OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Transkrypt

1 OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego

2 Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6 O rezonansowym oddziaływaniu promieniowania z układem atomowym mówimy wtedy, gdy częstość fali elektromagnetycznej ω jest dostrojona do częstości przejścia między dwoma poziomami energetycznymi atomu. Częstość rezonansowa ω 0 = E 2 E 1 Warunek rezonansu optycznego (2.1) ω ω 0 (2.2)

3 Rezonans optyczny i procesy rezonansowe Absorpcja!!=" 2 # " 1!!=" 2 # " 1 " $ " $ " # " # %&''()*+,-./,0(1'&203'4&/&' +)5,6&'4703)*()0+&()& %&'(&)!*&+,-),.'/&0&+.'121304&+ 5( :'+8';<=76<'(&6,&>

4 Rezonans optyczny i procesy rezonansowe Emisja spontaniczna!!=" 2 # " 1!!=" 2 # " 1 " $ " $ %&'()*+,-.&/+012)343/&5+()637&)0)7&'(83) 0-9:;-+(1<=)95'/)>+&+(?0 " # %&'()*+,-+./0)121*&3+()4('56751)89:) (')(9;84/<)=+49+<91)1(13>1&/-4(/<?)./1<9&+.'(/)4+8&'@)A+&+( " #

5 Rezonans optyczny i procesy rezonansowe Emisja wymuszona!!=" 2 # " 1!!=" 2 # " 1 " $ " $ %&''()*+,)-./'&0-1'2&,&' (34)5&' (&.3& " # %&'()*+,&-./0.123&,4,-(5.*& 6*)7897,&'+:&*)&;.6+.3+,&.&*+<'6,7&,*,5=++&+&12,3+(.1)*2&6.'()>& 8.8)(-.12&?.(.*@ " #

6 Opis półklasyczny W opisie półklasycznym zakładamy, że ruch elektronu w atomie opisywany jest metodami mechaniki kwantowej, a promieniowanie elektromagnetyczne opisywane jest przy pomocy elektrodynamiki klasycznej. Innymi słowy, nie bierzemy pod uwagę kwantowej natury promieniowania, tzn. w opisie takim nie istnieje foton. Fala elektromagnetyczna jest więc dana jako rozwiązanie równań Maxwella postaci E( r, t) = E 0 cos(ωt k r), pole elektryczne (2.3a) B( r, t) = B 0 cos(ωt k r), pole magnetyczne (2.3b) W opisie półklasycznym nie ma miejsca na zmianę stanu pola elektromagnetycznego na skutek oddziaływania, gdyż fala określona jest przez z góry zadane funkcje czasu i współrzędnych. Zmiany stanu pola elektromagnetycznego można pominąć wtedy, gdy są one niewielkie. Widać stąd, że nie można w przybliżeniu półklasycznym opisać emisji spontanicznej, gdyż zmiany stanu pola są wtedy istotne.

7 Hamiltonian atomu oddziałującego z promieniowaniem Równanie Schrödingera Podstawą opisu matematycznego ewolucji czasowej układu atomowego oddziałującego z promieniowaniem jest równanie Schrödingera i Ψ t = ĤΨ, (2.4) gdzie Ψ jest funkcją stanu (funkcją falową) układu atomowego. Hamiltonian Ĥ zawiera część opisującą ewolucję czasową atomu nie poddanego działaniu promieniowania, Ĥat, i część ĤI opisującą oddziaływanie. Ta część hamiltonianu nazywa się hamiltonianem oddziaływania. Hamiltonian Tak więc Ĥ = Ĥ at + Ĥ I (2.5) Atom jest układem wielu elektronów poruszających się w polu kulombowskim jądra i oddziałujących między sobą odpychającymi siłami kulombowskimi. W przybliżeniu cząstki niezależnej rozpatruje się ruch pojedyńczego elektronu w polu kulombowskim jądra i uśrednionym polu elektrycznym pochodzącym od pozostałych elektronów.

8 Hamiltonian atomu oddziałującego z promieniowaniem Hamiltonian Hamiltonian atomowy, a ściśle mówiąc hamiltonian pojedyńczego elektronu atomowego, przybliżamy wtedy przez Ĥ at = ˆ p 2 + V (r), (2.6) 2m gdzie ˆ p jest operatorem pędu elektronu, a V (r) - sferycznie symetryczną energią potencjalną oddziaływania z jądrem i pozostałymi elektronami. Jawna postać energii potencjalnej nie będzie potrzebna w dalszych rozważaniach. Niezaburzone zagadnienie własne Zakładamy jedynie, że znane jest, analityczne lub numeryczne, rozwiązanie zagadnienia własnego hamiltonianu atomowego Ĥ at φ k = E k φ k. (2.7) Wielowskaźnik k numeruje stany własne i dla pojedyńczego elektronu atomowego zawiera cztery liczby kwantowe: n -główna liczba kwantowa, l - orbitalna liczba kwantowa, m z - magnetyczna liczba kwantowa, m s - spinowa liczba kwantowa.

9 Rozwinięcie na szereg funkcji własnych Zależność od czasu funkcji własnej zagadnienia niezaburzonego ma postać ( ψ k (t, r) =exp i ) E kt φ k ( r), (2.8) gdzie φ k jest zależną od współrzędnych funkcją własną niezaburzonego hamiltonianu atomowego [por. równanie (2.7)]. Rozwiązania równania (2.4) poszukujemy w postaci rozwinięcia na szereg funkcji własnych zagadnienia niezaburzonego Ψ(t) = k c k (t)e i E k t φ k. (2.9) Poszukiwanymi funkcjami czasu są teraz współczynniki rozwinięcia c k (t).

10 Interpretacja fizyczna współczynników rozwinięcia c k (t) W chwili początkowej elektron znajdował się w którymś ze stanów własnych φ k. Pod wpływem zewnętrznego zaburzenia elektron może ten stan opuścić. Pytanie, które zadajemy, dotyczy prawdopodobieństwa tego, że w późniejszej chwili czasu t elektron zostanie wykryty w innym stanie własnym hamiltonianu atomowego, np. φ n. Jeżeli wiemy, że w chwili t elektron znajdował się w stanie Ψ(t), to prawdopodobieństwo wykrycia go w stanie φ n jest równe P n (t) = A n (t) 2, (2.10) gdzie amplituda prawdopodobieństwa A n (t) A n (t) = ψn(t, r)ψ(t, r)d 3 r, lub, bardziej ogólnie, w notacji dirakowskiej (2.11) A n (t) = n, t Ψ(t). (2.12) Dla przypomnienia [równanie (2.8)] ( ψ n (t, r) =exp i ) E nt φ n ( r).

11 Interpretacja fizyczna współczynników rozwinięcia c k (t) Stany własne zagadnienia niezaburzonego tworzą zbiór ortonormalny φ k( r)φ l ( r)d 3 r = k l = δ kl. (2.13) Korzystając z równań (2.9) i (2.11) otrzymujemy dla amplitudy prawdopodobieństwa A n (t) A n (t) = φ n( r)e i Ent c k (t)e i E k t φ k ( r)d 3 r k i po zamianie kolejności całkowania i sumowania A n (t) = c k (t)e i (En E k )t φ n( r)φ k ( r)d 3 r. (2.14) k Po skorzystaniu z równania (2.13) z sumy po k pozostaje tylko wyraz z k = n, i stąd A n (t) =c n (t) (2.15)

12 Interpretacja fizyczna współczynników rozwinięcia c k (t) Współczynniki rozwinięcia c n (t) mają więc fizyczny sens amplitud prawdopodobieństwa wykrycia elektronu w niezaburzonym stanie n w chwili czasu t. Może to być zarówno stan związany jak i stan elektronu wyrzuconego z atomu (fotojonizacja). Przejście do stanu związanego Fotojonizacja 6+)2,*7(38) '(9:;$:1 6+)2,*7(38)* 3,<="$+2$:1!"#$%&'()*+,-. /01.23*4*01.235!"#$%&'($)*+,-./0-12)3)4"$$5