Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 4, 24.02.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner
wykład 3 przypomnienie źródła promieniowania EM potencjały pola EM równania na potencjały promieniowanie dipola elektrycznego detektory promieniowania EM: termiczne, kwantowe
propagacja światła w dielektrykach, 1 H = D t (1) E = B t (2) H = 0 (3) E = 0 4 związki materiałowe: D = εε 0 E B = μμ 0 H dielektryk izolator, ośrodek materialny bez swobodnych ładunków czyli nośników prądu elektrycznego trwałe bądź indukowane elektryczne momenty dipolowe wyprowadzamy rnie falowe (patrz wykład 2): 2 E n2 E = 0 c 2 t 2 μμ 0 εε 0 = n2 n = με c 2 n współczynnik załamania światła inna prędkość fazowa: υ = c n inna stała propagacji: k = nω c
propagacja światła w dielektrykach, 2 Dla materiałów niemagnetycznych (μ = 1) mamy n = ε q s q p = qs moment dipolowy atomu (cząsteczki) E P polaryzacja ośrodka: P, D = ε 0 E P P to gęstość momentów dipolowych: P = Np p = αe gdzie α to polaryzowalność atomu dla liniowej odpowiedzi ośrodka mamy: P = ε 0 χe χ podatność dielektryczna ośrodka i ostatecznie: D = ε 0 εe = ε 0 1 χ E oraz n 2 = ε = 1 χ
Model Lorentza, 1 Założenia: x e F ciężkie, nieruchome jądro lekki elektron siła sprężysta: F k = kx = mω 0 2 x e atom mały w porównaniu z l: F E t = ee(t) straty typu tarcie: F T = mγ dx dt rnie ruchu elektronu: m d2 x = F dt 2 k F E F T czyli m d2 x dx dt2 mγ mω dt 2 2 x = ee 0 e iωt ma rozwiązanie: x t = x 0 e iωt gdzie x 0 = e m E 0 ω 0 2 ω 2 iγω polaryzowalność atomu α można policzyć z momentu dipolowego atomu p: p = ex = e2 1 m ω 2 0 ω 2 E = ε iγω 0 αe 0 polaryzacja ośrodka: P = N e2 1 m ω 2 0 ω 2 E iγω 0 gdzie N to gęstość atomów
Model Lorentza 2 Hendrik Antoon Lorentz (18531928) H. A. Lorentz, The Theory of Electrons and Its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat, Leipzig, Teubner, 1916... elastic force, which must be considered to be exerted by the other particles in the atom, but about whose nature we are very much in the dark, [...] proportional to the displacement.
współ. zał. dla gazów, 1 gaz (mała gęstość) polaryzacja ośrodka nie zmienia pola elektrycznego fali (P ε 0 E) P = ε 0 χe = N e2 m 1 ω 0 2 ω 2 iγω 0 E n 2 = 1 χ = 1 N e2 m 1 ω 0 2 ω 2 iγω 0 współczynnik załamania jest zespolony: n = n R in I? rozważmy płaską falę monochromatyczną: E x, t = E 0 e i(kx ωt) z liczbą falową k = nω c E x, t = E 0 e iω n R in I x t c = E0 e n I ω c κ/2 x e i n R ω x ωt c otrzymujemy prawo Beera: I x E x, t t 2 = I 0 e κx
współ. zał. dla gazów, 2 n 2 ω = 1 Ne2 mε 0 1 ω 0 2 ω 2 iγω, ω 0 częstość rezonansowa w atomie rachunki... n R (ω) 1 Ne2 2mε 0 n I (ω) Ne2 2mε 0 j j ω 2 j ω 2 ω j 2 ω 2 2 γ j ω 2 f j γ j ω ω j 2 ω 2 2 γ j ω 2 ale atom ma szereg częstości rezonansowych i każdy z nich daje wkład do współczynnika załamania n 2 1 Ne2 Ne 2 f j mε j 0 mε 0 ω 2 j ω 2 iγ j ω opisująca wkład danego rezonansu, f j siła oscylatora w pobliżu rezonansu, rachunki... n R (ω) 1 n I (ω) Ne2 4mε 0 ω Ne2 4mε 0 ω j j ω j ω f j ω j ω 2 γ j 2 f j γ j ω j ω 2 γ j 2 Rezonans: linia absorpcyjna Lorentz dyspersja anomalna
współ. zał. dla gazów, 3 n 2 1 Ne2 Ne 2 f j mε 0 mε 0 ω 2 j ω 2 iγ j ω j gaz, 30g/mol warunki normalne VIS λ 1 = 0.2μm, λ 2 = 2μm, γ 1 ω1 = γ 2 ω2 = 1 50
wsp. zał. dla ośrodków skondensowanych, 1 moment dipolowy atomu to p = ε 0 αe L gdzie α oznacza polaryzowalność atomu zaś E L to całkowite pole elektryczne (pole lokalne) działające na atom. Nie możemy zaniedbać pola pochodzącego od innych (spolaryzowanych) atomów. rozważamy atom umieszczony w mikrownęce o promieniu R i liczymy dodatkowe pole elektryczne pochodzące od polaryzacji ośrodka P. Rachunki w sferycznym układzie odniesienia: E P = 2π dφ 0 0 π dθ PcosΘ 4πε 0 R 2 R2 cosθsinθ = P 3ε 0 n E L P Całkowite pole elektryczne w miejscu atomu (pole lokalne) E L = E P 3ε 0 polaryzuje atom p = ε 0 αe L co skutkuje polaryzacją ośrodka P = Nε 0 αe L = Nε 0 α E P 3ε 0 wyliczamy: Nα P = 1 Nα E 3 oraz n 2 Nα = 1 1 Nα 3 ClausiusMossotti
wsp. zał. dla ośrodków skondensowanych, 2 n 2 1 Ne2 Ne 2 f j mε 0 mε 0 ω 2 j ω 2 iγ j ω j szkło optyczne SF10 absorpcja w UV absorpcja IR przejścia elektronowe przejścia wibracyjne λ (μm)
formuły dyspersyjne Wzory dyspersyjne stosowane dla materiałów optycznych równanie Cauchy ego n = A B λ 2 C λ 4 równanie Sellmeiera n 2 = równanie Herzbergera j A j λ 2 λ 2 λ j 2 n = A BL CL 2 Dλ 2 Eλ 4, L = wzór katalogowy firmy Schott n 2 = A 0 A 1 λ 2 A 2 λ 2 A 3 λ 4 A 4 λ 6 A 5 λ 8 1 λ 2 0.028
związki KramersaKroniga przyczynowość ε ω = 1 χ ω = 1 f(t)e iωt dt dla rzeczywistego 0 ω rozszerzenie analityczne: zespolone ω matematyka... wynik: χ ω = χ 1 ω iχ 2 ω (χ 1, χ 2 funkcje rzeczywiste, χ 1 opisuje współczynnik załamania a χ 2 tłumienie) χ 1 ω = 2 ω χ 2 ω π 0 0 ω 2 ω 2 χ 2 ω = 2 π ω χ 1 ω ω 2 ω 2 dω dω gdzie oznacza wartość główną całki w rozumieniu Cauchy absorpcja współczynnik załamania współczynnik załamania absorpcja
związki KK: przykład woda
fale EM w przewodnikach, 1 rotacja rnia (2) plus rnie (1) dają: E = E 2 E = μ 0 σ E t μ 0εε 0 2 E y 2 (5) załóżmy płaską falę monochromatyczną E = E 0 e i k r ωt i k r ωt, H = H 0 e wtedy: E = k E k k 2 E i rnie (5) wygląda tak: k E k k 2 E ω2 σ c 2 ε i E = 0 ωε 0 oznaczmy: n 2 σ = ε i ωε 0 j = σe (prawo Ohma, σ to przewodność elektryczna) H = σe εε 0 E t E = μ 0 B t (1) (2) H = 0 (3) E = ρ ε 0 4 ε to stała dielektryczna materiału bez swobodnych nośników prądu (szkielet jonowy materiału) co daje k E k k 2 E n2 ω 2 c 2 E = 0
Model Drude go ruch elektronów w przewodniku rnie ruchu elektronu w polu fali e.m. E 0 e iωt z uwzględnieniem tarcia γ : m 2 r r t2 mγ = ee t 0e iωt ma rozwiązanie: r t = e m ω 2 iγω E a wyrażenie na prąd: j = Ner = Ne2 m γ iω E = σe pozwala wyliczyć przewodność elektryczną σ = Ne2 m γ iω Paul Karl Ludwig Drude 1863 1906 ostatecznie: n 2 = ε i σ Ne 2 = ε ωε 0 mωε 0 γ iω
fale EM w przewodnikach, 2 wracamy do rnia falowego w przewodniku: k E k k 2 E n2 ω 2 c 2 E = 0 i rozważamy dwa szczególne przypadki 1. fale podłużne k E k E k = k 2 E n 2 = ε Ne 2 mωε 0 γ iω = 0 Załóżmy bardzo dobry przewodnik (γ ω). Wtedy warunek ε 1 Ne2 mεε 0 ω 2 = 0 pozwala zdefiniować częstość plazmową fale plazmowe: ω p = Ne2 mεε 0 a współczynnik załamania w przewodniku zapisać jako n 2 ω = ε 1 ω p 2 ω 2
fale EM w przewodnikach, 3 2. fale poprzeczne k E k k 2 E n2 ω 2 c 2 E = 0 k E k E k = 0 Dostajemy równanie Helmhotza E k 2 E = 0, gdzie k = nω c jest liczbą zespoloną zespolone k oznacza absorpcję światła E x, t = E 0 e i(kx ωt) = E 0 e n Iω c x e i n Rω c ωt metal czy dielektryk? n 2 = ε 1 ω p 2 ω < ω p n n I ω > ω p n n R ω 2 iγω ε 1 ω p 2 ω 2
fale EM w przewodnikach, 4
fale EM w przewodnikach, 5
widmo światła Natężenie spektralne (widmo) I ω, I λ : I ω dω natężenie dla częstości z przedziału ω, ω dω I λ dλ natężenie dla długości fali z przedziału λ, λ dλ Dla danego pola fali E(t) liczymy jego transformatę Fouriera i dostajemy amplitudę spektralną pola: E ω = 1 2π E(t)e iωt dt Mając amplitudę spektralną możemy wrócić do domeny czasu: E t = 1 2π E (ω)e iωt dω Twierdzenie Parsevala: E(t) 2 dt = E (ω) 2 dω I(t)dt = I(ω)dω widmo funkcja autokorelacji pola 1go rzędu: AC(τ) = E t E(t τ)dt twierdzenie WieneraChinczyna I ω = AC(τ)e iωτ dτ
widmo światła widmo ciągłe, np. rozgrzana powierzchnia I
widmo światła widmo dyskretne: Fe widmo ciągłe z dyskretnymi liniami absorpcyjnymi widmo Słońca na powierzchni Ziemi
widmo Słońca na powierzchni Ziemi tabela Designation Element Wavelength (nm) Designation Element Wavelength (nm) y O 2 898.765 c Fe 495.761 Z O 2 822.696 F Hβ 486.134 A O 2 759.370 d Fe 466.814 B O 2 686.719 e Fe 438.355 C Hα 656.281 G' Hγ 434.047 a O 2 627.661 G Fe 430.790 D 1 Na 589.592 G Ca 430.774 D 2 Na 588.995 h Hδ 410.175 D 3 or d He 587.5618 H Ca 396.847 e Hg 546.073 K Ca 393.368 E 2 Fe 527.039 L Fe 382.044 b 1 Mg 518.362 N Fe 358.121 b 2 Mg 517.270 P Ti 336.112 b 3 Fe 516.891 T Fe 302.108 b 4 Fe 516.891 t Ni 299.444 b 4 Mg 516.733
barwy, 1
barwy, 2
wzrok Funkcje: obrazowanie detekcja obróbka danych przesyłanie danych
oko człowieka, 1
oko człowieka, 2 względna (unormowana o 1) czułość czopków
barwy, 1 ile jest barw? barwy czyste barwy mieszane synteza barw barwy czyste Dodawanie i odejmowanie barw
barwy, 2 Lata 20te XX wieku: synteza barw czystych z trzech kolorów RGB R 700nm, G 546 nm, B 436 nm R Y M G B synteza (dodawanie) barw R = G = B = C I λ r λ dλ 0 0 0 I λ g λ dλ I λ b λ dλ wynik r g b
barwy, 3 Lata 30te XX wieku: synteza barw czystych z trzech kolorów RGB, c.d. Liniowa transformacja sygnałów: x(λ) y(λ) z(λ) = M r(λ) g(λ) b(λ) X = Y = Z = I λ x λ dλ 0 0 0 I λ y λ dλ I λ z λ dλ x y z normujemy współczynniki: x = X XYZ, y = Y XYZ, z = 1 x y
barwy, 4 trójkąt barw: x y z = 1 x = 0.333, y = 0.333, światło białe temperatura barwna, np. dla 5000K x = 0.3478, y = 0.3595,
barwy, 5 odejmowanie barw (farby, druk, etc.): W biały M (Magenta) = W G C (Cyan) = W R Y (Yellow) = W B CMYK