Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20
Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ). Jeżeli w kżdym punkcie x D istnieje pochodn funkcji F, to funkcji F możemy jednozncznie przyporzdkowć funkcję pochodn f = F : D. Odwrotnie, dnej funkcji f możn przyporzdkowć funkcję F, tk że F = f. Funkcj F jest określon jednozncznie z dokłdności do stłej, gdyż wtedy dl dowolnej stłej c (F(x) + c) = f(x). Definicj Funkcję F : D, tk że F = f nzywmy funkcj pierwotn funkcji f. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 2 / 20
Podstwowe wzory (f(x) + g(x)) dx = (f(x) g(x)) dx = dl kżdej zchodzi f(x)dx + g(x)dx f(x)dx g(x)dx (f(x)) dx = f(x)dx Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 3 / 20
Definicj Cłk oznczon funkcji f : [, b] w grnicch od do b nzywmy liczbę b f(x)dx = F(b) F() = F(x), gdzie F jest dowoln funkcj pierwotn funkcji f. b Przykłd 2 1 x 3 dx = 1 2 4 x4 = 1 4 24 1 4 14 = 1 4 16 1 4 = 33 4. Określmy funkcję górnej grnicy cłkowni Wtedy 1 x x f(s)ds. d x f(s)ds = d (F(x) F()) = f(x). dx dx Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 4 / 20
Przy obliczniu cłek często wykorzystuje się nstępujc włsność. Niech F będzie funkcj pierwotn do f : [x 1, x 2 ]. Rozptrzmy funkcję złożon g(x) = f(x + b), gdzie i b to pewne stłe. Funkcj pierwotn do g jest funkcj G(x) = 1 F(x + b), ztem x2 x2 g(x)dx = f(x + b)dx = 1 x 1 x 1 (F(x 2 + b) F(x 1 + b)). Przykłdy 2 1 0 1 e 5x+2 dx = 1 5 1 1 + 2x dx = 1 2 (e 12 e 7) ln 1 + 2x 1 0 = 1 2 ln 3 1 2 ln 1 = ln 3 2 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 5 / 20
Podstwowe włsności cłki oznczonej dl c b mmy c b f(s)ds + c c f(s)ds + b c f(s)ds = b f(s)ds bo f(s)ds = F(c) F() + (F(b) F(c)) = = F(b) F() = b Jeśli α jest dowoln liczb i g pewn funkcj cigł, to b (f(s) + αg(s))ds = = b b f(s)ds + f(s)ds + α b b f(s)ds. αg(s)ds = g(s)ds. Pierwsz włsność sugeruje, że definicję cłki oznczonej możn rozszerzyć n funkcje kwłkmi cigłe mówic, że cłk z funkcji kwłkmi cigłej jest sum cłek obliczonych n przedziłch cigłości funkcji. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 6 / 20
Cłk oznczon jko pole obszru pod wykresem funkcji y 1 0 xdx = 1 2 x2 1 0 = 1 2 1 1 2 0 = 1 2 Wrtość tej cłki jest równ polu trójkt prostoktnego wyznczonego przez oś poziom ukłdu współrzędnych i wykres funkcji f(x) = x. y = x 1 0 x dx 1 x Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 7 / 20
Co to jest pole figury? W szkole uczymy się wzorów określjcych pol różnych figur regulrnych: prostoktów, trójktów, kół itd. Ale jk określić pole figury o nieregulrnym ksztłcie? Skoro nie mmy wtpliwośći co to jest pole prostokt to przez pole figury możn rozumieć liczbę równ sumie (n ogół nieskończonej) liczby wszystkich pól prostoktów zwrtych cłkowicie w tej figurze rozmieszczonych tk, że mog one mieć wspólne jedynie frgmenty swoich krwędzi. Oczywiście im dokłdniej chcemy pokryć zbiór prostoktmi, tym mniejszych prostoktów musimy użyć. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 8 / 20
Pole trójkt prostoktnego przybliżmy z pomoc sumy pól kwdrtów zwrtych w trójkcie. Im dokłdniejsze przybliżenie, tym mniejsze musz być kwdrty wypełnijce w sumie trójkt, le żdn skończon liczb kwdrtów nie wystrczy do cłkowitego pokryci trójkt. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 9 / 20
Pole figury ogrniczonej wykresem funkcji i osi x-ów Rozptrujemy njpierw przypdek szczególny cłki z funkcji monotonicznej. W njprostszy sposób ukzuje on zwizek pomiędzy polem pod wykresem funkcji i jej cłk oznczon. Funkcj f : [, b] cigł, niemlejc i nieujemn. Dl x [, b] P(x) pole figury ogrniczonej od góry przez wykres funkcji od punktu (, f()) do punktu (x, f(x)) i od dołu przez oś x-ów. Wtedy dl h > 0, tkiego że x + h [, b] hf(x) P(x + h) P(x) hf(x + h) i dzielc stronmi przez h dostjemy f(x) P(x + h) P(x) h f(x + h). h f(x) f(x + h) P(x) x x + h b Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 10 / 20
Przechodzc do grnicy z h 0 i korzystjc z definicji cigłości i definicji pochodnej otrzymujemy P (x) = f(x) więc P jest funkcj pierwotn f, ztem x gdyż P() = 0 z definicji P. f(s)ds = P(x) P() = P(x), Pole figury ogrniczonej wykresem funkcji i osi x wynosi P(b) = b f(s)ds. Anlogiczne rozumownie możn przeprowdzić dl funkcji nieujemnej i nierosncej lub nieujemnej i kwłkmi monotonicznej. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 11 / 20
S jednk funkcje cigłe n odcinku o dość skomplikownym przebiegu (np. sinusoid wrszwsk, lbo funkcj Weirstrss), których cłkownie trzeb oprzeć n przejściu grnicznym sumy pól prostoktów (tzw. sumy Riemnn) przybliżjcych pole figury pod wykresem funkcji. Możn udowodnić, że Stwierdzenie Pole P figury pomiędzy wykresem dowolnej funkcji cigłej i nieujemnej f : [, b] i osi x-ów jest równe cłce oznczonej b f(x)dx. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 12 / 20
Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. x 1 x 2 x 3 x 4 Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 13 / 20 b
Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 13 / 20
Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 13 / 20 b
Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 13 / 20 b
Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 13 / 20 b
Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 13 / 20 b
Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 13 / 20 b
* Objętość bryły obrotowej (dl zinteresownych) Podobnie wyprowdz się wzór n objętość bryły obrotowej. Rozwżmy funkcję f : [, b], tk że f(x) > 0 dl x (, b) i bryłę w przestrzeni 3, której powierzchni boczn powstje poprzez obrót wykresu funkcji f wokół osi x. x Aby obliczyć przybliżon wrtość objętości tej bryły trzeb pocić j cięcimi prostopdłymi do osi x n plstry i zsumowć objętości wszystkich plstrów. Kżdy plster po wyrównniu brzegów to wlec. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 14 / 20
* Objętość bryły obrotowej Objętość wlc o promieniu podstwy r i wysokości h wynosi πr 2 h. Dzielimy odcinek [, b] n n mniejszych odcinków o końcch x 0 =, x 1 <... x i < x i+1... x n = b wyznczjc punkty, przez które przechodz cięci. Sum wszystkich objętości wlców plstrów wynosi π (f(x i )) 2 x i. Po przejściu do grnicy przy zgęszczeniu podziłów odcink [, b] otrzymuje się wzór n objętość V f bryły obrotowej powstłej przez obrót funkcji f : [, b], b V f = π f 2 (x)dx. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 15 / 20
Wrtość średni funkcji Definicj Wrtości średni funkcji f : [, b] nzywmy liczbę f = 1 b Przykłd z poprzedniego wykłdu b f(x)dx. Smochód porusz się po prostej strtujc w chwili t = 0 z punktu x 0 z prędkości v(t)[ m s ]. W chwili t = T położenie smochodu wynosi x(t) = x 0 + T 0 v(t)dt[m], gdyż funkcj określjc położenie (współrzędn) smochodu jest funkcj pierwotn do funkcji określjcej prędkość smochodu. Wrtość średni funkcji określjcej prędkość smochodu to v = 1 T v(t)dt [ m T s ], czyli 0 v = x(t) x 0. T Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 16 / 20
Cłk niewłściw Cłki niewłściwe Rozwżymy terz cłki z funkcji określonych n przedziłch nieogrniczonych typu [, + ) lub (, ], lub (, + ). Niech F będzie funkcj pierwotn funkcji f i złóżmy, że istnieje grnic lim F(x). Poniewż x + x f(s)ds = F(x) F(), to Definicj Cłk niewłściw funkcji f n odcinku [, + ) nzyw się liczbę + f(s)ds = lim F(x) F(). x + Cłk niewłściw funkcji f n odcinku (, ] nzyw się liczbę f(s)ds = F() lim F(x). x Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 17 / 20
Cłk niewłściw Grnic funkcji lim x + F(x) może nie istnieć odpowiedni cłk niewłściw nie jest wtedy określon. Przykłd: Funkcj pierwotn funkcji f(x) = cos x jest F(x) = sin x. Nie istniej lim sin x i lim sin x, x + x ztem żdn z cłek niewłściwych nie jest określon. Jeśli lim x + F(x) = ±, to mówimy, że cłk jest rozbieżn do ±. Przykłd: Funkcj pierwotn funkcji f(x) = 2x jest F(x) = x 2, orz lim x + x2 = +. Dltego mówimy, że +. x dx jest rozbieżn do Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 18 / 20
Cłk niewłściw Jeśli f(x) 0 dl x, to funkcj pierwotn F jest funkcj niemlejc (bo F (x) = f(x) 0), więc grnic lim x + F(x) jest lbo liczb dodtni, lbo cłk jest rozbieżn do +. Przykłd: + 1 + 1 + 1 e s ds = 1 s ds = 1 s ds = lim x + ( e x ) ( e 1 ) = e 1 ; lim x + ( ) 1 1 (1 )x 1 1 = 1 1, > 1; lim ln x ln 1 = +. x + W powyższych przykłdch funkcje podcłkowe s dodtnie i mlej do 0. Funkcj 1 mleje do zer n tyle wolno wrz ze wzrostem x, że pole x obszru pomiędzy wykresem tej funkcji i osi x jest nieskończone, w odróżnieniu od dwóch pozostłych funkcji. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 19 / 20
Cłk niewłściw Jeśli f(x) 0 dl x, to cłkę + f(x)dx definiuje się jko sumę + f(x)dx = f(x)dx + + f(x)dx, ( ) gdzie jest dowoln liczb. T definicj nie zleży od wyboru. Rozpisujc prw stronę ( ) dostjemy, po uproszczeniu, + f(x)dx = lim F(x) lim F(x). x + x Powyższ cłk jest lbo liczb dodtni, lbo jest rozbieżn do +. Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 20 / 20