Modelowanie przepłwu ciecz przez ośrodki porowate Wkład XI Zagadnienia przepłwu wod pod ciśnienie.. Płaski fundaent zapor wodnej na warstwie o nieskończonej iąższości. Na przepuszczalnej warstwie o współcznniku filtracji k ograniczonej linią AD spoczwa fundaent zapor wodnej na odcinku BC. Rs. 63. Scheat zagadnienia przepłwu pod fundaente zapor wodnej. Po lewej stronie (patrz rs.63) zapor znajduje się ziornik wod w któr pozio wod ponad terene wnosi H. Po prawej stronie a korto rzeki prz cz pozio wod ponad teren w przekroju (rs. 7.53) wnosi H. Wzdłuż półprostch AB i CD a do cznienia z rzegie przepuszczaln więc składowa stczna prędkości do tch rzegów jest równa zeru: = 0; 0. (0.) Natoiast dla rzegu BC a do cznienia z rzegie nieprzepuszczaln więc składowa noralna do tego rzegu jest równa zeru: = 0; 0. (0.) Wie ponadto że dla ± lu ± odwie składowe prędkości winn dążć do zera więc prędkość zespolona w: powinna również dążć do zera czli: w i = (0.3) li w = 0. (0.4) z ±
Warunki rzegowe zadania dają się przedstawić w prostej postaci prz pooc składowch prędkości (0.) (0.) więc ędzie poszukiwali funkcji potencjału zespolonego w sposó pośredni poprzez określenie najpierw funkcji prędkości zespolonej w. Przjując układ współrzędnch jak na rs. 7.53 widzi zgodnie z (0.) i (0.) że: - dla < - dla > w a wartość rzeczwistą w a wartość urojoną. Przjij wstępnie że funkcja prędkości zespolonej wraża się wzore: w w = z. (0.5) z z = < i wartości urojone dla = >. Funkcja a wartości rzeczwiste dla Funkcja ta spełnia warunki rzegowe dla dodatniej półosi natoiast nie spełnia ich dla półosi ujenej. w Przjij następnie że funkcja równa się: w + z z = > i urojona dla = (0.6) z = < spełnia więc warunki dla ujenej i a wartości rzeczwiste dla półosi natoiast nie spełnia warunku rzegowego dla dodatniej półosi. Łatwo sprawdzić że funkcja powstała z ilocznu funkcji (0.5) i (0.6): w przjuje wartości rzeczwiste dla z = (0.7) < oraz wartości urojone dla > spełnia więc dwa pierwsze warunki rzegowe (0.) i (0.). Nie spełnia natoiast warunku trzeciego (0.4) któr zakłada że prędkość zespolona w powinna ć równa zero dla z. Powższ warunek i warunki rzegowe (0.) i (0.) spełnia natoiast funkcja: w M gdzie: M - to wielkość zespolona stała. = (0.8) z Funkcja (0.8) nie jest jedną spełniającą warunki (0.) (0.) (0.4) jednakże jak to wkaże później jest jedną która odpowiada warunko określon przez nasze zadanie. Gd przenoż funkcję (0.8) przez funkcję wierną z rzeczwisti współcznnikai i której stopień licznika nie przewższa stopnia ianownika w postaci: n gdzie oraz postaci: n i n ( z c) ( z a) to licz naturalne rzeczwiste otrza funkcję prędkości zespolonej w w n M ( z c) ( z a) z =. (0.9) c a punktach = = 0 i = = 0. Przjij również na przkład że a =. Funkcja ta spełnia warunki rzegowe (0.) (0.) (0.4). Posiada ona jednak dodatkowe własności w
Przechodząc do granic w punktach = ± =0 z lewej i prawej stron wektor prędkości powinien orócić się o kąt. W rozpatrwan przpadku oraca się o kąt +. a Zakładając a < otrza w punkcie = = 0 dodatkow punkt osoliw pod fundaente zapor wodnej. Można wkazać że prz n=0 i = jest to wted punktowe źródło wod lu dren. Funkcja ta jest wkorzstana w zadaniach z rurą drenażową ustuowaną pod fundaente udowli piętrzącej. Funkcja (0.9) oże stanowić podstawę do udow rozwiązań zagadnień rzegowch ardziej złożonch od rozpatrwanego w t podrozdziale. Wznacz oecnie funkcje potencjału zespolonego Ω. Korzstając z zależności: w = dω dz i ze wzoru (7.69) dostaje: Ω = Φ + i Ψ = wdz + N. Po scałkowaniu funkcji prędkości zespolonej określonej wzore (0.8) otrzuje funkcję potencjału zespolonego Ω w postaci: z Ω = M arcsin + N. (0.0) Sprawdź oecnie cz stosując wzór Christoffela Schwarza czli etodę odwzorowań konforench uzska dla rozpatrwanego przpadku taką saą funkcję potencjału zespolonego Ω. W t celu usi określić oszar filtracji na płaszczźnie zespolonej Ω dzięki znajoości warunków rzegowch zagadnienia. Jak widać to na rs. 7.54 oszar ten jest ograniczon prosti Ψ = 0 oraz półprosti określoni równaniai Φ = 0 i Φ =. Punkt charakterstczne pokazane na rsunku 7.54 A B C D oraz punkt określając początek układu odniesienia 0 ają swoje iejsce na płaszczźnie Ω. Rs. 7.54. Odwzorowanie oszaru filtracji na płaszczźnie potencjału zespolonego Ω. Punkt charakterstczne A B C D i punkt 0 znajdują się zarówno na płaszczźnie Ω jak również na płaszczźnie z ożna więc skorzstać ze wzoru Christoffela Schwarza i wznaczć równanie potencjału zespolonego Ω. Dla ułatwienia rozważań przepisz ten wzór poniżej: 3
t dt z M N = n t a t a t a +. α α α 0 n ( ) ( )...( ) Zauważ na wstępie że rozpatrwan przez nas oszar na płaszczźnie Ω a postać wielokąta w któr wstępują dwa kąt α i α prz wierzchołkach B i C. Na płaszczźnie ziennej zespolonej z a natoiast do cznienia z półpłaszczzną. Kąt prz wierzchołkach A i D poija się gdż na płaszczźnie ziennej zespolonej z odpowiada i odcięta ± zgodnie z właściwością całki Christoffela Schwarza. Odpowiednie wartości w powższ wzorze ędą następujące: a a = = α = α = z = Ω t = z. (0.) Po uwzględnieniu tch wartości we wzorze Christoffela Schwarza przedstawi go w postaci: z dz Ω = M + N (0.) 0 ( z + ) ( z ) co prowadzi do następującej postaci funkcji potencjału zespolonego Ω : Ω = im arcsin z + N. (0.3) Otrzaliś więc postać funkcji potencjału zespolonego w postaci nieco różniącej się od uzskanej drogą intuicjną (0.0). Pokaże że odwie postacie tego rozwiązania są ekwiwalentne i prowadzą do identcznej siatki hdrodnaicznej przepłwu. A określić funkcję potencjału zespolonego Ω należ wznaczć stałe M i N dla odwu postaci rozwiązania. Wie że funkcja potencjału prędkości równa się: P Φ = k γ w + + C gdzie: C dowolna stała zależna od przjęcia przez nas poziou powierzchni odniesienia potencjału prędkości Φ. Przjij stałą C w taki sposó a wzdłuż poziou wod w rzece (wzdłuż rzegu pcd) a= funkcja potencjału Φ ła równa zero. Założwsz prz t że ciśnienie atosferczne 0 olicza: Stąd: + =. C 0 C = Może ostatecznie stwierdzić że funkcja Φ wraża się wzore: P = k + γ w Olicza Φ wzdłuż rzegu AB. ( H ) Φ. (0.4) 4
( ) Φ AB = k H H. Określając różnicę H H przez H dostaje: Φ AB =. (0.5) Funkcja prądu wzdłuż fundaentu BC równa się dowolnej stałej przjując jednakże że stała ta jest równa zeru a: = = 0 Ψ BC = 0. (0.6) Na podstawie przeprowadzonch wżej rozważań oże stwierdzić że w punkcie B o współrzędnch Ψ = 0 i Φ = (0.7) natoiast w punkcie C o współrzędnch = = 0 : Ψ = 0 i Φ = 0. (0.8) Podstawiając związki (0.7) i (0.8) do wzoru (0.0) dostaje układ równań: M + N = 0 3 M + N =. (0.9) Po rozwiązaniu tego układu równań algeraicznch dostaje: M = N =. (0.0) Podstawiając stałe M i N do wzoru (0.0) otrzuje: Ω = z arcsin (0.) lu po wkorzstaniu własności funkcji trgonoetrcznch oże funkcję potencjału zespolonego zapisać inaczej: Ω = z arccos. (0.) Analogicznie korzstając z tch sach warunków (0.7) i (0.8) oże oliczć stałe dla rozwiązania w postaci wzoru (0.3). Dostaje dla tego przpadku układ równań: 5
im + N = 0 im + N = 0 (0.3) z którego otrzuje stałe: im = N =. (0.4) Po podstawieniu tch stałch do wzoru (0.3) dostaje dokładnie taką saą postać funkcji potencjału zespolonego Ω jak we wzorze Błąd! Nie ożna odnaleźć źródła odwołania.: Ω = z arcsin. Pokazaliś więc że odwie drogi rozuowania prowadzą do jednakowego wniku. Przekształcając wzór (0.) a: Ω z = cos. (0.5) Wstawiając Ω = Φ + iψ oraz z = + i oże stwierdzić że zależność (0.5) a postać: Oznaczając: Φ Ψ + i = cos + i. (0.6) Φ = Φ % oraz Ψ = Ψ % (0.7) a: ~ ~ ( Φ + Ψ) + i = cos i. (0.8) Wiedząc na podstawie talic ateatcznch [Rizik Gradstein 964] lu prograów ateatcznch że: ( ) cos Φ % + iψ % = cos Φ% cos hψ % + isin Φ% sin hψ % równanie (0.8) ożna zapisać w postaci: + i = cos Φ% coshψ % + isin Φ% sin hψ% (0.9) a stąd po przeniesieniu wszstkich członów równania na jedną stronę równania i korzstając z faktu że równanie (0.9) jest wówczas spełnione gd część rzeczwista i urojona jest równa zeru dostaje dwa związki: = cos Φ cos hψ % % (0.30) 6
= sin Φ sin hψ % Oliczając ze związku (0.3) Φ ~ sin : oraz ze związku (0.30) cos Φ ~ : %. (0.3) sin Φ % = sin hψ% cos Φ % = cos hψ % a także kładąc: sin ~ ~ Φ + cos Φ = dostaje równanie: cos h Ψ% sin hψ% + =. (0.3) Dla różnch wartości Ψ ~ = const równanie (0.3) reprezentuje linie prądu przepłwającej ciecz w ośrodku gruntow. Są to elips o ogniskach w punktach = cos h ( Ψ % ) i = sin ( Ψ) Wznaczając następnie ze związków (0.30) i (0.3) funkcje cos dla funkcji hiperolicznch: h Ψ % i sin h % h. Ψ % i korzstając z równania % % (0.33) sin h Ψ cos h Ψ = dostaje równanie: cos ~ Φ sin ~ Φ = (0.34) 7
Rs. 7.55. Izolinie funkcji cons Φ = i cons Ψ = reprezentujące siatkę hdrodnaiczną przepłwu. Dla kolejnch gd Φ% 0 równanie (0.34) opisują izolinie reprezentujące w przestrzeni powierzchnie ekwipotencjalne. Są nii hiperole. Układ linii prądu opisanch równaniai (7.8) dla 0 Ψ i izolinii reprezentującch powierzchnie ekwipotencjalne opisanch równaniai (0.34) tworzą siatkę hdrodnaiczną przepłwu którą dla rozpatrwanego przpadku przedstawiono na rs. 7.55. Określ następnie składowe prędkości r w oszarze filtracji. Prędkość zespolona wraża się wzore: w = z (0.35) więc: i = z. (0.36) Rozdzielając prawą stronę równania na części rzeczwistą i urojoną a następnie przenosząc wszstkie wrażenia na jedną stronę dostanie równanie z którego oże ezpośrednio wznaczć składowe i prędkości filtracji. Dostaje: ± + + + + = (0.37) + + 4 ( ) 4 ( ) + + + = (0.38) + + 4 ( ) 4 ( ) prz cz znak ierze dla > 0 a znak + ierze dla < 0. Dla przkładu na rs. 7.56 i 7.57 przedstawiono wkres prędkości H = 0 = 0 4 = 0 6 = 08 = zakładając że = 50 00 =. i na kilku pozioach k 4 = 0 / oraz 8
Rs. 7.56. Rozkład składowej k a) dla = 0 ) = 0 4 c) = 0 6 d) 08 prędkości filtracji pod fundaente udowli piętrzącej = e) (oliczenia i wkres Matheatica 5). = ; Rs. 7.57. Rozkład składowej k.a) dla = 0 ) dla = 0 4 c) dla = 06 d) dla 08 prędkości filtracji pod fundaente udowli piętrzącej (oliczenia i wkres Matheatica 5). = e) dla = ; Korzstając z wrażeń (7.86) i (7.87) oże wznaczć wektorowe pole prędkości które dla ograniczonego wcinka przedstawiono na rs. 7.43 Rs.7.58. Pole prędkości filtracji pod fundaente udowli piętrzącej; (oliczenia i wkres Matheatica 5). Równanie izotach otrza oliczając: r = + = const (0.39) a równanie izoklin: = tgϕ = const. (0.40) 9
Interesując jest rozkład prędkości wzdłuż rzegu AD. Wzor na składowe ezpośrednio ze wzorów (0.37) i ((0.38) podstawiając w nich = 0. Wzdłuż fundaentu prędkość filtracji równa jest składowej pozioej prędkości i wnosi: i oże uzskać =. (0.4) Wzdłuż powierzchni przepuszczalnch prędkość filtracji równa jest składowej pionowej = Signu ( )* i wnosi:. (0.4) Rs. 7.59. Rozkład prędkości przepłwu wzdłuż rzegu AD. Rozkład prędkości wzdłuż rzegu AD przedstawiono na rsunku 7.59. Jak widać z rsunku w poliżu punktów = ± wartość prędkości dąż do ±. Wnik ten jest rezultate stosowania liniowego prawa przepłwu Darc ego. W rzeczwistości po przekroczeniu pewnej wartości spadku hdraulicznego przepłwu prawo filtracji jest nieliniowe. Przedstawiona powżej etodologia rozwiązania proleu nie pozwala jednakże na uwzględnienie nieliniowego prawa przepłwu. Do oliczeń stateczności zapór wodnch istotn jest rozkład ciśnień pod fundaente udowli wwołan przepłwe filtracjn. Przepisz wzór (0.30): Φ Ψ cos cos h Ponieważ wzdłuż fundaentu: dostaje: =. = 0 Ψ = 0 Φ = cos. (0.43) 0
Oznaczając przez h wsokość hdrauliczną w doln punkcie oszaru filtracji a: Φ = kh. (0.44) Podstawiając (0.44) do (0.43) dostaje: h H arccos =. Ponieważ wzdłuż fundaentu udowli piętrzącej = 0 ciśnienie p równa się: γ wh p = γ wh = arccos. (0.45) Rozkład ciśnień wzdłuż fundaentu zapor przedstawiono na rs. 7.60. Rs. 7.60. Rozkład ciśnienia pod fundaente udowli piętrzącej. Uzskan rozkład ciśnienia pozwala na oliczenie wpadkowej sił parcia na fundaent udowli piętrzącej. Można wkazać że wielkość ta jest równa wielkości parcia gd przjie rozkład ciśnienia w postaci trójkąta. Istotną różnicą jest iejsce położenia wpadkowej. Znajduje się ono w większej odległości od prawego rzegu fundaentu udowli piętrzącej więc oent wwracając wnikając z działania tej sił jest większ niż w przpadku przjęcia rozkładu trójkątnego ciśnienia ciecz na fundaent. Dla pełnego orazu oawianego klascznego rozwiązania opłwu fundaentu udowli piętrzącej przedstawi sposó oliczenia wdatku przepłwającego pod jej fundaente. Oczwiście całkowit wdatek jest nieskończon ponieważ warstwa a nieskończoną iąższość. Olicz więc wdatek przepłwając pod fundaente udowli piętrzącej poiędz liniai prądu ająci swój początek w punktach = i = 0. Wiedząc że wdatek Q przepłwając poiędz dwoa liniai prądu równa się różnic wartości funkcji prądu: Q = Ψ oraz że wartość funkcji prądu dla pierwszej linii prądu iegnącej wzdłuż fundaentu wnosi: Ψ = 0
oże stwierdzić że poszukiwan wdatek równa się wartości funkcji prądu przechodzącej przez rozpatrwan punkt = 0 czli: Wstawiając do (0.30) = 0 dostaje: Q = Ψ 0. (0.46) 0 0 0 arccos ln + Q h = =. (0.47) Przjując wartości 7.46. k 4 = 0 H=50 przedstawiono krzwą wdatku w zależności od 0 na rs. Rs. 7.6. Zależność wdatku od współrzędnej wpłwu linii prądu (oliczenia i wkres Matheatica 5). u 0 = ; VII.4.3... Ścianka szczelna w gruncie przepuszczaln o nieskończonej głęokości. Dla zniejszenia prędkości wlotowch filtracji pod fundaente udowli wodnch lu ochron wkopów ziench konstruuje się w gruncie ścianki szczelne (rs. 7.6) często z etalowch płt profilowch. Rs. 7.6. Scheat ścianki szczelnej.
Budowa siatki hdrodnaicznej dla przpadku siatki szczelnej jest istotna w przpadku rozwiązwania praktcznch zadań opłwania fundaentu udowli ziench. Sposó poszukiwania rozwiązania dla tego przpadku wnika ezpośrednio ze znalezionego rozwiązania dla przpadku zagadnienia płaskiego opłwania udowli piętrzącej. Rs. 7.63. Opłwanie ścianki szczelnej. Gd w poprzednio oówion zadaniu zaienić współrzędne lu inaczej orócić scheat zadania przedstawion na rs. 7.53 o 90 0 to otrza przepłw zaieszczon na rs. 7.63. Rsunek ten przedstawia pionową ściankę szczelną o długości L opłwaną przez wodę gruntową pod wpłwe różnic wsokości hdraulicznej H. Uwzględniając powższe rozuowanie funkcję potencjału zespolonego ożna przedstawić w postaci: (0.48) Ω = M arcsin z N gdzie M N nieznane stałe stałe. Przjując warunki rzegowe jak na rs. 7.63 w punkcie B i C: w punkcie B z = 0 a Φ = ψ = 0 w punkcie C z = il a Φ = ψ = 0. W powższch warunkach założliś że wzdłuż ścianki przepłwa pierwsza linia prądu dla której przjęliś wartość równą zero. Podstawiając powższe warunki rzegowe do równania (0.3) dostaje:. dla punktu B: z czego dostaje: sin = 0 M (0.49) 3
M n =. Kładąc n = a: M = ; (0.50). dla punktu C: sin il = N (0.5) dostaje więc wartość stałej N równą: Może więc wzór (0.48) przedstawić w postaci: N = il. (0.5) z Ω = sin. (0.53) il Podstawiając do wzoru (0.53) z = + i oraz Ω = Φ + iψ dostaje równanie: gdzie Φ Φ = ( ) + L cos Φ% sin hψ % + i Lsin Φ% cos hψ % = 0 (0.54) % oraz Korzstając ze wzoru: Ψ Ψ = %. ( i ) sin Φ % + Ψ % = sin Φ% cosh Ψ % + i cos Φ% sinh Ψ % i przrównując część rzeczwistą i urojoną w równaniu (0.54) do zera dostaje: = L cos Φ% sin hψ% = Lsin Φ% cos hψ%. (0.55) Korzstając następnie ze wzoru jednkowego dla funkcji trgonoetrcznch a: L sinh Ψ% L cosh Ψ% + =. (0.56) 4
Uzskane równanie (0.56) jest równanie linii prądu jakie stanowią elips o półosiach L cosh Ψ %. Wkorzstując następnie wzór jednkow dla funkcji hiperolicznch otrzuje: Lsinh Ψ i l sin Φ% l cos Φ% =. (0.57) Powższe równanie (0.57) jest równanie linii ekwipotencjalnch dla wartości Φ% 0 które stanowi rodzina hiperol o półosiach natoiast linie ekwipotencjalne są hiperolai Lsin Φ % i L cos Φ %. Linię prądu stanowią połówki elips (rs 7.64) Rs. 7.64. Siatka hdrodnaiczna przepłwu w przpadku ścianki szczelnej.. Na podstawie związku: dω w = dz oże oliczć zespoloną prędkość przepłwu która a w t przpadku postać: w i i = = L + z. (0.58) Postępując podonie jak w przpadku przepłwu pod fundaente udowli piętrzącej oże znaleźć składowe prędkości i : ( ) 4 ( ) + L + + L = + L + 4 ( ) 4 ( ) + L + + + L = Signu( ). + L + 4 (0.59) 5
Rozkład składowch prędkości i przedstawiono wkres funkcji ( ) wkresie oliczana jest dla wartości przedstawiono na rs. 7.65 i 7.66. Na pierwsz z nich dla 0 0. l 0.4 l 0.6 l 0.8 l 0.98 l l L = prz cz rzędna na. l Rs. 7.65. Rozkład prędkości na pozioach: = ) = 0 L c) = 06L d) = 08L e) = 098L f) L a) 0 (oliczenia i wkres Mapple 8). = ; Na drugi z nich (rs.7.66) przedstawiono wkres wartości funkcji = 0 04 L 08 L L dla wartości Rs. 7.66. Rozkład prędkości dla: 6
= ) = 0.4L c) = 0.8L d) = 098L f) L a) 0 (oliczenia i wkres Mapple 8). = ; Znając wzor na współrzędne przedstawiono na rs. 7.67. i oże uzskać graficzną postać pola prędkości którą Rs. 7.67. Graficzna prezentacja pola prędkości r ; (oliczenia i wkres Mapple 8). Olicz następnie wartość ciśnienia p w oszarze filtracji prz założeniu że wartość ciśnienia p =. A uzskać funkcję ciśnienia należ określić na początku funkcję atosfercznego wnosi 0 a potencjału zespolonego Φ % korzstając ze wzorów (0.55). Z drugiego z nich wznacz funkcję sin Φ % : Korzstając ze związku: sin Φ % = L cosh %. (0.60) Φ % % (0.6) cosh Ψ sinh Ψ = oże po podniesieniu do kwadratu związku (0.60) napisać: sin Φ % = L ( + sinh Ψ% ). (0.6) Podstawiając następnie związek (0.6) do równania (7.30) : sinh Ψ % = Lcos Φ% otrza równanie: 4 sin Φ% + + sin Φ % + = 0. (0.63) L L L Rozwiązanie tego równania a postać: 7
. (0.64) Φ % = arcsin + + + + 4 L L L L L Korzstając ze wzoru: p Φ = k ρg Dostaje ostatecznie: H p = ρg + arcsin + + + sign( ) + + 4 L L L L L.(0.65) Przkładowo rozkład ciśnienia prz przjęciu stałch ρ g = 000 kg wartość H = 50 3 przedstawiono na rs. 7.68. Rs. 7.68. Rozkład ciśnienia na różnch głęokościach: a) /l=0) /l=05 c) h/l=0 d) /l=5; ) (oliczenia i wkres Mapple 8). Znając funkcje potencjału prędkości Φ oże określić funkcję potencjału R reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepłwu filtracjnego z pole sił ciężkości cząstek gruntu: gdzie ( f ) = ρosg os ρg R = Φ (0.66) k ρ oznacza ciężar ojętościow gruntu z uwzględnienie wporu ρ oznacza gęstość ciecz. Korzstając ze wzoru (0.64) oraz wzoru (0.66) potencjał R zwan potencjałe pola sił asowch filtracji ożna wrazić wzore: 8
ρgh R = arcsin + + + + 4 + R0 L L L L L. (0.67) Na podstawie związków poiędz potencjałe pola sił asowch filtracji oraz siłai asowi oddziałwująci na ośrodek porowat oże określić składowe pola wektorowego sił asowch (sił unoszenia i ciężkości gruntu z uwzględnienie wporu) wzorai: S S R g Φ = = ρ k R g Φ = = ρ. k Oliczając odpowiednio pochodne cząstkowe potencjału pola sił asowch filtracji dostaje: S 3 ρgh + + L L L L = + + u * 8 L L u L L + + u L L (0.68) oraz S 3 + ρgh = L L L L + + u * 8 L L u L L * + + u L L (0.69) gdzie 4 4 u = + + + L L L L L L Korzstając z powższch wzorów oże uzskać przestrzenn oraz zienności składowch sił asowch filtracji co przedstawiono na rs. 7.69.. 9
Rs. 7.69. Wizualizacja wartości funkcji składowch sił asowch filtracji ; (oliczenia i wkres Mapple 8). Szczególnie istotne dla adania procesu stateczności filtracjnej są składowe S sił asowch filtracji. Ziana ich kierunku określa oszar w któr następuje upłnnienie gruntu a w rezultacie wpór ieszanin wodno-gruntowej. Jak to szczegółowo oówiliś w rozdziale IV oże określić prz jakiej wielkości różnic wsokości hdraulicznej następuje powstanie stanu granicznego powodującego upłnnienie ośrodka. T = ρ f =.30 ρ g =.000 T 3 S na kilku głęokościach L. Przjując wartości H H = oraz = 0 i L = 00 oże przedstawić rozkład tej składowej wzdłuż osi ( rs. L Dla przkładu przjując następujące wartości stałch: os ( ) 3 oże oliczć zienność funkcji H L 7.70). a) ) c) Rs. 7.70. Wkres składowej S dla: H a) 0 L H H = ) = 50 c) 00 L L = ; (oliczenia i wkres Mapple 8). Na podstawie wkresów 7.70 oże określić strefę upłnnienia gruntu co przedstawiono na H rs. 7.7dla 50 L H = oraz dla 00 L =. 0
H Rs. 7.7. Stref upłnnienia dla 50 L H = oraz 00 L =. Poniżej na rs. 7.7 przedstawiono pole wektorowe S r H dla przpadku gd 50 L = i H L = 00. a) ) c) Rs. 7.7. Pole wektorowe sił asowch filtracji: H a) dla 0 L H H = i ) = 50 c) 00 L L = ; (oliczenia i wkres Mapple 8). H Jak widać dla = 0 nie wstępuje zagrożenie gdż sił ciężkości są znacznie większe od sił L asowch unoszenia. Dla większch wartości jak widać to na rs. 7.7 a już do cznienia ze zjawiskie upłnnienia gruntu i utratą stateczności filtracjnej. VII.4.3..3. Złożone zagadnienia opłwu udowli piętrzącch. Rozwiązanie zagadnień ardziej złożonch niż oówione powżej prowadzi często do postaci funkcji analitcznch które trudno jest następnie przekształcić w taki sposó a ożna ło ezpośrednio wznaczć siatkę hdrodnaiczną przepłwu określić pole wektorowe prędkości lu pole sił asowch filtracji uożliwiające ezpośrednią analizę stanu stateczności filtracjnej. Często wznaczając w postaci zakniętej funkcję potencjału zespolonego Ω lu prędkości zespolonej w usi posiłkować się następnie etodai nuerczni a na drodze interpolacji uzskać w dan oszarze poszukiwane linie ekwipotencjalne funkcji jednakowego potencjału prędkości lu funkcji prądu. Rozwiązania takie nie ają oecnie dużego zastosowania w pracach inżnierskich gdż znacznie łatwiej uzskać rozwiązania tch zagadnień prz zastosowaniu profesjonalnch prograów opartch na etodzie eleentów skończonch lu różnic skończonch o cz szerzej w rozdziale IX. Mio to dla celów poznawczch warto pokazać etodkę uzskiwania rozwiązań płaskich zagadnień teorii filtracji prz wkorzstaniu funkcji analitcznch i etod przekształceń konforench. Poniżej oówi w skrócie dwa takie przpadki: opłw fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną oraz opłw fundaentu udowli piętrzącej z rurą drenażową.
VII.4.3..3.. Opłw fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną. W przpadku udowli piętrzącej w fundaent której wontowana jest ścianka szczelna poszukuje rozwiązania korzstając z zasad superpozcji słusznej dla liniowch zagadnień teorii filtracji. Wraża się ona poprzez podwójne wkorzstanie etod przekształceń konforench. Rozważ zagadnienie rzegowe przedstawione scheatcznie na rsunku 7.73 Rs. 7.73. Scheat zadania opłwu fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną. Zgodnie z pracą Reez [Reeza 99] scheat oliczeniow tego zagadnienia prz wkorzstaniu dodatkowej ziennej zespolonej Λ przedstawiono na rs. 7.73. Rs. 7.74. Scheat oliczeniow opłw fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną na płaszczźnie Ω i Λ. Jak łatwo stwierdzić poocniczą funkcję Λ ożna określić z zadania opłwu ścianki szczelnej. Zgodnie z pracą [] funkcja Λ spełniająca warunki rzegowe opłwu ścianki szczelnej a postać: z = L Λ. (0.70) Przjując początek układu współrzędnch ( ) w punkcie kontaktu fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną zakłada że funkcja Λ przjuje wartość dla punktu B ( 0 ) wartość α a dla punktu ( 0) F wartość β.
Korzstając ze wzoru Christoffela Schwarza: t dt z M N = n t a t a t a + α α α 0 n ( ) ( )...( ) oraz zgodnie z odwzorowanie oszarów Ω i oliczeniowego że: dla punktu Λ przjuje na podstawie scheatu B a = α oraz α = i dla punktu F a = β oraz α =. Punkt C = = natoiast punkt A i G znajdują się w nieskończoności. i E poija gdż dla nich α3 α4 Przjując więc że z = Ω oraz t = Λ wzór Christoffela Schwarza ożna zapisać dla naszego zadania w postaci: Λ dλ Ω = M + N. (0.7) 0 ( Λ + α )( Λ β ) Wstawiając do wzoru (0.70) wartości funkcji Λ i współrzędne z w punktach B i F dostaje ezpośrednio: α = + oraz β = + L L. (0.7) Korzstając ze wzoru (0.70) oże określić zależność poiędz funkcją Λ i z w postaci: ( i ) ( i) Λ + Λ = + + (0.73) gdzie Λ = Λ + iλ. Ze związku (0.73) dostaje ezpośrednio: Λ = Λ = ( ) ( ) + ± + + 4 ( ) ( ) + ± + + 4. (0.74) Ze wzorów (0.74)(7.3) oże oczwiście znaleźć zależności odwrotne: = = ( ) ( ) 4 Λ Λ ± Λ Λ + Λ Λ ( ) ( ) Λ Λ 4 Λ Λ ± Λ Λ + Λ Λ. (0.75) 3
Podstawiając warunki rzegowe oże wznaczć stałe zespolone M i N. W rezultacie po wkonaniu całkowania dostaje wzór na funkcję potencjału zespolonego: Λ + α β Ω = arccos α + β. (0.76) Odwracając powższą zależność oraz wkorzstując wzor na cosinus su katów a: Λ + α β Λ cos Φ cosh Ψ % + isin Φ sinh Ψ % = + i α + β α + β % %. (0.77) Na podstawie powższego równania dostaje następując układ równań: % Λ + α β α + β cos Φ cosh Ψ = % % Λ α + β sin Φ sinh Ψ =. % (0.78) Powższ układ równań prowadzi do wznaczenia linii prądu dla Ψ% 0 w postaci równania paraetrcznego: Λ + α β Λ + = ( α + β ) cosh Ψ % ( α + β ) sinh Ψ% (0.79) oraz funkcji ekwipotencjalnch przepłwu w postaci: Λ + α β Λ = ( α + β ) cos Φ % ( α + β ) sin Φ%. (0.80) Przkładową siatkę hdrodnaiczną przepłwu dla α = β przedstawiono na rs. 7.75. 4
Rs. 7.75. Siatka hdrodnaiczna przepłwu dla przpadku fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną [progra autorski] Pole wektorowe prędkości filtracji olicz wznaczając funkcję prędkości zespolonej która jest równa: dω w = = d Λ Λ + α Λ β ( )( ) (0.8) Wiedząc że w = i oże znaleźć paraetrczne równania składowch pola wektorowego prędkości filtracji w postaci: = ( Λ + α β ) ( α )( β ) ( α )( β ) ( α β ) Λ Λ + Λ + Λ Λ + Λ + Λ + ( α )( β ) ( α )( β ) ( α β ) Λ Λ + Λ + Λ Λ + Λ + Λ + = ± ( Λ + α ) + Λ ( Λ + β ) + Λ (0.8) Powższe wzor oraz wrażenia (0.75) pozwalają wznaczć pole prędkości filtracji które przedstawiono na rsunku 7.76. Rs. 7.76. Pole prędkości przepłwu dla przpadku fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną [progra autorski] Znając wartości składowch prędkości oże określić składowe sił asowch w oszarze filtracji: S g oraz S g k k = ρ = ρ. (0.83) Na podstawie wzorów (0.83) ożna wznaczć pole wektorowe sił asowch S r które przedstawiono na rs. 8.77 dla wartości H / L = 0 i 00. 5
Rs. 7.77. Pole sił asowch S r. VII.4.3..3. Opłw fundaentu udowli piętrzącej z rurą drenażową. Załóż że ezpośrednio pod fundaente udowli hdrotechnicznej uieszczono rurę drenażową w kształcie półclindrczn (rs. 7.78). Rs. 7.78. Scheat opłwania udowli piętrzącej z rurą drenażową. Niech środek rur znajduje się w punkcie = a. Zgodnie z t co powiedzieliś wżej o ożliwości stosowania zasad superpozcji do rozwiązań zagadnień filtracji oże poszukiwać funkcji prędkości zespolonej w postaci: M M w = z z a z ( ). (0.84) Odwa człon rozwiązania (0.84) cznią zadość warunko rzegow (0.) (0.)) i (0.4) a jednocześnie drugi człon rozwiązań posiada własność drenu lu źródła w punkcie: z = a. Niech wdatek rur drenażowej ędzie oznaczon przez Q. Ponieważ rura dostaje się do rur drenarskiej tlko połową przekroju więc wprowadzi wdatek oliczeniow Q ' któr odpowiada przpadkowi gd woda dostaje się do rur cał przekroje. Ponieważ prędkość wod dopłwająca do drenu winna ć w odwu przpadkach identczna a: 6
Q ' r Q r = gdzie: r proień rur drenarskiej. Stąd a że: Q ' = Q W dowoln punkcie oszaru prędkość zespolona w wwołana działanie drenu i różnic pozioów wod w ziorniku i rzece powinna się równać: Q ' w = F z + ( z a) ( ) (0.85) prz cz F(z) jest funkcją holoorficzną w punkcie z = a. Olicza granicę funkcji ( z a) w( z) gd w(z) wraża się wzore (0.85) a z dąż do a: li z a M ( z a) w( z) = a. (0.86) Następnie olicza tą saą granicę gd w(z) wraża się wzore (0.86). Dostaje: ( z a) w( z) z a Q' Q = = li (0.87) stąd znajduje: Q M a =. Prędkość zespoloną filtracji wraża się wzore: M Q a w = ( ) z z z a Olicz następnie potencjał zespolon Ω któr wraża się wzore: Ω = wdz + N Po wkonaniu operacji całkowania a:. (0.88). (0.89) a Q M z Ω = arcsin N z a +. (0.90) 7
Znając wartości funkcji Ω w punktach B i D: otrzuje układ równań: dla B Ω = ; z = dla D Ω = 0; z = 3 M a Q + + = N a + a M Q + = 0. N a (0.9) W rezultacie po rozwiązaniu układu równań (0.9) dostaje stałe M i N: M a a Q = a a 3Q N = +. a (0.9) Ostatecznie funkcja potencjału zespolonego wraża się wzore: a a a Q Q z Ω = + + arcsin + a z a a 3Q + +. a (0.93) 8
Rozdzielając części urojone i rzeczwiste funkcji wartość funkcji prądu Ψ i funkcji potencjału prędkości Φ : Ω = Φ + iψ oraz z = + i dostaje wzor na MC D Φ = Φ + cos arc E arc cosh E D + C C MC D Ψ = arccos he + arccos E D + C C (0.94) gdzie: a 3Q Φ = + a D B = a a Q A = + a a a C = A B + A B Q a = a M = A B + A E E ± + 4 = + + ± + + 4 =. Korzstając z powższch wzorów oże określić siatkę hdrodnaiczną przepłwu na rs. 7.79. 9
Rs. 7.79. Linie pradu dla przpadku fundaentu udowli piętrzącej z rurą drenażową. Różniczkując funkcję potencjału zespolonego Ω po dz uzska wzór na prędkość zespoloną filtracji w : a a Q w = + z z a. (0.95) Rozdzielając część rzeczwistą i urojoną dostaje składowe wektora prędkości. Można je otrzać również ezpośrednio różniczkując potencjał prędkości Φ wrażon wzore (0.94) po i po. a Poniżej na rsunku 7.80 przedstawione pole wektorowe prędkości filtracji gd 0 4 = = oraz 3 4 5*0 Q = 0 s = k =. 3 0 s H Rs. 7.80. Pole wektorowe prędkości filtracji. Dla zorazowania rozkładu funkcji potencjału w oszarze filtracji przedstawiono na rs. 8.8. wizualizację trójwiarową tej funkcji. 30
Rs. 7.8. Wizualizacja funkcji potencjału prędkości Φ na rzegu = 0. Kształt funkcji potencjału prędkości na płaszczźnie przedstawiono na rs. 7.8 w trójwiarow układzie współrzędnch Φ. Rs. 7.8. Kształt funkcji Φ na płaszczźnie Do chwili oecnej zudowano szereg rozwiązań zagadnień rzegowch etodai analitczni. Część z nich przedstawiono w prac [Połuarinowej-Kocin 977] inne w pracach [Reez 998]. Z punktu widzenia zastosowań praktcznch sprawiają one inżniero trudności ze względu na skoplikowaną pod względe ateatczn forę rozwiązań. Dlatego częściej stosowane są rozwiązania oparte na etodach nuercznch które oówi w rozdziale.ix. 3