MODELOWANIE PRĄDÓW WIROWYCH W ŚRODOWISKACH SŁABOPRZEWODZĄCYCH PRZY WYKORZYSTANIU SKALARNEGO POTENCJAŁU ELEKTRYCZNEGO

Transkrypt

1 Pzemysław PŁONECKI Batosz SAWICKI Stanisław WINCENCIAK MODELOWANIE PRĄDÓW WIROWYCH W ŚRODOWISKACH SŁABOPRZEWODZĄCYCH PRZY WYKORZYSTANIU SKALARNEGO POTENCJAŁU ELEKTRYCZNEGO STRESZCZENIE W atykule pzedstawiono wydajny opis matematyczny pądów wiowych pzy wolnozmiennych wymuszeniach elektomagnetycznych pochodzących od płynącego w cewce pądu elektycznego. Polem zastosowań pezentowanego ozwiązania są poblemy bioelektomagnetyczne, z czego wynikają zastosowane załoŝenia upaszczające. Opis został sfomułowany w opaciu o skalany potencjał elektyczny. Zapezentowano autoskie ozwiązanie zagadnienia na ganicach niejednoodności, podczas obliczeń metodą elementów skończonych. Testy numeyczne potwiedziły popawność metody, oaz jej wysoką wydajność obliczeniową. Słowa kluczowe: skalany potencjał elektyczny, pądy wiowe, MES. WSTĘP Modelowanie pądów wiowych w oganizmach Ŝywych wiąŝe się z wieloma tudnościami [9]. Największym wyzwaniem jest uwzględnienie odwzoo- mg inŝ. Pzemysław PŁONECKI, ploneckp@iem.pw.edu.pl Instytut Elektotechniki Teoetycznej i Systemów Infomacyjno Pomiaowych, Wydział Elektyczny, Politechnika Waszawska PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 36, 008

2 30 P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak wania stuktuy, co powoduje, Ŝe dysketyzacja obszau musi być wyjątkowo gęsta [4,7]. WaŜne jest ównieŝ uwzględnienie skomplikowanych paametów elektycznych tkanek Ŝywych [5,6]. Dobó odpowiedniej metody symulacji kozystnie wpływa na szybkość otzymywania wyników. PosłuŜenie się skalanym potencjałem ϕ powoduje tzykotne zmniejszenie liczby niewiadomych w układzie ównań liniowych w modelu numeycznym MES w stosunku do modeli uŝywających potencjały wektoowe, znacząco zwiększając wydajność modelu. Dodatkowo autozy poponują ozwiązanie mające pzyspieszyć modelowanie zjawiska pądów wiowych w niejednoodnych, słabopzewodzących obszaach.. MATEMATYCZNY OPIS PRĄDÓW WIROWYCH RozwaŜany obsza jest pzedstawiony schematycznie na ysunku. Podobsza Ω 4 jest źódłem wolnozmiennego pola magnetycznego. Jest on galwanicznie odsepaowany dielektycznym obszaem Ω 3 od pzewodzących podobszaów Ω i Ω, któe symbolizują niejednoodne śodowiska pzewodzące. W nich indukują się pądy wiowe. Rys.. Schemat modelu: badany obsza to Ω Ω, Ω 3 izolato, Ω 4 źódło Bezpośednia implementacja numeyczna ównań Maxwella wiąŝe się z tudnościami i zwiększeniem czasu niezbędnego do otzymania wyników symulacji komputeowej. Dla poblemów bioelektomagnetyzmu uwzględnianie wszystkich zjawisk z dziedziny elektomagnetyzmu jest zbędne. Pominięcie zjawisk: wypieania pądu, pądu pzesunięcia jak i wpływu pola magnetycznego pochodzącego od pądu płynącego w badanym obszaze słabopzewodzącym, pzy wymuszeniach wolnozmiennych, pozytywnie wpływa na szybkość

3 Modelowanie pądów wiowych w śodowiskach słabopzewodzących 3 obliczeń, natomiast nie zmniejsza istotnie dokładności otzymanych wyników symulacji. Wymienione załoŝenia pozwalają na znaczne uposzczenia, podczas budowy modelu numeycznego. Dalsze ozwaŝania opate będą na ównaniach: B E= () B = 0 B= µ H (3) () Na ich podstawie zostaną w dalszym ciągu pacy wypowadzone ównania wykozystane do liczenia ozkładu pola w śodowiskach słabopzewodzących pzy wymuszeniach wolnozmiennych. Pzepowadzając komputeowe symulacje ozkładu pądów wiowych wykozystuje się opis zjawiska za pomocą pa potencjałów [, 8]. Potencjały zawsze zachowują ciągłość na ganicy obszaów o odmiennych właściwościach mateiałowych. W tej pacy będziemy kozystać ze skalanego potencjału elektycznego ϕ oaz wektoowego potencjału magnetycznego ( A ) [3]. Wypowadzając ównanie óŝniczkowe cząstkowe opisujące ozkład pzestzenny pola pądów wiowych podstawiamy B= A do ównania () otzymując: E= A (4) Gdy pzeniesiemy wyaŝenie po pawej stonie zaleŝności (4) na stonę lewą to otzymamy ównanie, któe okeślone jest z dokładnością do gadientu pewnej funkcji skalanej ϕ, poniewaŝ ( ϕ ) 0 : A E+ = ( ϕ) (5) Upaszczając ównanie (5) otzymamy: A E= ϕ (6)

4 3 P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak ZaleŜność (6) opisuje ozkład natęŝenia pola elektycznego w badanym obszaze. Składa się ono z dwóch składników. Watość piewszego ( ϕ ) obliczona będzie pzy pomocy metody elementów skończonych (MES). Watość A dugiego składnika pochodzi od źódła pola ( Ω 4 ) i moŝe zostać wyliczona na podstawie ównania Biota-Savata. Po pzemnoŝeniu ównania (6) pzez konduktywność γ i po uwzględnieniu elacji J = γe, otzymujemy zaleŝność na gęstość pądu w obszaze pzewodzącym: A J = γ ϕ γ (7) Do dalszych ozwaŝań pzyjmujemy, Ŝe pole wektoa J jest polem bezźódłowym, co odpowiada ównaniu J = 0. Dokonując opeacji dywegencji obu ston zaleŝności (7) otzymujemy: A ( ) J = γ ϕ γ (8) Pzyjmując, iŝ ozwaŝana pzestzeń nie zawiea źódeł pądowych, watość lewej stony ównania (8) wynosi 0. Pzenosząc dugi składnik na pawą stonę otzymujemy ostateczną postać ównania óŝniczkowego cząstkowego opisujące ozkład pola ϕ, któego ozwiązanie jest głównym celem niniejszego atykułu: A ( ) γ ϕ = γ (9) Pezentacja algoytmów pozwalających efektywnie otzymać ozwiązanie ównania (9) jest głównym celem niniejszego atykułu... Waunki bzegowe Okeślenie waunków bzegowych na powiezchni badanego obszau pzewodzącego Γ jest moŝliwe, poniewaŝ pąd elektyczny nie pzepływa pzez powiezchnie Γ, co wyaŝa się następująco:

5 Modelowanie pądów wiowych w śodowiskach słabopzewodzących 33 J n = 0 (0) gdzie n wekto postopadły do powiezchni zewnętznej obszau pzewodzącego... Pole wymuszenia Zewnętze zmienne w czasie pole magnetyczne jest źódłem pądów wiowych. W całym ozpatywanym obszaze (zaówno w tkankach, jak i w otaczającej pzestzeni) moŝna pzyjąć stałą pzenikalność magnetyczną µ 0. W obszaze jednoodnym magnetycznie, ozkład pola magnetycznego pochodzącego od cewki moŝemy okeślić uŝywając półanalitycznego całkowania kozystając z pawa Biota-Savata: B V J dv µ 0 = 4π () Wykozystując definicje potencjału A ze wzou () otzymamy ozkład pola magnetycznego pochodzącego od cewki opisany za pomocą wektoowego potencjału magnetycznego: µ 0 J A= dv () 4π V gdzie jest odległością pomiędzy węzłem elementu skończonego, a punktami w cewce, dla któych następuje całkowanie półanalityczne w celu wyznaczenia watości A w węźle. W ozwaŝanych badaniach, dysktetyzowany jest jedynie obsza pzewodzący, gdzie indukują się pądy wiowe ( Ω Ω ). 3. KLASYCZNE ROZWIĄZANIE MES UŜywając MES, ównanie óŝniczkowe cząstkowe (mocna foma) musi być pzeniesiona w słabą fomę w dysketnej pzestzeni elementu skończonego [3]. Takie sfomułowanie wykozystane jest w celu zbudowania maciezy sztywności i wektoa pawych ston liniowego układu ównań.

6 34 P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak Równanie (9) jest mocną fomą ównania eliptycznego. Po wpowadzeniu dysketnej podpzestzeni ozwiązania i wykozystaniu metody Galekina otzymujemy słabą fomę lewej stony ównania (9): gdzie M i j = γ, Ni N jdv (3) Ve N i jest funkcją kształtu w czwoościennym elemencie skończonym. UŜywając tej samej metody, pawa stona ównania (9) moŝe być pzeniesiona w słabą fomę: b i A = γ Ni dv V e (4) Implementacja ównania (4) wymaga okeślenia watości pola A we wszystkich punktach całkowania. Wykozystano element piewszego zędu Lagange'a węzłowy. Intepolacja nad pojedynczym elementem jest okeślona zgodnie z ównaniem: A= 4 k= A k N k (5) Ve N idv =, ównanie (4) pzyjmuje ostateczną po- 4 stać: Uwzględniając, Ŝe i Ve 4 e k Nk 4 k = V A b = γ (6) 4. PROPONOWANE ROZWIĄZANIE MES Altenatywną metodą ozwiązania poblemu jest wykozystanie ówności składowej nomalnej wektoa gęstości pądu na ganicy obszaów []. W szczególny sposób poblem ten występuje na ganicy obszaów niejednoodnych ( Γ ). Równanie (9) moŝe być pzekształcone co postaci: A A γ t (7) ( ϕ) = γ ( γ)

7 Modelowanie pądów wiowych w śodowiskach słabopzewodzących 35 Piewszy składnik pawej stony ównania (7) teoetycznie powinien być ówny 0, ale w wypadku numeycznego wyznaczania ozkładu wektoa A uwzględnia błędy numeyczne wyznaczania ozkładu watości A objawiające się niezeową watością wyaŝenia A w elemencie skończonym. Watość wyaŝenia A obliczana jest w elementach pzed etapem fomowaniu układu ównań liniowych. W opisywanej implementacji pzyjęto stałą watość A w elemencie. Jest ona mnoŝona pzez objętość elementu i pozostałe czynniki, a następnie dodawana do pawej stony układu ównań liniowych. Uwzględnienie tego składnika skutkuje osiągnięciem stabilności ozwiązań, gdy zewnętzne pole wymuszające ma chaakte niejednoodny np. pochodzi od cewki. Opeacja ta nie jest konieczna pzy testowych wymuszeniach jednoodnym polem magnetycznym. Dugi składnik ównania moŝe być intepetowany jako pseudoźódło pola na ganicach niejednoodności mateiałowej. Z powodu dysketyzacji obszau elementami o skończonej objętości, gadient konduktywności nie jest dokładnie okeślony na ganicy, a jego watość dąŝy do nieskończoności. Modyfikacja ównania óŝniczkowego cząstkowego opisującego ozwaŝany poblem jak i okeślenie waunków bzegowych zostały pzepowadzone na podstawie ysunku. Rys.. Ilustacja waunku ciągłości składowej nomalnej wektoa gęstości pądu podczas pzechodzenia pzez ganicę pomiędzy obszaami o óŝnej konduktywności Autozy poponują poceduę ominięcia tudnego numeycznie liczenia wyaŝenia γ w obszaach niejednoodnych pzez zastąpienie ównania (7) dodatkowym całkowaniem po powiezchni tych ścian elementów skończonych, któe leŝą na ganicy niejednoodności mateiałowej. Zapewnia to ciągłość składowej nomalnej wektoa gęstości pądu na tych ganicach.

8 36 P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak W tym pzypadku słaba foma pawej stony ównania (7) składa się z dwóch składników. ( A) + bi = γ Ni dv V e N i Γ e α ds (8) gdzie α jest pseudoźódłem znajdującym się pomiędzy dwoma óŝnymi mateiałami. Watość współczynnika α otzymywana jest z ciągłości wektoa gęstości pądu. Na ganicy obszaów niejednoodnych zachodzi ówność składowych nomalnych wektoa gęstości pądu: J n = J n. Te składowe wyaŝają się zaleŝnościami: ϕ An J n = γ n γ (9) n ϕ An J n = γ n γ (0) n ZauwaŜając iŝ J n = J, i odejmując (9) i (0) stonami, otzymamy: n ϕ ϕ An An γ γ = γ γ () n n Ω Ω PoniewaŜ na ganicy obszaów zachodzi: ϕ ϕ = ϕ = i A n = An = An ównanie (), moŝe być zastąpione pzez następujący układ ównań:, to ϕ γ γ An γ = n ϕ γ γ An γ = n () Równania () ma postać niezeowego waunku bzegowego Neumanna, któy pozwala na okeślenie watości współczynnika pseudoźódła α wykozystanego pzez (8):

9 Modelowanie pądów wiowych w śodowiskach słabopzewodzących 37 γ zew γ wew A α = n (3) gdzie γ wew jest konduktywnością w śodku elementu, a γ zew jest konduktywnością na zewnątz (w dugim mateiale). W pzypadku obszaów jednoodnych γ = γ zew wew, więc α i układ ównań () edukuje się do waunku bzegowego Neumanna. Na zewnętznej powiezchni obszau pzewodzącego ( Γ ), ównanie () edukuje się do postaci: ϕ n Ω A = n (4) 5. ZADANIA TESTOWE Pzedstawiony model numeyczny został zaimplementowany w języku pogamowania C++ z wykozystaniem bibliotek wspomagających ozwiązywanie ównań óŝniczkowych cząstkowych Diffpack [0]. Do zagadnień testowych wykozystano specjalne pole A, któe odpowiadało jednoodnej amplitudzie sinusoidalnie zmiennej indukcji magnetycznej B= [ 0,0, ]T. W celu uzyskania zadanego wektoa indukcji magnetycznej wykozystamy pole wektoa A o amplitudzie: A ( x, y, z) = [ 0.5y, 0.5x,0] (5) a) b) Rys. 3: a) Rozkład amplitudy potencjału A dający jednoodne pole B odpowiadające ównaniu (5); b) Schemat modelu zbudowanego z dwóch podobszaów o óŝnych konduktywnościach. Pzekój pzez płaszczyznę popzeczną do osi walca

10 38 P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak Zadania testowe spawdzające popawność zapoponowanych modyfikacji dokonano na postych byłach geometycznych składających się z dwóch podobszaów (ys. 3b). Obsza oznaczony jako Ω stanowi wycinek walca. Pzykład testowy dobano w taki sposób, aby istniała moŝliwość intuicyjnego spawdzenia popawności ozkładu pądów wiowych. WaŜne jest takŝe, Ŝeby powiezchnia Γ była postopadła do pola A, wtedy bowiem będziemy mieć do ozwiązania najtudniejszy pzypadek z punktu widzenia wpływu niejednoodności obszau na dokładność i szybkość obliczeń. a) b) Rys. 4. Wyniki symulacji w obszaze niejednoodnym: a) watości amplitudy potencjału ϕ, b) ozkład watości amplitudy gadientu ϕ Na ysunuku 4a) został pzedstawiony ozkład potencjału ϕ w badanym obszaze niejednoodnym. Obsewujemy na nim znaczące niejednoodności w ozkładzie amplitudy potencjału występujące w okolicy ganicy podobszaów, na któych powinien być spełniony waunek bzegowy opisany układem ównań (). Na powiezchni Γ zostały wpowadzone sztuczne pseudoźódła pądu. Widać to wyaźnie na ysunku 4b) ukazującym ozkład gadientu ϕ. Stanowi on jeden z członów ównania (6), sumując go z watościami pochodnej A pzedstawionymi na ysunku 3a otzymujemy ozkład natęŝenia pola elektycznego E.

11 Modelowanie pądów wiowych w śodowiskach słabopzewodzących 39 a) b) Rys. 5. Rozkład amplitudy wektoa gęstości pądów wiowych J : a) obsza niejednoodny składający się z dwóch pzewodników o konduktywnościach γ γ 0, b) obsza jednoodny z wycięciem / = Rysunek 5a pzedstawia ostateczny ozkład amplitudy wektoa J w obszaze niejednoodnym o stosunku konduktywności γ / γ = 0 i w obszaze jednoodnym stwozonym popzez odzucenie z modelu obszau Ω ( γ ). /γ Piewsze wyniki pozwalają zauwaŝyć, Ŝe oba ozwiązania mają podobny chaakte. Zgodnie z intuicyjnymi pzewidywaniami, w obu modelach, śodek cykulacji pądów wiowych zmienił połoŝenie w odniesieniu do jednoodnego walca, gdzie ozkład pądów jest dokładnie osiowosymetyczny. Ilościowe poównanie wyników dla obszau jednoodnego i niejednoodnego takŝe wypada popawnie. W pzypadku obszau jednoodnego (ys. 5b) maksymalna watość modułu wektoa gęstości pądu jest większa i wynosi 3 0 A/ m, niŝ w pzypadku obszau niejednoodnego (ys. 5a), a) b) Rys. 6. Rozkład amplitudy wektoa gęstości pądów wiowych J w niejednoodnym modelu: a) kolana, b) szyi

12 40 P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak 3 gdzie ówna jest.7 0 A/ m. Jest to zgodne z pzewidywaniem, poniewaŝ pąd nie ma moŝliwości płynięcia w wycinku, a tym samym jest badziej skumulowany w obszaze Ω. Rysunki 6a i 6b pzedstawiają ozkład wektoa gęstości pądów wiowych występujących na powiezchni badanych modeli. Rysunek 6a pzedstawia niejednoodny model kolana człowieka, zbudowany jest z 5 podobszaów o óŝnej konduktywności. Rysunek 6b pzedstawia niejednoodny model szyi człowieka, zbudowany jest z 3 podobszaów o óŝnej konduktywności (tkanka miękka, tkanka twada i new błędny) []. TABELA Poównanie wydajności obliczeniowej pezentowanych modeli numeycznych Klasyczne Poponowane ozwiązanie ozwiązanie Posta była geometyczna 30,000 elementów Czas fomowania 34s. 8s. Czas ozwiązania 39s. 40s. Model kolana 935,000 elementów Czas fomowania 0s. 7s. Czas ozwiązania 87s. 79s. Model szyi 635,000 elementów Czas fomowania 55s. 80s. Czas ozwiązania 599s. 430s. 5. PODSUMOWANIE W badanych, na postych byłach geometycznych jak i skomplikowanych modelach ciała człowieka, czasy niezbędne do otzymania wyników symulacji z zadaną dokładnością pzy zastosowaniu zapezentowanej metody są kótsze o około 0% w stosunku do czasów obliczeń pzy zastosowaniu metody klasycznej, wykozystującej całkowanie po objętości (Tabela ). Czas fomowania układu ównań liniowych zmniejszył się aŝ o 48%. Zastosowanie modelu numeycznego zapoponowanego pzez autoów jest obiecujące w pzypadkach zagadnień bioelektomagnetyzmu, głównie ze względu na wielkość oz-

13 Modelowanie pądów wiowych w śodowiskach słabopzewodzących 4 wiązywanych poblemów, lub w pzypadku wykozystania obliczeń ozkładu pądów wiowych pzy ozwiązywaniu zagadnień odwotnych (wielokotne ozwiązanie zadania postego). LITERATURA. Płonecki P., Sawicki B., Stazyński J., Wincenciak S.: Mathematical desciption of eddycuents in a non-homogenous aea with using electic scala potential. Electical Review, '007, pp. 5-8, Wilkasy 007, Poland.. Wang W. and Eisenbeg S. R.: A Thee-Dimensional Finite Element Method fo Computing Magnetically Induced Cuents in Tissues. IEEE Tansactions on Magnetics, vol. 30, no. 6, pp , Novembe Stuchly M. A. and Dawson T. W.: Human Ogan and Tissue Induced Cuents by 60 Hz Electic And Magnetic Fields. Poceedings - 9th Intenational Confeence - IEEE/EMBS, vol. 6, pp , 30 Oct.- Nov Gjonaj E., Batsch M., Clemens M., Schupp S., and Weiland T.: High-Resolution Human Anatomy Models fo Advanced Electomagnetic Field Computations. IEEE Tansactions on Magnetics, vol. 38, no., Mach Dawson T. W. and Stuchly M. A.: High-Resolution Ogan Dosimety fo Human Exposue to Low-Fequency Electic Fields. IEEE Tansactions on Powe Delivey, vol. 3, no., Apil Stuchly M. A. and Dawson T. W.: Inteaction of Low-Fequency Electic and Magnetic Fields with the Human Body. Poceedings of the IEEE, vol. 88, no. 5, May Zienkiewicz O. C.: The Finite Element Method. McGaw Hill, Meidenhead, Bio O., Peis K.: Finite Element Analysis of 3-D Eddy Cuents. IEEE Tansactions on Magnetics, vol. 6, No., pp , Mach Siauve N., Scoetti R., Buais N., Nicolas L., Nicolas A.: Electomagnetic fields and human body: a new challange fo the electomagnetic field computation. COMPEL, Vol. No. 3, Langtangen H. P.: Computational Patial Diffeential Equations. Numeical Methods and Diffpack Pogamming. Spinge Velog, Belin-New Yok, Płonecki P., Sawicki B, Stazyński J., Wincenciak S.: Wykozystanie waunku na ciągłość gęstości pądu do wydajnego modelowania pądów wiowych w śodowiskach słabopzewodzących. ZKWE 008, 4-6 kwietnia 008, Poznań, st Rękopis dostaczono dnia Opiniował: pof. d hab. inŝ. Stefan F. FILIPOWICZ

14 4 P. Płonecki, B. Sawicki, S. Wincenciak MODELLING OF EDDY-CURRENTS IN LOW CONDUCTING AREAS WITH USING THE ELECTRIC SCALAR POTENTIAL Pzemysław PŁONECKI, Batosz SAWICKI, Stanisław WINCENCIAK ABSTRACT The aticle pesents an efficient implementation of mathematical desciption of eddy-cuents excited by extenal, timevaying magnetic fields. The pesented solution deals with bioelectomagnetic poblems, which esults in the applied simplifying assumptions. The desciption was fomulated on the basis of the electic scala potential. The own solution of the issue within nonhomogeneity limits while calculating with using the finite element method is pesented. The numeical tests confimed the coectness of the method, as well as its high calculative efficiency. mg inŝ. Pzemysław Płonecki uodził się w 980 oku. Tytuł magista inŝyniea uzyskał w 004 oku na Wydziale Elektycznym Politechniki Waszawskiej. Obecnie jest studentem studiów doktoanckich na tym wydziale. Obszaem zainteesowań naukowych są zagadnienia związane z teoią pola elektomagnetycznego i metodami numeycznymi. Obecnie pzygotowuje ozpawę doktoską dotyczącą modelowania pądów wiowych w śodowiskach słabopzewodzących. d inŝ. Batosz Sawicki uodził się w 975 oku. Tytuł magista inŝyniea uzyskał w oku 999, doktoa w 003 oku na Wydziale Elektycznym Politechniki Waszawskiej. W latach otzymywał stypendium Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej dla Młodych Naukowców. Pacuje na stanowisku adiunkta na Wydziale Elektycznym Politechniki Waszawskiej. Aktualnie pzebywa na stypendium na Uniwesytecie w Calgay, w Kanadzie. Jego zainteesowania naukowe dotyczą numeycznego modelowania zjawisk bioelektomagnetycznych. Jest zwolennikiem wolnego opogamowania. pof. d hab. inŝ. Stanisław Wincenciak uodził się w 949 oku. Uzyskał tytuły magista inŝyniea, doktoa, doktoa habilitowanego na Wydziale Elektycznym Politechniki Waszawskiej odpowiednio w 973, 979 i 99 oku. Obecnie jest pofesoem na Wydziale Elektycznym w Instytucie Elektotechniki Teoetycznej i Systemów Infomacyjno - Pomiaowych Politechniki Waszawskiej. Pzedmiotem zainteesowań naukowych są obszay związane z teoią pola elektomagnetycznego, metodami numeycznymi i teoią optymalizacji.