OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU WIELOKĄTNYCH OBSZARÓW

Transkrypt

1 MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN X 35, s , Gliwice 008 OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU WIELOKĄTNYCH OBSZARÓW MODELOWANYCH RÓWNANIAMI NAVIERA-LAMEGO NA PODSTAWIE PURC I ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH EUGENIUSZ ZIENIUK, KRZYSZTOF SZERSZEŃ, AGNIESZKA BOŁTUĆ Instytut Infomatyki, Uniwesytet w Białymstoku Sosnowa 64, Białystok {ezieniuk, kszeszen, aboltuc}@ii.uwb.edu.pl Steszczenie. Celem niniejszej acy jest optymalizacja kształtu bzegu w wielokątnych dwuwymiaowych obszaach o własnościach liniowo-sęŝystych. Steowany algoytmem genetycznym oces optymalizacji sowadza się do poszukiwania najlepszego (optymalnego) ozwiązania w wyniku wielokotnego ozwiązywania zagadnień analizy dla óŝnych kształtów bzegu. Do efektywnego ozwiązywania zagadnień analizy (ze zmodyfikowanym bzegiem) zastosowano paametyczny układ ównań całkowych (PURC), któy chaakteyzuje się adykalnie uoszczonym w stosunku do MES i MEB sposobem deklaacji i modyfikacji kształtu bzegu.. WSTĘP Poblem optymalizacji kształtu obszaów naleŝy do waŝnej klasy zagadnień mających ogomne znaczenie aktyczne. Poblemy optymalizacji naleŝą do metod komputeowego wspomagania ojektowania pozwalających na poawę mechanicznych właściwości ośodka, takich jak: edukcja poziomu wewnętznych naęŝeń w obszaze, czy teŝ minimalizacja jego masy. Optymalizacja kształtu jest oblemem na tyle złoŝonym, Ŝe aktycznie jego ozwiązanie sowadza się do numeycznego ozwiązywania nieliniowych układów ównań algebaicznych, jest więc ocesem iteacyjnym. Do ozwiązywania tego typu zagadnień najczęściej wykozystywane są metody opate na minimalizacji zyjętej funkcji celu, co ostatecznie aktycznie sowadza się do iteacyjnego ozwiązywania zagadnień analizy ze zmodyfikowaną geometią bzegu [4]. Modelowanie optymalizowanego obszau oaz ozwiązywanie oblemów analizy ealizowane jest zazwyczaj na podstawie MES [6] oaz MEB []. Wspólną cechą tych metod jest konieczność dysketyzacji optymalizowanego obszau na elementy skończone lub bzegu na elementy bzegowe. Takie dysketyzowanie w zypadku oblemów optymalizacyjnych jest wysoce nieefektywne wobec konieczności ponownej edysketyzacji zy jakiejkolwiek modyfikacji kształtu obszau. W acy [5] pokazano odębną w stosunku do metod elementowych koncepcję ozwiązywania zagadnień bzegowych, któa jeszcze badziej uaszcza modelowanie wejściowej geometii bzegu oaz samych obliczeń. Otzymane paametyczne układy ównań całkowych (PURC) [5] wyeliminowały konieczność nie tylko dysketyzacji obszau, ale takŝe

2 64 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ jego bzegu. Bzeg ten w PURC jest deklaowany globalnie zy pomocy niewielkiego zbiou punktów bzegowych lub kontolnych. Wobec tego oces optymalizacji kształtu bzegu moŝe być zedukowany w PURC jedynie do identyfikacji tych punktów. Celem niniejszej acy jest aktyczne wykozystanie zalet PURC w powiązaniu z klasycznym algoytmem genetycznym (AG) do optymalizacji kształtu dwuwymiaowego wielokątnego obszau o właściwościach liniowo sęŝystych opisanych ównaniami Naviea- Lamego. Optymalizacja kształtu związana jest z otzymaniem załoŝonych własności ojektowych, takich jak oganiczenie poziomu wewnętznych naęŝeń czy teŝ pola powiezchni zekoju pozecznego. Pzedstawione podejście ogólnie zapewnia szeokie spektum moŝliwych do wygeneowania óŝnoodnych wielokątnych kształtów obszaów.. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU OPTYMALIZACJI KSZTAŁTU Poblem optymalizacji kształtu bzegu nie jest oblemem nowym i jest zedmiotem szeegu badań naukowych. Głównym celem acy jest oacowanie nowej oceduy obliczeniowej, pozwalającej na efektywny i automatyczny dobó właściwego pod względem zyjętych załoŝeń w funkcji celu (), optymalnego kształtu bzegu (ofilu). Optymalizowany obsza jest obszaem płaskim, liniowo-sęŝystym modelowanym ównaniami zemieszczeniowymi Naviea-Lamego. Poblem optymalizacji dla ozpatywanego zagadnienia zdefiniowano za pomocą następującej funkcji celu: min W F = /, () σ vm = [( σ ) + ] σ σ σ max gdzie W - jest watością minimalizowanego pola ozpatywanego zekoju pozecznego obszau Ω oganiczonego bzegiem Γ, σ - jest watością naęŝeń zedukowanych (von Misesa), któa w dowolnym punkcie we vm wnętzu obszau nie powinna zekoczyć ustalonej watości maksymalnej σ. max NaęŜenia zedukowane σ vm są obliczane na podstawie składowych naęŝeń σ uzyskanych na podstawie numeycznej analizy zagadnienia za pomocą PURC dla aktualnego kształtu bzegu Γ oaz załoŝonych waunków bzegowych. Do optymalizacji funkcji celu () zastosowano algoytm genetyczny (AG) z automatycznym połączeniem go z PURC. 3. PURC DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ LINIOWO-SPRĘśYSTYCH Sfomułowane w pozednim punkcie zadanie optymalizacji dla funkcji celu () z oganiczeniami sowadza się aktycznie do wielokotnego ozwiązywania zagadnienia analizy ze zmodyfikowaną geometią bzegu. Efektywność oponowanej metody zaleŝy od dwóch czynników: ) od efektywności modelowania i modyfikowania kształtu geometii bzegu oaz efektywności ozwiązywania zagadnień analizy, ) algoytmu odpowiadającego za efektywne steowanie wielokotnym ozwiązywaniem zagadnień analizy. Efektywność zeowadzenia takiej optymalizacji w duŝym stopniu będzie uzaleŝniona od łatwości zeowadzania modyfikacji geometii bzegu. Rozwiązanie numeyczne zagadnienia analizy w liteatuze najczęściej jest otzymywane zy pomocy MES oaz MEB. Metody te, pomimo niewątpliwych zalet, nie spełniają wymogu ostoty definiowania i modyfikacji obszau (lub bzegu), co jest szczególnie niezbędne w zypadku oblemów

3 OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU WIELOKĄTNYCH OBSZARÓW MODELOWANYCH RÓWNANIEM 65 dotyczących optymalizacji czy identyfikacji obszau. Takie uwaunkowanie MES i MEB powoduje gwałtowny wzost liczby zmiennych ojektowych (węzłów siatki) w obszaze (lub na jego bzegu). Czasochłonnym oblemem jest takŝe powtazanie dysketyzacji zmodyfikowanego obszau (lub bzegu) po kaŝdym etapie iteacji. Zastosowanie w miejsce tadycyjnej MES lub MEB ozwijanego PURC umoŝliwia badziej efektywne numeyczne ozwiązywanie zagadnień bzegowych, bez konieczności wowadzania jakiejkolwiek dysketyzacji obszau (lub bzegu). Kontu obszau (bzeg) w zypadku obszaów wielokątnych jest opisywany za pomocą niewielkiego zbiou punków naoŝnych. Pzy zeciąganiu jednego lub więcej punktów naoŝnych bzegu moŝliwa jest badzo efektywna modyfikacja kształtu bzegu. Deklaacja bzegu zy pomocy punktów naoŝnych jest bezpośednio powiązana z PURC. Dla ównań Naviea-Lamego PURC jest zedstawiany w następującej postaci [5]: zy czym s { U ( s, s) p ( s) P ( s, s) ( s) } ds, 0.5u ( s ) = J u () p n = s s s s, s s s, natomiast funkcje ( ) p p s, s U oaz P ( s, s) w zapisie maciezowym zyjmują następującą postać η ηη (3 4ν )ln( η) = η η U ( s, s), (3) 8π ( ν ) µ ηη η (3 4ν )ln( η) η η P P P ( s, s) =, p, =,,... n, 4π ( ν ) η P P (4) gdzie η ηη η η P = ( ), ν + P ( ), η = ν n n + n η n η η ηη η η η P = ( ν ) n + n, P = ( ), η ν + n η η η n () () () () 0.5 η =Γ ( s) Γ ( s ), η =Γ ( s) Γ ( s ), η = [ η p p + η ], = n + n. n ( i) Występujące w powyŝszych wyaŝeniach funkcje Γ ( s), i = {,}, to paametyczne funkcje liniowe, któych współczynniki wyliczane są na podstawie współzędnych punktów P x, y zadawanych w celu zdefiniowania wielokątnej geometii bzegu. naoŝnych ( ) i i i W dalszych ozwaŝaniach punkty naoŝne ( x y ) P, zyjęto jako zmienne ojektowe w ocesie optymalizacji. Ich identyfikacja owadzi do wygeneowania poszukiwanego optymalnego bzegu dla załoŝonej funkcji celu (). W wyniku zastosowania w PURC do ozwiązywania zagadnień analizy, moŝliwe jest otzymanie składowych naęŝeń σ w dowolnym punkcie optymalizowanego obszau Ω. Na podstawie obliczonych naęŝeń wyliczana jest watość naęŝeń zedukowanych (von Misesa), któa jest następnie taktowana jako waunek oganiczający w funkcji celu () dotyczącej optymalizacji powiezchni obszau. i i i

4 66 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ 4. POŁĄCZENIE PURC Z ALGORYTMEM GENETYCZNYM (AG) Wybó algoytmu genetycznego (AG) jako nazędzia optymalizacji funkcji celu () wynika ze stosunkowej łatwości jego zintegowania z PURC. PURC () automatycznie dostosowuje się do nowych obszaów modelowanych punktami naoŝnymi ozwiązywanego zagadnienia analizy. Natomiast w AG naleŝy jedynie okeślić funkcję kyteialną () z zyjętymi oganiczeniami. Zmienne ojektowe w acy są utoŝsamiane ze współzędnymi punktów naoŝnych P ( x, y ), modelujących wielokątny kształt w PURC optymalizowanej geometii i i i bzegu. Rozwiązanie zadania optymalizacji sowadzono w tym wypadku do znalezienia połoŝenia wybanych punktów naoŝnych, zakodowanych w chomosomie AG. Na podstawie aktualnego połoŝenia tych punktów, w celu zminimalizowania funkcji celu (), moŝliwe jest obliczenie pola zekoju powiezchni optymalizowanego obszau Ω. Ponadto po ozwiązaniu PURC dla zidentyfikowanego połoŝenia punktów naoŝnych otzymywane są w obszaze składowe naęŝeń σ, niezbędne do wyliczenia watość σ (von vm Misesa) uŝywanego w fomule () jako waunku oganiczającego. 5. WERYFIKACJA ALGORYTMU OPTYMALIZACJI NA PRZYKŁADZIE Na ys. a zedstawiono oblem dobou optymalnego kształtu [] symetycznego ofilu pomiędzy punktami AB, zy oczekiwanym poziomie wewnętznych naęŝeń (von Misesa) poniŝej watości ganicznej ównej σ = MPa. Pofil ten jest poddawany zewnętznej max sile ozciągającej o watości F = 09.50N / mm. Pzyjęto następujące paamety ośodka E = 06850MPa oaz ν = a) b) Rys.. Rozpatywany oblem optymalizacji (a), deklaacja geometii bzegu w PURC punktami naoŝnymi (b) W acy [] zedstawiono ozwiązanie powyŝszego oblemu ojektowego bazujące na połączeniu MES z AG. Wybó MES jako nazędzia analizy ośodka sęŝystego spowodował konieczność wowadzenia zbiou punktów (węzłów) opisujących zaówno cały obsza, jak ównieŝ modyfikowany fagment jego bzegu. Rozpatywany obsza zadeklaowano w tym wypadku 96 elementami skończonymi (7 węzłów). W ezultacie uzyskano edukcję pola zekoju pozecznego z watości początkowej mm do watości docelowej ównej mm, co daje watość ocentową na poziomie 7 %.

5 OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU WIELOKĄTNYCH OBSZARÓW MODELOWANYCH RÓWNANIEM 67 Na bazie powyŝszego zykładu ozpatywano następnie podejście łączące oponowany PURC z AG. W zeowadzonej symulacji zastosowano binany AG, bazujący na klasycznym schemacie Goldbega, zaimplementowany na podstawie obiektowej biblioteki C++ GAlib [3] dla paametów zedstawionych w tabeli. Tabela. Paamety zastosowanego AG Kodowanie 6 bitów Reodukcja opocjonalna KzyŜowanie jednopunktowe z awdopodobieństwem 0.6 Mutacja ównomiena z awdopodobieństwem 0.03 Rozmia populacji 50 Liczba iteacji 00 Zgodnie z ys. b wejściową geometię bzegu w PURC zamodelowano po wowadzeniu punktów naoŝnych. ZałoŜono następnie, Ŝe punkty P, P 0, P, P, P, P, P, P są punktami stałymi, natomiast optymalizowana część bzegu jest modyfikowana tylko 4 punktami naoŝnymi P, P 3 4, P, P. Pzy załoŝeniu symetii osiowej obszau oblem 9 0 optymalizacji kształtu został zedukowany do identyfikacji dwóch punktów P, P 3 4. a) b) Rys.. Rozkład poziomu wewnętznych naęŝeń von Misesa dla początkowego(a) oaz końcowego (b) kształtu geometii bzegu W uzyskanym ofilu docelowym (ys. b), wybanym spośód 5 niezaleŝnych wywołań algoytmu pole zekoju pozecznego powiezchni zostało zedukowane o ponad 8% do watości ównej mm, co jest poównywalne z wcześniej ezentowanymi ezultatami dla MES. Zastosowanie PURC nie tylko uościło deklaację optymalizowanego obszau Ω w poównaniu z MES, ale takŝe pozwoliło na otzymanie watości wewnętznych naęŝeń w dowolnych punktach tego obszau (ys. b). 6. WNIOSKI Celem niniejszej acy jest wstępna analiza potencjalnych zastosowań oacowanego PURC w zagadnieniach optymalizacji kształtu płaskich ośodków liniowo sęŝystych. Pzytoczony zykład testowy potwiedza moŝliwość zastosowania powyŝszego podejścia w aktycznych oblemach inŝynieskich, a takŝe uwypukla pewne zalety w poównaniu z metodami klasycznymi ozpatywanymi na zykładzie MES. Mówimy tutaj o uoszczeniu deklaacji optymalizowanego obszau, zy wyeliminowaniu zwłaszcza konieczności powtazania uciąŝliwej dysketyzacji po kaŝdej modyfikacji obszau, jak ma to miejsce w

6 68 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ MES, a takŝe w MEB. Poces optymalizacji kształtu obszau ostatecznie został sowadzony do identyfikacji niewielkiego zbiou punktów naoŝnych opisujących geometię bzegu. Uzyskane pewne pozytywne ezultaty są zachęcające do zeowadzenia w zyszłości dalszych badań dotyczących z jednej stony ozszezenia pola potencjalnych zastosowań oponowanego podejścia, a z dugiej - takŝe poawiających samą efektywność uzyskiwanych ozwiązań. Mamy tu na myśli moŝliwość optymalizacji kształtu o kontuze kzywoliniowym w PURC pozez zastąpienie aktualnie stosowanych segmentów liniowych kzywymi paametycznymi, np. Béziea lub B-spline. Z dugiej stony celowe są dalsze ace nad metodami steującymi ocesem optymalizacji - zastosowanie efektywniejszych opeatoów genetycznych, zwiększenie liczby ozpatywanej populacji, czy teŝ zaadaptowanie algoytmów ewolucyjnych oaz metod klasycznych, np. metody Newtona. Dodatkowym zagadnieniem jest oacowanie efektywnych kyteiów zakończenia ocesu optymalizacji w acy z acji duŝej zbieŝności oceduy oaz małych zmian kształtu powyŝej 40 iteacji działania AG abitalnie oganiczono się do wielokotnego uuchamiania oceduy optymalizacyjnej i analizy ozwiązań po piewszych 00 iteacjach AG. Paca naukowa finansowana ze śodków budŝetowych na naukę w latach jako ojekt badawczy 3TF058 LITERATURA. Annicchiaico W., Ceolaza. M.: Optimization of finite element bidimensional models: an apoach based on genetic algoithms. Finite Elements in Analysis and Design 998, 3-4/9, s Bebbia, C. A., J. C. F. Telles.; L. C. Wobel.: Bounday element techniques, theoy and applications in engineeing. New Yok : Singe-Velag, GAlib: A C++ Libay of Genetic Algoithm Components, vesion.4. Mechanical Engineeing Depatment, Massachusetts Institute of Technology. 4. Liu G.R., Han X.: Computational invese techniques in non-destuctive evaluation. CRC Pess LLC, Zieniuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solving D bounday oblems defined on polygonal domains modeled by Navie equation. Intenational Jounal of Solids and Stuctues 006, 43, 5-6/43 s Zienkiewicz O.: The finite element methods. London : McGaw-Hill, 977. A PIES AND GA COMBINED TECHNIQUE FOR SHAPE OPTIMIZATION OF POLYGONAL DOMAINS MODELLED BY NAVIER-LAME EQUATION Summay. The pape discusses computational techniques fo shape optimization in D linea elasticity oblems. Consideed optimization is pefomed by fowad model analysis fo modified shape of consideed bounday geomety. The ocedue combines mesh-fee bounday geomety desciption with oblem fomulation based on the paametic integal equation system (PIES). The technique educes the numbe of identified unknowns to minimum with significant possibilities of geomety modification. The study evaluates the accuacy of an established optimization in connection with genetic algoithms (GA) by compute simulation.