Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O + (x 0, δ) := [x 0, x 0 + δ). Otoczeniem lewostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O (x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 ]. Ciągłość funkcji w punkcie Niech X R, X. Niech f : X R będzie dowolną funkcją. Definicja 2. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 X, jeżeli x x 0 < δ f (x) f(x 0 ) < ε. ε>0 δ>0 x X Inaczej mówiąc: funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy małe zmiany argumentu x względem punktu x 0 powodują małe zmiany wartości funkcji f względem wartości f(x 0 ). Uwaga 1. Analogicznie można zdefiniować ciągłość funkcji w punkcie skupienia jej dziedziny. Ponadto, przyjmujemy, że w punktach izolowanych dziedziny funkcja jest ciągła. Uwaga 2. Jeżeli x 0 jest punktem skupienia zbioru X, to funkcja f : X R jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji f w punkcie x 0 i jest równa f (x 0 ), tzn. x x 0 f (x) = f (x 0 ). Definicja. (i) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na pewnym prawostronnym otoczeniu O + (x 0, δ) punktu x 0. Powiemy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0, jeżeli f (x) = f (x 0 ). (ii) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na pewnym lewostronnym otoczeniu O (x 0, δ) punktu x 0. Powiemy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0, jeżeli f (x) = f (x 0 ). 1

Uwaga. Analogicznie można zdefiniować ciągłość jednostronną funkcji w punkcie dziedziny, który jest jej jednostronnym punktem skupienia. Twierdzenie 1. (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji w punkcie) Funkcja jest ciągła w punkcie należącym do jej dziedziny wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła lewostronnie i ciągła prawostronnie. Przykład 1. Rozważmy funkcję f : R R o wzorze 7x 2, dla x 1, x 2, dla x > 1. Zauważmy, że f(1) = 5 oraz x 1 (x) = (7x 2) = 5 = f(1), zatem funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0 = 1. Z drugiej strony, x 1 x 1 (x) = = 1 f(1), x 1 +x2 a więc funkcja f nie jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0 = 1. Stąd wynika, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie x 0 = 1. Przykład 2. Rozważmy funkcję f : R R o wzorze, dla x < 0, ax x + b, dla x 0, gdzie a, b R, a 0. Dobierzemy tak parametry a, b R, aby funkcja f była ciągła w punkcie x 0 = 0. Zauważmy, że f(0) = b, (x) = ax = 1 a oraz (x) = +(x + b) = b. Aby funkcja f była ciągła w punkcie x 0 = 0 muszą zachodzić warunki czyli (x) = f(0) oraz (x) = f(0), 1 a = b b = b a = 1 b b R \ {0}. Zatem, jeśli tylko a = 1 b i b R \ {0}, to funkcja f jest ciągła w zerze. 2

Ciągłość funkcji w zbiorze Niech X R, X. Definicja 4. Mówimy, że funkcja f : X R jest ciągła w zbiorze X, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie zbioru X. Uwaga 4. Funkcja jest ciągła na przedziale otwartym (a, b), gdzie a < b +, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym [a, b], gdzie < a < b < +, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie przedziału otwartego (a, b) oraz prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b. Analogicznie definiujemy ciągłość funkcji na przedziałach: (a, b], [a, b], (, b], [a, + ) oraz na ich sumach. Rodzaje nieciągłości funkcji Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na pewnym otoczeniu O(x 0, δ) punktu x 0. Definicja 5. (i) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 nieciągłość pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją skończone granice jednostronne funkcji f w punkcie x 0 oraz f (x) f(x 0 ) lub f (x) f(x 0 ). Ponadto, mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu skok, jeżeli spełnia warunek Jeżeli funkcja f spełnia warunek f (x) f (x). f (x) = f (x) f(x 0 ), to mówimy, że ma ona w punkcie x 0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu luka. (ii) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 nieciągłość drugiego rodzaju, jeżeli co najmniej jedna z granic jednostronnych funkcji f w punkcie x 0 nie istnieje lub jest niewłaściwa. Przykład. Rozważmy funkcję f : R R o wzorze, x dla x < 0, 0 dla x = 0, e x 1, dla x > 0. x Okreśy rodzaj nieciągłości tej funkcji w punkcie x 0 = 0.

W tym celu zauważmy, że f(0) = 0, Zatem (x) = x e x 1 = 1 oraz (x) = + x = 1. (x) = (x) = 1 0 = f(0), a więc w zerze funkcja f ma nieciągłość pierwszego rodzaju typu luka. Działania na funkcjach ciągłych Twierdzenie 2. (O ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to funkcje f + g, f g, f g oraz f g g (x 0 ) 0) są ciągłe w punkcie x 0. (o ile Uwaga 5. Powyższe twierdzenie jest także prawdziwe dla funkcji ciągłych jednostronnie. Twierdzenie. (O ciągłości funkcji złożonej ) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 i funkcja g jest ciągła w punkcie y 0 = f (x 0 ), to funkcja złożona g f jest ciągła w punkcie x 0. Uwaga 6. Jeżeli funkcja f jest ciągła jednostronnie, a funkcja g jest ciągła, to funkcja złożona g f jest ciagła jednostronnie. Twierdzenie 4. (O ciągłości funkcji odwrotnej ) Jeżeli f jest funkcją ciągłą i ściśle monotoniczną określoną na przedziale, to funkcja do niej odwrotna f 1 też jest funkcją ciągłą i ściśle monotoniczną. Twierdzenie 5. (O ciągłości funkcji elementarnych) Funkcje elementarne takie jak: wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne są funkcjami ciągłymi (w swoich dziedzinach). Wniosek 1. Działania arytmetycze wykonane na funkcjach ciągłych dają w wyniku funkcje ciągłe. Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej, ściśle monotonicznej określonej na przedziale jest funkcją ciągłą. Twierdzenia o funkcjach ciągłych Twierdzenie 6. (Weierstrassa o ograniczoności funkcji ciągłej ) Funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b], gdzie < a < b < +, jest ograniczona i osiąga swoje kresy, tj. istnieją takie liczby c, d [a, b], że inf f (x) = f (c) i sup f (x) = f (d). x [a,b] x [a,b] 4

Uwaga 7. Założenie domkniętości przedziału jest istotne, bo np. funkcja ctgx jest ciągła na przedziale (0, π), ale nie jest na nim ograniczona. Także założenie ograniczoności przedziału jest istotne, gdyż np. funkcja x jest ciągła na przedziale [0, + ), ale nie jest na nim ograniczona. Podobnie założenie ciągłości funkcji jest istotne, bo np. funkcja 1, dla x / Q, x 0, dla x Q, nie jest ograniczona na przedziale domkniętym [ 1, 1]. Twierdzenie 7. (Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich) Jeżeli funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b], gdzie < a < b < +, spełnia warunek f (a) f (b), to dla każdego w (min {f (a), f (b)}, max {f (a), f (b)}) istnieje takie c (a, b), że w = f (c). Uwaga 8. Jeżeli w powyższym twierdzeniu założymy dodatkowo, że funkcja jest ściśle monotoniczna, to punkt c będzie określony jednoznacznie. Przykład 4. Rozważmy funkcję f : [0, π] R o wzorze + cos x. Pokażemy, że istnieje takie c (0, π), że f(c) = 1. W tym celu wystarczy zauważyć, że funkcja f jest ciągła na przedziale [0, π], jako suma funkcji ciągłych. Ponadto f(0) = 1 i f(π) = 1, a więc f(π) = 1 < 1 = f(0). Stąd i z faktu, że 1 [ 1, 1], na mocy twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich, wynika istnienie takiego c (0, π), że f(c) = 1. Wniosek 2. Jeżeli funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b], gdzie < a < b < +, spełnia warunek f (a) f (b) < 0, to istnieje takie c (a, b), że f (c) = 0. Wniosek. Funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b], gdzie < a < b < +, osiąga w pewnych punktach tego przedziału swoją wartość najmniejszą m i swoją wartość największą M, zaś zbiór wartości tej funkcji jest przedziałem [m, M], tj. f ([a, b]) = [m, M]. 5