Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 1 -
SPIS TREŚCI: 1. Dane do ćwiczenia... - 3-2. Rozkład sił normalnych od zadanego obciążenia... - 4-3. Wyznaczenie globalnej macierzy sztywności oraz macierzy geometrycznej... - 4-2.1. Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony... - 5-2.2. Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony... - 6-2.3. Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony... - 7-2.4. Pręt nr 4 przegub na lewym końcu... - 9-2.5. Agregacja macierzy sztywności K oraz macierzy geometrycznej K G...- 1-4. Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego oraz postaci wyboczenia... - 13-5. Obliczenie przemieszczeń oraz sił przekrojowych w ramie uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (jedna iteracja)... - 16-5.1. Macierze geometryczne prętów... - 17-5.1.1. Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony... - 17-5.1.2. Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony... - 17-5.1.3. Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony... - 18-5.1.4. Pręt nr 4 przegub z lewej strony... - 18-5.2. Macierz kolumnowa sił przywęzłowych... - 22-5.3. Uwzględnienie warunków brzegowych... - 22-5.4. Wyznaczenie wewnętrznych sił przywęzłowych... - 23-6. Porównanie wyników... - 25 - Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 2 -
1. Dane do ćwiczenia moduł Young a: 25 25/ przekrój 1 I26 o o o o 53,3 574 25 53,3 19265 25 574 11767 11767 przekrój 2 I24 o o o o 46,1 425 25 46,1 9455 25 425 87125 8712,5 schemat ramy i obciążenie zewnętrzne Układ globalny x 6, 5, 2,/ 2 51, y 1 1 1 3,5 5, 4, przyjęcie kolejności i kierunków przemieszczeń globalnych układu ramowego Układ globalny x 2 2 y 1 1 3 1 4 1 3,5 5, 4, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 3 -
2. Rozkład sił normalnych od zadanego obciążenia Wykres sił normalnych wyznaczono za pomocą programu RM-Win: 1-1,456-63,138-4,65-51,573-51,573 2 3 4-1,456-63,138-4,65 [kn] 3. Wyznaczenie globalnej macierzy sztywności oraz macierzy geometrycznej Macierze, które zostaną wykorzystane w ćwiczeniu: Pręt obustronnie utwierdzony Macierze sztywności Pręt z przegubem na lewym końcu 12 6 12 6 3 3 3 6 4 12 6 6 2 6 2 126 6 4 3 3 3 33 3 Pręt obustronnie utwierdzony Macierze geometryczne Pręt z przegubem na lewym końcu 36 3 36 3 36 36 6 3 3 4 3 3 36 3 36 3 36 36 6 3 3 4 6 6 6 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 4 -
Macierz transformacji 1 1 3.1. Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony Schemat pręta nr 1 1 1 3,5 α 1 5, 5, 3,5 6,1 34,99 Macierz sztywności pręta nr 1 w układzie lokalnym:, 179122,95-179122,95 622,7 1897,39-622,7 1897,39 1897,39 7716,7-1897,39 3858,3-179122,95 179122,95-622,7-1897,39 622,7-1897,39 1897,39 3858,3-1897,39 7716,7 Macierz geometryczna pręta nr 1 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -,2864 -,1456,,2864 -,1456, -,1456-1,1842,,1456,2961,,,,,,,,2864,1456, -,2864,1456, -,1456,2961,,1456-1,1842 Macierz transformacji pręta nr 1:,8193 -,5734,5734,8193, 1,8193 -,5734,5734,8193 1 Transponowana macierz transformacji pręta nr 1: Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 5 -
,,8193,5734 -,5734,8193 1,8193,5734 -,5734,8193 1 Macierz sztywności pręta nr 1 w układzie globalnym:,,,,,,,,, 12441,26-83857,325 187,9634-12441,26 83857,325 187,9634-83857,325 5931,964 1554,5316 83857,325-5931,964 1554,5316 187,9634 1554,5316 7716,7-187,9634-1554,5316 3858,3-12441,26 83857,325-187,9634 12441,26-83857,325-187,9634 83857,325-5931,964-1554,5316-83857,325 5931,964-1554,5316 187,9634 1554,5316 3858,3-187,9634-1554,5316 7716,7 Macierz geometryczna pręta nr 1 w układzie globalnym: -,942 -,1346 -,835,942,1346 -,835 -,1346 -,1922 -,1193,1346,1922 -,1193, -,835 -,1193-1,1842,835,1193,2961,942,1346,835 -,942 -,1346,835,1346,1922,1193 -,1346 -,1922,1193 -,835 -,1193,2961,835,1193-1,1842 3.2. Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony Schemat pręta nr 2: 2 2 4, Macierz sztywności pręta nr 2 w układzie lokalnym:, 4,, 236262,5-236262,5 1633,59 3267,19-1633,59 3267,19 3267,19 8712,5-3267,19 4356,25-236262,5 236262,5-1633,59-3267,19 1633,59-3267,19 3267,19 4356,25-3267,19 8712,5 Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -15,4719-5,1573, 15,4719-5,1573, -5,1573-27,556, 5,1573 6,8764,,,,,,, 15,4719 5,1573, -15,4719 5,1573, -5,1573 6,8764, 5,1573-27,556 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 6 -
Macierz transformacji pręta nr 2: 1 1, 1 1 1 1 Transponowana macierz transformacji pręta nr 2:, 1 1 1 1 1 1 Macierz sztywności pręta nr 2 w układzie globalnym:,,,,,,,,, 236262,5-236262,5 1633,59 3267,19-1633,59 3267,19 3267,19 8712,5-3267,19 4356,25-236262,5 236262,5-1633,59-3267,19 1633,59-3267,19 3267,19 4356,25-3267,19 8712,5 Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie globalnym:,,,,,,, -15,4719-5,1573, 15,4719-5,1573,, -5,1573-27,556, 5,1573 6,8764,,,,,,, 15,4719 5,1573, -15,4719 5,1573, -5,1573 6,8764, 5,1573-27,556 3.3. Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony Schemat pręta nr 3: 3 1 3,5 α 3 3,5 9, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 7 -
Macierz sztywności pręta nr 3 w układzie lokalnym:, 312185,71-312185,71 3293,39 5763,43-3293,39 5763,43 5763,43 13448, -5763,43 6724, -312185,71 312185,71-3293,39-5763,43 3293,39-5763,43 5763,43 6724, -5763,43 13448, Macierz geometryczna pręta nr 3 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -21,6473-6,3138, 21,6473-6,3138, -6,3138-29,4644, 6,3138 7,3661,,,,,,, 21,6473 6,3138, -21,6473 6,3138, -6,3138 7,3661, 6,3138-29,4644 Macierz transformacji pręta nr 3: -1 1, 1-1 1 1 Transponowana macierz transformacji pręta nr 3:, Macierz sztywności pręta nr 3 w układzie globalnym:,,,, 1-1 1 1-1 1,,,,, 3293,39 5763,43-3293,39 5763,43 312185,71-312185,71 5763,43 13448, - 5763,43 6742, - 3293,39-5763,43 3293,39-5763,43-312185,71 312185,71 5763,43 6742, - 5763,43 13448, Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie globalnym: -21,6473, -6,3138 21,6473, -6,3138,,,,,,, -6,3138, -29,4644 6,3138, 7,3661 21,6473, 6,3138-21,6473, 6,3138,,,,,, -6,3138, 7,3661 6,3138, -29,4644 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 8 -
3.4. Pręt nr 4 przegub na lewym końcu Schemat pręta nr 4: 4 1 3,5 α 4 3,5 9, Macierz sztywności pręta nr 4 w układzie lokalnym:, 312185,71-312185,71 823,35-823,35 2881,71-312185,71 312185,71-823,35 823,35-2881,71 2881,71-2881,71 186, Macierz geometryczna pręta nr 4 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -1,3937,, 1,3937 -,813,,,,,,,,,,,,, 1,3937,, -1,3937,465, -,813,,,813-2,8455 Macierz transformacji pręta nr 4: -1 1, 1-1 1 1 Transponowana macierz transformacji pręta nr 4:, 1-1 1 1-1 1 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 9 -
Macierz sztywności pręta nr 4 w układzie globalnym:,,,,,,,,, 823,35-823,35 2881,71 312185,71-312185,71-823,35 823,35-2881,71-312185,71 312185,71 2881,71-2881,71 186, Macierz geometryczna pręta nr 4 w układzie globalnym: -1,3937,, 1,3937, -,813,,,,,,,,,,,,, 1,3937,, -1,3937,,465,,,,,, -,813,,,813, -2,8455 Tabela powiązań: 3.5 Agregacja macierzy sztywności K oraz macierzy geometrycznej K G Pręt 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 7 8 9 3 1 11 12 4 5 6 4 13 14 15 7 8 9 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 1 -
Globalna macierz sztywności K: Po zsumowaniu elementów w poszczególnych komórkach, globalna macierz sztywności przybiera następującą postać: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 1 12441,3-83857,33 187,96-12441,26 83857,325 187,9634 2-83857,33 5931,96 1554,532 83857,325-5931,964 1554,5316 3 187,96 1554,532 7716,7-187,9634-1554,5316 3858,3 4-12441,26 83857,325-187,9634 359997,19-83857,33-6851,39-236262,5-3293,39-5763,43 5 83857,325-5931,964-1554,5316-83857,33 37313,26 1712,66-1633,59 3267,19-312185,71 6 187,9634 1554,5316 3858,3-6851,39 1712,66 29876,57-3267,19 4356,25 5763,43 6742, 7-236262,5 23785,85-2881,71-823,35 8-1633,59-3267,19 313819,3-3267,19-312185,71 9 3267,19 4356,25-2881,71-3267,19 18798,5 2881,71 1-3293,39 5763,43 3293,39 5763,43 11-312185,71 312185,71 12-5763,43 6742, 5763,43 13448, 13-823,35 2881,71 823,35 14-312185,71 312185,71 15 W wierszu i kolumnie 4,5,6 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 1, K 2 i K 3. W wierszu i kolumnie 7,8,9 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 2 i K 4. Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 11 -
Globalna macierz geometryczna K G : Po zsumowaniu elementów w poszczególnych komórkach, globalna macierz geometryczna przybiera następującą postać: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 1 -,942 -,1346 -,835,942,1346 -,835,,,,,,,,, 2 -,1346 -,1922 -,1193,1346,1922 -,1193,,,,,,,,, 3 -,835 -,1193-1,1842,835,1193,2961,,,,,,,,, 4,942,1346,835-21,7415 -,1346 6,3973,,, 21,6473, 6,3138,,, 5,1346,1922,1193 -,1346-15,6641-5,38, 15,4719-5,1573,,,,,, 6 -,835 -,1193,2961 6,3973-5,38-58,1542, 5,1573 6,8764-6,3138, 7,3661,,, 7,,,,,, -1,3937,,465,,, 1,3937,, 8,,,, 15,4719 5,1573, -15,4719 5,1573,,,,,, 9,,,, -5,1573 6,8764,813 5,1573-3,3511,,, -,813,, 1,,, -21,6473, 6,3138,,, -21,6473, -6,3138,,, 11,,,,,,,,,,,,,,, 12,,, 6,3138, -29,4644,,, -6,3138, -29,4644,,, 13,,,,,, 1,3937, -,813,,, -1,3937,, 14,,,,,,,,,,,,,,, 15,,,,,,,,,,,,,,, W wierszu i kolumnie 4,5,6 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 1, K 2 i K 3. W wierszu i kolumnie 7,8,9 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 2 i K 4. Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 12 -
Po uwzględnieniu warunków podparcia (wykreślenie wierszy i kolumn nr: 1, 2, 3, 1, 11, 12, 13, 14) oraz redukcji kąta obrotu przy przegubie (wykreślenie wiersza i kolumny nr 15) otrzymano zredukowane macierze: sztywności K RED oraz geometryczną K G RED : 4 5 6 7 8 9 4 359997,19-83857,33-6851,39-236262,5 5-83857,33 37313,26 1712,66-1633,59 3267,19 K RED = 6-6851,39 1712,66 29876,57-3267,19 4356,25 7-236262,5 23785,85-2881,71 8-1633,59-3267,19 313819,3-3267,19 9 3267,19 4356,25-2881,71-3267,19 18798,5 4 5 6 7 8 9 4-21,7415 -,1346 6,3973,,, 5 -,1346-15,6641-5,38, 15,4719-5,1573 K G RED = 6 6,3973-5,38-58,1542, 5,1573 6,8764 7,,, -1,3937,,465 8, 15,4719 5,1573, -15,4719 5,1573 9, -5,1573 6,8764,813 5,1573-3,3511 4. Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego oraz postaci utraty stateczności Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego sprowadza się do rozwiązania równania równowagi układu: Sprowadzając powyższe równanie do postaci problemu własnego otrzymano: Do rozwiązania równania problemu własnego posłużono się programem upw, skąd otrzymano następujące wartości własne:,3916 1,3916 1,8395 1,8395 1,435288 1,435288 1,131862 1,131862 1,182688 1,182688 1,35928 1,35928 1,,,,, 39.16 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 13 -
Dla przyjętego wektor własny ma postać:,2272,876726,99744,865612,163974 1,691 Zatem pełna macierz kolumnowa przemieszczeń węzłów w układzie globalnym ma następującą postać: q= 1, 2, 3, 4,2272 5,876726 6,99744 7,865612 8 -,163974 9-1,691 1, 11, 12, 13, 14, 15, Macierze kolumnowe przemieszczeń poszczególnych prętów w układzie globalnym: q 1 =,2272,876726,99744 q 2 = q 3 = q 4 =,2272,865612,2272,865612,876726 -,163974,876726 -,163974,99744-1,691,99744-1,691 Macierze kolumnowe przemieszczeń poszczególnych prętów w układzie lokalnym: =,2272,876726,99744 = = =,115844,865612 -,87673,163974,188724 -,163974,2272,865612,99744-1,691,99744-1,691 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 14 -
Funkcje kształtu do wyznaczenia przemieszczeń prętów: Dla pręta obustronnie utwierdzonego 1 1 3 2 1 3 2 Dla pręta z przegubem z lewej strony 1 1 3 2 1 2 nie występuje 3 2 1 2 1 2 1 2 Wartości przemieszczeń wyznaczono w pięciu miejscach każdego pręta według poniższych wzorów: Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony x x/l N1 N2 N3 N4 N5 N6 u v,, 1, 1,,,,,,, 1,525,25,75,8438,8578,25,1563 -,2859,29 -,28227 3,5,5,5,5,7625,5,5 -,7625,579 -,75114 4,575,75,25,1563,2859,75,8438 -,8578,869 -,83975 6,1 1,,,, 1, 1,,,1158,1881 Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony x x/l N1 N2 N3 N4 N5 N6 u v,, 1, 1,,,,,,227,877 1,,25,75,8438,5625,25,1563 -,1875,1737,75723 2,,5,5,5,5,5,5 -,5,1446 1,648 3,,75,25,1563,1875,75,8438 -,5625,1156,75464 4, 1,,,, 1, 1,,,866 -,16 Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony x x/l N1 N2 N3 N4 N5 N6 u v,, 1, 1,,,,,,,,875,25,75,8438,4922,25,1563 -,1641 -,219 -,1648 1,75,5,5,5,4375,5,5 -,4375 -,438 -,42624 2,625,75,25,1563,1641,75,8438 -,4922 -,658 -,47382 3,5 1,,,, 1, 1,, -,877,227 Pręt nr 4 przegub na lewym końcu x x/l N1 N2 N3 N4 N5 N6 u v,, 1, 1,,,,,,,,875,25,75,6328,,25,3672 -,412,4,41617 1,75,5,5,3125,,5,6875 -,6563,8,66674 2,625,75,25,859,,75,9141 -,5742,12,5861 3,5 1,,,, 1, 1,,,16,866 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 15 -
Postać utraty stateczności ramy 5. Obliczenie przemieszczeń oraz sił przekrojowych w ramie uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (jedna iteracja) Rama zostaje obciążona siłami zewnętrznymi pomnożonymi przez : 1,2E+4 39,16 39,16 9,8E+3 1 9,9E+3 2 3 4 Siły normalne od zadanego obciążenia: 1-283,975-1,2E+4-7 792,726-1,E+4-1,E+4 2 3 4-283,975-1,2E+4-792,726 [kn] Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 16 -
5.1. Macierze geometryczne prętów 5.1.1. Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony Macierz geometryczna pręta nr 1 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -55,715-28,3195, 55,715-28,3195, -28,3195-23,3319, 28,3195 57,583,,,,,,, 55,715 28,3195, -55,715 28,3195, -28,3195 57,583, 28,3195-23,3319 Macierz transformacji oraz transponowana macierz transformacji pręta nr 1:,,8193 -,5734,8193,5734,5734,8193 -,5734,8193 1 1,,8193 -,5734,8193,5734,5734,8193 -,5734,8193 1 1 Macierz geometryczna pręta nr 1 w układzie globalnym:,,,,, -18,3191-26,172-16,2393 18,3191 26,172-16,2393-26,172-37,3914-23,28 26,172 37,3914-23,28-16,2393-23,28-23,3319 16,2393 23,28 57,583 18,3191 26,172 16,2393-18,3191-26,172 16,2393 26,172 37,3914 23,28-26,172-37,3914 23,28-16,2393-23,28 57,583 16,2393 23,28-23,3319 5.1.2. Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -317,1357-15,7119, 317,1357-15,7119, -15,7119-5363,7968, 15,7119 134,9492,,,,,,, 317,1357 15,7119, -317,1357 15,7119, -15,7119 134,9492, 15,7119-5363,7968 Macierz transformacji oraz transponowana macierz transformacji pręta nr 2:, 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 1 1 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 17 -
Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie globalnym:,,,,,,,,,,,, -317,1357-15,7119, 317,1357-15,7119, -15,7119-5363,7968, 15,7119 134,9492,,,,,,, 317,1357 15,7119, -317,1357 15,7119, -15,7119 134,9492, 15,7119-5363,7968 5.1.3. Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony Macierz geometryczna pręta nr 3 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -4221,4265-1231,2494, 4221,4265-1231,2494, -1231,2494-5745,835, 1231,2494 1436,4576,,,,,,, 4221,4265 1231,2494, -4221,4265 1231,2494, -1231,2494 1436,4576, 1231,2494-5745,835 Macierz transformacji oraz transponowana macierz transformacji pręta nr 3:, -1 1 1-1 1 1, -1 1 1-1 1 1 Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie globalnym:,,,,, -4221,4265, -1231,2494 4221,4265, -1231,2494,,,,,, -1231,2494, -5745,835 1231,2494, 1436,4576 4221,4265, 1231,2494-4221,4265, 1231,2494,,,,,, -1231,2494, 1436,4576 1231,2494, -5745,835 5.1.4. Pręt nr 4 przegub z lewej strony Macierz geometryczna pręta nr 4 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -271,7918,, 271,7918-158,5452,,,,,,,,,,,,, 271,7918,, -271,7918 79,2726, -158,5452,, 158,5452-554,982 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 18 -
Macierz transformacji oraz transponowana macierz transformacji pręta nr 4:, -1 1 1-1 1 1, -1 1 1-1 1 1 Macierz geometryczna pręta nr 4 w układzie globalnym:,,,,, -271,7918,, 271,7918, -158,5452,,,,,,,,,,,, 271,7918,, -271,7918, 79,2726,,,,,, -158,5452,, 158,5452, -554,982 Agregacja macierzy geometrycznej K G Tabela powiązań: Pręt 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 7 8 9 3 1 11 12 4 5 6 4 13 14 15 7 8 9 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 19 -
Globalna macierz geometryczna K G : Po zsumowaniu elementów w poszczególnych komórkach, globalna macierz geometryczna przybiera następującą postać: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 1-18,3191-26,172-16,2393 18,3191 26,172-16,2393,,,,,,,,, 2-26,172-37,3914-23,28 26,172 37,3914-23,28,,,,,,,,, 3-16,2393-23,28-23,332 16,2393 23,28 57,583,,,,,,,,, 4 18,3191 26,172 16,2393-4239,746-26,172 1247,4887,,, 4221,4265, 1231,2494,,, 5 26,172 37,3914 23,28-26,172-354,527-982,5111, 317,1357-15,712,,,,,, 6-16,2393-23,28 57,583 1247,4887-982,5111-11339,96, 15,7119 134,9492-1231,249, 1436,4576,,, 7,,,,,, -271,792, 79,2726,,, 271,7918,, 8,,,, 317,1357 15,7119, -317,136 15,7119,,,,,, 9,,,, -15,712 134,9492 158,5452 15,7119-5918,75,,, -158,545,, 1,,, -4221,427, 1231,2494,,, -4221,427, -1231,249,,, 11,,,,,,,,,,,,,,, 12,,, 1231,2494, -5745,831,,, -1231,249, -5745,831,,, 13,,,,,, 271,7918, -158,5452,,, -271,792,, 14,,,,,,,,,,,,,,, 15,,,,,,,,,,,,,,, W wierszu i kolumnie 4,5,6 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 1, K 2 i K 3. W wierszu i kolumnie 7,8,9 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 2 i K 4. Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 2 -
Całkowita macierz sztywności K* = K + K G : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 1 1248,92-83883,5 171,79-1248,9 83883,48 171,79,,,,,,,,, 2-83883,48 5928,41 1531,24 83883,48-5928,41 1531,24,,,,,,,,, 3 171,79 1531,24 7485,73-171,79-1531,24 3915,62,,,,,,,,, 4-1248,9 83883,48-171,79 355743,38-83883,48-563,97-236262,5,, 928,4, -4532,18,,, 5 83883,48-5928,4-1531,24-83883,48 3782,59 73,23, 1383,54 2261,48, -312185,7,,,, 6 171,79 1531,24 3915,62-563,97 73,23 18536,61, -2261,48 5697,2 4532,18, 816,46,,, 7,,, -236262,5,, 236814,6, -282,44,,, -551,56,, 8,,,, 1383,54-2261,48, 3182,17-2261,48,,,, -312185,7, 9,,,, 2261,48 5697,2-2723,17-2261,48 12879,8,,, 2723,17,, 1,,, -7514,81, 6994,68,,, -928,4, 4532,18,,, 11,,,, -312185,7,,,,, 312185,71,,,, 12,,, -4532,18, 978,17,,, 4532,18, 772,17,,, 13,,,,,, -551,56, 2723,17,,, 551,56,, 14,,,,,,, -312185,7,,,,, 312185,71, 15,,,,,,,,,,,,,,, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 21 -
5.2. Macierz kolumnowa sił przywęzłowych Siły przywęzłowe wyznaczono tylko dla obciążonego pręta nr 2 (obustronnie utwierdzony z obciążeniem ciągłym). 2 39,16 4, 2-78,32 39,16 4, -52,21 12 = 12 = 2 12 39,16 4, 2 39,16 4, 12-78,32 52,21 Agregacja sił przywęzłowych do pełnej macierzy kolumnowej w układzie globalnym: 1 2 3 4 975,4 975,4 5 117,48-78,32 1248,512 6-52,21 52,21 7-9945,41-9945,41 _ 8-78,32 = 78,32 9 52,21-52,21 1 11 12 13 14 15 5.3. Uwzględnienie warunków brzegowych Po uwzględnieniu warunków podparcia (wykreślenie wierszy i kolumn nr: 1, 2, 3, 1, 11, 12, 13, 14) oraz redukcji kąta obrotu przy przegubie (wykreślenie wiersza i kolumny nr 15) otrzymano zredukowaną macierz sztywności układu K* RED oraz zredukowaną macierz obciążenia P RED : 4 5 6 7 8 9 4 359997,19-83857,33-6851,39-236262,5 5-83857,33 37313,26 1712,66-1633,59 3267,19 K* RED = 6-6851,39 1712,66 29876,57-3267,19 4356,25 7-236262,5 23785,85-2881,71 8-1633,59-3267,19 313819,3-3267,19 9 3267,19 4356,25-2881,71-3267,19 18798,5 P RED = 4 975,4 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 22 -
5 1248,512 6 52,21 7-9945,41 8 78,32 9-52,21 Rozwiązujemy układ równań: K* RED q RED = P RED q RED = K* (-1) RED P RED i otrzymujemy: q RED = 4.8833 5 -.6335 6.213 7.8826 8.9 9.1968 15, Pełny wektor przemieszczeń globalnych układu: q= 1 2 3 4,277245 5,43495 6,585297 7 -,152384 8,2217 9 -,761847 1 11 12 13 14 15 Wektory przemieszczeń globalnych poszczególnych prętów q 1 =,,277245,,,,43495,,,,585297,, q 2 = q 3 = q 4 =,277245 -,152384,277245 -,152384,43495,2217,43495,2217,585297 -,761847,585297 -,761847 Wektory przemieszczeń lokalnych poszczególnych prętów: =,,277245,,,,43495,,,,585297,, = = = -,4244 -,152384 -,43495 -,2217,489545,2217,277245 -,152384,585297 -,761847,585297 -,761847 5.4. Wyznaczenie wewnętrznych sił przywęzłowych Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 23 -
, 179122,95,, -179122,95,,, 566,39 1869,7, -566,39 1869,7, 1869,7 7485,73, -1869,7 3915,62-179122,95,, 179122,95,,, -566,39-1869,7, 566,39-1869,7, 1869,7 3915,62, -1869,7 7485,73, 76,2, 81,67, 137,68 -,4244-76,2,489545-81,67,585297 346,64 236262,5,, -236262,5,,, -1383,54 2261,48, 1383,54 2261,48, 2261,48 3348,7, -2261,48 5697,2-236262,5,, 236262,5,,, 1383,54-2261,48, -1383,54-2261,48, 2261,48 5697,2, -2261,48 3348,7,277245, 115,51,43495-78,32-872,74,585297-52,21-671,79 -,152384, -115,51,2217-78,32-687,33 -,761847 52,21 684,63 312185,71,, -312185,71,,, -928,4 4532,18, 928,4 4532,18, 4532,18 772,17, -4532,18 816,46-312185,71,, 312185,71,,, 928,4-4532,18, -928,4-4532,18, 4532,18 816,46, -4532,18 772,17, 12596,53, 291,, 351,98 -,43495-12596,53,277245-291,,585297 325,15 312185,71,, -312185,71,, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 24 -
, 551,56,, -551,56 2723,17,,,,,, -312185,71,, 312185,71,,, -551,56,, 551,56-282,44, 2723,17,, -2723,17 9531,9, 687,33, -199,6,, -,2217-687,33 -,152384 25,1 -,761847-684,63 6. Porównanie wyników Nr pręta Wartość siły normalnej Względna różnica Iteracja zerowa Iteracja pierwsza [%] 1-283,195-76,2-272,53 2-157,119-115,51,92 3-12312,494-12596,53 2,25 4-792,726-687,33-15,33 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 25 -