DOBÓR OPTYMALNEGO TYPU ŚRODKÓW TRANSPORTOWYCH

Andzej B. CHOJNACKI * DOBÓR OPTYMALNEGO TYPU ŚRODKÓW TRANSPORTOWYCH Steszczenie W efeacie pzedstawiono analityczną metodę dobou optymalnego typu śodków tanspotowych do wykonania zadania pzewozowego okeślonego zasobu ze stałą intensywnością na ustaloną odległość. Jakość podjętej decyzji oceniana jest kosztem ponoszonym pzez nabywcę usługi tanspotowej, pzypadającym na jednostkę czasu. ZałoŜono zóŝnicowanie stawek w zaleŝności od ładowności śodków tanspotowych pzybliŝając je pewną funkcją ciągłą, óŝniczkowalną, monotonicznie osnącą i wklęsłą. Pzyjęto, Ŝe stopień załadunku śodków tanspotowych jest ównieŝ optymalny z punktu widzenia kosztów ponoszonych pzez zleceniodawcę. W iku pzepowadzonych ozwaŝań otzymano analityczną zaleŝność kosztów od względnej ładowności śodków tanspotowych i na tej podstawie podano metodę dobou optymalnego typu śodka tanspotowego. Słowa kluczowe: logistyka, śodki tanspotowe, koszty pzewozowe, badania opeacyjne 1. WPROWADZENIE Nabywca masowych usług tanspotowych, będący np. opeatoem logistycznym, pzy podejmowaniu decyzji dotyczących dobou dostawcy tych usług na ogół kieuje się kosztami związanymi z ealizacja zlecanych zadań tanspotowych. Popawnie pzepowadzona analiza tych kosztów jest waunkiem koniecznym do podjęcia acjonalnej decyzji [5], [6], [7]. Analiza moŝe polegać na obliczaniu kosztów w opaciu wyłącznie o stawki pzewozowe nazucane pzez dostawców usług tanspotowych, ale ównieŝ moŝe ikać z analizy kosztów ponoszonych pzez dostawcę, co powinno stanowić uzasadnienie stawek, głównie ustalanych w dodze negocjacji. Koszty ponoszone zaówno pzez nabywcę jak i pzez dostawcę usług tanspotowych mogą być wyznaczane na podstawie danych histoycznych zbieanych w takcie funkcjonowania systemu logistycznego. Są to jednak wielkości ustalane a posteioi i mają z tego powodu oganiczony zakes ich stosowania pzy podejmowaniu decyzji dotyczących pzyszłości. MoŜna jednak dokonać analizy kosztów bazując na ogólnej metodologii chaakteystycznej dla badań opeacyjnych, w któych podstawowym nazędziem jest modelowanie matematyczne, uwaŝane powszechnie za najbadziej skuteczne nazędzie naukowe ozwiązywania poblemów badawczych. Watości cech ozpatywanych w pocesie modelowania dotyczą co pawda wyłącznie infomacji posiadanych pzez decydenta w chwili podejmowania decyzji, ale wnioski fomułowane na ich podstawie dotyczą pzyszłości, są więc odniesieniem do pzyszłości. Otzymuje się więc infomację pzedstawianą w postaci zaleŝności analitycznych, wygodną do fomułowania wniosków apioi o zachowaniu się systemu tanspotowego. W efeacie zastosowano ogólną metodologię modelowania matematycznego opisaną np. w [] odniesioną do zagadnień logistyki ozpatywanych jako pocesy deteministyczne i stacjonane [1]. PosłuŜono się ikami pzedstawionymi w [4] opisującymi analityczne wyaŝenia na uzasadniony poziom stawek pzewozowych w óŝnych waiantach ich stosowania. Ponadto wykozystano iki badań pzedstawionych w [3], dotyczące analitycznej postaci kosztów jednostkowych ponoszonych pzez nabywcę usług tanspotowych. Uwzględniono ównieŝ zaleŝność tych * Waszawska WyŜsza Szkoła Infomatyki, Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Cybenetyki

kosztów od ładowności śodków tanspotowych, uzyskaną jako ezultat obliczeń dla danych zeczywistych ozpatywanych w [3]. Na podstawie powyŝszych ozwaŝań wpowadzających wyznaczono analityczną postać zaleŝności kosztów jednostkowych od ładowności śodków tanspotowych i w konsekwencji zapoponowano postą metodę wybou typu śodków tanspotowych do ealizacji pzewidywanej usługi tanspotowej. Zapoponowana metoda pozwala na odejście od analizowania ofet wszystkich dostawców usług tanspotowych umoŝliwiając wskazanie, któzy dostawcy powinni zaofeować uzasadnione ponoszonymi kosztami stawki pzewozowe atakcyjne ównieŝ dla nabywcy usług z punktu widzenia całkowitych kosztów pzez niego ponoszonych.. KOSZTY PONOSZONE PRZEZ NABYWCĘ USŁUG TRANSPORTOWYCH Pzepowadźmy analizę kosztów ponoszonych pzez nabywcę w pzypadku, gdy jego potzeby pzewozowe powtazają się cyklicznie. Pzyjmijmy, Ŝe zlecana usługa tanspotowa polega na tym, aby pzewozić z magazynu nabywcy na odległość d ładunek o wielkości patii Q co odcinek czasu o długości τ. PzewoŜony ma być jednoodny ładunek o watości jednostkowej W pzy opocentowaniu śodków obotowych w wielkości ρ pzez jednoodne śodki tanspotowe o ładowności pouszające się z pędkością handlową. Oznacza to, Ŝe pzewóz ma być wykonywany ze stałą intensywnością λ oszącą: Q λ = τ (1) Dostawca usługi tanspotowej moŝe ustalić stawki pzewozowe w óŝny sposób np.: - za jednostkę odległości pokonanej pzy wykonywaniu pzejazdu na zlecenie nabywcy p usługi; stawkę tę oznaczymy symbolem s ; - za jednostkę czasu ajęcia śodka tanspotowego pzez nabywcę; stawkę tę oznaczymy symbolem s. Oczywiście mogą być stosowane ównieŝ inne metody ustalania stawek, jak ównieŝ nie muszą być jednocześnie stosowane obie powyŝsze stawki. W sytuacji stosowania dokładnie jednej z nich naleŝy pzyjąć, Ŝe watość dugiej stawki osi zeo. W [3] pokazano, Ŝe łączny koszt pzypadający na jednostkę czasu ponoszony pzez nabywcę usług tanspotowych związany z pzewoŝeniem ładunku pzez system pzewozowy pzy pzewoŝeniu ładunku co stały odcinek czasu pzy ównomienym wykozystaniu ładowności jednoodnych jednostek tanspotowych w waunkach stacjonaności pocesu pzewozowego jest ówny: λ d Q p s λ d Q χ = s W Q + + ρ + () Q gdzie funkcja x = min{ y : x y} ( jest zbioem liczb całkowitych) jest to tzw. sufit. Wielkość p s s = s + (3) moŝna intepetować jako pzypadający na jednostkę czasu łączny koszt związany z pokonaniem dogi o jednostkowej długości pzy ealizacji zadania pzewozowego.

Optymalna z punktu widzenia nabywcy usługi tanspotowej decyzja dotycząca okeślenia zadania pzewozowego, tzn. decyzja minimalizująca ponoszone pzez niego koszty wykonywania zadania pzewozowego pzypadające na jednostkę czasu, polega na następującym okeśleniu optymalnej wielkości Q ładunku pzypadającej na jeden śodek tanspotowy: p s λ d s + Q = Q = gdy Q < (4) ρ W w pzeciwnym pzypadku Śodki tanspotowe powinny ozpoczynać kusy z ładunkiem w odstępach czasowych co: p s d s + τ gdy Q < = ρ W λ (5) w pzeciwnym pzypadku λ Koszty pzypadające na jednostkę czasu ponoszone pzez nabywcę usługi tanspotowej ikające z ealizacji złoŝonego pzez niego w powyŝszy sposób zadania pzewozowego pzyjmą wtedy watość najmniejszą z punktu widzenia paametów Q i τ zadania tanspotowego i będą osiły: p s ρ W λ d ρ W λ d s + + gdy Q < χ ( Q ) = (6) λ d p s λ d s + + ρ W + w pzeciwnym pzypadku Wszystkie kusy wykonywane będą pzy tym pzez śodki tanspotowe jednego typu. 3. RÓśNE TYPY ŚRODKÓW TRANSPORTOWYCH Niektóe wielkości występujące we wzoze (6) opisującym koszty pzewozowe pzypadające na jednostkę czasu zaleŝą jednak od typu śodka tanspotowego p wykozystywanego do pzewozów. Są to stawki pzewozowe s, s, pędkość oaz ładowność. Pzyjmijmy jak popzednio, Ŝe zlecając zadanie pzewozowe moŝna ozpatywać R typów śodków tanspotowych ponumeowanych zmienną = 1, R. AngaŜując do ealizacji zadania pzewozowego śodki tanspotowe -tego typu ponosi się więc w kaŝdej jednostce czasu koszty w wysokości: p s ρ W λ d ρ W λ d s + + gdy Q < χ ( Q ) = (7) λ d p s λ d s + + ρ W + w pzeciwnym pzypadku gdzie:

zl p s s λ d s + + d Q = Q = gdy Q < (8) ρ W w pzeciwnym pzypadku Pzyjęto pzy tym, Ŝe odległość pzewozu d nie zaleŝy od typu śodka tanspotowego, tzn. ozpatuje się śodki tanspotowe jednoodne z punktu widzenia moŝliwości pzemieszczania się. Nie są więc to jednocześnie np. samochody i statki Ŝeglugi śódlądowej. Najlepszym, z punktu widzenia ponoszonych kosztów pzypadających na jednostkę czasu, jest ten typ śodków tanspotowych, dla któego spełniony jest waunek: χ Q = χ Q (9) ( ) min ( ) = 1, R Ustalenie optymalnego typu śodka tanspotowego wymaga więc pzepowadzenia oddzielnych obliczeń optymalnej wielkości ładunku i następnie wyznaczenia kosztów dla wszystkich typów śodków tanspotowych. Jest to więc pełny pzegląd pzestzeni ozwiązań. PoniŜej ozpatzymy pzypadek szczególny będący jednocześnie epezentantem metody analitycznego okeślania optymalnego typu śodka tanspotowego do wykonania ustalonego zadania pzewozowego. Pzyjmijmy, Ŝe pędkość handlowa pouszania się śodków tanspotowych wszystkich typów jest jednakowa, tzn.: = 1, R : = (10) Niech będzie najmniejszą z ładowności wszystkich dostępnych typów śodków p tanspotowych. Pzyjmijmy, Ŝe ozpatujemy śodki tanspotowe, któych stawki s oaz s osną waz ze wzostem ich ładowności popocjonalnie do piewiastka kwadatowego z ich względnej ładowności w stosunku do : p p s = s ; s s = (11) p Stałe s oaz s są wielkościami epezentatywnymi dla ozpatywanej gupy typów śodków tanspotowych. Oznaczając względną ładowność śodka tanspotowego -tego typu symbolem: ξ = (1) otzymamy zamiast (11) zaleŝności: p p s = s ξ ; s = s ξ (13) W [3] został opisany system tanspotowy zaangaŝowany pzez pewnego duŝego opeatoa logistycznego do ealizacji usług tanspotowych. Zabane dane o tym systemie p pozwoliły na zbadanie wielkości stawek pzewozowych s uzasadnionych kosztami ponoszonymi pzez dostawców usług tanspotowych. Uzyskane iki pzedstawiono na Rys. 1. Stawka pzewozowa została podana w umownych jednostkach pienięŝnych ze względu na ochonę inteesów biznesowych opeatoa. Naniesiona na ysunku potęgowa linia tendu wyaŝa się wzoem: stawka za kilomet = 0,8397 względna ładowność 0,4003 (14) ( ) pzy współczynniku deteminacji oszącym 0,8743. Widać więc, Ŝe pzybliŝenie piewiastkiem kwadatowym tej stawki jest uzasadnione paktycznie i wystaczające dla pzepowadzenia ozwaŝań teoetycznych pzedstawionych dalej w efeacie. Obie

analizowane funkcje są monotonicznie osnącymi, ciągłymi, óŝniczkowalnymi i wklęsłymi funkcjami. Piewiastek kwadatowy moŝna więc uwaŝać za epezentatywny dla pzedstawionej metody, a óŝnice obliczeniowe nie wpływają na popawność pzepowadzonych dalej ozwaŝań. Z tych samych powodów pzyjęto analogiczne załoŝenie dotyczące zaleŝności stawki s od względnej ładowności śodków tanspotowych. Oczywiście pzy podejmowaniu decyzji o wyboze dostawcy usług tanspotowych naleŝy zweyfikować chaakte zaleŝności stawek pzewozowych od ładowności względnej śodków tanspotowych. Rys. 1. ZaleŜność stawki pzewozowej za kilomet pzebytej odległości od względnej ładowności śodków tanspotowych. Źódło: opacowanie własne Zamieńmy dysketną zmienną ξ { ξ, ξ,, ξ } 1 K K ciągłą zmienną ξ 1. Rozpatzmy najpiew pzypadek, gdy śodki tanspotowe kaŝdego typu pzemieszczają się z całkowitym wykozystaniem ich zdolności ładunkowych, tzn. gdy Q =. Funkcja opisana wzoem (7) pzy powyŝszych załoŝeniach nie zaleŝy od indeksu, a staje się wyłącznie funkcją zmiennej ξ pzyjmując postać: λ ρ ρ λ χ( ξ ) = s + + ξ + ξ d p s W W d Pzebieg funkcji χ( ξ ) pzedstawia Rys.. Funkcja χ( ξ ) pzedstawiona wzoem (15) pzyjmuje minimum dla: λ d p s ξ = s + ρ W ξ, lub w punkcie ξ = 1 w pzeciwnym pzypadku. o ile 1 3 R (15) (16)

koszt na jednostkę czasu względna ładowność ξ ' ξ ξ '' Rys.. ZaleŜność kosztów wykonania zadania pzewozowego pzypadających na jednostkę czasu od względnej ładowności śodka tanspotowego dla pzypadku pełnego wykozystania ładowności śodków tanspotowych. Źódło: opacowanie własne Jak widać względna ładowność śodka tanspotowego optymalnego typu ośnie waz ze wzostem watości intensywności pzewozów λ, odległości pzewozu d oaz wielkości p stawek s, s, co ilustuje Rys. 3. optymalna ładow ność w zględna od intensyw ności od odległości od staw ek intensyw ność odległość staw ka Rys. 3. ZaleŜność optymalnej względnej ładowności od intensywności pzewozów oaz odległości pzewozów dla pzypadku pełnego wykozystania ładowności. Źódło: opacowanie własne Z kolei wzost watości jednostkowej pzewoŝonego ładunku W, ładowności oaz wzost pędkości handlowej pociąga za sobą malenie optymalnej względnej ładowności śodka tanspotowego. Ilustuje to Rys. 4. Optymalna względna ładowność w funkcji jednostkowej watości pzewoŝonego ładunku W oaz w funkcji ładowności maleje do zea, natomiast w funkcji pędkości handlowej asymptotycznie maleje do watości λ d s ρ W p 3. Najszybsze malenie zachodzi dla ładowności.

optymalna ładowność względna od watości od pędkości od ładowności watość pędkość ładowność Rys. 4. ZaleŜność optymalnej względnej ładowności od jednostkowej watości pzewoŝonego ładunku oaz pędkości handlowej dla pzypadku pełnego wykozystania ładowności śodków tanspotowych dla pzypadku pełnego wykozystania ładowności. Źódło: opacowanie własne Minimalny koszt ponoszony w jednostce czasu pzy wykozystaniu śodków tanspotowych o optymalnej ładowności ównej = ξ otzymujemy podstawiając (16) do (15). Wynosi on: 3 W d p s W d χ ξ = 3 s + + ( ) ρ λ ρ λ (17) 4. WYZNACZANIE OPTYMALNEGO TYPU ŚRODKA TRANSPORTOWEGO Pzyjmijmy, Ŝe typy śodków tanspotowych upoządkowane są zgodnie z osnącą watością ładowności, tzn. Ŝe: 1 < < L L < R (18) W takim azie wybó optymalnego typu śodka tanspotowego pzy wykozystaniu pełnej ładowności śodków tanspotowych powinien pzebiegać następująco: Jeśli ξ 1, to naleŝy pzyjąć = 1, czyli optymalnym typem śodka tanspotowego jest ten, któego ładowność jest najmniejsza. JeŜeli ξ > 1 oaz dla pewnego zachodzi ξ, to naleŝy pzyjąć =. Jeśli taki typ nie istnieje, to naleŝy ozpatzeć takie dwa typy ' oaz '', któych ładowności są najbliŝsze ładowności optymalnej: { } { } ' : = max : < ξ = 1, R ' '' : = min : > ξ = 1, R '' i wybać ten typ, dla któego watość kosztów okeślonych wzoem (15) pzypadających na jednostkę czasu jest mniejsza, tzn. dla któego zachodzi waunek: (19)

' '' min χ = χ ; χ (0) Oczywiście moŝe się okazać, Ŝe w tym pzypadku nie istnieje watość '', gdyŝ jeśli R ξ >, to minimum funkcji kosztów występuje poza zakesem zmienności ładowności. Wtedy watość ' jest optymalnym numeem typu śodka tanspotowego. Pozostał teaz do pzeanalizowania dugi pzypadek, mianowicie gdy ładowność śodka tanspotowego nie będzie wykozystana w pełni, czyli gdy dla wszystkich = 1, R zachodzi Q = Q <, gdzie Q opisane jest wzoem: Q p s λ d s + = ρ W a po załoŝeniu ciągłości zmiennej ξ 1 wzoem: p s λ d s + 4 Q = ξ () ρ W Koszt pzypadający na jednostkę czasu pzy analogicznych załoŝeniach jak dla pzypadku Q = nie zaleŝy od numeu typu śodka tanspotowego i osi: p s ρ W λ d χ( ξ ) = ρ W λ d s 4 + ξ + (3) Pzebieg funkcji (3) pzy załoŝeniu ciągłości zmiennej ξ pzedstawiony jest na Rys. 5. Pzebieg funkcji χ( ξ ) wskazuje, Ŝe pzy niepełnym wykozystaniu ładowności śodków tanspotowych najlepiej jest wybać ten typ śodków, dla któych ξ = 1, czyli śodków o najmniejszej ładowności = 1 =. (1) koszt na jednostkę czasu wzost odległośc względna ładowność Rys. 5. ZaleŜność kosztów wykonania zadania pzewozowego pzypadających na jednostkę czasu od względnej ładowności śodka tanspotowego dla pzypadku niepełnego wykozystania ładowności śodków tanspotowych. Źódło: opacowanie własne

Q ZauwaŜmy jednak, Ŝe dla małych watości optymalna teoetyczna wielkość ładunku będzie na ogół pzekaczała, natomiast dla duŝych watości ładowności moŝe ona nie być w pełni wykozystana. Dlatego teŝ, uwzględniając (15), () oaz (3), otzymujemy, Ŝe łączna zaleŝność kosztów wykonania zadania pzewozowego pzypadających na jednostkę czasu do zmiennej ciągłej ξ będzie wyaŝała się wzoem: λ d p s ρ W ρ W λ d Q s + + ξ + dla ξ ξ χ( ξ ) = (4) p s ρ W λ d W d s 4 ρ λ + ξ + w pzeciwnym pzypadku Na Rys. 6 pokazano połoŝenie względem siebie funkcji kosztów opisanych wzoami (15) (pełne wykozystanie ładowności) oaz (3) (niepełne wykozystanie ładowności) i ikający z tego koszt pzypadający na jednostkę czasu opisany wzoem (4). Linią pogubioną po lewej stonie zaznaczono taki pzedział zamienności watości ładowności, pzy któych śodki tanspotowe wszystkich typów byłyby w pełni załadowane. Z kolei linią pogubioną po pawej stonie zaznaczono te watości ładowności, pzy któych śodki tanspotowe wszystkich typów byłyby nie w pełni wykozystane. Waunek Q < po pzekształceniach, wykozystując zaleŝność (), moŝna zastąpić waunkiem: p s λ d s + 1 3 < (5) ρ W Watość lewej stony nieówności (5) oznaczono na Rys. 6 pionową linią pzeywaną, w stosunku do któej zaznaczono ładowność śodków tanspotowych. Dla tych typów śodków tanspotowych, któych ładowność znajduje się poniŝej pogu, optymalna wielkość patii pzewoŝonego ładunku ówna jest ładowności. Ładowność śodków tanspotowych pozostałych typów nie będzie w pełni wykozystana, gdyŝ optymalna wielkość patii ładunku będzie mniejsza od ich ładowności. koszt na jednostkę czasu Q*= Q*< niepełna ładowność pełna ładowność koszt ładowność Rys. 6. ZaleŜność kosztów wykonania zadania pzewozowego pzypadających na jednostkę czasu od ładowności śodka tanspotowego. Źódło: opacowanie własne

Na podstawie powyŝszych ozwaŝań moŝna łatwo zalgoytmizować sposób wyznaczania optymalnego typu śodków tanspotowych do wykonania ustalonego zadania pzewozowego. Pzestawiona powyŝej metoda dobou typu śodków tanspotowych dla wykonania ustalonego zadania pzewozowego moŝe być stosowana we wszystkich pzypadkach znajomości analitycznej osnącej monotonicznie i wklęsłej zaleŝności stawek pzewozowych od ładowności śodków tanspotowych. Takie analityczne postaci funkcji mogą być pzykładowo wyznaczane na podstawie analiz danych statystycznych chaakteystycznych dla egionu, w któym zlecane są zadania pzewozowe. LITERATURA [1] Chojnacki A.B.: Logistyka. WAT, Waszawa 1978. [] Chojnacki A.B.: Modelowanie matematyczne. WAT, Waszawa 1986. [3] Chojnacki A.B., Makow J.: Teoia i paktyka analizy jednostkowych kosztów pzewozu ładunku w tanspocie samochodowym, Refeat na I Międzynaodową Konfeencję Naukowo-Techniczną Systemy Logistyczne Teoia i Paktyka, Rawa Mazowiecka 009 w: Logistyka n 4/009. [4] Chojnacki A.B., Piasecki S.: Koszty i stawki pzewozowe, Refeat na konfeencję TLM 008, Zakopane 008. [5] Jacyna M.: Modelowanie i ocena systemów tanspotowych, OFICYNA Wydawnicza Politechniki Waszawskiej 009. [6] Kawczyk S.: Metody ilościowe w logistyce. Wyd. C. H. Beck. Waszawa 001. [7] Piasecki S.: Optymalizacja systemów pzewozowych. WKŁ, Waszawa 1973. SELECTION OF OPTIMAL TYPE OF TRANSPORTATION UNITS Abstact This pape consists the analytical method of selection of optimal type of tanspotation units. They tanspot one kind of goods with constant intensity fo known shipping distance. The costs pe unit of time of tanspoted shipment evaluates the decision uality. Thee ae diffeent method of fixing of the shipment ates. Shipment ate is descibed by continuous, diffeentiable, monotonically inceasing and concave function at load capacity. The volume of tanspoted goods pe unit is optimal fom the owne of units as well. As the esult of consideations the analytical fom of function the unit shipment costs at elative load capacity is shown. The method of the selection of optimal type of tanspotation units is pesented on this basis. Keywods: logistics, tanspotation units, tanspotation costs, opeation eseach