MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko
Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione
Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający się regularnie Drgania harmoniczne opisywane są sinusoidalną funkcją czasu W technice: drgania sprężystych elementów konstrukcji: prętów, belek, wałów, drgania mostów, budowli itp.
Faza ruchu okresowego Amplituda ruchu okresowego Okres drgań
x ω Parametry ruchu: ω +α x( t) = r sin( t 0 ) r α y x&t ( ) = rω cos( ωt + α ) 0 2 x&t ( ) = rω sin( ωt + α ) 0 Gdzie: α = ω t r - amplituda ω - częstość kątowa, rad/s ω t + α 0 faza drgań, rad α 0 faza początkowa
r Dla α o = π/2 ωr ω 2 r
Drgania swobodne punktu materialnego Punkt materialny o masie m porusza się ruchem prostoliniowym pod działaniem siły F ρ, przyciągającej ten punkt do stałego punktu 0, zwanegośrodkiem drgań. Siła oddziaływania sprężyny jest proporcjonalna do jej wydłużenia
Drgania swobodne punktu materialnego Dynamiczne równanie tego ruchu ma postać: Po podstawieniu równanie ruchu przybiera postać: F = -cx a po przekształceniu c m Po podstawieniu 2 otrzymamy równanie ruchu w postaci = ω
Drgania swobodne punktu materialnego Rozwiązanie ogólne ma postać: Wprowadzając stałe całkowania w postaci:
Drgania swobodne punktu materialnego Otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci: gdzie: a amplituda drgań, ωt + ϕ kątowa faza drgań, ϕ faza kątowa początkowa drgań, ω częstość kątowa drgań. Ruch określony powyższym wzorem jest ruchem okresowym o okresie T= 2π/ω, częstości f = 1/T. Zgodnie z wcześniejszym oznaczeniem c m = ω
Drgania swobodne punktu materialnego Prędkość Przyśpieszenie
Drgania tłumione punktu materialnego Przyjmiemy teraz, że drgania następują w ośrodku stawiającym opór proporcjonalny do prędkości R = β v = βx& Siłę R ρ nazywamy siłą tłumiącą, a współczynnik proporcjonalności β - współczynnikiem tłumienia.
Drgania tłumione punktu materialnego Dynamiczne równanie tego ruchu ma postać: Po wprowadzeniu wyrażenia na siłę oporu otrzymamy: Po oznaczeniu 2 ω = c m i 2n = β m otrzymamy dynamiczne równanie drgań tłumionych w postaci:
Drgania tłumione przy mały tłumieniu Przypadek ten zachodzi, gdy ω >n. Rozwiązanie ogólne ma postać: Zamiast C 1 i C 2 wprowadzimy nowe stałe: a oraz ϕ Dynamiczne równania ruchu przybiorą postać:
Drgania tłumione przy małym tłumieniu W przypadku małego tłumienia punkt wykonuje drgania, jednak dla t będzie x 0, czyli ruch nie jest okresowy. Jednak z równania ruchu wynika, że przejścia punktu przez położenia równowagi (x = 0) następują okresowo. Możemy więc mówić o drganiach tłumionych o okresie T t i częstości kątowej ω t, określonych zależnościami:
Drgania tłumione przy małym tłumieniu Okres drgań jest nieznacznie większy od okresu drgań swobodnych. Tłumienie powoduje wykładnicze zmniejszanie amplitudy drgań, proporcjonalnie do -nt ae aż do całkowitego zaniku drgań. Dwie sąsiednie amplitudy występujące dla t i t +T/2 wynoszą:
Drgania tłumione przy małym tłumieniu
Dekrement drgań tłumionych Stosunek bezwzględnych wartości amplitud drgań jest stały i wynosi Stosunek ten nazywa się dekrementem drgań. Logarytm naturalny tego stosunku δ nazywamy logarytmicznym dekrementem drgań:
Drgania tłumione przy dużym tłumieniu Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy ω < n. Rozwiązanie ogólne: Po podstawieniu stałych całkowania w postaci: Otrzymamy równanie ruchu w postaci:
Drgania tłumione przy dużym tłumieniu Zmienimy jeszcze raz stałe całkowania Równanie ruchu przybiera postać: Ruch określony tym równaniem nie jest ruchem okresowym. Przy dużym tłumieniu ω > n punkt materialny nie wykonuje drgań.
Krytyczne tłumienie Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy n = ω. Rozwiązanie równania ruchu ma w tym przypadku postać: Poczynając od tłumienia krytycznego n = ω ruch punktu staje się ruchem nieokresowym.
Drgania wymuszone punktu materialnego Na punkt materialny działa dodatkowa siła wymuszająca S, okresowo zmienna wg równania S = H sin pt pt faza siły wymuszającej p częstość kątowa siły wymuszającej T w H - amplituda siły wymuszającej. 2π p = - okres siły wymuszającej
Drgania wymuszone punktu materialnego Równanie ruchu ma postać: Po wprowadzeniu oznaczeń ω = c / m h = H / m częstość kątowa drgań swobodnych, jednostkowa amplituda siły wymuszającej Równanie różniczkowe drgań wymuszonych przyjmuje postać
Drgania wymuszone punktu materialnego Całka ogólna różniczkowego równania ruchu ma postać jest amplitudą drgań wymuszonych: Drgania wymuszone są sumą dwu drgań harmonicznych: - drgań swobodnych o częstości kątowej ω - drgań wywołanych siłą wymuszającą o częstości kątowej p Działanie siły wymuszającej wywołuje drgania harmoniczne, które nakładają się na drgania swobodne.
Zjawisko rezonansu mechanicznego Amplituda drgań wymuszonych wynosi dla p < ω oraz dla p > ω Amplituda drgań wymuszonych zależy od częstości drgań swobodnych, częstości siły wymuszającej oraz amplitudy siły wymuszającej. Dla p = ω amplituda
Zjawisko rezonansu mechanicznego W przypadku gdy p = ω ogólne rozwiązanie równania różniczkowego drgań wymuszonych przyjmuje postać : a szczególne rozwiązanie Z równań ruchu wynika, że kiedy częstość siły wymuszającej zbliża się do częstości drgań swobodnych, to maksymalne odchylenie punktu od położenia zerowego zmierza do nieskończoności. Mówimy, że zachodzi zjawisko rezonansu mechanicznego.
Wpływ tłumienia na drgania wymuszone Równanie dynamiczne tego ruchu lub
Wpływ tłumienia na drgania wymuszone Rozwiązanie równania ruchu ma postać: dla małego tłumienia, gdy ω > n ω < n 2) dla dużego tłumienia, gdy, ω = n 3) dla tłumienia krytycznego, gdy,
Wpływ tłumienia na drgania wymuszone Częstość siły wymuszającej osiągnie wartość wartość zwaną częstością rezonansową równą ( ) 0 przy założeniu,że ω 2 2n 2. W przeciwnym przypadku nie istnieje częstość rezonansowa. Badając drugą pochodną łatwo stwierdzimy, że dla p =, występuje maksimum amplitudy. p r
Przykład 1 Na sprężynie o współczynniku sprężystości c = 30 N/m zawieszono ciężarek o masie m = 2 kg i wprawiono w drgania harmoniczne o amplitudzie A = 20 cm. Drgania obciążnika były nietłumione, w chwili początkowej obciążnik znajdował się w położeniu równowagi. Oblicz: a) okres T drgań obciążnika, b) przyspieszenie obciążnika w funkcji czasu t oraz jego maksymalną wartość, c) jaki będzie stosunek siły F 1 działającej na obciążnik w chwili gdy będzie on wychylony z położenia równowagi o x = 2/3A do siły F 2 działającej po upływie czasu t = 0.25 s, licząc od chwili rozpoczęcia drgań.
a) Rozwiązanie
b) Równanie ruchu harmonicznego: Ponieważ ω = c m, to Po podstawieniu:
Rozwiązanie b) a t, m s 2 3 2 1 0-1 -2-3 0 1 2 3 4 t, s T = 1.62 s
c) Równanie ruchu drgań: Rozwiązujemy równanie: Siła F dana jest równaniem: Po czasie t 1 : Po czasie t 2 : Odp.:
Przykład 2 Przy jakiej prędkości wagonu nastąpi rezonans, jeśli wagon o masie m = 30 Mg porusza się po szynach złożonych z odcinków l = 24 m. Zakładamy,że każdy z czterech resorów wagonu ma stałą c = 4 10 6 N/m. Okres drgań swobodnych wynosi: T = 2π m c 0.3 s Jeśli wagon porusza się ze stałą prędkością v, to na wagon działa siła wymuszająca o okresie: T w = l v okres uderzeń kół wagonu o styki szyn.
Przykład 2 Rezonans nastąpi, gdy prędkość v będzie prędkością krytyczną, tzn. oraz Zatem: Odp.:
Przykład 3 Obliczyć częstość drgań masy m = 200 kg, umieszczonej na końcu B belki utwierdzonej w punkcie A. Belka ma długość l = 1 m. Przekrój belki jest kwadratem o boku a = 4 cm, a moduł Younga E = 2 10 5 MPa.
Moment gnący belki: Rozwiązanie Równanie linii ugięcia: Strzałka ugięcia:
Rozwiązanie Siła grawitacji jest siłą powodującą drgania, więc: Moment bezwładności przekroju belki: Zatem: Częstość drgań wynosi:
Przykład 4 Na końcu belki utwierdzonej o długości l umieszczony jest silnik elektryczny o ciężarze G, wykonujący n obrotów na minutę. Obliczyć, przy jakim momencie bezwładności przekroju belki nastąpi rezonans?
Rezonans nastąpi, gdy: ω = p Rozwiązanie Częstość siły wymuszającej to prędkość kątowa silnika: Z poprzedniego zadania: Dla drgań swobodnych, spowodowanych ciężarem silnika:
Rozwiązanie Ponieważ więc Odp.: