Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17

f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi (x, y) D dokładnie jednej liczby rzeczywistej f (x, y). DEFINICJA. Wykres funkcji f : D R, to zbiór W = {(x, y, z) : z = f (x, y), (x, y) D}.

z PRZYKŁAD. Naszkicuj wykres funkcji z = x + y 2. D = R 2 20 20 15 10 5 0 18 16 14 12 10 8 6 4 4 2 2 y 0 2 4 3 2 1 4 0 1 2 3 4 x 0 2

Zadanie. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = sin πx sin πy + ln(4 y 2 ) arc sin 1 3 x.

Zadanie. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = sin πx sin πy + ln(4 y 2 ) arc sin 1 3 x. Warunki: sin πx sin πy 0 4 y 2 > 0 1 1 3 x 1. Drugą i trzecią nierówność łatwo rozwiązać: 2 < y < 2; 3 x 3.

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. y 1 0 1 2 3 x

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. 2 < y < 2 i y 1 0 1 2 3 x

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. 3 x 3 y 1 0 1 2 3 x

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. 2 < y < 2 i 3 x 3 y 1 0 1 2 3 x

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. Pierwszą { nierówność sin πx 0 lub sin πy 0 sin πx sin πy 0 rozbijemy na dwa układy:

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. Pierwszą { nierówność sin πx 0 lub sin πy 0 { sin πx sin πy 0 rozbijemy na dwa układy: sin πx 0 sin πy 0 ; zatem

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { sin πx 0 sin πy 0 { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]...

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { sin πx 0 sin πy 0 ; { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]....

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. Pierwszą { nierówność { sin πx sin πy 0 rozbijemy na dwa układy: sin πx 0 sin πx 0 lub sin πy 0 sin πy 0 ; zatem { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... lub y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2].... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]...

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... lub y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2].... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]... y 1 0 1 2 3 x

Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. y 1 0 1 2 3 x

Zadanie: dziedzina. y 1 0 1 2 3 x

Otoczenie punktu DEFINICJA. Otoczenie punktu P 0 (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. Sąsiedztwo punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór S δ (x 0, y 0 ) = {(x, y) : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. P 0

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy:

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem wewnętrznym zbioru D, gdy

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem wewnętrznym zbioru D, gdy istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze D;

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem wewnętrznym zbioru D, gdy

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem wewnętrznym zbioru D, gdy istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze D;

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy:

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem brzegowym zbioru D, gdy

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem brzegowym zbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;

Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem skupienia zbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.

Punkty! DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem skupienia zbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.

Zbiory DEFINICJA. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru D to wnętrze tego zbioru.

Zbiory DEFINICJA. Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru D to brzeg tego zbioru.

Zbiory Zbiór D jest otwarty, gdy każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym tego zbioru.

Zbiory Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zbiory Zbiór D nazywamy obszarem, gdy jest otwarty i gdy każde dwa punkty tego zbioru można połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze.

Ciągłośc funkcji DEFINICJA. Załóżmy, że dziedziną funkcji f (x, y) jest zbiór D. Ponadto niech (x 0, y 0 ) D będzie punktem skupienia zbioru D. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie (x 0, y 0 ), gdy ɛ>0 δ>0 (x,y) D S δ (x 0,y 0 ) f (x 0, y 0 ) ɛ < f (x, y) < f (x 0, y 0 ) + ɛ. Załóżmy, że każdy punkt ze zbioru D jest punktem skupienia tego zbioru. Funkcja f jest ciągła w zbiorze D, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

POCHODNA, przypomnienie DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f (x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli istnieje skończona granica lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ), h to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ).

POCHODNA CZĄSTKOWA DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f (x, y) jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Jeżeli istnieje skończona granica lim h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ), h to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x(x 0, y 0 ) lub f x (x 0, y 0 ). Podobnie definiujemy pochodną cząstkową f y = f y względem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ): funkcji f f y f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) = lim. h 0 h Pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.

Pochodna cząstkowa PRZYKŁAD. Oblicz, z definicji, f x oraz f y, gdy f (x, y) = x 2 y. f x(x, y) = lim h 0 f (x + h, y) f (x, y) h = lim h 0 (x + h) 2 y x 2 y h = lim h 0 x 2 y + 2xhy + h 2 y x 2 y h = lim h 0 (2xy + hy) = 2xy f y f (x, y + h) f (x, y) x 2 (y + h) x 2 y (x, y) = lim = lim h 0 h h 0 h = lim h 0 x 2 y + x 2 h x 2 y h = x 2

Pochodne wyższych rzędów DEFINICJA. Załóżmy, że n 2 jest liczbą naturalną. Pochodna cząstkowa n-tego rzędu to pochodna cząstkowa pochodnej cząstkowej rzędu n 1. PRZYKŁAD. Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f (x, y) = x 2 y. f x = 2xy, f y = x 2, f xx = ( f x ) x = ( 2xy) x = 2y, f yy = 0, f xy = f yx = 2x TWIERDZENIE. Jeżeli pochodne mieszane f są równe. xy, f yx są ciągłe w pewnym obszarze, to