbrew założeniu. Sprzeczność ta dowodzi, że nie można znaleźć takiego niepustego podzbioru A zbioru liczb naturalnych, który nie miałby elementu pierwszego, a to oznacza, że każdy niepusty podzbiór N ma element pierwszy.
18 Przykład Udowodnimy, że {n N : 3 (n 3 -n)} = N. W przedstawionym dowodzie "nie wprost" wykorzystamy zasadę minimum. Niech A= {n N : 3 (n 3 -n)}. Przypuśćmy, że A N. Wtedy na mocy zasady minimum, w zbiorze N\A istnieje element najmniejszy. Ponieważ 3 0, więc 0 A, a tym samym 0 nie jest elementem najmniejszym w N\A. Niech więc elementem najmniejszym w N\A będzie jakaś liczba k>0. Jako element zbioru N\A, k nie jest dzielnikiem (k 3 -k).
19 Przykład Rozważmy liczbę k-1. Mamy (k-1) N oraz (k-1) 3 -(k-1) = k 3-3k 2 + 3k -1 -k +1 = (k 3 -k) -3k(k-1). Ponieważ (k 3 -k) nie dzieli się całkowicie przez 3, a 3k(k-1) jest wielokrotnością 3, zatem liczba (k-1) 3 -(k-1) nie dzieli się przez 3. Wynika stąd, że (k-1) N\A, co przeczy założeniu, że k było liczbą najmniejszą w zbiorze N\A. W konsekwencji musi być A=N.
20 Zasada indukcji różne sformułowania
21 Zasada indukcji matematycznej 1 Jeżeli (1) W(0), tzn. 0 ma własność W, oraz (2) dla dowolnej liczby naturalnej k, jeśli W(k), to W(k+1), to dla każdej liczby naturalnej n, W(n) (tzn. każda liczba naturalna ma własność W).
22 Przykład Lemat: Liczba wszystkich podzbiorów zbioru n elementowego wynosi 2 n, czyli dla dowolnego zbioru X, jeśli X = n, to P(X) = 2 n.
23 Dowód lematu Oznaczmy przez W zdanie wyrażające własność liczb naturalnych taką, że W(n) wttw liczba podzbiorów zbioru n elementowego wynosi 2 n.
24 Dowód lematu Baza indukcji. Ponieważ zbiór pusty ma dokładnie jeden podzbiór, zatem jeśli X = 0, to P(X) = 1=2 0. Wynika stąd, że liczba 0 ma własność W.
25 Dowód lematu Założenie indukcyjne. Załóżmy, że wszystkie zbiory k elementowe mają własność W(k), tzn. liczba wszystkich podzbiorów zbioru k-elementowego wynosi 2 k.
26 Dowód lematu Teza indukcyjna. Będziemy dowodzili, że zbiór (k+1)-elementowy ma też własność W.
27 Dowód lematu Dowód tezy indukcyjnej. Rozważmy zbiór (k+1)-elementowy X, X={x 1,x 2,..., x k,x k+1 }. Podzielmy wszystkie podzbiory zbioru X na dwie kategorie: - Podzbiory zbioru X, w których nie występuje element x k+1, - Podzbiory zbioru X, w których występuje element x k+1.
28 Dowód lematu Podzbiory pierwszej kategorii są to wszystkie podzbiory zbioru k-elementowego, więc na mocy założenia indukcyjnego jest ich 2 k.
29 Dowód lematu Podzbiory drugiej kategorii otrzymujemy biorąc jakikolwiek podzbiór A zbioru k-elementowego X\{x k+1 }, a następnie dołączając element x k+1. Takich podzbiorów, znów na mocy założenia indukcyjnego jest 2 k. Razem 2 k + 2 k = 2 k+1 podzbiorów. Czyli własność W jest prawdziwa dla k+1.
30 Dowód lematu Na mocy zasady indukcji możemy teraz wyciągnąć wniosek, że zdanie W(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.
31 Zasada indukcji matematycznej 2 Jeżeli A jest podzbiorem zbioru N takim, że 1. 0 A, oraz 2. dla każdej liczby n, jeśli k A dla wszystkich k<n+1, to n+1 A, to A=N.
32 Przykład Lemat: Udowodnić, wykorzystując jedną z postaci zasady indukcji matematycznej, że dla dowolnego a>-1 i dla dowolnej liczby naturalnej n, (1+a) n 1 + na.
33 Dowód lematu Niech W(n) oznacza zdanie (1+a) n 1+ na. Baza indukcji: Ponieważ (1+a) 0 1, zatem zachodzi W(0).
34 Dowód lematu Założenie indukcyjne: Załóżmy, W(k) dla pewnego k, tzn. mamy (1+a) k 1+ka. Teza: W(k+1) jest zdaniem prawdziwym, tzn. (1+a) k+1 1+(k+1)a.
35 Dowód lematu Dowód tezy: (1+a) k+1 =(1+a) k (1+a). Wykorzystamy teraz założenie indukcyjne i otrzymamy (1+a) k+1 (1+ ka)(1+a) 1+ka+a+kaa 1+ (k+1)a + ka 2.
36 Dowód lematu Ponieważ ka 2 0, zatem ostatecznie (1+a) k+1 1+(k+1)a. Czyli prawdziwe jest zdanie W(k+1). Ponieważ oba założenia zasady indukcji matematycznej są spełnione, zatem wnioskujemy, że W(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n.
37 Zasada indukcji dla liczb całkowitych Niech m będzie liczbą całkowitą oraz niech a(n) będzie zdaniem określonym na zbiorze {n Z : n m}. Jeśli 1. zdanie a (m) jest prawdziwe, oraz 2. jeśli wszystkie zdania a(m), a(m+1),..., a(k-1) dla pewnego k>m są prawdziwe, to a(k) też jest zdaniem prawdziwym, to a(n) jest zdaniem prawdziwym dla dowolnych liczb całkowitych n m.
38 Zasada skończonej indukcji Niech m i k będą liczbami naturalnymi oraz niech a(n) będzie zdaniem wyrażającym pewne własności liczb naturalnych m n k. Jeśli 1. zdanie a(m) jest prawdziwe, oraz 2. jeśli z prawdziwości zdania a(i) dla pewnego m i< k wynika, że zdanie a(i+1) też jest prawdzie, to a(n) jest zdaniem prawdziwym dla dowolnych n m i n k.
39 Definicje indukcyjne
40 Ciąg nieskończony Ciąg nieskończony jest to, jak wiadomo funkcja całkowita określona na zbiorze liczb naturalnych N. Jednym z wygodnych sposobów określania wyrazów ciągu jest definicja indukcyjna. Ten sposób definiowania polega na określeniu pierwszego wyrazu ciągu (lub kilku pierwszych wyrazów) np. a 0, i podaniu metody konstrukcji wyrazu (n+1)-go w zależności od wyrazu n-tego lub innych wyrazów już zdefiniowanych.
41 Ciąg nieskończony Przyjmijmy następującą definicję ciągu (a i ) i N : a 0 = 1, a n+1 = a n + 2 dla wszystkich n 0. Łatwo wyliczyć, że a 1 = a = 1+2 = 3, a 2 = a 1 +2 = 5 itd. Przyglądając się bliżej tym definicjom zauważymy, że a 1 = a = , a 2 = = 5, a 3 = =
42 Ciąg nieskończony Domyślamy się, że a k = 1+ k 2 dla wszystkich k>0. Stosując zasadę indukcji matematycznej możemy pokazać, że a k = 1+ 2k dla wszystkich k. Rzeczywiście, dla k=0 otrzymujemy a 0 = 1. Natomiast krok indukcyjny wynika z indukcyjnej definicji ciągu, założenia indukcyjnego dla k i prostego przekształcenia wzoru: a k+1 = a k + 2 = (1+ 2k) + 2 = 1+ 2(k+1).
43 Niezmienniki
44 Definicja Powiemy, że zdanie a jest niezmiennikiem pętli postaci while g do I od, gdzie g jest warunkiem, a I treścią pętli, jeśli dla każdej iteracji tej pętli z tego, że warunki g i a są spełnione przed wykonaniem treści pętli I, wynika że a jest prawdziwe po jej wykonaniu.
45 Przykład algorytm Euklidesa NWD(n,m) (n,m ) {x:=n; y := m; while x y do if x>y then x := x-y else y:=y-x fi od; return y;}
46 Przykład algorytm Euklidesa Niezmiennikiem pętli w tym algorytmie jest formuła nwd(x,y)=nwd(n,m). Rzeczywiście, załóżmy że x y i formuła nwd(x,y)= nwd(n,m) jest prawdziwa w chwili wejścia do pętli while.
47 Przykład algorytm Euklidesa Lemat: Jeśli x>y, to nwd(x-y,y)=nwd(x,y). Wykonując jedyną przewidzianą w tym przypadku instrukcję x := x-y, spowodujemy (nową wartością x jest stara wartość x-y), że na nowo spełniona jest równość nwd(x,y)=nwd(n,m).
48 Przykład algorytm Euklidesa Analogicznie w drugim przypadku. Zatem, po wykonaniu instrukcji "if" nadal jest spełniona formuła nwd(x,y)=nwd(n,m).
49 Przykład algorytm Euklidesa Zakończenie całego procesu nastąpi wówczas, gdy x=y. Stosując skończoną zasadę indukcji matematycznej, skoro nwd(x,y)=nwd(n,m) jest prawdziwa tuż przed wykonaniem pętli "while" i dla każdej iteracji z prawdziwości tej formuły przed wykonaniem instrukcji "if" wynika jej prawdziwość po wykonaniu instrukcji "if", to nwd(x,y)=nwd(n,m) jest też prawdziwa po wyjściu z pętli "while". Ale wtedy nwd(n,m)=nwd(x,y)= nwd(y,y)=y.
50 Przykład algorytm Euklidesa Wynika stąd, że wyliczona przez procedurę wartość jest rzeczywiście największym wspólnym dzielnikiem liczb n i m.
51 Przykład algorytm Euklidesa Pozostał jeszcze jeden problem, czy ten algorytm kiedykolwiek doprowadzi do sytuacji, w której x=y. Czy pętla "while" zatrzyma się kiedykolwiek?
52 Przykład algorytm Euklidesa Tutaj znów przychodzi nam z pomocą indukcja matematyczna. Zauważmy, że jeśli wartości x i y kolejno uzyskiwane w czasie działania algorytmu zapiszemy jako kolejne pozycje ciągu (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., to iloczyn (x i y i ) tworzy ciąg malejący.
53 Przykład algorytm Euklidesa Ponieważ jest to ciąg liczb naturalnych, zatem na mocy zasady minimum nie może być ciągiem nieskończonym. Istnieje więc taka iteracja, w której x i =y i, czyli algorytm zatrzyma się.
54 Lemat Jeśli zdanie a jest prawdziwe przed wykonaniem instrukcji "while" i jest niezmiennikiem tej pętli, to po wykonaniu instrukcji "while" jest prawdziwe zdanie (a g.
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Poprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Matematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
LX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Systemy algebraiczne. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Systemy algebraiczne Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Struktury danych struktury algebraiczne Przykład Rozważmy następujący
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
1 Funkcje uniwersalne
1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Podstawy Informatyki. Algorytmy i ich poprawność
Podstawy Informatyki Algorytmy i ich poprawność Błędy Błędy: językowe logiczne Błędy językowe Związane ze składnią języka Wykrywane automatycznie przez kompilator lub interpreter Prosty sposób usuwania
Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Kongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy
Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie
Relacje i relacje równoważności. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Relacje i relacje równoważności Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Zbiór i iloczyn kartezjański Pojęcie zbioru Zbiór jest
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Wykład 2. Poprawność algorytmów
Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Indukcja matematyczna. Matematyka dyskretna
Indukcja matematyczna Matematyka dyskretna Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna będzie przez nas używana jako metoda dowodzenia twierdzeń. Zazwyczaj są to twierdzenia dotyczące liczb naturalnych,
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Aproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Trzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Logika i teoria mnogości Wykład 14
Teoria rekursji Teoria rekursji to dział logiki matematycznej zapoczątkowany w latach trzydziestych XX w. Inicjatorzy tej dziedziny to: Alan Turing i Stephen Kleene. Teoria rekursji bada obiekty (np. funkcje,
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Poprawność programów Jeżeli projektujemy algorytmy lub piszemy programy, to ważne jest pytanie, czy nasz algorytm lub program
... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna
Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2016 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Paweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Teoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Jeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta
Analiza Algorytmów - Moduł 2- Ćwiczenia
Analiza Algorytmów - Moduł 2- Ćwiczenia Aleksandra Orpel 1 Niezmienniki pętli Ćwiczenie 1. Wykaż, że podany warunek "k 4 > 2m 6 " jest niezmiennikiem pętli 1while 1 mdo 2 3 m := 2m; 4 k := 3k; 5 end: Rozwiazanie:
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Wstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Kilka podstawowych pojęć Definition Programy imperatywne zmieniają stan, czyli wartości zmiennych. Asercja = warunek logiczny, który
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Skończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie