Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 26, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Transkrypt

1 Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 26, wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner

2 Wykład 25 - przypomnienie promienienie katodowe i anodowe promienie Roentgena, dyfrakcja na kryształach fale materii hipoteza de Broglie a r-nie Schrodingera interpretacja funkcji falowej studnie potencjału, 1-D, 3-D nieskończona skończona

3 Wracamy do wykładu 25 Każdy układ kwantowy możemy opisać funkcją falową Ψ x, y, z, t Funkcja Ψ spełnia nierelatywistyczne r-nie Schrodingera to ħ2 dψ Ψ + V z, t Ψ = iħ 2m dt gdzie V z, t opisuje potencjał Interpretacja funkcji falowej: gęstość prawdopodobieństwa P z, t = Ψ(z, t) 2 interferencja Ψ = Ψ 1 + Ψ 2, Ψ 2 = Ψ Ψ Re Ψ 1 Ψ 2 normalizacja f.f. Ψ(z, t) 2 dz = 1 prąd prawdopodobieństwa ħ 2im Ψ dψ dz dψ dz Ψ

4 Uwaga: w tym zagadnieniu nie żądamy ciągłości pochodnych f.f. bo mamy nieskończony skok potencjału nieskończona studnia 1-D, 1 Cząstka o masie m zamknięta w jednowymiarowym pudełku. Długość pudełka: a V z V z = 0 dla a 2 < z < a 2 dla z a 2 Dla z a mamy ψ z = 0 2 W obszarze a < z < a trzeba znaleźć rozwiązanie r-nia 2 2 Schrodingera ħ2 d 2 ψ 2m dz 2 = Eψ czyli d 2 ψ dz 2 + k2 ψ = 0 gdzie k 2 = 2mE ħ 2 z Rozwiązania to ψ z = A cos kz + B sin kz Funkcja falowa musi być ciągła: A cos ka/2 + B sin ka/2 = 0 A cos ka/2 + B sin ka/2 = 0

5 Nieskończona studnia 1-D, 2 ψ z = A cos kz + B sin kz + równania ciągłości dają dyskretny zbiór funkcji falowych i energii cząstki z cos a a ψ n z = 2 a ψ n z = 2 a cos nπz a sin nπz a funkcje falowe są orto-normalne ψ m ψ m dz = δ nm dla n = 1,3,5, dla n = 2,4,6, z sin a a 2 z cos a a E n = ħ2 k 2m n 2 = ħ2 E n = n 2 E 1 π 2 2m a 2 n2 nieskończona liczba dyskretnych poziomów energetycznych

6 cząstka w jamie (o skończonej głębokości) Cząstka o masie m umieszczona w jednowymiarowej jamie (studni) potencjału. Szerokość studni: a V z V 0 studnia 1-D o skończonej głębokości I II III V 0 dla z a 2 V z = 0 dla a 2 < z < a 2 V 0 dla z a 2 a 2 a 2 z Rozważamy ruch cząstki oddzielnie w każdym z obszarów I III ħ2 d 2 ψ 2m ħ2 d 2 ψ 2m ħ2 d 2 ψ 2m dz 2 = E V 0 ψ z a 2 dz 2 = Eψ a 2 < z < a 2 dz 2 = E V 0 ψ z a 2 (1) (2) (3)

7 cząstka w skończonej jamie, 2 W obszarze II korzystamy z gotowych rozwiązań dla nieskończenie głębokiej studni ψ II z = A cos kz + B sin kz z k = 2mE ħ 2 V z V 0 studnia 1-D o skończonej głębokości I II III W obszarach I i III mamy dwie możliwości 1. E > V 0 cząstka swobodna 2. E < V 0 cząstka uwięziona w jamie Zajmiemy się przypadkiem 2. a 2 a 2 z W obszarze I r-nie Schrodingera: d 2 ψ I dz 2 α2 ψ I = 0 gdzie α 2 = 2m V 0 E ħ 2 ma rozwiązania wykładnicze ψ I z = Ce αz + De αz Analogicznie, ψ III z = Ee αz + Fe αz Wybieramy rozwiązania zanikające: ψ I z = De αz ψ III z = Ee αz Żądamy ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej na granicach obszarów ψ I a/2 = ψ II a/2 dψ I dz a/2 = dψ II dz a/2 To samo dla granicy w a/2.

8 cząstka w skończonej jamie, 3 Dzielimy rozwiązania na parzyste i nieparzyste. Zajmiemy się pierwszymi. Ciągłość funkcji falowej i jej pochodnej w a/2 daje A cos ka/2 = De αa/2 ka sin ka/2 = αde αa/2 Dzieląc powyższe r-nia stronami dostajemy k tan ka/2 = α i przekształcamy do ka/2 tan ka/2 = αa/2 Dla modów niesymetrycznych analogiczne rachunki dają ka/2 cot ka/2 = αa/2 V z V 0 studnia 1-D o skończonej głębokości I II III a 2 a 2 z Nowe, bezwymiarowe, zmienne: u = αa/2 v = ka/2 pozwalają zapisać r-nia wyżej w postaci u = v tan v rozw. symetryczne u = v cot v rozw. niesymetryczne Jednocześnie, z poprzedniej transparencji, wyliczamy u 2 + v 2 = mv 0a ħ 2

9 cząstka w skończonej jamie, 4 u 2 + v 2 = mv 0a ħ 2 u = v tan v rozw. symetryczne u = v cot v rozw. niesymetryczne Taki zestaw równań już raz rozwiązywaliśmy przy okazji analizy dielektrycznego płaskiego falowodu symetrycznego (wykład 6). Wystarczy zrobić podstawienie v h 2 d, u h 1 d oraz mv 0a V aby skorzystać z gotowych rozwiązań ħ 2 Wnioski: 1. Liczba rozwiązań n max jest zawsze skończona i zależy od wartości parametru mv 0a. W szczególności dla mv 0 a ħ 2 < π 2 ħ 2 istnieje tylko jedno rozwiązanie pojedynczy stan związany w studni. 2. Rozwiązania możemy ponumerować poczynając od 1 do n max 3. Energie kolejnych stanów rosną numerem indeksu V

10 cząstka w skończonej jamie, 5 V z studnia 1-D o skończonej głębokości Wnioski: V 0 1. Funkcja falowa cząstki wypełnia jamę potencjału cząstka jest równocześnie w całej jamie choć prawdopodobieństwo znalezienia jej w poszczególnych obszarach nie jest takie samo. 2. Funkcje falowe mają niezerową amplitudę także w obszarach gdzie E < V 0. W obrazie klasycznym nie ma takiej możliwości. 3. Głębokość wnikania funkcji falowej w obszar klasycznie zabroniony jest różna dla różnych rozwiązań generalna zasada: im bliżej V 0 jest energia cząstki tym głębiej penetruje ona obszary poza studnią a 2 1 a 2 E 1 E 0 z

11 Półprzewodnikowe studnie kwantowe Przykład: laser na studniach kwantowych L. Zeng, et al. APL (1998)

12 Nieskończona studnia 3-D, 1 Cząstka o masie m zamknięta w prostopadłościennym pudełku o wymiarach a b c V x, y, z = 0 dla a 2 < x < a 2, b 2 < y < b 2, c 2 < z < c 2 wszędzie indziej Funkcja falowa zeruje się poza pudełkiem. Wewnątrz pudełka szukamy rozwiązań iloczynowych ψ x, y, z = ψ x (x)ψ y (y)ψ z (z) Wstawiamy do r-nia Schrodingera ħ2 ψ = Eψ 2m i przekształcamy do 1 d 2 ψ x ψ x dx d 2 ψ y ψ x dy d 2 ψ z ψ x dz 2 + k2 = 0 gdzie, ponownie, k 2 = 2mE. ħ 2 Ostatnia równość jest równoważna 3 r-niom d 2 ψ i dx 2 + k i 2 ψ i = 0, i = x, y, z, k i 2 i = k 2

13 Nieskończona studnia 3-D, 2 Dla każdego wymiaru stosujemy znane rozwiązania studni 1-D: E ψ xl x = 2 lπx cos a a ψ xl x = 2 a sin lπx a a > b > c dla l = 1,3,5, dla l = 2,4,6, ψ ym y = 2 b ψ ym y = 2 b ψ zn z = 2 c ψ zn z = 2 c cos mπy b sin mπy b cos nπz c sin nπz c dla m = 1,3,5, dla m = 2,4,6, dla n = 1,3,5, dla n = 2,4,6, n = 3 l = 3 l = 2 l = 1 m = 3 m = 2 m = 1 n = 2 n = 1 ψ lmn x, y, z = ψ xl x ψ ym y ψ zn z E lmn = ħ2 π 2 l 2 2m a 2 + m2 b + n2 c 2 układ jest opisany przez 3 liczby kwantowe l, m, n = 1,2,3

14 kropki kwantowe, 1 Studnia 3-D o skończonej głębokości Im mniejsze kropki kwantowe tym bardziej niebieskie świecenie

15 kropki kwantowe, 2 CdSe jelito myszy, różne markery: actina laminina jądro komórki czerwony - zielony - niebieski

16 Schodek potencjału E V 0 cząstka pada od lewej strony na barierę potencjału. Oddzielnie wypisujemy r-nie Schrodingera dla obu obszarów d 2 ψ dz 2 + k 1 2 ψ = 0 d 2 ψ dz 2 k 2 2 ψ = 0 k 1 2 = 2mE ħ 2 > 0, k 2 2 = 2m V 0 E ħ 2 > 0 ψ z = 0 fala padająca fala obita Ae ik 1z + Be ik 1z dla z < 0 Ce k 2z dla z > 0 z penetracja bariery (fala ewanescencyjna) Ciągłość f.f. i jej pochodnej A + B = C ik 1 A B = k 2 C B = 1 i k 1 k i k 1 k 2 B 2 = A 2 cząstka odbija się od schodka głębokość wnikania 1/k 2 analogia z całkowitym wewn. odbiciem (wykład 5)

17 tunelowanie 1928 G. Gamov, emisja α U Th He He E V 0 0 a z rozwiązania: ψ z = k 1 2 = 2mE ħ 2 k 2 2 = 2m V 0 E ħ 2 Ae ik 1z + Be ik 1z dla z < 0 Ce k 2z dla 0 < z < a A e ik 1z + B e ik 1z dla z > a ciągłość f.f. i jej 1. pochodnej + rachunki T = A 2 1 = A k 1 + k 2 2 sinh 4 k 2 k 2 k 2 a 1 Słabe tunelowanie k 2 a 1 T 16 E V 0 1 E V 0 e 2k 2a

18 Scanning Tunelling Microscope (STM) PZT 1. generacja 4. generacja ka 2 1 Czerwone - atomy Cs na GaAs (110) - niebieskie

19 oscylator harmoniczny, klasyczny V z Potencjał i siła F z V z = K 2 z2 = dv dz = Kz z Równanie ruchu m d2 z dt 2 = Kz d 2 z dt 2 + ω2 z = 0 ω 2 = K m Rozwiązanie z t = A cos ωt + φ υ t = dz = ωa sin ωt + φ dt energia gęstość prawdopodobieństwa 1 P cl z = A 2 z 2 Pcl z E = m 2 υ2 t + K 2 z2 t = K 2 A2 z

20 oscylator harmoniczny, kwantowy, 1 Równanie Schrodingera ħ2 d 2 ψ 2m dz 2 + K 2 z2 ψ = E d2 ψ dz 2 + ω2 ħ 2 z2 ψ = E d 2 ψ dζ 2 = ζ2 λ ψ ζ 2 = mω ħ, 2E λ = ħω Potencjał i siła V z = K 2 z2 rozwiązanie ψ n ζ = H n (ζ)e ζ2 2 rozwiązanie energia wielomian Hermite a E n = ħω n Normalizacja ψ m (z)ψ n dz = δ mn

21 wzbudzenie laserowe poziomy oscylacyjne cząsteczek, v =0 SiH 2 SiD 2... fluorescencja v =0 ω = K m M. Fukushima, S. Mayama, and K. Obi, J.Chem.Phys. 96, (1992)

22 poziomy oscylacyjne cząsteczek, 2

23 Doświadczenie Rutherforda, Ernest Rutherford ( )

24 Doświadczenie Rutherforda, 2 1) siła: F = 2Ze2 r 4πε 0 r 2 r F = F sin φ F = F cos φ 2) zachowanie momentu pędu: mυ 0 b A = mr 2 dφ dt M 1 r 2 = dφ dt υ 0b z 1) i 2) mamy υ 0 sin Θ 0 m dυ dt = F = 2Ze2 1 2Ze2 1 sin φ = 4πε 0 r2 4πε 0 υ 0 b t B dυ dt dt t A = dυ = κ mυ 0 b κ mυ 0 b π Θ 0 t B dφ dt sin φ sin φ dφ dt dt 2Ze 2, κ = 4πε 0 t A sin φ dφ υ 0 sin Θ = κ mυ 0 b 1 + cos Θ b = κ mυ 0 2 cot Θ 2

25 Doświadczenie Rutherforda, 3 b = κ mυ 2 cot Θ 2 0 db = κ 1 mυ 2 0 sin 2 Θ 2 dθ Różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie: dσ = 2πbdb Efektywna powierzchnia atomów w folii o grubości D, polu A oraz gęstości N to da = 2πbNDAdb Procent rozproszonych cząstek α spośród n cząstek padających: dn = n 2πbNDAdb dn n = Z 2 e 2 DN 4πε 0 2 m 2 υ 0 4 sin 4 Θ 2 dω kąt bryłowy Promień jądra atomowego R m atom jest pusty!

26 Doświadczenie Franka-Hertza 1902 Lenard 1913 Franck i Hertz